第一章勾股定理基础卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册勾股定理单元基础卷，覆盖勾股数、逆定理、实际应用等核心知识点，通过《九章算术》“折竹抵地”、风筝测量等情境融合文化与实践，培养数学眼光、思维与语言，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股数判定、逆定理应用、网格问题|第4题“折竹抵地”渗透文化传承，第6题“生长正方形”体现规律探究| |填空题|5/15|斜边计算、最短距离、折叠性质|第15题勾股数规律培养抽象能力，第13题折叠问题强化空间观念| |解答题|8/75|实际应用（梯子、风筝）、面积法证明、方案设计|解答22题面积法证明勾股定理发展推理意识，解答23题灌溉方案体现应用意识|

第一章勾股定理基础卷2026-2027学年八年级数学上册北师大版 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．下列各组数中，是勾股数的是（    ） A． B． C． D． 2．三角形的三边满足，则此三角形是（） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 3．中，，分别以的三边作为边长向形外作正方形，并把各正方形的面积分别记作，，，如图，若，，则的值为（    ）    A．13 B．17 C．20 D．35 4．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈等于十尺），虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部3尺远，设竹子折断处离地面的高度为x尺，根据题意，下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，网格内每个小正方形的边长都是1个单位长度，都在格点上，与相交于点P，则（    ） A． B． C． D． 6．有一个边长为1的大正方形，经过1次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形，其中三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过1次“生长”后，形成的图形如图1所示．如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，若“生长”了2024次后形成的图形如图2所示，则图2中所有的正方形的面积和是（    ） A．2025 B．2024 C． D． 7．将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处，折痕分别是，，若，，，分别记，，的面积为，，，则，，之间的数量关系是（　　） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，则线段的长为（    ） A．4 B． C．3 D． 9．如图，在中，，边的垂直平分线分别与、交于点D、E，连接，若，，则的长为（    ） A．13 B．18 C．20 D．28 10．如图，在中，，点C是边上的点，且，，平分交于D，点M，N分别是，上的动点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．已知直角三角形两直角边长分别为8和6，则此直角三角形斜边长为 ___． 12．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 13．如图，将长方形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在处，交AD于点E．若，则线段_________． 14．如图，有一张的纸片，两直角边，，现将折叠，使点B与点A重合，得到折痕，则的面积为________． 15．观察下列勾股数： 观察以上各组勾股数组成特点，第七组勾股数是____________（只填数字，不填等式）. 三．解答题（一）（本大题共3小题，每小题7分，共21分） 16．如图，一棵高的大树被台风刮断，测得树梢着地点到树根的距离，求大树折断处离地面的高度． 17．已知：如图，四边形，，，，，且．求四边形的面积． 18．如图，已知，两直角边，，点为上一点，现将沿折叠，使点落在斜边上的点处，试求的长． 四．解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．如图，一架梯子的长度为15米，斜靠在墙上，梯子底部离墙底端为9米． (1)这个梯子顶端离地面有几米； (2)如果梯子的底部沿水平方向向外滑动了4米，那么梯子的顶端下滑了几米？（结果用二次根式表示） 20．学习了勾股数后，我们知道了等都是勾股数组．爱动脑筋的小华发现这些勾股数组之间有一定的规律，每组勾股数中最小的数都是奇数，且从3起就没有间断过． (1)请你根据发现的规律写出下一组勾股数 ； (2)小华猜想：三个整数中，若最小的数为奇数，另外两个数分别为 ， ，则这三个数为勾股数．请你补充完整小华的猜想并帮助他验证这一猜想是否正确． 21．学习了“勾股定理”之后，为了测量风筝的垂直高度，小欣（身高米）进行了如下操作： ①测得水平距离的长为7米； ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． (1)求风筝的垂直高度； (2)若小欣沿方向再走8米使得风筝沿方向下降，风筝线的长度不变，风筝下降了多少米？ 五．解答题（三）（本大题共2小题，第22题13分，第23小题14分，共27分） 22．如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点A，，在同一条直线上，，，，． (1)填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． (2)求证：． 23．综合与实践 问题情境：某小区在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），如图，，现需要进行引水灌溉，面向小区居民征集设计方案，方案如下： 方案一：从水源点处直接铺设管道分别到浇灌点； 方案二：过点作的垂线，垂足为，先从水源点处铺设管道到点处，再从点处分别向浇灌点铺设管道． 施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)直接写出施工人员测量的是哪两点间的距离，并直接写出距离为多少米． (2)若，管道铺设费用为25元/米，请比较两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第1页 共6页 ◎ 第2页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B A C A C B B C 1．A 【分析】本题考查了勾股数，根据勾股数的定义逐项判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：、∵，， ∴， 又∵都是正整数， ∴是勾股数，该选项符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 、∵，， ∴， ∴不是勾股数，该选项不符合题意； 故选：． 2．B 【分析】对给定等式化简整理，得到三角形三边的关系，再根据勾股定理逆定理判断三角形形状即可． 【详解】解： 展开左边得： 移项化简得： 即 根据勾股定理的逆定理可知，该三角形是直角三角形． 3．B 【分析】由，，再根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，即直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，熟练的利用勾股定理模型解决问题是解题的关键． 4．A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，竹子折断后刚好构成一个直角三角形，设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺，利用勾股定理解题即可． 【详解】解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为尺， 由勾股定理得：， 故选：A． 5．C 【分析】本题考查构造直角三角形，勾股定理，解题的关键是作辅助线，构造直角三角形，根据勾股定理，求出． 【详解】解：如图，过点作， ， 过格点， 连接， ， ， ， ， ， 故选：C． 6．A 【分析】本题考查了勾股定理，能够根据勾股定理发现每一次得到的新的正方形的面积和与原正方形的面积之间的关系是解答本题的关键．根据勾股定理求出“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和，结合图形总结规律，根据规律解答即可． 【详解】如图，由题意得，正方形A的面积为1， 由勾股定理得，正方形B的面积正方形C的面积正方形A的面积， ∴“生长”了1次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2， 同理可得，“生长”了2次后形成的图形中所有的正方形的面积和为3， ∴“生长”了3次后形成的图形中所有的正方形的面积和为4， …… ∴“生长”了2024次后形成的图形中所有的正方形的面积和为2025， 故选：A． 7．C 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，通过勾股定理得，再证明，，进而即可求解. 【详解】∵将长方形纸片如图折叠，，两点恰好重合在边上的同一点处， ∴， ∵，，， ∴在中，由勾股定理得， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， 设纸片宽为h， ∴， ∴， 故选C. 8．B 【分析】本题考查直角三角形中的翻折问题，解题的关键是掌握翻折的性质，能熟练应用勾股定理列方程解决问题是求解的关键；求出，根据将沿折叠，使点落在边上的点处，知，，，故，由勾股定理，即可解得． 【详解】解：，，， ， 将沿折叠，使点落在边上的点处， ，，， ，， 在中，， ， 解得， 故选：B． 9．B 【分析】先利用面积公式求得，然后利用勾股定理求得，最后根据线段垂直平分线得到即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，则， ∵边的垂直平分线分别与、交于点D、E， ∴， ∴． 10．C 【分析】在上取点，使，连接，作于点，由垂线段最短知的最小值为的长，根据勾股定理结合等积法即可求解． 【详解】解：在上取点，使，连接，作于点， 平分， ， ， ， ， 根据垂线段最短的性质知，当点与点H重合时，的最小值为的长， ， ， ， ， ， ， 则的最小值为． 11．10 【分析】根据勾股定理列式计算即可得解． 【详解】解：∵直角三角形的两直角边长分别为8和6， ∴斜边长=10． 故答案为：10． 【点睛】本题主要考查了勾股定理，比较简单，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 12． 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．5 【分析】本题考查了图形的折叠以及勾股定理，正确利用勾股定理求得的长是解题的关键． 设，则，在中利用勾股定理即可列方程求得x的值，即可求出线段的值． 【详解】解：长方形中， ∴， ∴， 由折叠的性质知， ∴， ∴， 设，则， 在中，， 即， 解得：， 则 ∴， 故答案为：5． 14．6 【分析】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质等知识点，明确翻折前后对应边相等是解题关键． 求解即可．设，由翻折易得，利用直角三角形，利用勾股定理列方程可求得长，即可求得，最后运用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：由题意得， 设，则， ∵， ∴在中， 根据勾股定理得：， ∵， ∴，解得，即：， ∴， ∴的面积为． 故答案为6． 15．15，112，113 【分析】本题主要考查了数字规律、勾股数等知识点，通过观察发现规律是解题的关键. 通过观察可发现，第n 组勾股数为，然后根据该规律即可解答． 【详解】解：观察可以发现：第n 组勾股数为， 当时，勾股数为：. 故答案为：15，112，113. 16．大树折断处离地面的高度为 【分析】设大树折断处离地面的高度，则，再结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】解：设大树折断处离地面的高度，则， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴， 即大树折断处离地面的高度为． 17．1 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，解题关键是作出辅助线构造直角三角形．本题先连接并求出，再得出是直角三角形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：连接． ∵．，， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∴． 故四边形的面积为． 18．的长为 【分析】本题考查了翻折变换的性质，勾股定理的应用，先根据勾股定理求得的长，再根据折叠的性质求得的长，从而利用勾股定理可求得的长，熟记性质并表示出的三边，然后利用勾股定理列出方程是解题的关键． 【详解】解：设 根据翻折的性质可得， 在中， ∴ 解得： ∴的长为． 19．(1)12米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出即可； （2）根据勾股定理求出，进而求出即可 【详解】（1）解：根据题意，得米，米，， ∴， 答：梯子顶端离地面有12米； （2）解：根据题意，得米，米， ∴米， ∴， ∴梯子的顶端下滑了米． 20．(1)9，40，41 (2)，，正确，见解析 【分析】本题主要考查了勾股数的定义： （1）根据勾股数的定义直接进行解答即可得出答案； （2）如果最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 【详解】（1）解：当最小奇数为3时，； 当最小奇数为5时，； 当最小奇数为7时，； 所以，当最小奇数为9时，； 故答案为：9，40，41 （2）解：由（1）得，最小的数为奇数n（，且n为奇数）表示时，另外两个数分别，． 验证： 所以，小华的猜想正确． 故答案为：，． 21．(1)25.65米 (2)4米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题关键． （1）利用勾股定理求出米，由题意知米，即可求出垂直高度； （2）设小欣沿方向走8米至点，此时风筝下降到点，连接．由题意得米，米，则（米），再利用勾股定理求出米，从而求出米，即可得解． 【详解】（1）解：在中，米，米， 由勾股定理得， 即， 解得米（负值舍去）． 由题意知米， （米）． 答：风筝的垂直高度为25.65米． （2）解：如图，设小欣沿方向走8米至点，此时风筝下降到点，连接． 由题意得米，米， （米）． 在中，由勾股定理得 （米）， （米）． 答：风筝下降了4米． 22．(1)，， (2)见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【详解】（1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积， 故答案为：，，； （2）证明：， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 【点睛】本题考查了梯形，勾股定理的证明，用两种不同的方法表示同一个图形的面积是解决问题的关键． 23．(1)点与点间的距离， (2)350元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离，运用的长度验证从而确定， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C间的距离；米 （2）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为元． 答案第12页，共13页 答案第13页，共13页 学科网（北京）股份有限公司 $