第一章勾股定理 培优训练 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

北师大版八年级上册《第一章勾股定理》培优训练 一．选择题（共5小题） 1．已知|x﹣2|+（y﹣）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（　　） A． B．5 C． D． 2．如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，那么NB的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 3．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　） A． B．8 C．20 D． 4．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D．4、5、8 5．如图，线段AB是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当人体进入到感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段CD）走向感应门，当离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于（　　） A．2米 B．1.5米 C．1.3米 D．1.2米 二．填空题（共4小题） 6．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、D的面积依次为2、6、13，则正方形C的面积为　 　 ． 7．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m） 时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD＝ 　 　 m． 8．如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带　 　 米． 9．如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为　 　 cm． 三．解答题（共10小题） 10．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE． （1）如图1，连接BE、CD，求证：BE＝CD． （2）如图2，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和CA2之间的数量关系，并加以说明． 11．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 12．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 13．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 14．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m． （1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． （2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？ 15．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由． 16．综合与实践 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6． ①求AC的长； ②E是BC上一点，将△ABE沿着AE对折，点B恰好落在AC上的点D处，求CE的长． （2）如图2，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，AD是边BC上的高，求AD的长． 17．如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝80米，米，且∠ABC＝90°． （1）求∠DAB的度数； （2）若直线AB为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 19．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　 　 ． （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是　 　 ； （4）已知正数x满足，则x＝　 　 ． 北师大版八年级上册《第一章勾股定理》培优训练 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 C B B B C 1．已知|x﹣2|+（y﹣）2＝0，如果以x，y的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直角三角形的斜边长为（　　） A． B．5 C． D． 【分析】利用非负数的性质求出x与y的值，利用勾股定理即可求出斜边的长． 【解答】解：∵|x﹣2|+（y﹣）2＝0， ∴x﹣2＝0，y﹣＝0，即x＝2，y＝， 则这个直角三角形的斜边长为＝＝． 故选：C． 【点评】此题考查了勾股定理，以及非负数的性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 2．如图，Rt△ABC中，AB＝6，BC＝4，∠B＝90°，将△ABC折叠，使点A与BC的中点D重合，折痕为MN，那么NB的长为（　　） A．3 B． C．4 D． 【分析】由折叠知AN＝DN，BD＝2，设BN＝x，则AN＝DN＝6﹣x，在Rt△BND中，利用勾股定理列方程即可． 【解答】解：∵使点A与BC的中点D重合， ∴AN＝DN，BD＝2， 设BN＝x，则AN＝DN＝6﹣x， 在Rt△BND中，由勾股定理得， （6﹣x）2＝x2+22， 解得x＝， ∴BN＝． 