重难点专训01 利用导数研究函数零点三大考法（专项训练）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

**基本信息** 以四大核心通法为框架，分层覆盖基础判断、含参范围、隐零点证明题型，融合上海高考专属技巧，构建“方法-题型-变式”三阶训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题方法及技巧提炼|四大通法+五技巧|单调性+极值分析（四步流程）、分离参数数形结合（等价变形）、定点赋值找点（上海套路）、隐零点设而不求（三步模板）|从无参到含参，从具体到抽象，方法与题型精准对应，技巧服务于解题效率提升，培养数学思维与模型观念| |题型通法及变式提升|3题型（含16例题）|基础题用单调性极值判定，中档题选参变分离，压轴题用隐零点代换|按难度梯度递进，覆盖上海卷核心考法，典例含易错点分析，强化推理能力与运算能力| |重难专题分层过关练|巩固4题+创新4题|分层训练适配不同水平，创新题融合新定义与综合应用|从基础巩固到创新拓展，培养问题解决与创新意识，提升数学语言表达能力|

重难点专训01 利用导数研究函数零点 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 判断函数零点个数（基础题） 4 题型2 已知零点个数求参数范围（中档含参题） 7 题型3 隐零点最值/零点证明（压轴难题） 13 重难专题分层过关练 25 巩固过关 25 创新提升 27 解题方法及技巧提炼 一、四大核心解题通法（上海卷全覆盖） 方法一：单调性+极值分析法（通用首选，所有题型适配） 适用场景：不含参函数、简单含参函数，用于判断零点个数、基础参数范围求解，是解答题必写标准流程。 标准四步满分流程： 1.定域求导：明确函数定义域，求一阶导数，必要时用二阶导数判断导函数单调性； 2.划分区间：求解 ，以此为分界点划分函数单调区间； 3.求判极值：计算各区间极大值、极小值，分析区间端点与无穷远处函数趋势； 4.定理判定：结合极值正负、端点符号，用零点存在定理判定零点个数与位置。 零点个数黄金判定结论（上海卷直接使用） 若函数存在极大值M、极小值m： 3个零点：极大值为正、极小值为负（） 2个零点：极大值等于0 或 极小值等于0（极值点落在x轴上） 1个零点：极大值恒负 或 极小值恒正；或单调函数区间端点值异号 0个零点：极大值、极小值均小于0；或极大值、极小值均大于0 核心准则：单调区间内，函数连续且端点值异号，则区间内有且仅有一个零点（大题必须书写零点存在定理文字说明）。 方法二：分离参数数形结合法（含参题型最优解） 适用场景：含参数 的零点问题、已知零点个数求参数范围，可规避复杂分类讨论，计算量最小。 标准解题步骤： 1.等价变形：将 整理为 ，严格注意定义域、分母不为0、符号变化； 2.研究新函数：求 ，分析 的单调性、极值、值域、端点趋势； 3.数形转化：直线 与曲线 的交点个数 = 原函数零点个数； 4.临界取值：根据交点临界状态（相切、端点重合）确定参数取值范围。 上海卷优势：小题秒解、大题简化步骤，是一轮复习必须熟练的提速技巧。 方法三：定点赋值找点法（零点存在定理核心实操） 适用场景：无法直接求解方程根、需要证明区间内存在零点、隐零点前置找点。 上海高考专属找点套路（直接套用）： 含 函数：优先试 ； 含 函数：优先试 ； 复杂超越函数：用经典放缩公式找点 ，快速构造正负区间。 方法四：隐零点设而不求法（上海压轴核心难点） 核心定义：导函数方程 有真实根，但无法用初等函数解出精确表达式，仅能确定根的范围，通过“虚设零点、整体代换”解题。 满分标准三步模板（上海阅卷通用）： 1. 卡范围（证存在唯一）：用二阶导判断 严格单调，取区间两点证明 ，得唯一隐零点 ； 2. 建关系（整体代换）：由 变形，实现指数、对数互换消元（核心步骤）； 3. 代原式（化简求值）：将 全部替换为多项式形式，消去超越式，判断 正负或最值。 经典代换示例： 已知 ，，设隐零点 满足 ，两边取对数得 ，代入原函数： ，可直接证明函数无零点。 二、上海高考专属核心提分技巧 技巧1：指对同构秒杀零点方程 上海卷高频结构 ，优先同构变形，大幅简化运算： 示例： 同构为 ，令 ，转化为 ，可快速判定无实数解。 技巧2：极限预判避无效计算 无需复杂赋值，直接通过趋势预判函数端点符号，节省做题时间： ：指数函数主导，函数趋向正无穷； ：对数函数主导，含 函数趋向负无穷； 多项式仅修饰幅度，不改变最终极限符号。 技巧3：含参讨论分界点精准定位 导数零点含参数时，分类讨论分界点仅三个来源，无需盲目试值： 导函数零点与定义域端点重合（如 ）； 二次型导数判别式 ； 函数极值恰好为0的临界参数值。 技巧4：双零点极值点偏移通用套路 题干特征：，求证 （ 为极值点） 1.构造对称辅助函数：； 2.求导分析 单调性与符号； 3.结合 代换，完成不等式证明。 技巧5：上海阅卷高频扣分避坑指南 忽略定义域： 必须满足 ，域外零点一律舍去； 定理误用：零点存在定理单向成立，函数值同号不代表无零点； 隐零点书写不规范：未证明零点存在唯一性，直接代换一律扣分； 不变号零点误判：极值为0仅算1个零点，不可重复计数； 参变分离漏讨论：分母正负未判断，导致参数范围漏解、错解。 题型通法及变式提升 题型1 判断函数零点个数（基础题） 1.确定函数定义域，求一阶导数，分析函数单调区间； 2.求解函数极值，分析区间端点与无穷远处函数极限； 3.在每个单调区间内，结合零点存在定理判断零点存在情况； 4.汇总所有区间结果，明确零点总个数。 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 【答案】C 【详解】对于A：因为，定义域，所以定义域，故A错误； 对于B：设，则，故B错误； 对于C：因为，所以在定义域上是严格增函数，故C正确； 对于D：设，则，又因为，且在定义域上是严格增函数，所以只有一个零点，故D错误. 故选：C. 2．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是________．(填序号) ①是的一个周期；           ②在上是增函数； ③的最小值为；            ④在上有3个零点． 【答案】①③④ 【详解】解：因为：， 的最小正周期是，的最小正周期是， 所以的最小正周期是，故①正确； 由题可知，取一周期，不妨设， 由， 令得，，， 当，，为增函数， 当，，为减函数， 当，，为增函数， 所以在，上单调递增，在上为单调递减，故②不正确； 由于，， 所以的最小值为，所以③正确； 因为在，上单调递增，在上为单调递减， ，，所以在上有3个零点，故④正确. 故答案为：①③④ 3．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为______． 【答案】643 【详解】当时，无解，故没有零点， 当时，， 当时，，则， 当时，，则， 以此类推，，而， 当有1个交点，以后每个周期内有2个交点，在区间无交点，所以共有个交点， 所以函数的零点个数为个. 故答案为：643 4．（24-25高三上·安徽·阶段检测）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 【详解】（1）因为， 所以， 所以， 又因为的图象的对称中心为， 所以 即解得 （2）由（I）知，， 所以， 令，得或， 当变化时，的变化情况如下表： -3 1 + 0 - 0 + ↗ 14 ↘ -18 ↗ 所以的极大值为，极小值为， 又， 所以有3个零点． 题型2 已知零点个数求参数范围（中档含参题） 二选一最优策略： 简单多项式函数：单调性+极值符号不等式，分类讨论参数； 指对混合复杂函数：优先参变分离，转化为函数值域与交点问题，快速求解范围。 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 【答案】 【详解】由可得， 令，其中，则直线与函数的图象有两个公共点， ，由可得，由可得， 所以函数的减区间为，增区间为， 函数的极小值为， 当时，；当时，，如下图所示： 由图可知，当时，直线与函数的图象有两个公共点， 故实数的取值范围是. 故答案为：. 6．（23-24高三下·上海闵行·阶段检测）若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是___________. 【答案】 【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点； 设，则， 令，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 函数与函数的图象如图所示： 切线与在x轴上的截距分别上，， 当时，与函数的图象有一个交点， 所以实数a的取值范围. 故答案为： 7．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】令， 令，因为，所以， 即，所以方程变为：， 若函数在区间有10个零点， 则等价于函数与函数在上有10个交点， 则需满足，解得：， 由，令 ， 即，由，则， 又，所以要使函数在区间有10个极值点， 即方程在上有10个实数解， 则需满足，解得：， 所以函数在区间要有10个零点与10个极值点，则的取值范围是. 8．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是____________. 【答案】 【详解】①当时， 所以，， ， 解得，不符合题意，所以在上无解. ②当时，， 所以，，， 令，所以， 即 令，所以， 所以，所以在单调递增， 所以，即. 此时在上有唯一解； ③当时，， 因为函数恰有三个零点， 所以在上有两解， 即在上有两解， 即在上有两解. 令 所以，即 解得， 综上①②③，所以的取值范围是. 故答案为：. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)的极小值为，没有极大值 (3)或 【详解】（1）因为，所以， 又，所以，解得. （2）由（1）知，又， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 所以有极小值，为，没有极大值. （3）令，得， 因为在区间上无零点，所以在上无解， 令，则与的图象没有交点， 而，， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，， 又当时，，则恒成立， 所以，则在上的大致图象如下， 数形结合可得或， 所以或. 10．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 【详解】（1）的定义域为，． 当时，恒成立，在上单调递增，无极小值； 当时，令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的极小值为，即． 综上，． （2），． ∵， ∴，即在上单调递减． ∴． 由（1）知，的最小值为，即（当且仅当时，等号成立）． ∴，即． （3）． 当时，，在上单调递增，至多有一个零点． 当时，． 令，；令，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 所以的最小值为． 设，． 令，；令，． 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以的最大值为． 当时，，只有一个零点； 当时，，又，． 所以有两个零点； 当时，， 由①知，当时，对，恒成立，又， 所以有两个零点； 综上：或 题型3 隐零点最值/零点证明（压轴难题） 1.求 ，通过二阶导数证明 在定义域内严格单调； 2.选取合适区间端点赋值，证明存在唯一隐零点 ； 3.由 变形，建立指数与对数的等量代换关系； 4.将代换式代入 ，消去超越函数，化简判断正负； 5.总结结论，完成零点存在性或最值证明。 11．（2025·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 【详解】（1）由题设，则， 当或，即在上单调递增， 当，即在上单调递减， 所以的单调增区间为，单调减区间为； （2）在上，令， 所以在上有解， 即与在上有交点， 由且， 所以，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 当或，有，且， 所以，故最大的为. 12．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 【答案】(1) 证明：当时，函数， 所以， 所以，即， 又函数在上处处相依， 所以导函数在上有零点； （2）因为， 所以， 因为函数在上处处相依， 所以存在，，使得， 故由题意存在，使得恒成立即恒成立， 所以恒成立， 又， 所以.所以实数的取值范围为. (3)当时，，则， 因为为函数在的相依区间， 所以，则， 因为，单调递减；，单调递增； 所以，则， 要证，即证，即证，即证，， 令， 则， 令， 则， 因为，，， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以，故函数在上单调递减，所以， 所以在上恒成立，即证得，， 从而得证. 13．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 【详解】（1）时，，， ，，则曲线在点处的切线方程为： ； (2)证明：因函数经过点，则 .令，. 令；， 则在上递减，在上递增，则， 故由，可得. 则此时，，.令， 则在上递增， 注意到，结合在上递增， 则. 得在递减，在上递增，则. 即函数经过点时函数有且仅有一个零点1； (3)证明：，其中. ，令， 则，则在上递增. 注意到，， 则，使，结合在上递增. 则. 得在递减，在上递增， 则的极小值为 令，则 得在上单调递减， 故. 注意到，， 则，使； 令，在上递增， 则， 即； 令，. ， 则在递增，在上递减， 则. 则， 又，. 则，使. 则可得大致图象如下， 图象则相当于对图象做翻折变换，可得大致图象如下. 方程恰有三个不同的实数根，则直线与图象有3个交点， 由图可得时满足题意. 则对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根， 注意到 则时满足题意 令， 则，则在上递减， 则，. 则的范围为： 14．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 【详解】（1）由题得，所以， 因为，所以，解得， 所以，固着点. （2）由题得，则， 所以，因为是上的严格增函数， 所以在区间上恒成立， 由，得到，所以， 所以，因此的最大值是. (3)（方法一）由题得，， 所以， 因为，且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解， 记，则，所以在是严格减函数， 从而，又当时，，故的值域是， 所以，即， 记，则由上述可知是的严格减函数且， ， 因为，所以，所以  ① 又， 记，则， 因为，所以，所以， 所以是上的严格增函数， 故，从而  ② 由①②可知，，即， 又是的严格减函数，所以，故. （方法二） 由题得，，所以， 因为且是的固着点，所以（*）在上有唯一的解 求导得， 当时，，是上的严格减函数， 所以，所以方程（*）无解； 当时， （ⅰ）当时，在恒成立，故是上的严格增函数， 所以，所以方程（*）无解； （ⅱ）当时，如下表 - 0 + 严格减 极小值 严格增 可知在严格减，在严格增， 又，，当时，， 所以方程（*）在无解，在有唯一解，满足题意的的取值范围， 因为是的唯一解，所以， 又，令， 则，所以是上的严格减函数， 所以，即， 又当时，，所以， 又在上有唯一的零点，则， 综上，，此时. 15．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明： 有唯一零点； (3)记的零点为，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由. 【详解】（1）由题意有，所以，， 所以，即， 所以切线方程为； (2)当时，，所以在上无零点， 因为，所以在上单调递增， 所以在上至多一个零点， 当时，有一个零点1， 当时，因为， 所以有唯一的零点； (3)数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列.理由如下： 由（2）有：，且， 两边取自然对数得①， 所以②， 由②①有：， 所以， 因为，所以在上单调递增， 所以，所以数列单调递增， 假设数列中存在成等比数列， 所以，即③， 由①有：代入③有： ， 所以④， 因为，所以， 当且仅当时取等， 又因为， 所以方程④无解，故数列中不存在连续三项按某顺序构成等比数列. 16．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 【详解】（1）因为，，所以，． 若，，是一组“有序和谐函数”，则 代入得，即 因为，所以 因此可取 （2）由题意， 根据“有序和谐函数”的定义，得 由积化和差公式，得 三式相加，得 因为所以原式等于 若它对一切实数恒等于常数，则含的项必须为，所以即 因此或 若，则，符合条件． 若，则，不符合条件． 所以的所有可能取值为 (3)因为，，是一组“有序和谐函数”，所以， 即所以， 令，则， 由，得，所以 令，则，所以在上单调递增． 若，则，即 所以， 取充分大的正数，使得，则． 又因为，所以， 若，则，即， 所以， 取充分小的负数，使得，则． 又因为，所以 因为在上可导，所以在上连续． 又，，由零点存在定理可知，存在，使得 故存在零点． 17．（24-25高三上·上海·期中）函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. (1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； (2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值； (3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 【答案】(1)函数是上的绝对增函数，理由如下： 因为，则，可得， 且，则，可得， 所以函数是上的绝对增函数. （2）因为，则， 可得， 若函数是上的绝对增函数， 则在内恒成立，即在内恒成立， 因为，则， 令，解得， 可得，所以. (3)证明：显然，均在上连续不断， 若函数是上的绝对增函数，则恒成立， 又因为函数在上有唯一的零点， 可知函数，均在上至多有一个零点，且必有一个函数有零点， 先证：在上有唯一的零点， 假设在上没有零点，则在上有唯一的零点， 可知（或）恒成立， 不妨设恒成立，则恒成立， 可知在上单调递增， 当是，，两者相矛盾； 所以假设不成立，即在上有唯一的零点； 再证：是函数的极值点， 假设不是函数的极值点， 则存在，使得，且在上为单调函数， 不妨设在上单调递增， 当时，， 可知在上单调递减，且，则； 当时，， 可知在上单调递增，且，则； 两者相矛盾，假设不成立，所以是函数的极值点. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意可得，又，所以，即在区间上单调递增， 在区间上单调递增且存在零点，所以，解得. 故选：C. 2．（25-26高三上·上海·期末）已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】设命题为“存在实数，使得既是的零点又是驻点”(即且)，命题为“恰好有两个零点”. 若成立，当时，， 则，满足且， 所以既是的零点又是驻点，但是只有一个零点，所以， 若成立，即恰好有两个不同的实零点，则根据三次多项式的因式分解性质可得： ，其中为函数的两个不同零点， 此时满足且，故成立，即. 所以是成立的必要不充分条件. 故选：B 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【详解】令，则，故在上单调递增， 又，故有且仅有一个零点， 即图象与图象有且仅有一个交点， 即中有且仅有一个元素，故的子集个数为. 4．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为______. 【详解】设函数在区间上的零点为， 则，即， 两边平方得， 由柯西不等式可得，当且仅当时等号成立， 即，， 设，， 则， 令，得，在上单调递增， 令，得，在上单调递减， 所以当时，在上取最小值，即取最小值. 证明柯西不等式：， 证明： ， 即 故答案为：. 创新提升 1．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 【详解】（1）当时，， 其定义域为，且. 令，则， 所以在上单调递增，所以在上是增函数， 而，所以当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 综上，在上单调递减，在上单调递增. 因为在处连续，由上知在处取得极小值，也是最小值，为. 当（从右侧趋于）时，； 当时，且的增长速度比快很多，所以. 由存在零点知的图象与直线有交点， 由上知，即实数的取值范围是. （2）令， 则，令， 则. 因为，，所以，所以，即在上单调递增， 所以. （i）当，即时，，在上单调递增， 所以，即，满足题意； （ii）当，即时，，， 若，则，在上单调递减， 所以，即，不满足题意； 若，则，使得，当时，，单调递减， 所以，即，不满足题意. 综上，实数的取值范围是. 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 【详解】（1）当时，函数的定义域为， ，令，则或， 当或时，，，， 所以函数在上严格减，在上严格增， 故函数的减区间为，增区间为； （2）证明：函数的定义域为， ，令，则或， 当时，因为， 所以当或时，，，， 所以函数在上递减，在上递增， 所以的极小值为，极大值为， 因为，， 且在上是减函数，所以至多有一个零点． 又因为，所以， 所以，函数只有一个零点，且；； （3）因为， 所以任意且， 由（2）可知且， 因为函数在上是增函数，在上是减函数， 所以，，所以， 当时，， ， 的最小值为， 所以使得恒成立的的最大值为． 3．（24-25高三上·上海·开学考试）设，已知函数的解析为. (1)当时，求函数的最小值； (2)证明当时函数至多有两个零点； (3)如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列. 【详解】（1）当时，，则， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 所以函数的最小值为. （2），则， 时，恒成立， 当时，，函数在上单调递减， 当时，，函数在上单调递增， 故当时函数至多有两个零点； （3），则， 由（2）可知，时不合题意， 当时，， 解得或，，解得， 函数在和上单调递增，在上单调递减， 由函数有3个不同的零点，则， 又， 令，记， 则，其中，则， 当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以，即，当且仅当时取等号， 故不等式组的解集为， 因为，， 故当时函数有3个不同的零点， 因为，，结合（2）中结论得， ①当时，若存在符合题意的实数a，则由于， 因此，，， 因此，成等差数列可得出， 考虑，即， 这等价于， 令， 所以， 令， 则 令 则 当时，，则单调递增，即函数单调递增， 所以，则单调递增，故函数单调递增， 因为，，所以在上存在唯一零点，记为， 当时，，即函数在上单调递减， 当时，，即函数在上单调递增， ，， 因此在上无零点，在上存在唯一的零点 所以存在唯一的实数，使得、、成等差数列. 此时，得， ②当时，，则，不合题意， 综上所述，存在唯一的实数使得、、成等差数列. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 【详解】（1）由题知，，因为是上的严格减函数，是上的严格增函数， 所以，即，解得. 当时，，， 显然时，，时，， 则在区间上严格减，在区间上的严格增， 所以满足要求. （2）因为，， 令，得或， 当即时，，是上的严格增函数， 所以，不满足要求； 当即时，，是上的严格减函数， 所以，满足要求； 当即时，若时，，若时，， 所以在区间上严格减，在区间上的严格增， 又， 则当时，，，解得， 当时，，满足要求， 当时，，满足要求， 综上，的取值范围. (3)证明：由，得或，列表如下： 0 0 0 严格增 极大值 严格减 极小值 严格增 所以，. 令，因为，所以， 由函数的示意图（如图所示）， AI可得有三个不相等的实数解，，，其中，，， 根据函数的单调性，且， 则，，即和均有且只有一个实数解， 设为和，则； 又， 而，是上的严格增函数， 所以， 所以，所以有且只有一个实数解，记为，显然， 综上，当时，方程有且仅有三个不相等的实数根， 所以函数有且仅有三个零点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点专训01 利用导数研究函数零点 内容导航 解题方法及技巧提炼 1 题型通法及变式提升 4 题型1 判断函数零点个数（基础题） 4 题型2 已知零点个数求参数范围（中档含参题） 5 题型3 隐零点最值/零点证明（压轴难题） 6 重难专题分层过关练 9 巩固过关 9 创新提升 10 解题方法及技巧提炼 一、四大核心解题通法（上海卷全覆盖） 方法一：单调性+极值分析法（通用首选，所有题型适配） 适用场景：不含参函数、简单含参函数，用于判断零点个数、基础参数范围求解，是解答题必写标准流程。 标准四步满分流程： 1.定域求导：明确函数定义域，求一阶导数，必要时用二阶导数判断导函数单调性； 2.划分区间：求解 ，以此为分界点划分函数单调区间； 3.求判极值：计算各区间极大值、极小值，分析区间端点与无穷远处函数趋势； 4.定理判定：结合极值正负、端点符号，用零点存在定理判定零点个数与位置。 零点个数黄金判定结论（上海卷直接使用） 若函数存在极大值M、极小值m： 3个零点：极大值为正、极小值为负（） 2个零点：极大值等于0 或 极小值等于0（极值点落在x轴上） 1个零点：极大值恒负 或 极小值恒正；或单调函数区间端点值异号 0个零点：极大值、极小值均小于0；或极大值、极小值均大于0 核心准则：单调区间内，函数连续且端点值异号，则区间内有且仅有一个零点（大题必须书写零点存在定理文字说明）。 方法二：分离参数数形结合法（含参题型最优解） 适用场景：含参数 的零点问题、已知零点个数求参数范围，可规避复杂分类讨论，计算量最小。 标准解题步骤： 1.等价变形：将 整理为 ，严格注意定义域、分母不为0、符号变化； 2.研究新函数：求 ，分析 的单调性、极值、值域、端点趋势； 3.数形转化：直线 与曲线 的交点个数 = 原函数零点个数； 4.临界取值：根据交点临界状态（相切、端点重合）确定参数取值范围。 上海卷优势：小题秒解、大题简化步骤，是一轮复习必须熟练的提速技巧。 方法三：定点赋值找点法（零点存在定理核心实操） 适用场景：无法直接求解方程根、需要证明区间内存在零点、隐零点前置找点。 上海高考专属找点套路（直接套用）： 含 函数：优先试 ； 含 函数：优先试 ； 复杂超越函数：用经典放缩公式找点 ，快速构造正负区间。 方法四：隐零点设而不求法（上海压轴核心难点） 核心定义：导函数方程 有真实根，但无法用初等函数解出精确表达式，仅能确定根的范围，通过“虚设零点、整体代换”解题。 满分标准三步模板（上海阅卷通用）： 1. 卡范围（证存在唯一）：用二阶导判断 严格单调，取区间两点证明 ，得唯一隐零点 ； 2. 建关系（整体代换）：由 变形，实现指数、对数互换消元（核心步骤）； 3. 代原式（化简求值）：将 全部替换为多项式形式，消去超越式，判断 正负或最值。 经典代换示例： 已知 ，，设隐零点 满足 ，两边取对数得 ，代入原函数： ，可直接证明函数无零点。 二、上海高考专属核心提分技巧 技巧1：指对同构秒杀零点方程 上海卷高频结构 ，优先同构变形，大幅简化运算： 示例： 同构为 ，令 ，转化为 ，可快速判定无实数解。 技巧2：极限预判避无效计算 无需复杂赋值，直接通过趋势预判函数端点符号，节省做题时间： ：指数函数主导，函数趋向正无穷； ：对数函数主导，含 函数趋向负无穷； 多项式仅修饰幅度，不改变最终极限符号。 技巧3：含参讨论分界点精准定位 导数零点含参数时，分类讨论分界点仅三个来源，无需盲目试值： 导函数零点与定义域端点重合（如 ）； 二次型导数判别式 ； 函数极值恰好为0的临界参数值。 技巧4：双零点极值点偏移通用套路 题干特征：，求证 （ 为极值点） 1.构造对称辅助函数：； 2.求导分析 单调性与符号； 3.结合 代换，完成不等式证明。 技巧5：上海阅卷高频扣分避坑指南 忽略定义域： 必须满足 ，域外零点一律舍去； 定理误用：零点存在定理单向成立，函数值同号不代表无零点； 隐零点书写不规范：未证明零点存在唯一性，直接代换一律扣分； 不变号零点误判：极值为0仅算1个零点，不可重复计数； 参变分离漏讨论：分母正负未判断，导致参数范围漏解、错解。 题型通法及变式提升 题型1 判断函数零点个数（基础题） 1.确定函数定义域，求一阶导数，分析函数单调区间； 2.求解函数极值，分析区间端点与无穷远处函数极限； 3.在每个单调区间内，结合零点存在定理判断零点存在情况； 4.汇总所有区间结果，明确零点总个数。 1．（24-25高三上·上海·阶段检测）函数，正确的命题是（    ） A．定义域为 B．值域为 C．在定义域上是严格增函数 D．有两个不同的零点 2．声音是物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数．纯音的数学模型是函数，我们听到的声音是由纯音合成的，称之为复合音．若一个复合音的数学模型是函数，则下列结论正确的是________．(填序号) ①是的一个周期；           ②在上是增函数； ③的最小值为；            ④在上有3个零点． 3．（23-24高三下·上海·开学考试）已知定义在上的函数，且，则函数的零点个数为______． 4．（24-25高三上·安徽·阶段检测）设是函数的导函数，是函数的导函数，若方程有实数解，则称点为曲线的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数的图象都有“拐点”，且“拐点”就是三次函数图象的对称中心．已知函数13的图象的对称中心为． (1)求实数m，n的值； (2)求的零点个数. 题型2 已知零点个数求参数范围（中档含参题） 二选一最优策略： 简单多项式函数：单调性+极值符号不等式，分类讨论参数； 指对混合复杂函数：优先参变分离，转化为函数值域与交点问题，快速求解范围。 5．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知函数有两个零点，则实数的取值范围为______. 6．（23-24高三下·上海闵行·阶段检测）若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是___________. 7．（2026·上海·三模）已知，函数在区间有10个零点与10个极值点，则的取值范围是________． 8．（2025·上海普陀·二模）设，函数的表达式为，若函数恰有三个零点，则的取值范围是____________. 9．（24-25高三上·上海·期中）已知函数. (1)若，求的值； (2)设，求函数的极值； (3)若在区间上无零点，求的取值范围. 10．（24-25高三上·上海·阶段检测）设，，．已知函数的极小值为1． (1)求的值； (2)若，求证：对任意，都有； (3)若函数有两个零点，求的取值范围． 题型3 隐零点最值/零点证明（压轴难题） 1.求 ，通过二阶导数证明 在定义域内严格单调； 2.选取合适区间端点赋值，证明存在唯一隐零点 ； 3.由 变形，建立指数与对数的等量代换关系； 4.将代换式代入 ，消去超越函数，化简判断正负； 5.总结结论，完成零点存在性或最值证明。 11．（2025·上海嘉定·一模）已知. (1)若，求函数的单调区间. (2)若在上存在零点，求实数的最大值. 12．（24-25高三上·上海松江·期末）定义在D上的函数，若对任意不同的两点，，都存在，使得函数在处的切线与直线平行，则称函数在D上处处相依，其中称为直线的相依切线，为函数）在的相依区间.已知. (1)当时，函数在上处处相依，证明：导函数在上有零点； (2)若函数在上处处相依，且对任意实数m、n，，都有恒成立，求实数的取值范围； (3)当时，，为函数在的相依区间，证明：. 13．（24-25高三上·上海杨浦·期末）已知函数，，设，． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)证明：当函数经过点时函数有且仅有一个零点； (3)证明：对小于的实数，存在实数使得关于方程恰有三个不同的实数根，并指出实数的取值范围． 14．（2025·上海宝山·二模）定义在上的可导函数，集合为正整数，其中称为的自和函数，称为的固着点. 已知. (1)若，，求的值及的固着点； (2)若，是的自和函数，且在上是严格增函数，求的最大值； (3)若，，且是的固着点，求的取值范围，并证明：. 15．（25-26高三上·上海·期中）已知函数 . (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)证明： 有唯一零点； (3)记的零点为，判断数列 中是否存在连续三项按某顺序构成等比数列， 并说明理由. 16．（2026·上海·三模）设、、是三个定义域为的函数，如果对一切实数x恒成立（A是常数），就称、、是一组“A有序和谐函数”. (1)为了使得、、是一组“0有序和谐函数”，求一个满足要求的函数； (2)设，，，求的所有可能取值，使得、、是一组“有序和谐函数”； (3)已知、、是一组“1有序和谐函数”，且恒成立，证明：存在零点. （注：①在上每一处都存在导数的函数必连续；②当、都可导时 .） 17．（24-25高三上·上海·期中）函数的导函数为，令，称是的特征函数.若对一切恒成立，则称函数是上的绝对增函数. (1)已知，判断函数是否是上的绝对增函数，并说明理由； (2)已知，函数是上的绝对增函数，求的值； (3)函数是上的绝对增函数，其特征函数在上有唯一的零点，求证：是函数的极值点. 重难专题分层过关练 巩固过关 1．（25-26高三上·上海嘉定·阶段检测）若函数在区间上存在零点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三上·上海·期末）已知，则＂存在实数，使得既是函数的零点，又是函数的驻点＂是＂函数恰好有两个零点＂的（ ）. A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三下·上海·阶段检测）已知集合，，则的子集个数为（     ） A．8 B．6 C．4 D．2 4．（23-24高三上·上海普陀·期中）已知，设，若函数在区间上存在零点，则当取到最小值时的零点为______. 创新提升 1．（2026·上海黄浦·三模）设，已知函数，其中． (1)若，当时，讨论的单调性，并求使存在零点的的取值范围； (2)当时，若对任意的，恒成立，求实数的取值范围． 2．（24-25高三下·上海·阶段检测）已知函数． (1)当时，求的单调区间； (2)当时，函数存在零点，且，求符合条件的所有整数的值； (3)当时，记函数的零点为，若对任意且，都有成立，求实数的最大值． 3．（24-25高三上·上海·开学考试）设，已知函数的解析为. (1)当时，求函数的最小值； (2)证明当时函数至多有两个零点； (3)如果函数有3个不同的零点，分别设为、、，求实数a的取值范围；如果，进一步证明存在唯一的实数a，使得、、成等差数列. 4．（24-25高三上·上海·期中）已知，. (1)若是区间上的严格减函数，是区间上的严格增函数，求的值； (2)若函数在区间上的最大值不大于1，求的取值范围； (3)记，证明：当时，函数有且仅有三个零点. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $