3.1 确定位置&3.2 平面直角坐标系&3.3 轴对称与坐标变化-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

第三章 位置与坐标 确定位置 已课内基础闯关 易错点 确定位置时颠倒数据顺序 知识点①行列定位法 4.如图，若用(2,3)表示 8 1.(2025一2026深圳龙华区期中)某班级第4 点A的位置，则点C E 列第5排的位置可以用有序数对(4,5)表 的位置可表示成 示，则第3列第1排的位置可用有序数对 (7, 11 来表示. 6)表示点 0 12345678 的位置. 第4题图 知识点② 方位角、距离定位法 2.点A的位置如图所示，则关于点A的位置， 巴课外拓展提高 下列描述准确的是 5.跨英语学科如图，有 A.距点O4km处 ,个英文单词，其字 3OPEQRSTU B.北偏东40°方向上4km处 4 km 2HIJK LMN 50 母按顺序对应的有序 1A BC D E F G C.在点O北偏东40°方向上 必 数对分别为(5,3)， 2345 67 第2题图 D.在点O北偏东40°方向上 第5题图 (6,3),(7,3),(4,1),(4,4),请你把这个英文 4km处 单词写出来： (不区分大小写 知识点③经纬度定位法和区域定位法 6.如下图，正方形网格中的交点，我们称之为 3.(2025一2026萍乡期中)在我国新疆西北部 格点，点A用有序数对(2,2)表示，其中第1 有一座全球最大的八卦城—特克斯县.该 个数表示排数，第2个数表示列数.在图中 城以八卦文化广场为中心，按照八卦具体方 有一个格点C,使S△Ac=1,请写出符合条 列 位和角度(45°)向外延伸出八条主街.如图所 件的点C的有序数对. 4 示的是以八卦文化广场为点O绘制的简易 地图，若点A的位置用(1,0°)表示，点B的 2 位置用(3,225°)表示，则点C的位置可以表 示为 知识要点归纳 坎街 乾街 艮街 确定平面上，点的位置的方法：(1)行列定位法； (2)方位角、距离定位法；(3)经纬度定位法； 街 (4)区域定位法」 B 注：不管采用哪种定位方法，平面内确定物体的 坤街 巽街 离街 位置都需要两个数据， 第3题图 432 八年级数学BS版 2平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系的有关概念 色课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 平面直角坐标系的概念及点的 6.如图，在第二象限内的点是 坐标 A.P1,P2,P3 yt P· P 1.下列平面直角坐标系画法正确的是( B.P,P2 C.P1,P3 D.P 第6题图 7.空间观念下图所示的是一只鸭子的图案， A B 每个小方格的边长均为1.请解决下列问题： 2.(教材变式)若点A(一a,b)在第一象限，则 (1)以点O为坐标原点建立平面直角坐标 点B(a,b)在第 象限， 系，写出各个顶点的坐标. 变式题点P(a2+1,一3)在第 (2)试计算图案覆盖的面积. 象限 知识点② 坐标与距离 3.点M(3,4)到y轴的距离为 4.P为平面直角坐标系中一点. (1)若点P的横坐标是一3，且到x轴的距离为 5,则点P的坐标是 (2)若点P(2x十3,4x一7)的横坐标与纵坐 标的差为6，求点P到x轴、y轴的距离. 知识要点归纳 Yy轴或纵轴 4.M(3,4) 第二象限 3 第一豫限 (-,+) (++) 原点1 x轴或横轴 4-2012345 易错点情况考虑不全面 第三象限-2 第四象限 5.分类讨论思想若点B(m十1,3m-5) (-,-) (+,-) 到x轴的距离与它到y轴的距离相等， 则点B的坐标为 平面直角坐标系内的，点一一对应 有序实数对 33 上册第三章 第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特点 色课内基础闯关 6.已知点A(-4,a),B(-2,b)都在第三象限 知识点① 的角平分线上，则a十b十ab= 特殊位置的点的坐标特征 7.在平面直角坐标系中，点P的坐标为(2m十 1.若P(a,0)中a<0,则点P位于 1,3m+2) A.x轴正半轴 B.x轴负半轴 (1)若点P在过点A(一3,1)且与y轴平行 C.y轴正半轴 D.y轴负半轴 的直线上时，求m的值. 变式题若点A(n一1,4)在y轴上，则点B(n (2)若点P在第三象限，且点P到x轴的距 十1，n一3)在第 象限. 离为7，求m的值 2.下列说法错误的是 A.平行于x轴的一条直线上的所有点的纵 坐标相同 B.平行于y轴的一条直线上的所有点的横 坐标相同 知识点③描出点的位置、连线构成图形 C.若点P(a,b)在x轴上，则a=0 8.(教材变式)(1)在如下图所示的平面直角坐 D.(一3,4)与(4，一3)表示两个不同的点 标系中描出下列各组点，并将各组内的点依 3.若点P(x,y)的坐标满足xy=0(x≠y),则 次用线段首尾连接起来.观察所得的图形， 点P必在 你觉得它像什么？ A.原点上 ①(1,1)，(3,1)，(1,3)： B.x轴上 ②(-1,3)，(-1,5)，(-3,3)： C.y轴上 ③(-5,1)，(-3，-1)，(-3,1)； D.x轴上或y轴上（除原点） ④(-1，-1)，(1，-1)，(-1，-3). (2)求出(1)中四个图形的面积之和. 变式题在平面直角坐标系中，已知线段AB 的长为5，点A的坐标为(3,2)，点B的坐标 为(x,2),则点B的坐标为 知识点② 根据点的坐标或位置求参数的值 4.已知A(一1,2)，B(3,m一1).如果直线AB ∥x轴，那么m的值为 ( A.1 B.-4C.-1 D.3 5.已知P(一2,5)，Q(n,5).若PQ=4,则n的 易错点情况考虑不全面 值为 9.已知点P(2a+2,a一3)在坐标轴上，则 A.2 B.2或4C.-6 D.2或-6 a 34 八年级数学BS版 已课外拓展提高 已综合能力提升 10.（2025一2026宿州砀山期中)如图，线段 13.运算能力在平面直角坐标系中，已知 MN的端点M,N的坐标分别为(1,5)，(3， P1(x1y1),P2(x2y2),求P1,P2两点之间 5),BN⊥MN,AB∥MN,且MN=2BN 的距离.如下图，在Rt△PP2Q中，PP =P1Q2+P2Q2=(x2-x1)2+(y2-y1)2, -言AB,则点A的坐标为 所以PP2=√(x2-x1)2+(y2-y).因 y↑MN A.(9,2) 此，我们得到平面上P（x1,y1),P2(x2, B.(9,1) y2)两点之间的距离公式为P1P2= C.(8,2) √(x2一x1)2+(y2一y1)2.根据上面得到的 第10题图 D.(8,1) 公式，解决下列问题： 11.如图，在平面直角坐标系中，以 (1)已知C(2,5), P(x2,y2) 点O为圆心，适当长为半径画 D(-3,-5),试求C, 弧，交x轴正半轴于点M,交 D两点之间的距离. 10 y轴正半轴于点N,再分别以第11题图 (2)已知M(m,5), P(x,1） Q(x2,y1） N(1,2),且MN=5,求 点M,N为圆心，大于2MN的长为半径画 m的值. 弧，两弧在第一象限交于点H,画射线OH, (3)代数式√(x-3)+y 若H(2a-1,a十1)，则a= √(x+3)+(y+4)的最小值是 12.如右图，在平面直角坐标 系中，已知长方形ABCD 的两个顶点A(2,一1)， C(6,2),AB∥x轴，M为 y轴上的一点，△MAB的面积为6.请解答 下列问题： (1)顶点B的坐标为 (2)连接BD,求BD的长. (3)请直接写出点M的坐标. 知识要点归纳 特殊点的坐标特征：(1)x轴上的点的纵坐标为 0,y轴上的点的横坐标为0：(2)处在第一、三象 限角平分线上的点的横、纵坐标相等，处在第二、 四象限角平分线上的点的横、纵坐标互为相反 数；(3)平行于x轴（或垂直于y轴）的直线上的 点的纵坐标相等，平行于y轴（或垂直于x轴）的 直线上的点的横坐标相等 35 上册第三章 N 第3课时 建立适当的平面直角坐标系 色课内基础闯关 知识点③ 求平面直角坐标系中图形的面积 知识点①建立适当的平面直角坐标系求坐标 3.如右图，已知 1.(2025一2026九江期中)如下图，在4×4的 A(-2,2),B(4,2), 正方形网格中，△ABC的顶点都在格点（网 C(2,-3). 格交点)上.若点A的坐标为（一1,2），点B (1)点C到x轴的 的坐标为(1，一1)，试建立恰当的平面直角 距离为 坐标系，并写出点C的坐标. (2)连接AB,BC, AC,求△ABC的面积. (3)点P在y轴上，当△ABP的面积是6 时，点P的坐标为 知识点②由已知点的坐标求其他点的坐标 课外拓展提高 2.情境应用星期天，小李和小张相约到文化 4.在平面直角坐标系中，已知A(0,1),B(2, 广场游玩.出发前，他们每人带了一张利用 0),C(4,3). 平面直角坐标系画的地图示意图.如下图所 (1)建立平面直角坐标系，描出各点，顺次连 示，其中行政办公楼的坐标是（一4,3），南城 接各点，围成一个封闭图形，并求出该图形 百货的坐标是(2，一3). 的面积. (1)请根据上述信息，画出平面直角坐标系。 (2)设点P在坐标轴上，且△ABP与(1)中所 (2)写出示意图中体育馆、升旗台、北部湾俱 得图形的面积相等，直接写出点P的坐标， 乐部、盘龙苑小区、国际大酒店的坐标 (3)若小李的位置坐标是（一2，一2），请你在 图中用字母A标出小李的位置， 国际大浦店 知识要点归纳 城百货 建立平面直角坐标系的基本思路：(1)分析条件， 选择适当的点作为坐标原点：(2)过原，点在两个 互相垂直的方向上分别作出x轴与y轴：(3)确 定正方向、单位长度。 36 八年级数学BS版 3 轴对称与坐标变化 色课内基础闯关 知识点①关于坐标轴对称的点的坐标特征 1.若点A(a-1,3)和点B(2,b-1)关于x轴 对称，则(a十b)225的值为 A.0 B.-1 C.1 D.-2 已课外拓展提高 知识点②与坐标轴对称有关的作图 4.几何直观如下图，在平面直角坐标系中，直 2.(2025一2026抚州金溪期中)如下图，在平面 线1为第一、第三象限的角平分线，点P关于 直角坐标系中，△ABC的三个顶点的坐标 y轴的对称点称为点P的“轴对称点”，记作 分别为A(-3,4),B(-4,1),C(-1,2)(保 P;点P关于直线l的对称点称为点P的 留作图痕迹，不写作法). “线对称点”，记作P2.例如：点(2,3)的“轴对 称点”为点（一2,3），“线对称点”为点(3，一2). (1)点（一1，一3）的“轴对称点”的坐标为 ,“线对称点”的坐标为 (2)点M(a2+1,-1一b2)的“轴对称点”一 定在第 象限 (1)在图中作出△ABC关于x轴的对称图 (3)点N在x轴负半轴上，N1,N2分别是点 形△A1BC1: N的“轴对称点”和“线对称点”.若这三点围成 (2)点C关于y轴的对称点C2的坐标为 的三角形的面积为36，求线段NN,的长， (3)在y轴上找一点P,使得△PAC周长 最小 知识点③ 图形的坐标变化与轴对称 3.如右图，在平面直角 坐标系中，△ABC 的三个顶点都在方 格的格点（小正方形 4-3-2-1 的顶点)上 知识要点归纳 (1)写出A,B,C三 点的坐标. 对称，点的坐标特征： (2)若△ABC各顶点的横坐标不变，纵坐标 A(a,b)类于x轴对称 A1(a,-b); 都乘一1，请你作出所得的△A'B'C.其与原 A(a,b)关于y轴对称 A2(-a,b). △ABC有怎样的位置关系？ 上册第三章 37△(3)两边都除以27，得(x十1)=125 27 开立方，得x十1-号，所以4=号 2 (4)移项，得8(3x十4)3=一1，两边都除以8，得(3x十 开立方，得3x+4=一2： 1 解得x=一 10.D11.B12.C 13.√2（答案不唯一）14.< 15.解：(1)因为|-√81=√8，（√8）2=8,3=9，而8<9， 所以-√⑧|<3. (2)因为√2-√5<0,0.9>0，所以√2-√5<0.9. (3)因为5,1-名=45-4-1=45-1山 2 8 8 8 (4√5)2=80,112=121，而80<121， 所以45-11<0，所以5-1<2 281 16.解：(1)原式=1-(2-√3)+5-2=1-2+√3+3= 5+2. (2)原式=23-23+1+8+1=10. 1 (3)原式=-8+8×g-(-6)=-8+1+6=-1. 17.A18.B 19.2-m【解析】由数轴可知，1<m<2, 所以m一2<0， 所以√(m-2)产=|m-2|=2-m. 1 20.-8【解析】由题意，得a=2b=一2， 所以(a+6-2)》'=(分-2-2)广=(-2)=-8 21.C 22.C【解析】原式=(x-1)2+1=(√2+1-1)2+1 =3. 23.解：(1)原式=4-√6-2√6=4一3√6. (2)原式=12-4√3+1+2-9=6-45. 24.解：由题意，得已。>0，所以1-a>0, 所以a<1, 1-a=a-1 所以原式=(a-1)√-a)=-a-a -/1-a. 一题多解法《 由题意，得1一 ->0,所以a<1,所以a一1<0，所 以原式=一 a-1)2. 1=-小-a 1- 25.解：(a+√3)(a-√3)-a(a-4) =a2-3-a2+4a =4a-3. 因为9<13<16， 所以3<√13<4， 所以√13的整数部分为3，则√13的小数部分为√3 -3,即a=√13-3， 所以原式=4（√13-3）-3=4√3-12-3=4√13 -15. 26.B27.D28.B 29.解：(1)在第一步开始出现错误.正确的解答过程 如下： 1 +6×6 =-6×2-6X3 5 =-3一4+5 =-2. (2)原式=2-反-4×} =1-√2. 第三章 位置与坐标 1确定位置 1.(3,1)2.D 3.(2,135°)4.(6,2)E 5.study 6.解：如图，点C可以为(1,3)，(5,3)，(2,4)，(3,1)，(3， 5),(4,2). 列 5 4 21 A 1L 345排 2平面直角坐标系 第1课时平面直角坐标系的有关概念 1.B2.二变式题四 3.3 4.解：(1)（一3,5）或(-3，-5) (2)由题意，得(2x十3)-(4x一7)=6，解得x=2, 所以2x+3=2×2+3=7,4.x一7=4×2一7=1， 所以点P的坐标为(7,1)， 所以点P到x轴的距离为1，点P到y轴的距离为7. 5.(4,4)或(2，一2)6.D 7.解：(1)建立平面直角坐标系如图所示.由图，得O(0,0), A(-1,0),B(0,1),C(1,1),D(1,-1),E(5,1),F(4, -2).G(1,-2). 上册详解详析 11△ (2)图案覆盖的面积=6×3-号×1×1-号×(1+2) ×2-2×1x8-2×2×4=9. 第2课时平面直角坐标系中点的坐标特点 1.B变式题四2.C 3.D【解析】因为xy=0(x≠y),所以x=0或y=0,所 以点P(x,y)必在x轴上或y轴上（除原点）. 变式题(-2,2)或(8,2)【解析】因为A(3,2),B(x, 2),所以AB∥x轴.因为AB=5,所以AB=|x一3|= 5,所以x1=一2，x2=8,所以点B的坐标为(-2,2)或 (8,2) 4.D 5.D【解析】因为点P,Q的纵坐标都是5，所以PQ∥x 轴.当点Q在点P的左边时，n=一2一4=一6； 当点Q在点P的右边时，n=一2十4=2. 综上所述，n的值为2或一6. 6.2【解析】因为第三象限角平分线上的点的横、纵坐标 相等， 所以a=一4，b=-2, 所以a十b+ab=-4十(-2)+(-4)×(-2)=2. 7.解：(1)因为点P在过点A(一3,1)且与y轴平行的直 线上，所以2m十1=一3，解得m=一2， 因此m的值为一2， (2)因为点P在第三象限，且点P到x轴的距离为7， 所以3m十2=-7， 解得m=-3, 因此m的值为一3。 8.解：(1)如图所示. 像绕点（一1,1）旋转的风车（答案不唯一，合理即可） 1 (2)1)中四个图形的面积之和为4×(2×2×2)=8， 9.3或一1 10.B【解析】根据题意，得点M,N的坐标分别为(1， 5),(3,5), 则MN=3-1=2. 由MN=号BN=号AB得，BN=2MN=4,AB 3MN=6. 因为BN⊥MN, 则点B的横坐标与点N相同，为3，纵坐标为5一4= 1,即点B的坐标为(3,1). 又因为AB∥MN, 则点A的纵坐标与点B相同，为1，横坐标为3十6 9,即点A的坐标为(9,1). 11.2【解析】由题意可知，OH为∠MON的平分线， 所以∠MOH=45°，所以易得2a-1=a+1,解得a 412 八年级数学BS版 =2. 12.解：(1)(6，-1) (2)因为点A的坐标为(2，-1)，点C的坐标为(6,2)， 所以AB=6-2=4,AD=2-(-1)=3, 所以BD=√AB+AD=√V4+3=5. (3)点M的坐标为(0,2)或(0，一4). 【解析】3)设点M的坐标为(0m.则Sas=号 1 l1y-ya=2X4·m-（-1)川=6，解得m,=2, m2=一4， 所以点M的坐标为(0,2)或(0，一4). 13.解：(1)根据两点之间的距离公式，得CD= √(2+3)2+(5+5)7=√/25+100=5√5】 (2)根据题意，得MN=√(m-1)十(5-2)产= /(m-1)2+9=5, 所以(m一1)2十9=25，所以m一1=4或m-1= -4, 所以m=5或-3. (3)2√13【解析】(3)因为√(x-3)+y+ √(x+3)+(y+4)可以看成点(x,y)到点(3,0)和 点（一3，一4）的距离之和，所以√(x-3)+y+ √(x十3)+(y十4)的最小值为点(x,y)到点(3,0) 和点（一3，一4）的距离之和的最小值.因为当点(x, y)在以点(3,0)和点（一3，一4）为端点的线段上时，点 (x,y)到点(3,0)和点（一3，一4）的距离之和有最小 值，其最小值为以点(3,0)和点（一3，一4）为端点的线 段长度，所以√(x-3)+y+√(x+3)+(y十4) 的最小值为√(3+3)+(0+4)=2√13. 第3课时建立适当的平面直角坐标系 1.解：建立平面直角坐标系如图所示，点C的坐标为(2， 0). 2.解：(1)如图所示. (2)体育馆（一9,4），升旗台（一4,2），北部湾俱乐部 (一7，一1)，盘龙苑小区（一5，一3），国际大酒店(0,0). (3)小李的位置A如图所示 国际 3.解：(1)3 (2)如图，连接AB,BC,AC Sax=2X6X5=15. (3)(0,0)或(0,4) 【解析】(3)设点P的坐标为(0，b),则点P到AB的距 离为b-21. 因为AB=6,所以S△am=X6·|b-2|=6,解得b, =0,b2=4,所以点P的坐标为(0,0)或(0,4). 4.解：(1)如图所示，所得的图形是△ABC.S△Ac=3×4 ×2x4-7×2x1-3×2x3=4. 1 3201346 (2)点P的坐标为(10,0)或（一6,0）或(0,5) 或(0，-3). 【解析】(2)当点P在x轴上时，SAAm- 2A0·BP= 4,即2×1·BP=4,解得BP=8,所以点P的坐标为 1 (10,0)或(-6,0)；当点P在y轴上时，S△m=2B0· AP=4,即2X2·AP=4,解得AP=4,所以点P的 坐标为(0,5)或(0，一3).综上所述，点P的坐标为 (10,0)或(-6,0)或(0,5)或(0，-3). 3轴对称与坐标变化 1.C【解析】因为点A(a-1,3)和点B(2,b-1)关于x 轴对称， 所以a-1=2,b-1=-3,解得a=3,b=-2, 所以(a十b)2025=(3-2)2025=1. 2.解：(1)如图，△AB,C1即为所求 (2)(1,2) (3)如图，点P即为所求 3.解：(1)A(3,4),B(1,2),C(5,1) (2)△A'B'C如图所示. △A'B'C'与△ABC关于x轴对称. 4.解：(1)(1，-3)(-3,1)(2)三 (3)根据题意可作如图所示 的△NN,N2. 设点N的坐标为（一x,0)(x>0),则点 N1的坐标为(x,0),点N,的坐标为(0， x), 所以S△w=2NN,·ON,=2X2x·x=36, 所以x=6(负值已舍去)， 所以NN,=2x=12. 解题技巧专题 巧求平面直角坐标系 中图形的面积 5 1.B2.2 3.11 4.解：(1)如图，作DE⊥x轴于点E,CF⊥x轴于点F. 因为A(-4,0),B(6,0),C(2,4), D(-3,2), 所以AE=1,EF=5,BF=4,AB =10,DE=2,CF=4, AE O 所以S周边形D=S△ADE十S网边形CDEF十S△CF=2X1X2 1 1 +2×(2+4)×5+2×4×4=24. (2)S△m=S阳边形D-S△ABm=24-2X10X2=14. (3)因为S=号S,所以号AB·0P=号 1 ×24, 所以OP=2.4,所以点P的坐标为(0,2.4)或(0， -2.4). 5.解：(1)因为√a-3+|b+2|+(c+4)2=0, 所以a-3=0,b+2=0,c+4=0, 所以a=3,b=-2,c=-4, 所以点A的坐标为(0,3)，点B的坐标为（一2,0），点 C的坐标为（一4,3）. (2)如图，过点P作PE⊥OB于点E,则PE=一m. 因为A(0,3),B(-2,0),所以AO= 3,BO=2, C 所以S△Am=2A0·B0=2X2X 0 1 3=3,S△Bm=2B0·PE=2X2× (一m)=-m, 上册详解详析 13△