模型构建专题 利用勾股定理解决最值问题-【学海风暴】2026-2027学年八年级上册数学同步备课（北师大版·新教材）

模型构建专题 利用勾股定理解决最值问题 模型① 用对称法解决平面中的最值问题 4.应用意识如下图，要在一条笔直的公路1上 模型解读 建一个燃气站P,向1同侧的A,B两个城镇 如图，点B'为点B关于直线1的对称点， 分别铺设管道输送燃气. 连接AB'交I于点P,此时PA+PB的值 (1)燃气站P在公路1上何处时，管道总长 最小，且PA+PB=PA+PB'=AB'. 度最短？请作出这条最短路线（保留作图痕 迹，不写作法). (2)若测得A,B两镇的距离为13km,且A, B两镇到公路l的距离分别为5.5km和 10.5km,求所铺设管道的最短长度. 1.如图，CA∥BD,CA⊥AB,AC=5,BD=3, ·B AB=6,E是AB上一动点，则CE+DE的 A· 最小值为 第1题图 第2题图 2.如图，正方形ABCD的边长为8，点M在 DC上且DM=2,N是AC上的一动点，则 DN+MN的最小值是 3.如下图，在△ABC中，AC=BC=4,∠ACB =90°，D是BC边上的一点，且CD=1,P 是AB边上一动点，则PC十PD的最小值是 多少？ D 上册第一章 模型② 用展开法解决立体图形中的最值问题 7.如图，有一圆柱，其高为14cm,底面周长为 模型解读 10cm.在圆柱下底面A处有一只蚂蚁，它想 如图，将立体图形展开成平面图形利用 得到上面B处的食物，其中点B离上沿 两点之间线段最短确定最短路径→构造直 2cm,则蚂蚁爬行的最短路程为 角三角形→利用勾股定理求解， 正面 图① 第7题图 第8题图 8.如图，在一块长11.5m、宽为5m的长方形 草地上，堆放着一根正三棱柱的木块，它的 B C 侧棱长平行且大于草地的宽AD,木块从正 图② 面看是边长为0.5m的等边三角形.一只蚂 蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是 m. 9.如下图，按要求回答下面问题 图③ (1)请你与同伴一起做一个这样的物体，并把 5.一个三级台阶如图所示， 它的侧面沿AS处剪开，铺在桌面上，研究一 A和B是这个台阶两个相 下，它的侧面展开图是一个 形. 对的端点，点A处有一只 (2)如果点C是AS的中点，在C处有蜗牛 蚂蚁想到点B处去吃可口 第5题图 想吃到的食物，恰好在A处有一只蜗牛.假 的食物.若这个台阶的每一级的长、宽和高 设蜗牛只能沿圆锥曲面爬行一圈，你能画出 分别为8,3和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬 蜗牛爬行的最短路线的图形吗？ 行的最短路程为 ( (3)若AS的长度为10，侧面展开图的夹角 A.23 B.17 C.15 D.13 为90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程的 6.情境应用纸箱是我们生活中常见的物品. 平方 如图①，创意小组的同学将一个10cm× 30cm×40cm的长方体纸箱裁去一部分（粗 虚线为裁剪线)，得到图②所示的简易书架. 若一只蜘蛛从该书架的顶点A处出发，沿书 架内壁爬行到顶点B处，则它爬行的最短距 离为 cm 40 cm 40 cm 30 cm 10 cmL 30 cm 10 cm 10cm 图① 图② 第6题图 12 八年级数学BS版所以AB2=AC2+BC2=100,所以AB=10. 故蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为10cm. 5.解：可供滑行部分展开图如图所示. 由题意，得AD=3π≈9(m),DE=CD-CE 45-5=40(m). 在Rt△ADE中，AE2=AD2+DE2=92+40 =41,即AE=41m. 故他滑行的最短距离约是41m. 模型构建专题利用勾股定理解决 最值问题 1.10 2.10【解析】如图，连接BN,BD D 因为正方形是轴对称图形，点B与点D 是以直线AC为对称轴的对称点， 所以BN=ND, 所以DN+MN=BN+MN 连接BM交AC于点P. 当点N运动到点P时，BN十MN=BP+PM=BM, 即BN+MN的最小值为BM的长. 因为四边形ABCD为正方形，且边长为8， 所以BC=CD=8,∠BCM=90°，所以CM=8-2=6, 所以BM=BC2+CM=82+62=102, 所以BM=10. 故DN+MN的最小值是10. 3.解：如图，过点C作CO⊥AB于点O,延 长CO至点C',使OC'=OC,连接DC', 交AB于点P',连接CP',则PC'= P'C,此时PC+PD取得最小值，为 DC'的长. 因为CD=1,BC=4,所以BD=3. 因为在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°， 所以∠CBA=45°. 连接BC',则∠C'BA=∠CBA=45°，BC'=BC=4, 所以∠CBC'=90°. 在Rt△DBC'中，由勾股定理，得DC?=BD+BC2= 32+4=25,所以DC′=5. 故PC+PD的最小值是5. 4.解：(1)如图①，点P和最短路线AP→BP即为所求. B 图① (2)设AA'交直线l于点E,过点B作直线1的垂线 BM,交直线I于点F,过点A'作A'C⊥BM于点C,过 点A作AD⊥BM于点D,连接AB,如图②. .B M 图② 易知四边形AA'CD和四边形AEFD均为长方形， 所以AE=DF=5.5km, 所以BD=BF-DF=10.5-5.5=5(km). 因为AB=13km, 所以AD=A'C=AB2-BD2=122, 所以A'C=12km. 因为CF=A'E=AE=5.5km, 所以BC=BF+CF=16km. 所以A'B=A'C2+BC2=202, 所以A'B=AP+PB=20km. 故所铺设管道的最短长度为20km. 5.B【解析】将台阶展开，连接AB,如图. 因为AC=3×3+2×3=15,BC=8,所以 AB=AC2+BC2=289, 所以AB=17,所以这只蚂蚁沿着台阶面爬 行的最短路程为17. 6.50【解析】如图，把书架沿侧面展开，连C 接AB, 10 cm 30 cm 10 cm 30 cm 10 cm 则爬行的最短距离为AB的长，过点A作底边的平行 线AM,交BN于点O. 由图可知，OA=30+10=40(cm),OB=40-10 =30(cm). 在Rt△AOB中，AB2=OA2+OB2=402+302=502, 所以AB=50cm. 即它爬行的最短距离为50cm. 7.13cm【解析】如图，将圆柱的侧面 沿过点A的一条高展开，连接AB, 则线段AB的长就是蚂蚁爬行的最 短路程，C,H分别是AE,DF的 中点. 因为圆柱的底面周长是10cm,所以AC=5cm. 因为CH=14cm,BH=2cm, 所以BC=12cm, 所以AB2=AC2+BC2=5+122=132, 所以AB=13cm. 故蚂蚁爬行的最短路程为l3cm 8.13【解析】如图，将木块展开，得到如D 图所示的长方形，所以长方形的长为 11.5十0.5+0.5-0.5=12(m). 蚂蚁从点A处到点C处需要走的最 短路程是对角线AC的长.因为长方形的宽为5m, 所以由勾股定理得AC2=122+52=132,所以AC 13m. 故蚂蚁从点A处到点C处需要走的最短路程是13m. 9.解：(1)扇 (2)如图，AC即为蜗牛爬行的最短路线。 (3)由勾股定理，得AC2=AS+SC2=102+52=125. 故蜗牛爬行的最短路程的平方为125. 上册详解详析 5