第三章 导数及其应用（培优综合训练）（全国通用）2027年高考数学一轮复习高效培优系列

**基本信息** 聚焦导数应用全模块，以分层题型构建从概念理解到综合应用的逻辑链条，强化数学思维与表达。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念应用|选择1-4|基础计算与图像辨析|导数定义→几何意义→函数与导函数图像关系| |性质综合分析|选择5-8、多选9-11|单调性极值与存在性问题|导数判断单调性→极值最值→函数性质比较| |综合拓展应用|填空12-14、解答15-19|实际应用与参数综合|导数工具→实际问题建模→参数范围与零点探究|

第三章 导数及其应用（培优综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为曲线，所以，， 在处的切线的倾斜角为，则，则. 2．（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 3．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【解析】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 5．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 6．（2026·吉林长春二模）已知函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，令，得，解得或， 由，有，解得或， 由，有，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， ，，因为， 所以的最大值为. 7.（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 8.（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西南昌·模拟预测）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【解析】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．在处取得最小值 B．方程有且仅有一个实根 C．对任意，函数关于单调递增 D．对任意，都有 【答案】ABC 【解析】由，得． 当时，；当时，． 所以在处取得最小值．故A正确； 方程等价于，即， 令．则， 且．除外，， 故严格递增，只有一个零点0．所以方程有且仅有一个实根．故B正确． 对任意，． 对求导得． 所以关于单调递增．故C正确． 当时，． 令，有． 故不可能对任意都有．D错误． 11．（2026·四川广安·二模）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即，， 所以， 所以，， 所以，故D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东菏泽·模拟预测）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【解析】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 13．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 14．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 【答案】1 【解析】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，，单调递增，且， 所以，，不满足题意； 当时，，单调递增，，单调递减， 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当，单调递增， 所以， 所以当时，满足成立，则实数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【解】（1）， 由题意可得，解得； …………………………2分 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， …………………………4分 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； ………………………5分 （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， …………………………7分 有， 整理得， …………………………8分 令， 则， …………………………9分 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， …………………………11分 则的最大值为. …………………………13分 16．（本小题满分15分）（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【解】（1）当时，， 则． …………………………1分 由，得， …………………………2分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， …………………………4分 所以在上单调递减，在上单调递增． …………………………5分 （2）由，得． 因，则得， …………………………7分 依题意，只需即可. …………………………8分 设函数， 则，由，得， …………………………10分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， …………………………12分 所以，即， …………………………14分 所以，即的取值范围为． …………………………15分 17．（本小题满分15分）（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【解】（1），令，解得， …………………………2分 因为，所以，当， …………………………3分 即时，在区间，，单调递减； …………………………4分 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； …………………………6分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． …………………7分 （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， …………………………9分 令，则， 因为，所以，此时单调递减， 则，所以， …………………………11分 因为，且，所以在存在一个零点， …………………………12分 因为， 所以在存在一个零点， …………………………14分 故当时，有2个零点． …………………………15分 18．（本小题满分17分）（2026·山东临沂二模）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，求证：； (3)若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围. 