第3章《二次根式》2026-2027学年湘教版八年级数学上册

**基本信息** 湘教版八年级数学上册《二次根式》单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖概念、运算、几何与实际应用，适配单元复习，体现数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|有意义范围、最简二次根式等|第1题考查有意义条件（抽象能力）| |填空题|6/18|比较大小、数阵规律等|第16题数阵规律（推理意识）| |解答题|8/72|规律探究、实际应用等|第10题矩形花圃篱笆最小值（模型意识）、第24题自编题（创新意识）|

第3章《二次根式》2026-2027学年湘教版上学期八年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数非负，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，不是最简二次根式，不合题意； 选项B中，不是最简二次根式，不合题意； 选项C中是最简二次根式，符合题意； 选项D中，不是最简二次根式，不合题意． 3．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．把每个根式化简即可确定． 【详解】A．=2．故A选项错误； B．=2．故B选项正确； C．=．故C选项错误； D．=3．故D选项错误． 故选B． 4．下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式加减乘除运算法则判断即可． 【详解】解：∵ 与、与均无法合并， ∴ A、B选项计算错误； ∵ ， ∴ C选项计算正确； ∵ ， ∴ D选项计算错误． 5．若最简二次根式能与合并，则可以是（   ） A．4 B．5 C．7 D．14 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质等知识，先由，再由是最简二次根式，可得即可确定答案，熟记最简二次根式定义、合并同类二次根式、二次根式性质是解决问题的关键． 【详解】解：，是最简二次根式，且最简二次根式能与合并， ， 故选：C． 6．计算的结果为（   ） A．﹣1 B．1 C． D．7 【答案】B 【分析】计算二次根式乘法，立方根化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果． 【详解】解：． 故选B． 7．已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了化简二次根式． 由已知条件且可知，和均为负数，逐一分析各选项即可． 【详解】解：∵， ∴和均为负数， A：，选项A错误； B：当和均为负数时，和在实数范围内无意义，等式不成立，选项B错误； C：左边结果为负数，右边为正数，等式不成立，选项C错误； D：，等式成立，选项D正确； 故选：D． 8．在将式子（m＞0）化简时， 小明的方法是：===； 小亮的方法是： ； 小丽的方法是：. 则下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确 B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确 C．小明、小亮、小丽的方法都正确 D．小明、小丽、小亮的方法都不正确 【答案】C 【分析】小明的方法为原式分子分母乘以有理化因式，化简得到结果；小亮的方法为将分子利用二次根式性质化简，约分即可得到结果；小丽的方法为分子利用二次根式性质化简，再利用二次根式除法法则逆运算变形，计算即可得到结果. 【详解】在将式子（m＞0）化简时， 小明的方法是：＝＝＝，正确； 小亮的方法是：＝＝，正确； 小丽的方法是：＝＝＝，正确； 则小明、小亮、小丽的方法都正确， 故选：C 9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】先利用正方形的面积公式求出大正方形的边长，再利用无理数的估算、实数的大小比较法则即可得． 【详解】解：大正方形的边长为， ， ，即， 又， ， ， ， ， 与最接近的整数是4， 即大正方形的边长最接近的整数是4， 故选：B． 10. 【阅读材料】 学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：，，， 当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】 根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃， 其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米， 若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（   ） A．30米 B．50米 C．60米 D．100米 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次根式的实际应用，设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米，根据矩形面积计算公式得到，仿照题意可推出，则当时，有最小值，最小值为60，据此可得答案． 【详解】解：设垂直于墙的一边长为x米，平行于墙的一边长为米， 由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，最小值为60， ∴需要用的篱笆最少60米， 故选：C． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．计算：__________． 【答案】 【详解】解：. 12．比较大小： _______(填“”“”或“”) 【答案】 【分析】对于比较两个正无理数的大小，可将两数分别平方，通过比较平方结果的大小确定原数的大小． 【详解】解：， ． ，且，， ． 13．已知一个正方形的面积为，则其边长为________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式得到边长的平方等于已知面积，利用算术平方根的定义即可求出正方形的边长． 【详解】解：∵一个正方形的面积为， ∴其边长为． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 【答案】2 【分析】利用数轴可得出，进而化简求出答案． 【详解】解：由数轴可得：， 则 ∴ = = = =2． 故答案为：2． 15． 宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形，若一个黄金矩形的长为， 则该黄金矩形的宽为________． 【答案】2 【分析】根据黄金矩形宽与长的比值，已知长，利用比例关系计算宽即可． 【详解】解：设该黄金矩形的宽为． ∵黄金矩形宽与长的比为，长为， ∴可得． 变形得． 16．如图，它是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律， 第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 【答案】/ 【分析】本题考查了数字类规律探索，根据规律表示出代数式即可，观察发现“数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即”的规律是解题的关键． 【详解】解：∵观察数阵发现，数阵将正整数的算术平方根按从小到大的顺序排列，第行从左向右数第个数是，即， ∴第（是整数，且）行从左向右数第个数是， 故答案为：． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 18．计算： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．已知：，，分别求下列代数式的值： (1) ； (2) 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查二次根式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可； （2）根据，，可以求得和的值，然后将所求式子变形，再将和的值代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 20． 【问题情境】 数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1) 按照此规律，计算_______； (2) 计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查算术平方根的规律问题，熟练掌握算术平方根是解题的关键． （1）先求被开方数，再求算术平方根即可； （2）利用题中所给规律可进行求解； 【详解】（1）解：； 故答案为：． （2）解：原式 ． 21．(1) 已知x＝，y＝，求的值； (2) 已知x，y是实数，且满足y＋＋，化简：－(x－2＋)2. 【答案】(1)3;(2)-y 【详解】解：（1）因为，， 所以，， 所以 所以原式的值为3． (2) 由已知，得， ， 即 则 原式 22. 阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=， 则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1） ， （2） ． 【答案】（1）1+；（2）. 【分析】参照范例中的方法进行解答即可. 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴. 23．观察下列的等式： ； ② …… 回答下列问题： (1) 仿照上面的等式，写出第个等式： (2) 利用你观察到的规律，化简： (3) 计算： 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据观察，发现规律，由发现的规律可得答案； （2）利用平方差公式把分母化为有理数，即可得到答案； （3）利用（1）中发现的规律依次把每一个二次根式化简，再观察可得答案． 【详解】（1）解：根据规律得到第n个等式：， 故答案为：． （2）解： ； （3）解： ． 24． 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题， 以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ______；（n为正整数）＝______； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得 ，， 直接写出以下算式的结果： ______，______，______： （3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 【答案】（1），（n为正整数）；（2），，；（3） 【分析】（1）根据题干提供的方法进行分母有理化即可； （2）分别把每个被开方数化为某个数的平方，再化简即可； （3）先把括号内每一项分母有理化，再合并同类二次根式，同步化简，最后利用平方差公式计算即可. 【详解】解：（1）， 故答案为：，（n为正整数） （2） 故答案为：，， （3） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章《二次根式》2026-2027学年湘教版上学期八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．下列二次根式中，能与合并的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式中计算正确的是（   ） A． B． C． D． 5．若最简二次根式能与合并，则可以是（   ） A．4 B．5 C．7 D．14 6．计算的结果为（   ） A．﹣1 B．1 C． D．7 7．已知，那么下列各式中正确的是（   ） A． B． C． D． 8． 在将式子（m＞0）化简时， 小明的方法是：===； 小亮的方法是： ； 小丽的方法是：. 则下列说法正确的是（   ） A．小明、小亮的方法正确，小丽的方法不正确 B．小明、小丽的方法正确，小亮的方法不正确 C．小明、小亮、小丽的方法都正确 D．小明、小丽、小亮的方法都不正确 9．如图，用边长为3的两个小正方形拼成一个大正方形，则大正方形的边长最接近的整数是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 10. 【阅读材料】 学习了《二次根式》后，小颖同学发现： 当，时：，，， 当且仅当时取等号，即当时，有最小值为． 【学以致用】 根据上面材料回答下列问题：如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃， 其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米， 若要围成面积为450平方米的花圃，需要用的篱笆最少为（   ） A．30米 B．50米 C．60米 D．100米 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．计算：__________． 12．比较大小： _______(填“”“”或“”) 13．已知一个正方形的面积为，则其边长为________． 14．实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简______． 15． 宽与长的比是（约为）的矩形叫作黄金矩形，若一个黄金矩形的长为， 则该黄金矩形的宽为________． 16．如图，它是一个按某种规律排列的数阵，根据数阵排列的规律， 第（是整数，且）行从左向右数第个数是（用含的代数式表示）______． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18．计算： (1) ； (2) ． 19．已知：，，分别求下列代数式的值： (1) ； (2) 20． 【问题情境】 数学活动课上，陈老师出示了一组题．阅读下列解题过程，探求规律： ； 【实践探究】 (1) 按照此规律，计算_______； (2) 计算：． 21．(1) 已知x＝，y＝，求的值； (2) 已知x，y是实数，且满足y＋＋，化简：－(x－2＋)2. 22. 阅读下面的解答过程，然后作答： 有这样一类题目：将化简，若你能找到两个数 m和n，使m2+n2=a 且 mn=， 则a+2 可变为m2+n2+2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简． 例如：∵5+2=3+2+2=（）2+（）2+2=（+）2 ∴==+ 请你仿照上例将下列各式化简 （1） ， （2） ． 23． 观察下列的等式： ； ② …… 回答下列问题： (1) 仿照上面的等式，写出第个等式： (2) 利用你观察到的规律，化简： (3) 计算： 24． 王老师让同学们根据二次根式的相关内容编写一道题， 以下是王老师选出的两道题和她自己编写的一道题．先阅读，再回答问题． （1）小青编的题，观察下列等式： 直接写出以下算式的结果： ______；（n为正整数）＝______； （2）小明编的题，由二次根式的乘法可知： ，， 再根据平方根的定义可得 ，， 直接写出以下算式的结果： ______，______，______： （3）王老师编的题，根据你的发现，完成以下计算： 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 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