故选：B． 【点评】本题主要考查了翻折变换，勾股定理等知识，熟练掌握翻折的性质是解题的关键． 3．我国古代著作《周髀算经》中记载了“赵爽弦图”．如图是用四个全等的直角三角形拼接而成的，已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6，则正方形EFGH的面积为（　　） A． B．8 C．20 D． 【分析】根据勾股定理并结合已知可得出AF+BF＝8，AF2+BF2＝36，根据完全平方公式变形可求出2AF•BF＝28，（AF﹣BF）2＝8，即可求解． 【解答】解：已知Rt△ABF的周长等于14，正方形ABCD的边长是6， ∴AF+BF＝14﹣6＝8，AF2+BF2＝62＝36， ∴2AF•BF＝（AF+BF）2﹣（AF2+BF2）＝82﹣36＝28， ∴（AF﹣BF）2＝AF2+BF2﹣2AF•BF＝36﹣28＝8， ∵AF＝BG，EF＝FG， ∴AE＝BF， ∴EF2＝（AF﹣AE）2＝8， ∴正方形EFGH的面积为8， 故选：B． 【点评】本题考查了勾股定理，完全平方公式的应用，解答本题的关键是熟练掌握勾股定理． 4．下列各组数中，是勾股数的是（　　） A．6、7、10 B．12、16、20 C．1、2、3 D．4、5、8 【分析】根据勾股定理即可判断． 【解答】解：A、62+72≠102，不符合题意； B、122+162＝202，符合题意； C、12+22≠32，不符合题意； D、42+52≠82，不符合题意． 故选：B． 【点评】本题主要考查勾股数的判断，掌握相关知识是解题的关键． 5．如图，线段AB是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当人体进入到感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段CD）走向感应门，当离门1.2米的地方时（BC＝1.2米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于（　　） A．2米 B．1.5米 C．1.3米 D．1.2米 【分析】过点D作DE⊥AB，再利用勾股定理即可求解． 【解答】解：过点D作DE⊥AB于点E， ∴AE＝2.1﹣1.6＝0.5（米），BC＝DE＝1.2（米）， 在Rt△ADE中，AD＝＝＝1.3（米）， 故选：C． 【点评】本题考查勾股定理的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题关键． 二．填空题（共4小题） 6．如图，所有的四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A、B、D的面积依次为2、6、13，则正方形C的面积为　5　 ． 【分析】根据勾股定理可知，以直角三角形斜边为边的正方形面积等于以直角三角形两直角边为边的正方形面积之和，依照此可求出正方形C的面积． 【解答】解：设中间正方形为E， 由勾股定理可知：S正方形A+S正方形B＝S正方形E，S正方形E+S正方形C＝S正方形D， ∴S正方形C＝S正方形D﹣（S正方形A+S正方形B）， ∵正方形A、B、D的面积依次为2、6、13， ∴13﹣（2+6）＝5， 则正方形C的面积为5， 故答案为：5． 【点评】本题考查勾股定理，能够将勾股定理与几何之间的面积关系相结合是解决本题的关键． 7．如图1，荡秋千是小朋友非常喜爱的一种运动．有一天，小明在公园里游玩，如图2，他发现秋千静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m） 时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝CE＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，则绳索AD＝ 　10　 m． 【分析】设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣2）m，在Rt△ACB中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：由题意得：∠ACB＝90°， 在Rt△ACB中，由勾股定理得：AC2+BC2＝AB2， 设绳索AD的长度为xm，则AC＝（x﹣2）m， ∴x2＝62+（x﹣2）2， 解得：x＝10， 答：绳索AD的长度是10m． 故答案为：10． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，由勾股定理得出方程是解题的关键． 8．如图，学校大厅圆柱的高为6m，底面周长为3m．现需要用彩带对圆柱进行装饰，从底端绕圆柱3圈后正好到达顶端，那么至少需要彩带　　 米． 【分析】将圆柱侧面展开为矩形，彩带绕3圈相当于在矩形上水平移动3倍底面周长，垂直移动圆柱高度，利用勾股定理求斜边长度． 【解答】解：根据题意，画出展开图如下：圆柱底面周长为3m，高为6m， 彩带绕3圈到达顶端，相当于在侧面展开图中，水平方向移动距离为AC＝3×3＝9（m），垂直方向移动距离为BC＝6m， 由勾股定理可得AB＝＝3（m）， 故答案为：． 【点评】本题考查了圆柱的展开图，勾股定理的应用，熟练掌握定理和展开图是解题的关键． 9．如图①所示的正方体木块的棱长为，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）切掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②所示的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最短距离为　（）　 cm． 【分析】首先分析出将裁剪后的几何体表面展开，可得△BCD是等腰直角三角形，△ACD 是等边角形，设AB交CD于点E，易得当蚂蚁沿着A、E、B的路线爬行时，距离最短，且AB垂直平分线CD，利用勾股定理和直角三角形的性质解得BE，AE的值，即可获得答案． 【解答】解：将裁剪后的几何体表面展开，得到如图所示的图形（部分），△BCD是等腰直角三角形，△ACD 是等边角形，设AB交CD于点E， 当蚂蚁沿着A、E、B的路线爬行时，距离最短， 此时AC＝CD＝AD，BC＝BD， ∴AB垂直平分线CD， 在Rt△BCD中，CD＝＝2（cm）， ∴AC＝CD＝2cm，BE＝CE＝CD＝×2＝1（cm）， 在 Rt△ACE中，AE＝＝（cm）， ∴从顶点A爬行到顶点B的最短距离为（）cm． 故答案为：（）． 【点评】本题主要考查了平面展开﹣最短路径问题，线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形、等边三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 三．解答题（共10小题） 10．如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，其中AB＝AC，AD＝AE，且∠BAC＝∠DAE． （1）如图1，连接BE、CD，求证：BE＝CD． （2）如图2，若∠BAC＝∠DAE＝90°，且C点恰好落在DE上，试探究CD2、CE2和CA2之间的数量关系，并加以说明． 【分析】（1）先判断出∠BAE＝∠CAD，进而得出△ACD≌△ABE，即可得出结论． （2）连接BE．利用全等和勾股定理即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE， ∴∠BAC+∠CAE＝∠DAE+∠CAE，即∠BAE＝∠CAD． 又∵AB＝AC，AD＝AE， ∴△ACD≌△ABE（SAS）， ∴CD＝BE． （2）2CA2＝CD2+CE2 如图，连接BE． ∵AD＝AE，∠DAE＝90°． ∴∠D＝∠AED＝45°． ∵由（1）得△ACD≌△ABE． ∴BE＝CD，∠BEA＝∠CDA＝45°． ∴∠BEC＝∠BEA+∠AED＝45°+45°＝90°，即BE⊥DE． 在Rt△BEC中，由勾股定理可知：BC2＝BE2+CE2． ∴BC2＝CD2+CE2， ∴2CA2＝CD2+CE2． 【点评】本题是主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，解（1）的关键是判断出∠BAE＝∠CAD，解（2）的关键是判断出BE⊥DE． 11．【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c，大正方形的面积可以表示为c2，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则a2+b2＝c2． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，Rt△ADE与Rt△EBC按如图所示位置放置，连接CD，其中∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，请你利用图②推导勾股定理； 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在同一条直线上），并新修一条路CH，且CH⊥AB．测得CH＝1.2千米，HB＝0.9千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）在第（2）向中若AB≠AC时，CH⊥AB，AC＝4，BC＝5，AB＝6，设AH＝x，求x的值． 【分析】（1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设CA＝x，则AH＝x﹣0.9，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在Rt△ACH和Rt△BCH中，由勾股定理得求出CH2＝CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2，列出方程求解即可得到结果； 【解答】解：（1）根据题意得，梯形ABCD的面积为（a+b）（a+b）＝a2+ab+b2，梯形ABCD的面积为ab+ab+c2， ∴ab+ab+c2＝a2+ab+b2， 即a2+b2＝c2； （2）∵CA＝x， ∴AH＝x﹣0.9， 在Rt△ACH中，CA2＝CH2+AH2， 即x2＝1.22+（x﹣0.9）2， 解得x＝1.25， CA﹣CH＝1.25﹣1.2＝0.05（千米）； （3）设AH＝x，则BH＝6﹣x， 在Rt△ACH中，CH2＝CA2﹣AH2， 在Rt△BCH中，CH2＝CB2﹣BH2， ∴CA2﹣AH2＝CB2﹣BH2， 即42﹣x2＝52﹣（6﹣x）2， 解得：x＝． 【点评】此题主要考查了勾股定理的证明与应用，一元一次方程，熟练掌握相关定理是解答此题的关键． 12．树人学校为防止雨天地滑，在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．已知楼梯台阶侧面图如图所示，∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m． （1）求BC的长； （2）若已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元，需要花费多少钱地毯才能铺满所有台阶．（假设地毯在铺的过程中没有损耗） 【分析】（1）由勾股定理列式计算即可； （2）由长方形面积公式计算即可． 【解答】解：（1）∵∠C＝90°，AC＝3m，AB＝5m， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：BC＝＝4m， 答：BC的长为4m； （2）地毯长为：3+4＝7（m）， 已知楼梯宽2.8m，每平方米地毯35元， ∴地毯的面积为2.8×7＝19.6（m2）， ∴需要花费35×19.6＝686（元）， 答：需要花费686元地毯才能铺满所有台阶． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求出BC的长度是解题的关键． 13．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为3cm的正方形，高为20cm．现有一根彩带，从底面A点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达B点（假设彩带完美贴合四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外A点发现容器的内部距离顶部2cm处有一滴蜂蜜，它想以最短的路程到达C处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 【分析】（1）如果从点A开始缠绕四棱柱，刚好缠绕4周到达点B，相当于直角三角形的两条直角边分别是12和5，再根据勾股定理求出斜边长即可； （2）求四棱柱中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将四棱柱展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【解答】解：（1）如图， 将长方体的侧面沿AB展开，取A′B′的四等分点C、D、E，取AB的四等分点C′、D′、E′，连接B′E′，D′E，C′D，AC， 则AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC为所求的最短彩带长， ∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝＝13， ∴AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC＝52， 答：彩带的长度是52cm； （2）如图， 将四棱柱展开，找到C的对称点C′，连接AC′，则AC′即为蚂蚁走的最段路程， 在直角△AMC′中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm， 由勾股定理得：AC′2＝AM2+MC′2＝62+222＝520， 则AC′＝2cm， 答：蚂蚁走的最短路程是2cm． 【点评】本题考查了平面展开﹣最短路线问题和勾股定理的应用，能正确画出图形是解此题的关键，利用了数形结合思想． 14．一辆装满货物的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进上边是半圆，下边是长方形的桥洞，如图所示，已知半圆的直径为2m，长方形的另一条边长是2.3m． （1）此卡车是否能通过桥洞？试说明你的理由． （2）为了适应车流量的增加，先把桥洞改为双行道，要使宽为1.2m，高为2.8m的卡车能安全通过，那么此桥洞的宽至少增加到多少？ 【分析】（1）过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，根据卡车的宽和半圆的直径和勾股定理求出OE的长，再根据长方形的一边长和卡车的高即可得出答案； （2）根据已知条件求出BF的长，再根据勾股定理求出OA的长，从而得出答案． 【解答】解：（1）如图，M，N为卡车的宽度， 过M，N作AB的垂线交半圆于C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足， CD＝MN＝1.6米，AB＝2米， 由作法得，CE＝DE＝0.8米， 又∵OC＝OA＝1米， 在Rt△OCE中，OE＝≈0.6（米）， ∴CM＝2.3+0.6＝2.9＞2.5． ∴这辆卡车能通过． （2）如图： 根据题意可知：CG＝BE＝2.8米，BG＝OF＝1.2米，EF＝AD＝2.3米， ∴BF＝0.5米 ∴根据勾股定理有：OA2＝OB2＝BF2+OF2＝0.52+1.22＝1.32（米）， ∴OA＝1.3米， ∴桥洞的宽至少增加到1.3×2＝2.6（米）． 【点评】本题考查了垂径定理和勾股定理：掌握垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧，建立数学模型，善于观察题目的信息是解题的关键． 15．如图，某港口O位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里． （1）若它们离开港口一个半小时后分别位于A、B处（图1），且相距30海里．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行吗？请说明理由． （2）若“远航”号沿北偏东30°方向航行（图2），从港口O离开经过两个小时后位于点F处，此时船上有一名乘客需要紧急回到PE海岸线上，若他从F处出发，乘坐的快艇的速度是每小时90海里，他能在20分钟内回到海岸线吗？请说明理由． 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形，进而解答即可； （2）过点A作AD⊥PE于D，根据锐角三角函数关系得出F到x轴距离，进而得出答案． 【解答】解：（1）∵OA＝16×1.5＝24（海里），OB＝12×1.5＝18（海里），AB＝30（海里）， ∴OA2+OB2＝AB2， ∴△AOB是直角三角形， ∴∠AOB＝90°， ∵“远航”号沿东北方向航行， ∴∠AON＝45°， ∴∠BON＝90°﹣45°＝45°， ∴“海天”号沿西北方向航行； （2）方法一：∴∠过点F作FD⊥PE于D， OF＝16×2＝32（海里）， ∵∠NOF＝30°， ∴∠FOD＝90°﹣30°＝60°， ∴FD＝OF•sin60°＝×32＝16（海里）， ∵90×＝30（海里）， 30＞16， ∴能在20分钟内回到海岸线． 方法二：过点F作FD⊥PE于D， OF＝16×2＝32（海里）， ∵∠NOF＝30°， ∴∠OFD＝30°， ∴DO＝FO＝16海里， ∴FD＝＝16（海里）， ∵90×＝30（海里）， 30＞16， ∴能在20分钟内回到海岸线． 【点评】此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理的逆定理得出△AOB是直角三角形解答． 16．综合与实践 （1）如图1，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6． ①求AC的长； ②E是BC上一点，将△ABE沿着AE对折，点B恰好落在AC上的点D处，求CE的长． （2）如图2，在△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC＝4，AD是边BC上的高，求AD的长． 【分析】（1）①直接利用勾股定理求出AC即可；②有折叠，必勾股，在Rt△CDE中利用勾股定理建立方程求解即可； （2）利用双勾股建立方程求解即可． 【解答】解：（1）①∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6， ∴． ②由折叠得AD＝AB＝8，DE＝BE．∠ADE＝∠B＝90° ∴CD＝AC﹣AD＝10﹣8＝2，∠CDE＝90° ∴DE＝BE＝6﹣CE． 在Rt△CDE中，CD2+DE2＝CE2 ∴22+（6﹣CE）2＝CE2 解得 ∴CE的长为． （2）设CD＝x，则BD＝BC+CD＝4+x． ∵AD是BC边上的高， ∴AD⊥BD． 在Rt△ACD中，AD2＝AC2﹣CD2＝132﹣x2， 在Rt△ABD中，AD2＝AB2﹣BD2＝152﹣（x+4）2， ∴132﹣x2＝152﹣（x+4）2， 解得x＝5， ∴． 【点评】本题主要考查了勾股定理、折叠的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17．如图，四边形ABCD为某街心公园的平面图，经测量AB＝BC＝AD＝80米，米，且∠ABC＝90°． （1）求∠DAB的度数； （2）若直线AB为公园的车辆进出口道路（道路的宽度忽略不计），工作人员想要在点D处安装一个监控装置来监控道路BA的车辆通行情况，已知摄像头能监控的最大范围为周围的80米（包含80米），求被监控到的道路长度为多少？ 【分析】（1）根据题目易得，∠CAB＝45°，由勾股定理求出AC的长度，然后由勾股定理的逆定理即可求解； （2）过D作DE⊥AB，由轴对称的性质，得到DF＝DA，最后可根据勾股定理求解． 【解答】解：（1）如图1，四边形ABCD中，AB＝BC＝AD＝80米，∠ABC＝90°．连接AC， ∴△ABC是等腰直角三角形， ∴米，∠CAB＝45°， 在△ACD中，米，米，AD＝80米， ∴， ∴△ACD是直角三角形， ∴∠CAD＝90°， ∴∠DAB＝∠CAD+∠CAB＝90°+45°＝135°； （2）如图2，过D作DE⊥AB，作点A关于DE的对称点F，连接DF， ∴DF＝DA＝80，AE＝EF， 由（1）得：∠BAD＝135°， ∴∠DAE＝45°， ∴△ADE是等腰直角三角形，即AE＝DE， 在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE2+DE2＝802， 解得：， ∴米， ∴被监控到的道路长度为米． 【点评】本题考查了勾股定理的应用，勾股定理的逆定理，正确利用勾股定理是解题关键． 18．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝4，，． （1）求AC的长； （2）求四边形ABCD的面积． 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）先运用勾股定理的逆定理判定△ADC为直角三角形，再根据四边形ABCD的面积等于△ABC与△ADC的面积之和，即可解答． 【解答】解：（1）∵∠B＝90°，AB＝2，BC＝4， ∴． 则AC的长为2； （2）∵，，， ∴AC2+CD2＝AD2， ∴△ACD是直角三角形，∠ACD＝90°， ∴S四边形ABCD＝SRt△ABC+SRt△ACD ＝ ＝ ＝14． 则四边形ABCD的面积为14． 【点评】本题考查勾股定理及其逆定理，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 19．【模型建立】 “数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题． 例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是12﹣x和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角△ABC和△DEF，并使直角边BC和EF在同一直线上（图1），向右平移直角△ABC使点B和E重合（图2），这时CF＝x+12﹣x＝12，AC＝3，DF＝2，问题就变成“点B在线段CF的何处时，AB+DB最短？”根据两点间线段最短，得到线段AD就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）代数式的最小值为　13　 ． （2）变式训练：利用图3，求代数式的最小值； 【模型拓展】 （3）的最大值是　2　 ； （4）已知正数x满足，则x＝　　 ． 【分析】（1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可； （3）根据题目所给的方法建立直角三角形，进而利用直角三角形的性质和三角形三边关系解答即可； （4）先建立模型，然后根据题意直接进行求解即可． 【解答】解：（1）∵AH＝3+2＝5，HD＝12， ∴AD＝， ∴代数式的最小值是13， 故答案为：13； （2）∵AC＝2，DF＝1，CF＝5，AH＝2+1＝3，HD＝5， ∴AD＝， ∴代数式的最小值是； （3）是直角边为x和5的斜边，是直角边为6﹣x和1的斜边， 由三角形三边关系可知，|AB﹣DB|≤AD，当三点共线时取等号， 则AD＝， 即最大值为2； 故答案为：2； （4）∵， 设a＝，b＝， 则：， ∵b2﹣a2＝（b+a）（b﹣a）， 把a+b＝6代入，可得：b﹣a＝2， 联立， 解得：a＝2，b＝4， ∴a＝， ∵x是正数， 解得：x＝． 故答案为：． 【点评】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/1/28 10:44:04；用户：刘睿；邮箱：15902885850；学号：58379475 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $