2.2 平方根与立方根-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 色课内基础闯关 边长扩大为原来的 倍 知识点① 算术平方根的概念及相关计算 易错点 没有审清题目的含义，忽略 1.下列各式中，无意义的是 ( “一”的作用 A.√2 B.√J-2 6.√16的算术平方根为 C.√(-2)2 D.√2- 2.一个数的算术平方根是它本身，这个数是 课外拓展提高 ( 7.一个正偶数的算术平方根是m,则和这个正 A.1 B.0 C.-1 D.0或1 偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 () 变式题如果√元的算术平方根是3，则x A.m+2 B.√2 的值为 C.√m2+2 D.√m+2 3.(教材变式)求下列各数的算术平方根： 8.若√8一x为整数，x为正整数，则x的值是 1-61.(22 (3)√256. 9.小明打算用一块面积为900cm的正方形木 板，沿着边的方向裁出一个面积为588cm 并且桌面的长、宽之比为4：3的长方形桌 面.小明能做到吗？如果能，计算出桌面的 知识点②算术平方根的性质及应用 长和宽；如果不能，请说明理由 4.跨物理学科电流通过导线时会产生热量， 电流I(单位：A)、导线电阻R(单位：2)、通 电时间t(单位：s)与产生的热量Q(单位：J) 满足Q=IRt.已知导线的电阻为102，当 通电时间为1s时导线产生1000J的热量， 则电流I为 ( A.2A B.5A C.8A D.10A 5.某小区要扩大绿化带面积，已知原绿化带的 知识要点归纳 形状是一个边长是10m的正方形，计划扩 1.一般地，如果一个正数x的平方等于a,即x 大后绿化带的形状仍是一个正方形 =a,那么这个正数x就叫作a的算术平方根 (1)若面积扩大为原来的9倍，则边长扩大 2.表示方法：非负数a的算术平方根记作√a,读作“根 为原来的 倍。 号a”“√”的根指数为2，是“一”的简写形式。 (2)若扩大后的绿化带面积是原绿化带面积的 3.双重非负性：a≥0，Wa≥0. 4倍，则扩大后绿化带的边长是 m, 17 上册第二章 第2课时 平方根 已课内基础闯关 已课外拓展提高 知识点① 平方根的概念及性质 7.若8.x"y与6x3y的和是单项式，则(m十 1.下列说法正确的是 n)3的平方根为 A.9的平方根是3 A.4 B.8 C.±4 D.±8 B.一9的平方根是一3 8.若√Jx-一1=2，则2x十6的平方根是 C.9的算术平方根是3 D.9的算术平方根是士3 9.计算： 2.平方根等于它本身的数是 ( (1)(x+1)2+8=72. A.-1 B.0 C.1 D.±1 3.某数的一个平方根是5，则它的另一个平方 根是 ,这个数是 (2)3(2x-1)2-27=0. 变式题本质不变，弱化条件 若一个正数的两个平方根分别为7，x十1， 则x的值为 10.（2025一2026吉安检测)已知：2x一1和x 4.(教材变式)求下列各数的平方根： 十4是m的两个不同的平方根，2y+2是 (1)10-4.(2)24: (3)(-15)2. √10的整数部分. (1)求x,y,m的值 (2)求1+4y的平方根. 知识点② 开平方及相关运算 5.(2025一2026鹰潭余江区检测)下列运算正 确的是 ( 知识要点归纳 A.-(-1)2=1 B.√(-2)2=-2 1.平方根：一般地，如果一个数x的平方等于a, C.-√4=-2 D.√16=土4 即x2=a,那么这个数x就叫作a的平方根（也叫 作二次方根)，记作士a,读作“正、负根号a”. 4 6.计算：(1)±5g 2.开平方：求一个数a的平方根的运算，叫作开平 方，叫作被开方数，它与平方运算互为逆运算. (2)-√(-0.3)2= 18 八年级数学BS版 第3课时 立方根 已课内基础闯关 色课外拓展提高 知识点① 立方根的概念及性质 8.一64的立方根与64的平方根之和是( 1.下列各式正确的是 A.0 B.4 A.99=3 B.9-64=-4 C.-4或12 D.4或-12 9.某数值转换器的程序原理如图所示.当输入 1 二士2 D.8=-2 x=8时，输出y的值是 ( 是无理数 输入 取立方根 输出Y 变式题一个数的立方根是一3，则这个数 是 是有理数 第9题图 2.若4a+17的算术平方根是7，则a的立方根 A.2 B.2 C.2 D.8 是 10.已知x-3-2x+1=0,则x2+x-3的 3.求下列各数的立方根： 平方根为 (1)-343.(2)0.729. 10 (3)-2 271 变式题若一个正数x的平方根是17一a 和3a-一1，则a的值为 11.应用意识如右图，一个正方体 铁块放入圆柱形玻璃容器后，完 全没入容器内的水中，使容器中 的水面升高2cm.如果容器的底+12cm 知识点② 面直径是12cm,求正方体铁块的棱长 开立方及相关运算 (π取3). 4.下列计算正确的是 A.98=±2 B.9216=6 C.-2)=2 D.--2=-2 知识点③ a与(a)3 5.(5)3= --7)= 知识要点归纳 6.(教材变式)计算：一164 ,61 1.立方根：一般地，如果一个数x的立方等于a 即x3=a,那么这个数x就叫作a的立方根（也叫 作三次方根)，记作a,读作“三次根号a”,其中 “3”是根指数，“a”是被开方数， 2.开立方：求一个数的立方根的运算叫作开三 易错点考虑问题不全而漏解 方，它与立方运算互为逆运算。 7.立方根等于本身的数是 19 上册第二章 第4课时 估算及用计算器开方 已课内基础闯关 粒子的能量E的值在 ( 知识点①估算一个无理数的近似值 A.3和4之间 B.4和5之间 C.5和6之间 D.6和7之间 1.若面积为20的正方形的边长为a,则a的值 7.(教材变式)如图，要从电线杆离地面5m的 在 点C处向地面拉一条7m的钢缆，则地面钢 A.3和4之间 B.4和5之间 缆固定点A到电线杆底部点B的距离约为 C.5和6之间 D.6和7之间 m(结果精确到1m). 2.如图，数轴上A,B两点表示的数分别为√2 和131，则A,B两点之间表示整数的点共 有 ) A B 第7题图 0V2V131 第2题图 知识点④ 利用计算器进行开方运算 A.3个 B.4个C.5个 D.6个 8.使用计算器求√⑧十6的近似值，其按键顺序 3.开放题写出一个比一√3大且比√5小的整 正确的是 数： A.8+SHIFT6目 知识点②用估算法比较数的大小 4.（2025一2026佛山南海区期中)比较大小： B.8+SHIFT6x3日 √10+1 5(填“>”“<”或“=”) ▣8+x6日 5.(教材变式)用估算法比较下列各组数的 D.8+SHIFT36目 大小： 9.利用计算器求值（结果精确到0.001）： (1)-√7与-2.8.(2)9/260与6. (1)√27.01≈ (2)0.01029≈ 3 51 (3) ≈ 9 3 (4) 153 7X5 -√12≈ 知识点⑤ 利用计算器比较数的大小 知识点③估算在生活中的应用 10.将233 用“<”连接起来为( 6.(2025一2026鹰潭余江区检测)在量子物理 87 的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的 B.V3<<2 能量.已知某微观粒子的能量E可以用公式 E=√a2+b表示.当a=5,b=12时，该微观 c海<招 D.3 420 八年级数学BS版 已课外拓展提高 11.由下表可得√/7精确到百分位的近似数是 ( 2.62<7<2.72 2.6<7<2.7 2.642<7<2.65 2.64<√7<2.65 2.6452<7<2.646 2.645<√7<2.646 … … A.2.64B.2.65 C.2.7 D.2.646 综合能力提升 12.在如图所示的数轴上，点O对应数字0，点 16.运算能力求一个正数的算术平方根时，可 A对应数字2，过点A作AB垂直于数轴， 以根据一组数的内在联系运用规律求得. 且AB=4,连接OB,绕点O顺时针旋转 请同学们观察下表： OB.若使点B落在数轴上的点C处，则点 0.00160.16 16 1600 160000 C表示的数在 n 0.04 0.4 4 40 400 A.3和4之间 (1)根据表中所给的信息，你能发现什么规 B.4和5之间 律？请将你发现的规律用文字表达出来。 C.5和6之间 0/ 012 D.6和7之间 (2)已知√2.06≈1.435，运用你发现的规 第12题图 律，求下列各式的值： 13.若m</18<m+1,且m是整数，则m的 值是 ①√0.0206≈ 11 ②√2060000≈ 14.已知按一定规律排列的一组数：1， 2 11 如果从中选出若干个数，使它们的 √19√20 和大于3，那么所选数的个数至少为 15.【阅读材料】因为√4<5<√9，即2<5< 知识要点归纳 3,所以1<5-1<2， 1.用估算法确定无理数的大小：对于带根号的无 所以√5一1的整数部分为1， 理数的近似值，可以通过平方运算或立方运算采 用“夹逼法”（两边无限逼近的方法）逐渐夹逼.首 所以√5一1的小数部分为√5一2. 先确定其整数部分的范围，再确定十分位、百分 【解决问题】 位等小数部分 (1)填空：√7的小数部分是 2.利用计算器进行开方运算：开平方运算的按键 (2)已知a是√10的整数部分，b是√10的 顺序为√☐被开方数目，开立方运算的按键顺 小数部分，则代数式(b一√0)-1的值是 序为SHIFT园被开方数日， 多少？ 上册第二章 21△4.22.27 1 7-722 变式题π，一 5.> 6.π一3或π十3【解析】根据题意，得点A表示的数为 一3或3，点B表示的数为一元或π， 所以A,B两点之间的距离为①一3一（一π）=π一3； ②π-(-3)=元十3；③3-（一π）=3十π；④π一3.综上 所述，A,B两点之间的距离为π一3或π十3. 7.解：(1)如图①，△ABC即为所求（画法不唯一）. (2)如图②，△GHI即为所求（画法不唯一）. 图① 图② 2平方根与立方根 第1课时算术平方根 1.B2.D变式题81 3.解：(1)因为一6=6，所以|一6|的算术平方根为√6. (2)因为2-号-(2)》，所以2的算术平方根 (3)因为√256=16,4=16，所以√256的算术平方根 为4. 4.D【解析】根据题意，得1000=I2·10×1,所以I2 100=102,所以I=√/100=10(A). 5.(1)3(2)202【解析】(2)原绿化带的面积是10= 100(m). 扩大后绿化带的面积是4×100=400(m). 扩大后绿化带的边长是√400=20(m). 20÷10=2,即边长扩大为原来的2倍. 6.2 7.C【解析】设这个正偶数为x,则√x=m, 所以x=m”, 所以和这个正偶数相邻的下一个正偶数为m2+2, 所以和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根 为√m2+2. 8.8或7或4【解析】因为8-x≥0， 所以1≤x≤8且x为正整数. 因为√8-元为整数，所以√8-x=0或1或2， 所以当√/8-x=0时，x=8;当√8-x=1时，x=7: 当√8-x=2时，x=4. 综上所述，x的值是8或7或4. 9.解：小明能做到. 设桌面的长和宽分别为4xcm和3xcm.根据题意，得 4x·3.x=588,即12x2=588,所以x2=49.又因为x> 0,所以x=√49=7，所以4.x=4×7=28,3x=3×7= 21.因为面积为900cm的正方形木板的边长为 30cm,28<30,所以能够裁出一个面积为588cm并 且长、宽之比为4：3的长方形桌面，桌面的长和宽分 别为28cm和21cm. 第2课时平方根 1.C2.B3.-525变式题-8 4.解：(1)因为（士10-2）2=10-4，所以10-4的平方根是 士10，即±V10=士10=±100 1 (2因为（士）=号=2所以2的平方银是 1 ±，即±2=± 1 3 (3)因为（士15）2=225=(-15)2，所以(-15)的平方 根是士15，即士√/(-15)=士15. 5.c6±号 (2)-0.3 7.D 8.士4【解析】因为√x一I=2,所以x一1=4，所以x= 5,所以2.x十6=16.因为16的平方根是士4，所以2x+ 6的平方根是士4. 9.解：(1)由题意，得(x+1)=64,所以√(x+1)=|x 十1|=8，所以x十1=士8，解得x=7或x=一9. (2)由题意，得3(2x一1)2=27，所以(2x一1)2=9，所 以√(2x-1)产=|2x-1|=3,所以2.x-1=±3，解得 x=2或x=一1. 10.解：(1)由题意得，2x一1十x十4=0， 解得x=-1, 所以2x一1=一3，所以m=9. 因为√<√10<√16，即3<10<4， 所以√10的整数部分是3， 所以2y+2=3, 1 解得y=2 (2)把y=2代入1+y.得1+4×2-3. 故1+4y的平方根是士√3 第3课时立方根 1.B变式题一27 2.2【解析】由题意，得4a+17=49,解得a=8,所以8 的立方根是2. 3.解：(1)因为（一7）3=一343，所以一343的立方根是 -7,即-343=-7. (2)因为0.93=0.729，所以0.729的立方根是0.9， 即/0.729=0.9. 8因为-2(广= 所以-2号的立方根是一专，即2罗-青 10 4.B【解析】8=2，A选项计算错误；216=6，B选项 计算正确；√/（一2）=一2，C选项计算错误；一一2 =2,D选项计算错误。 5.37 上册详解详析 7.0或1或一1 8.D【解析】因为（一4）3=一64，所以一64的立方根是 一4.因为（士8）2=64，所以64的平方根是±8， 所以一64的立方根与64的平方根之和为①一4+8= 4;②一4十（一8）=一12.综上所述，一64的立方根与 64的平方根之和是4或-12. 9.B【解析】将x=8代入，得8=2.因为2是有理数， 所以继续代入，得2.因为2是无理数，所以输出y的 值是2， 10.士3【解析】因为x一3-2x+I=0, 所以x一3=2x十1，所以x=一4， 所以x2+x-3=9, 所以x2十x一3的平方根为±3. 变式题一2【解析】因为一个正数x的平方根是 /17-a和3a-1, 所以√17-a+3a-1=0, 所以17一a十3a一1=0，所以a=-8, 所以a=一8=-2. 11.解：设正方体的棱长为xcm. 由题意，得3×(12÷2)2×2=x3,解得x=6. 故正方体铁块的棱长约为6cm. 第4课时估算及用计算器开方 1.B 2.B【解析】因为1<√2<2,5<13I<6, 所以A,B两点之间的整数点对应的数为2,3,4,5，共 有4个. 3.一1（答案不唯一）4.< 5.解：(1)因为2.82=7.84，所以-2.8=-7.84. 因为√7<√7.84，所以-√7>-√7.84， 即-√7>-2.8. (2)因为6=216，/260>/216， 所以260>6. 6.D 7.5【解析】由题意，得BC=5m,AC=7m. 在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2,即AB2+5=72, 解得AB=√24.因为20.25<24<25，所以4.5< √24<5，所以√24≈5.故地面钢缆固定点A到电线 杆底部点B的距离约为5m. 8.A 9.(1)5.197(2)0.218(3)-1.783(4)-5.099 37 10.D【解析】因为2≈1.4143≈1.442√3≈1.326， 而1.326<1,414<1.42，所以3<2<3 11.B【解析】由表可知，2.645<√7<2.646，所以√7精 确到百分位的近似数是2.65. 12.B【解析】由题意，得OA=2,AB=4,∠OAB=90°， OC=OB.在Rt△OAB中，OB=√OA+AB= √2+4=√20，所以OC=OB=√20.因为√16< √20<√25，所以4<√20<5.故点C表示的数在4 8 八年级数学BS版 和5之间. 13.4 4.5【解肉为后产0.707西广0.57生物 1=0.5 1 ≈0.4472，所以1+ 1+1+1≈1+0.7071+ ,11 054士0.52.78453.+5看 2.7845+0.4472=3.2317>3,所以要使它们的和大 于3，至少要选5个数. 15.解：(1)W7-2 (2)因为W9<√/10</16，即3<10<4， 所以√10的整数部分a=3,小数部分b=√10-3， 所以(b-√0)-1=（√10-3-√10）1-1=9. 16.解：(1)规律：被开方数的小数点向左（或向右）移动 2n位，算术平方根的小数点就向左（或向右）移动n 位(n为正整数). (2)①0.1435 ②1435 3二次根式 第1课时二次根式的概念和乘除运算 1.C2.D .2 3.解：(1)由题意，得3x-2>0,解得x≥3 (2)由题意，得x十1≥0，x一3≠0，解得x≥一1且x ≠3. 4.C 5B【银新1后×√店-2X名-1，是有里数放小 选项不符合题意：√2X√I2=√2X12=√4X6= 26,是无理数，故B选项符合题意；√2×√8= √2×18=6，是有理数，故C选项不符合题意；√2X √32=√2×32=8，是有理数，故D选项不符合题意. 6.解：(1)原式=6×(-3)×√8X2=-18×4=-72. 2)原式=2x(-)×,√/×8x10=-6x8 -4√3 7.C 1 2 ◆一题多解法 (1)原式=1⑧×2=363 2√2X√2 =4=4=2 2原式丽--2 9.解：(1)原式=(7)2+2√7+1=7+2√7+1=8+ 27. (2)原式=（√/2025）2-12=2025-1=2024. 10.√211.D12.C13.3