1.2 第1课时 菱形的性质（Word试题版）【高效课堂】2026-2027学年九年级上册数学同步导学案（北师大版·新教材）

该初中数学导学案聚焦菱形的性质，通过汽车千斤顶原理图等生活实例导入，衔接平行四边形性质，以问题链为学习支架，引导学生从已知探究菱形的边、角、对角线性质。 资料分层设计基础达标、能力提升及思维拓展题，含易错点提示与中考真题，注重几何直观培养数学眼光，通过推理证明发展数学思维，开放性问题提升数学语言表达能力，助力学生自主学习与教师教学评估。

1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 01基础达标 知识点 菱形的性质 1. 如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在菱形中，点、是、的中点，如果，那么的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 3. 如图，在菱形中，对角线，相交于点．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知菱形的边长为，，两条对角线与相交于点，则（ ） A. B. C. D. 5. 一个菱形的边长为，面积为，则该菱形的两条对角线的长度之和为(　　) A. B. C. D. 6. 如图，已知菱形的对角线交于点O，，求菱形的周长． 易错点 利用菱形的性质进行计算时，考虑问题不全面而出错 7. 已知菱形的边长为，，如果点是菱形内一点，且，那么的长为________． 02能力提升 （2025·烟台） 8. 如图，在直角坐标系中，菱形的顶点A，B，C在坐标轴上，若点B的坐标为，，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在菱形ABCD中，，按以下步骤作图： ①分别以点C和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点M，N； ②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE，则______． 10. 如图，在菱形中，，，为中点，为对角线上一动点，连接和，则的最小值是________． （2025・广东） 11. 如图，菱形中，作、，分别交、的延长线于点． （1）求证：； （2）若点恰好是的中点，，求的值． 12. 如图所示，已知四边形ABCD，ADEF都是菱形，∠BAD=∠FAD，∠BAD为锐角． （1）求证：AD⊥BF； （2）若BF=BC，求∠ADC的度数． 03思维拓展 【新考法・开放性题】 13. 在①AE＝BF；②BE＝CF；③∠AED＝∠BFD这三个条件中选择一个，补充便下面的问题中，并完成问题的解答． 问题：如图，在菱形ABCD中，∠A＝60°，点E、F分别在AB、BC边上，若 ，请判断△DEF的形状，并证明结论． 1.2 菱形的性质与判定 第1课时 菱形的性质 01基础达标 知识点 菱形的性质 【1题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，掌握菱形的对角线平分对角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，是对角线， ∴，平分， ∴，   故选：A ． 【2题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角形中位线定理求出的长度，再根据菱形四条边相等的性质，得出的长度． 【详解】解：∵点分别是的中点， ∴是的中位线， ∴ ∵ ， ∴ ∵四边形是菱形， ∴． 【3题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质直接进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，平分 又∵ ∴， ∴ ． 【4题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】利用菱形的性质得到，，通过直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半得到，进而求出，再由勾股定理可求出的长，进而可求对角线的长即可． 【详解】解：在菱形中，，， ， ， ， ． 在中，． ． 则 ． 【5题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】如图，根据菱形的性质可得， ，，再根据菱形的面积为，可得①，由边长结合勾股定理可得②，由①②两式利用完全平方公式的变形可求得，进行求得，即可求得答案. 【详解】如图所示： 四边形是菱形， ， ，， 面积为， ① 菱形的边长为， ②， 由①②两式可得：， ， ， 即该菱形的两条对角线的长度之和为， 故选C． 【点睛】本题考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 【6题答案】 【答案】菱形的周长 【解析】 【分析】由菱形的性质得， ，，再由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，，， ∴， ∴． ∴菱形的周长． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握菱形的性质，由勾股定理求出的长是解题的关键． 易错点 利用菱形的性质进行计算时，考虑问题不全面而出错 【7题答案】 【答案】2或4 【解析】 【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，确定点在对角线上，利用勾股定理求出相关线段长度，分情况讨论得到的长。 【详解】解：连接，交于点， 四边形是菱形， ，垂直平分，，，， 在中，，，， ， 由勾股定理得 ， ， ， 点在的垂直平分线上， 在 中，由勾股定理得 ， 即， 解得， 当点在线段上时， ； 当点在线段上时， ； 故答案为：或． 02能力提升 （2025·烟台） 【8题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC，交x轴于点E，根据题中已知条件：四边形ABCD为菱形，，可得，在中，利用三角函数即可求得AB、AO，进一步即可确定CE、DE长，即可求得D点的坐标． 【详解】解：如图所示，过点D作DE⊥BC，交x轴于点E， ∵， ∴， ∵四边形ABCD为菱形，， ∴，， 在中， ，， ∴，， ∴菱形ABCD边长为2，， ∴， 点D坐标为：， 故选：D． 【点睛】题目主要考查菱形的性质、运用特殊角的三角函数求边长等，难点主要是在坐标系中灵活运用这些性质． 【9题答案】 【答案】120°##120度 【解析】 【分析】由作法得AE垂直平分CD，则∠AED=90°，CE=DE，于是可判断∠D=60°，再利用平行线的性质，进而得出答案． 【详解】解：由作图，得AE垂直平分CD， ∴∠AED=90°，CE=DE， ∵四边形ABCD为菱形， ∴AD=2DE，AB=AD=DC=BC=6，， ∴， ∴∠D=60°， ， ∴∠C=120° 故答案为：120°． 【点睛】本题考查了基本作图，熟练掌握基本作图：作已知线段的垂直平分线是解题关键． 【10题答案】 【答案】 【解析】 【分析】作点和点关于对称，连接交于点，连接， 此时就是的最小值． 【详解】解：作点和点关于对称．则连接交于点，连接， ∵四边形是菱形，，为中点，， 由菱形的对称性， ∴点是的中点，， ∴ ， ∵，， ∴是等边三角形， ∴ ， ∴， 则的最小值为． （2025・广东） 【11题答案】 【答案】（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】(1)由“”可证，可得； (2)由线段垂直平分线的性质可得． 【详解】(1)四边形是菱形， ∴， ∴， ∵、， ∴， ∴， ∴； (2)∵是中点，且， ∴直线为的垂直平分线， ∴. 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练运用菱形的性质是本题的关键． 【12题答案】 【答案】（1）证明见解析；（2）150° 【解析】 【详解】试题分析：（1）连结DB、DF．根据菱形四边相等得出AB=AD=FA，再利用SAS证明△BAD≌△FAD，得出DB=DF，那么D在线段BF的垂直平分线上，又AB=AF，即A在线段BF的垂直平分线上，进而证明AD⊥BF； （2）设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，证明DG=CD．在直角△CDG中得出∠C=30°，再根据平行线的性质即可求出∠ADC=180°﹣∠C=150°． （1）证明：如图，连结DB、DF． ∵四边形ABCD，ADEF都是菱形，∴AB=BC=CD=DA，AD=DE=EF=FA． 在△BAD与△FAD中，∵AB=AF，∠BAD=∠FAD，AD=AD，∴△BAD≌△FAD，∴DB=DF，∴D在线段BF的垂直平分线上，∵AB=AF，∴A在线段BF的垂直平分线上，∴AD是线段BF的垂直平分线，∴AD⊥BF； （2）如图，设AD⊥BF于H，作DG⊥BC于G，则四边形BGDH是矩形，∴DG=BH=BF．∵BF=BC，BC=CD，∴DG=CD．在直角△CDG中，∵∠CGD=90°，DG=CD，∴∠C=30°，∵BC∥AD，∴∠ADC=180°﹣∠C=150°． 点睛：本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明出AD是线段BF的垂直平分线是解题的关键． 03思维拓展 【新考法・开放性题】 【13题答案】 【答案】AE=BF，△DEF是等边三角形．证明见解析． 【解析】 【分析】连接BD，证明△DBE≌△DCF（SAS），由全等三角形的性质得出DE=DF，∠EDB=∠FDC，可证明△DEF是等边三角形． 【详解】解：若AE=BF，△DEF是等边三角形． 证明：如图，连接BD， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=CD，∠C=∠A=60°，ADBC， ∴△BCD是等边三角形，∠ABC=180°-∠A=120°， ∴∠BDC=∠DBC=60°，BD=CD， ∴∠DBE=∠ABC-∠DBC=60°， ∴∠DBE=∠C， ∵AE=BF， ∴AB-AE=BC-BF， 即BE=CF， 在△DBE和△DCF中，， ∴△DBE≌△DCF（SAS）， ∴DE=DF，∠EDB=∠FDC， ∴∠EDB+∠BDF=∠FDC+∠BDF=∠BDC=60°， ∴△DEF是等边三角形． 故答案为：AE=BF． 【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握菱形的性质和等边三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $