第一章勾股定理学业质量自我评价-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

八年级数学BS版上册 学业质量自我评价 第一章 学业质量自我评价 (考试时间：120分钟满分：120分) 班级： 姓名： 得分： 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1.下列各组数据中，是勾股数的是 111 A.345 B.0.3,0.4,0.5 C.10,24,26 D.32,42,5 2.(2025一2026深圳龙岗区检测)中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了 “赵爽弦图”.如图，设勾a=6,弦c=10,则小正方形ABCD的面积是() A.3 B.4 C.6 D.9 d 弦 C E F 第2题图 第3题图 第4题图 3.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5,BC=4,P是边BC上的动点，则AP的 长不可能为 ( A.2 B.3 C.4 D.5 4.如图所示的是摆钟简化示意图，摆锤可看作一个点，当摆锤静止时，它离底座的垂 直高度DE=6cm;当摆锤摆动到最高位置时，它离底座的垂直高度BF=8cm,此 时摆锤与静止位置的水平距离BC=10cm.钟摆AD的长度是 () A.17 cm B.24 cm C.26 cm D.28 cm 5.如图，圆柱的底面圆的周长是12，高是8，蚂蚁从下底面的点A沿侧面爬到点 B,最短路径的长是 () A.6 B.7 C.9 D.10 B 第5题图 第6题图 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3,BC=4,点D在AB上，AD=AC, AF⊥CD交CD于点E,交CB于点F,则CF的长是 () A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7.课间休息时，嘉嘉从教室窗户向外看，看到行人为了从A处快速到达图书馆B 处，直接从长方形草地中穿过.为保护草地，嘉嘉想在A处立一个标牌：“少走 ■m,踏之何忍？”如图，若AB=17m,BC=8m,则标牌上“■”处的数是 139 第7题图 第8题图 第9题图 8.小明把一根长为160cm的细铁丝折成三段，做成了一个如图所示的等腰三角 形风筝的边框ABC.已知风筝的高AD=40cm,则腰长AB为 cm. 9.《九章算术》中有这样一个问题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈 问户高、广各几何.”其意思为今有一门，高比宽多6尺8寸，门对角线距离恰好 为1丈.问门高、宽各是多少(1丈=10尺，1尺=10寸).如图，设门高AB为x 尺，根据题意可列方程为 10.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3,AC=5.将△ABC折叠，使点C与点A 重合，折痕为DE,则△ABE的周长是 B E E 第10题图 第11题图 第12题图 11.如图，在△ABC中，AB=50cm,BC=30cm,∠C=90°.点P从点A出发沿 AC边向点C以2cm/s的速度移动，则经过 s后，△PCB的面积等 于450cm2. 12.如图，在长方形ABCD中，AB=8,AD=n,点P在CD上，把点D沿AP对 折，且点D落在BC边上点F处，延长CB到点E处，使BE=6.当△AEF为 等腰三角形时，m2= 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13.(1)如下图，上午8：00，一艘船在某灯塔O的正东方向5 n mile的A处向正北 方向航行；上午10：00，船离灯塔O的距离MO=13 n mile.求此船航行的 速度. 北 (2)求出如下图所示的△ABC中BC的长. 10 14.(2025一2026景德镇期中)《九章算术》中有这样一个问题：“今有立木，系索其 末，委地三尺.引索却行，去本八尺而索尽.问索长几何.”题目大意：在直立于 地面的一根木杆顶端系一根绳索，绳索自然下垂后拖在地面上的长度为3尺. 在距木杆底端8尺处的地面拉紧绳索，整根绳索恰好被拉直.这根绳索有 多长？ 15.如下图，在6×6的正方形网格中，线段AC的两个端点均在小正方形的顶 点上. (1)在图中画出以AC为底边的等腰直角三角形ABC,点B在小正方形的顶点 上 (2)若网格中每个小正方形的边长为1，则(1)中等腰直角三角形ABC的面积 为 16.（2025一2026九江检测)如下图，四边形ABCD是一块实践基地.已知∠D= ∠CAB=90°，AD=12m,CD=16m,点E在AB边上，连接CE,CE=25m. (1)求四边形ADCE的面积. (2)若CE将△ABC的周长平分，求BE的长. 17.如下图，∠O=90°，OA=9cm,OB=3cm.一个机器人在点B处看见一个小球 从点A出发沿着AO方向匀速滚向点O,机器人立即从点B出发，沿BC方向 匀速前进拦截小球，恰好在点C处拦住了小球.如果小球滚动的速度与机器人 行走的速度相等，那么机器人行走的路程BC是多少厘米？ 3441419 140 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18.下图是某俱乐部最近打造的一款“飞越丛林”项目的示意图，BC段和垂直于地 面的AB段均由不锈钢管材打造，两段总长度为26m,长方形CDEF为木质平 台.经过测量得CD=1m,AD=15m,请求出立柱AB段的长度 B 19.如下图，在△ABC中，AB=AC=10,BC=12,BD⊥AC于点D,E是BC的中 点，连接AE. (1)求AE的长. (2)求CD的值. 20.有一个如下图所示的长方体透明玻璃鱼缸，假设其长AD=80cm,高AB= 60cm,水深AE=40cm.在水面上紧贴内壁的点G处有一块面包屑，点G在 水面线EF上，且EG=60cm,一只蚂蚁想从鱼缸外的点A处沿鱼缸壁爬进鱼 缸内吃这块面包屑. (1)该蚂蚁应该沿怎样的路线爬行才能使路程最短呢？请你作出它爬行的 路线. (2)求蚂蚁爬行的最短路线长， G 4444444 141 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21.满足a2十b2=c2的三个正整数，称为勾股数. (1)请把下列三组勾股数补充完整： ① ,8,10:②5， ,13:③8,15， (2)①小敏发现，很多已经约去公因数的勾股数组中，都有一个数是偶数，如果 将它写成2mn(m,n为正整数，且m>n),那么另外两个数可以写成m2十n2, m2-n2,如4=2×2×1,5=2+12,3=22-1.请你帮小敏说明2m1,m2十n2, m2一n2这三个数是勾股数； ②如果21,72,75是满足上述小敏发现的规律的勾股数，求m+n的值. 22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm,AC=6cm,动点P从点B出 发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. (1)求BC边的长 (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值. B 备用图 六、解答题（本大题共12分） 23.图①所示的是著名的赵爽弦图，其中四个直角三角形较大的直角边长都为α， 较小的直角边长都为b,斜边长都为c,大正方形的面积可以表示为c2,也可以 表示为4X?6十a-6),由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条 直角边长为a,b,斜边长为c,则a2+b2=c2. (1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股 定理 (2)如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A, B,AB=AC.由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，该村为方便村民取 水，决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在同一条直线上)，并新修一条路 CH,且CH⊥AB.测得CH=O.8km,HB=O.6km,则新路CH比原路CA约 少多少千米（结果保留两位小数）？ (3)小明继续思考研究，发现了已知三角形三边的长，可求高的一种方法.他是 这样思考的，在第(2)问中，若AB≠AC,CH⊥AB,AC=10,BC=17,AB= 21,设AH=m,可以求CH的值.请帮小明写出求CH值的过程. A/H6 图① 图② 图③ 1141414 142AD∥BC, ∴.∠DAE=∠AEB=70°」 ,HG∥AE, ∴.∠DHG=∠DAE=70°. 15.解：(1)7.5< (2)示例：小丽应选择甲公司.理由如下： ,甲和乙的配送速度得分相差不大，服务质量得分甲和 乙的平均数相同，但是甲的方差明显小于乙的方差， 甲更稳定，∴小丽应选择甲公司（言之有理即可） (3)示例：还应收集甲、乙两家公司的收费情况（言之 有理即可). 学业质量自我评价 第一章学业质量自我评价 1.C2.B3.A 4.C【解析】设AB=AD=xcm.因为BF=8cm,所以 CE=BF=8cm,所以AC=AD+DE-CE=x+6-8 =(x-2)cm.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，所以AB =AC2+BC2,即x2=(x-2)2+10,解得x=26.故 钟摆AD的长度是26cm. 5.D【解析】将圆柱的侧面展开，其示意图 如图所示.由题意，得AC=12÷2=6,BC =8,∠ACB=90°.根据勾股定理，得AB =AC2+BC2=62+82=100,所以AB =10. 6.A【解析】连接DF,如图所示.因为 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC 3,BC=4,所以AB2=AC2+BC2=32 +42=5,所以AB=5.因为AD= AC=3,所以BD=AB-AD=2, △ACD是等腰三角形， 所以∠ADE=∠ACE. 又因为AF⊥CD, 所以∠DAF=∠CAF. (AD=AC, 在△ADF和△ACF中，∠DAF=∠CAF, AF=AF, 所以△ADF≌△ACF(SAS), 所以DF=CF,∠ADF=∠ACF=90°， 所以∠BDF=90°. 设CF=DF=x,则BF=4一x. 在Rt△BDF中，由勾股定理，得DF2+BD=BF,即 x2+22=(4-x)2,解得x=1.5,所以CF=1.5. 7.68.509.(x-6.8)2+x2=10210.7 11.5【解析】由题意，得AC2=AB2-BC2=502-302= 40,所以AC=40cm. 因为2PC·BC=450,即2PC·30=450, 所以PC=30cm,则AP=AC-PC=10cm, 所以移动的时间为10÷2=5(s). 12.10或80或密 【解析】因为四边形ABCD是长方 形，所以∠ABE=∠ABF=90°. 因为AB=8,BE=6,所以AE2=AB2十BE2=82+ 62=100,所以AE=10. 由折叠知，AF=AD=m. 当△AEF为等腰三角形时，分三种情况讨论： ①当AF=AE=10时，AD=AF=10,所以m =100. ②当EF=AE=10时，BF=EF-BE=10-6=4, 所以AF=AB2+BF2=82+42=80,所以m2=80. ③当EF=AF=m时，BF=EF-BE=m-6. 由AB2+BF2=AF2,得8+(m-6)2=m2, 解得m空所以m空 9 综上m=10或60或号。 13.解：(1)由题意，得OA=5 n mile,OM=13 n mile. 在Rt△OAM中，AM=OM-OA2=132-52=122, 所以AM=12 n mile, 所以此船航行的速度为12÷2=6(n mile/h). (2)在Rt△ABD中，由勾股定理，得AB2=AD +BD2, 即172=82+BD2, 所以BD=15. 在Rt△ADC中， 由勾股定理，得AC2=AD+DC2, 即102=82+DC2, 所以DC=6, 所以BC=BD+DC=15+6=21. 14.解：如图，设绳索AC的长为x尺，则木杆 AB的长为(x-3)尺. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得AC2 AB2=BC2, 即x2-(x-3)2=82, 73 解得x=6 放这根绳索长为尺。 15.解：(1)如图所示. (2)5 16.解：(1)因为∠D=∠CAB=90°，AD=12m,CD= 16m, 所以AC2=AD2+CD=202, 所以AC=20m, 所以AE2=CE2-AC2=252-202=152, 所以AE=15m, 1 所以四边形ADCE的面积=SaAm+SaAE=2X12 ×16+号×15×20=246(m). (2)设BE=xm,则AB=AE+BE=(15+x)m. 因为CE将△ABC的周长平分， 上册详解详析 47 所以AC十AE=BE十BC, 所以BC=(35-x)m. 在Rt△ABC中，由勾股定理，得(35-x)2=202+(15 十x)2, 解得x=6,所以BE=6m. 17.解：设BC=xcm,则CA=xcm,OC=(9-x)cm. 在Rt△OBC中，由勾股定理，得OB2+OC2=BC, 即32十(9一x)2=x2,解得x=5, 所以机器人行走的路程BC是5cm 18.解：如图，延长FC交AB于点G, 则CG⊥AB,AG=CD=1m,GC=B、 AD=15 m. 设BG=xm,则BC=26-1-x=(25G… -x)m. 在Rt△BGC中，BG2+CG=CB, 所以x2+152=(25-x)2,解得x=8, 所以AB=BG十GA=8十1=9(m), 即立柱AB段的长度为9m. 19.解：(1)因为AB=AC,所以△ABC是等腰三角形 又因为E是BC的中点，所以AE⊥BC. 因为BC=12, 所以CE=6. 在Rt△AEC中，由勾股定理得AE2=AC2-CE2= 102-62=64. 所以AE=8. (2)因为SA=BC·AE-AC.BD 2 2 所以12X810BD 2 2 所以BD-智 在Rt△BDC中，由勾股定理得CD2=BC2一BD= 12-(0)-19 25 20.解：(1)如图，作点A关于BC的对称 A 点A',连接AG交BC于点Q,连接 AQ.该蚂蚁沿着A→Q→G的路线爬 行时，路程最短（作法不唯一）. (2)如图.因为在Rt△A'EG中，A'E =2AB-AE=80 cm,EG=60 cm, 所以由勾股定理，得A'G=A'E2十 EG2=1002,所以A'G=100cm. 故蚂蚁爬行的最短路线长为100cm 21.解：(1)①6②12③17 (2)①因为(m2-n2)2+(2mn)2=m+n-2m2n2+ 4m2n2=m+n十2m2n2, (m2+n2)2=m+n+2m2n2, 所以(m2-n2)2+(2mn)2=(m2+n2)2, 所以m2一n2,m2+n2,2mn这三个数是勾股数. ②21,72,75约去公因数，得7,24,25. 因为24=2×3×4,25=42+32,7=4-32， 所以m=4,n=3, 所以m十n=7. 22.解：(1)因为在Rt△ABC中，BC2=AB2-AC2=10 -62=64,所以BC=8cm. (2)由题意可知，BP=2tcm. 48 八年级数学BS版 分两种情况进行讨论：①当∠APB为直角时，点P 与点C重合，此时BP=BC=8cm,即2t=8,所以t =4. ②当∠BAP为直角时，如图，CP=(2t-8)cm,AC= 6 cm. 在Rt△ACP中，AP2=62+(2t- 8)2. 在Rt△BAP中，AB2+AP2 =BP2, 25 所以102+[62+(21-8)门=(2)，解得1=4 综上所述，当△ABP为直角三角形时，t的值为4 或 23.解：1)S#后Auw=2(a+b)(a十b)=2a2+ab+2b 1 .1 =SAaoe +SAnr +SAcoeabtab 1 1 1 所以2a2+ab+2b= b+b+c, 即a2+b2=c2. (2)设AB=AC=xkm, AH=AB-BH=(x-0.6)km. 在Rt△ACH中，根据勾股定理，得CA2=CH+ AH,所以x2=0.8+(x-0.6)2,解得x≈0.83，即 CA≈0.83km,所以CA-CH≈0.83-0.8=0.03 (km). 故新路CH比原路CA约少0.03km. (3)因为AH=m,所以BH=AB-AH=21-m. 因为CH⊥AB,AC=10,BC=17,AB=21, 根据勾股定理， 在Rt△ACH中，CH=CA2-AH. 在Rt△BCH中，CH=CB2-BH, 所以CA2-AH=CB2-BH, 即102-m2=172-(21-m)2, 解得m=6,所以AH=6, 所以CH=CA2-AH=102-62=64,所以CH =8. 第二章学业质量自我评价 1.C2.D3.C4.C 5.A【解析】因为√/95一是整数，n是自然数，所以95 -n≥0，且95-n是完全平方数，所以0<n≤95.故满 足条件的自然数n有95,94,91,86,79,70,59,46,31， 14,共10个 6.B【解析】由题意知，第1步后结果为52=25，第2步 11 后结果为2，第3步后结果为√=了，第4步后结 果为（兮云第5步后结果为子-25，第6步后结 1 25 果为√25=5，第7步后结果为5=25，…，所以运算 111 的结果以25,25·52525,5六个数为周期循环，