【解】（1）, 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， ………1分 且， …………………………3分 故为偶函数， …………………………4分 （2）第一步：利用平方法转化所证不等式 当时，为偶函数， 要证，只需要证， …………………………5分 当时，， 只需证明时，，即证， 只需证，即证， …………………………6分 第二步：构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、最值 令在单调递增， …………………………7分 第三步：得结论 当时，所以，得证. …………………………8分 （3）第一步：根据的范围，平方、化简、转化不等式 由可得， 当时，，故， 故， …………………………9分 第二步：构造新函数，对新函数三阶求导 令，则， 令， 令， …………………………11分 第三步：分段讨论,，进而得出的取值范围 ①当时，即，存在，使得对任意，， 故在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，结合， 得对任意恒成立，符合题意， …………………………13分 ②当时，，存在，使得对任意，， 故在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，结合， 得对任意恒成立，不符合题意， …………………………15分 ③当时，令，，则， 类推②同理可得不符合题意， …………………………16分 第四步：总结 综上可得 …………………………17分 19．（本小题满分17分）（2026·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 【解】（1）当时， ，定义域为. …………………………1分 ∵ 当时，，，， …………………………3分 ∴ ，即在上单调递减， ∴ . …………………………5分 （2）由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. …………………………6分 令，则. 令，得 ，即. ∵ ，∴ ，对应极值点为. ………………………7分 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. …………………………8分 对于其余极小值点 ，， 而，故对应的. …………………………9分 当 时，其余区间， 对应的.∴ 在 上的最小值为，故. …………10分 （3）零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. …………………………11分 ①当时，，单调递增，， 所以单调递减，所以. …………………………12分 ②当时，，， 则在区间上必定存在，使得. …………………………13分 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. 因为，，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减， . …………………………15分 ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为，， 所以必定存在零点，使得. ………………………16分 ④当时，因为，所以， 所以在上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. …………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 导数及其应用（培优综合训练） 参考答案 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 C C B D B A B C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 BC ABC ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14．1 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分） 【解】（1）， 由题意可得，解得； …………………………2分 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， …………………………4分 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； ………………………5分 （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， …………………………7分 有， 整理得， …………………………8分 令， 则， …………………………9分 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， …………………………11分 则的最大值为. …………………………13分 16．（本小题满分15分） 【解】（1）当时，， 则． …………………………1分 由，得， …………………………2分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， …………………………4分 所以在上单调递减，在上单调递增． …………………………5分 （2）由，得． 因，则得， …………………………7分 依题意，只需即可. …………………………8分 设函数， 则，由，得， …………………………10分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， …………………………12分 所以，即， …………………………14分 所以，即的取值范围为． …………………………15分 17．（本小题满分15分） 【解】（1），令，解得， …………………………2分 因为，所以，当， …………………………3分 即时，在区间，，单调递减； …………………………4分 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； …………………………6分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． …………………7分 （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， …………………………9分 令，则， 因为，所以，此时单调递减， 则，所以， …………………………11分 因为，且，所以在存在一个零点， …………………………12分 因为， 所以在存在一个零点， …………………………14分 故当时，有2个零点． …………………………15分 18．（本小题满分17分） 【解】（1）, 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， ………1分 且， …………………………3分 故为偶函数， …………………………4分 （2）第一步：利用平方法转化所证不等式 当时，为偶函数， 要证，只需要证， …………………………5分 当时，， 只需证明时，，即证， 只需证，即证， …………………………6分 第二步：构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、最值 令在单调递增， …………………………7分 第三步：得结论 当时，所以，得证. …………………………8分 （3）第一步：根据的范围，平方、化简、转化不等式 由可得， 当时，，故， 故， …………………………9分 第二步：构造新函数，对新函数三阶求导 令，则， 令， 令， …………………………11分 第三步：分段讨论,，进而得出的取值范围 ①当时，即，存在，使得对任意，， 故在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，结合， 得对任意恒成立，符合题意， …………………………13分 ②当时，，存在，使得对任意，， 故在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，结合， 得对任意恒成立，不符合题意， …………………………15分 ③当时，令，，则， 类推②同理可得不符合题意， …………………………16分 第四步：总结 综上可得 …………………………17分 19．（本小题满分17分） 【解】（1）当时， ，定义域为. …………………………1分 ∵ 当时，，，， …………………………3分 ∴ ，即在上单调递减， ∴ . …………………………5分 （2）由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. …………………………6分 令，则. 令，得 ，即. ∵ ，∴ ，对应极值点为. ………………………7分 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. …………………………8分 对于其余极小值点 ，， 而，故对应的. …………………………9分 当 时，其余区间， 对应的.∴ 在 上的最小值为，故. …………10分 （3）零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. …………………………11分 ①当时，，单调递增，， 所以单调递减，所以. …………………………12分 ②当时，，， 则在区间上必定存在，使得. …………………………13分 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. 因为，，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减， . …………………………15分 ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为，， 所以必定存在零点，使得. ………………………16分 ④当时，因为，所以， 所以在上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. …………………………17分 答案第2页，共2页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 导数及其应用（培优综合训练） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．（2026·福建·三模）若曲线在处的切线的倾斜角为，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】因为曲线，所以，， 在处的切线的倾斜角为，则，则. 2．（2026·广东东莞·二模）已知函数的图象如图所示，则其导函数图象可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由图象可知，在整个定义域内，始终单调递减，， 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递增且为负数； 在从到的变化过程中，切线斜率（导数）在递减且为负数. 故只有C选项，导函数图象满足题意. 3．（2026·上海虹口·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且，则函数的表达式可以是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 对于A：但是不是奇函数，所以A错误； 对于B：，且，定义域为， 所以是奇函数，所以B正确； 对于C：，是偶函数，所以C错误； 对于D：,是奇函数，所以D错误； 4．（2026·山东济南·模拟预测）已知函数在处有极值44，则（    ） A．-6或10 B．-6 C．6 D．10 【答案】D 【解析】对函数求导可得，， 由题意可得，， ∴， ∴，即得，所以或， 当时，，所以， 所以单调递减，单调递增，在处有极小值，符合题意； 当时，，所以， 所以单调递增，无极值，不符合题意，舍去 ∴ 5．（2026·江西九江·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 6．（2026·吉林长春二模）已知函数，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得，，令，得，解得或， 由，有，解得或， 由，有，解得， 所以在单调递减，在单调递增， 所以的极大值为， ，，因为， 所以的最大值为. 7.（2026·山东青岛·模拟预测）已知，，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】∵对数函数定义域上单调递增，且，所以， ， 令函数，，且， 则导数，当时，，函数单调递减， ∴，即， ∴. 8.（2026·江苏扬州·模拟预测）已知函数，其中．若存在，使成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可知，变形得， 令，则， 所以在上单调递增，所以， 所以存在使得， 令，故只需要让， 因为，令， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增， 所以， 又，因此，所以在上单调递增， 故，故． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（2026·江西南昌·模拟预测）已知是上连续可导函数，若函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．有三个极值点 B．在单调递减 C． D． 【答案】BC 【解析】由函数的图象知， 当时，，当时，，     当时，，当时，， 所以，在上单调递减，选项B正确； 是的极大值点，2为函数的极小值点，1不是函数的极值点，选项A错误； 当时，，在上单调递减，，选项C正确； 当时，，在上单调递减，，选项D错误． 10．（2026·山西忻州·模拟预测）已知函数．则下列说法正确的是（   ） A．在处取得最小值 B．方程有且仅有一个实根 C．对任意，函数关于单调递增 D．对任意，都有 【答案】ABC 【解析】由，得． 当时，；当时，． 所以在处取得最小值．故A正确； 方程等价于，即， 令．则， 且．除外，， 故严格递增，只有一个零点0．所以方程有且仅有一个实根．故B正确． 对任意，． 对求导得． 所以关于单调递增．故C正确． 当时，． 令，有． 故不可能对任意都有．D错误． 11．（2026·四川广安·二模）已知定义在上的偶函数满足，，设在上的导函数为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】由题得，所以即， 所以是奇函数，故， 又由得函数关于点对称，， 所以，故， 所以，即函数是周期为6的函数， 所以也是周期为6的函数，即， 由求导得即， 所以， 对于A，，故A正确； 对于B，由无法确定的值，故B错误； 对于C，由上也是周期为6的函数，即，C正确； 对于D，由得， 且即，且即， 且即，， 所以， 所以，， 所以，故D正确； 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（2026·山东菏泽·模拟预测）部分传统家用电器（如冰箱等）使用的氟化物会释放到大气中，破坏大气上层的臭氧层，导致臭氧含量随时间呈指数型变化，在氟化物排放量维持某一稳定水平时，臭氧含量与时间之间满足关系式，其中是臭氧的初始含量，当时，臭氧含量的瞬时变化率为____________． 【答案】 【解析】由，则， 所以当时，臭氧含量的瞬时变化率为． 13．（2026·安徽芜湖·模拟预测）函数有两个极值点，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】函数的定义域为， 且， 因该函数有两个极值点，则有2个不同的正实根， 即方程有2个不同的正实根，设为， 则，解得， 即实数的取值范围为. 14．（2026·四川遂宁·模拟预测）已知函数．若对任意恒成立，则实数的值为_____ 【答案】1 【解析】函数，所以对任意恒成立， 所以恒成立，所以恒成立， 令，所以， 当时，，单调递增，且， 所以，，不满足题意； 当时，，单调递增，，单调递减， 所以当时，成立， 令，， 当单调递减，当，单调递增， 所以， 所以当时，满足成立，则实数的值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（本小题满分13分）（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数在处取得极小值． (1)求实数，的值； (2)若的切线过点，求的最大值． 【解】（1）， 由题意可得，解得； …………………………2分 检验：此时，， 则当时，，当时，， 故在、上单调递增，在上单调递减， …………………………4分 故函数在处取得极小值，符合题意， 故，； ………………………5分 （2）由（1）得，则， 设过点的切线的切点坐标为， 则， …………………………7分 有， 整理得， …………………………8分 令， 则， …………………………9分 当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减， …………………………11分 则的最大值为. …………………………13分 16．（本小题满分15分）（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若对任意的，恒成立，求m的取值范围． 【解】（1）当时，， 则． …………………………1分 由，得， …………………………2分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， …………………………4分 所以在上单调递减，在上单调递增． …………………………5分 （2）由，得． 因，则得， …………………………7分 依题意，只需即可. …………………………8分 设函数， 则，由，得， …………………………10分 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， …………………………12分 所以，即， …………………………14分 所以，即的取值范围为． …………………………15分 17．（本小题满分15分）（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【解】（1），令，解得， …………………………2分 因为，所以，当， …………………………3分 即时，在区间，，单调递减； …………………………4分 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； …………………………6分 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． …………………7分 （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， …………………………9分 令，则， 因为，所以，此时单调递减， 则，所以， …………………………11分 因为，且，所以在存在一个零点， …………………………12分 因为， 所以在存在一个零点， …………………………14分 故当时，有2个零点． …………………………15分 18．（本小题满分17分）（2026·山东临沂二模）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)若，求证：； (3)若存在，使得对任意，均有，求正实数的取值范围. 【解】（1）, 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， ………1分 且， …………………………3分 故为偶函数， …………………………4分 （2）第一步：利用平方法转化所证不等式 当时，为偶函数， 要证，只需要证， …………………………5分 当时，， 只需证明时，，即证， 只需证，即证， …………………………6分 第二步：构造新函数，利用导数研究新函数的单调性、最值 令在单调递增， …………………………7分 第三步：得结论 当时，所以，得证. …………………………8分 （3）第一步：根据的范围，平方、化简、转化不等式 由可得， 当时，，故， 故， …………………………9分 第二步：构造新函数，对新函数三阶求导 令，则， 令， 令， …………………………11分 第三步：分段讨论,，进而得出的取值范围 ①当时，即，存在，使得对任意，， 故在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，又，所以在恒成立， 从而在单调递增，结合， 得对任意恒成立，符合题意， …………………………13分 ②当时，，存在，使得对任意，， 故在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，又，所以在恒成立， 从而在单调递减，结合， 得对任意恒成立，不符合题意， …………………………15分 ③当时，令，，则， 类推②同理可得不符合题意， …………………………16分 第四步：总结 综上可得 …………………………17分 19．（本小题满分17分）（2026·四川广安·模拟预测）已知函数. (1)若，求函数在区间的最大值； (2)设函数，若对任意，恒成立，求的取值范围； (3)设函数，求在区间上的零点个数，并说明理由. 【解】（1）当时， ，定义域为. …………………………1分 ∵ 当时，，，， …………………………3分 ∴ ，即在上单调递减， ∴ . …………………………5分 （2）由题意得， ∵ 对任意 ，恒成立，即恒成立， ∵ ，∴ 对任意 恒成立. …………………………6分 令，则. 令，得 ，即. ∵ ，∴ ，对应极值点为. ………………………7分 当时，， ，故，单调递减； 当时， ，，故，单调递增. ∴ 是的第一个极小值点，且. …………………………8分 对于其余极小值点 ，， 而，故对应的. …………………………9分 当 时，其余区间， 对应的.∴ 在 上的最小值为，故. …………10分 （3）零点个数为2，理由如下： 由题意，得，. 令，得. …………………………11分 ①当时，，单调递增，， 所以单调递减，所以. …………………………12分 ②当时，，， 则在区间上必定存在，使得. …………………………13分 因为在上单调递减， 所以当时，，单调递增，； 当时，，单调递减，. 因为，，所以在区间上必定存在，使得， 即当时，，单调递增，； 当时，，单调递减， . …………………………15分 ③当时，单调递减，单调递减，则单调递减. 因为，， 所以必定存在零点，使得. ………………………16分 ④当时，因为，所以， 所以在上，不存在零点. 综上所述，在上存在两个零点. …………………………17分 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $