第13讲 函数的奇偶性（知识详解+5典例精讲+课后作业）-2026年新高一数学暑假预习讲义（沪教版必修第一册）

第13讲 函数的奇偶性（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：奇函数 知识点02：偶函数 知识点03：奇、偶函数图像的特征 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：函数奇偶性的定义与判断 题型02：由奇偶性求函数解析式 题型03：函数奇偶性的应用 题型04：由奇偶性求参数 题型05：由函数奇偶性解不等式 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】奇函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 【例1】判断函数 是否为奇函数。 【知识点02】偶函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【例2】判断函数 是否为偶函数。 【知识点03】奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【例3】已知偶函数的图象关于轴对称，且当时，，求时函数的解析式。 【题型01】函数奇偶性的定义与判断 【典例1-1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【变式1-1】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知函数为偶函数，则函数，的奇偶性为（    ） A．均为偶函数 B．至少有1个为偶函数 C．均为奇函数 D．至少有1个为奇函数 【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为_______ ① ② ③      ④ 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【题型02】由奇偶性求函数解析式 【典例2-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知函数是奇函数，当时，；则当时，______________. 【变式2-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，_________． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）设是定义在上的奇函数且当时，，求的表达式． 【题型03】函数奇偶性的应用 【典例3-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程的解集为________． 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则___________． 【变式3-2】已知是定义域为的奇函数，且当，（其中为常数，且）. (1)求的值； (2)求函数的解析式. 【变式3-3】函数． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解方程． 【题型04】由奇偶性求参数 【典例4-1】若函数是偶函数，则实数的值是（    ）． A．-1 B．0 C．1 D．不唯一 【变式4-1】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则_________． 【变式4-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设（、为实常数），若是奇函数，求的值． 【题型05】由函数奇偶性解不等式 【典例5-1】设奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是______． 【变式5-1】已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为____________． 【变式5-2】已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______． 【变式5-3】定义在上的奇函数在轴右侧的图象如图所示： （1）将该函数图像补完整; （2）求不等式的解集. 知识点01函数奇偶性判定前提（必考第一步） 判断函数奇偶性必先看定义域： 若函数定义域 不关于原点对称，函数为非奇非偶函数； 若定义域 关于原点对称，再代入解析式判断奇偶性。 知识点02奇函数核心知识梳理 1. 定义公式 对任意 ，满足： 2. 核心性质 （1）图象关于原点中心对称； （2）若 ，必有 （常用快速检验结论）； （3）在关于原点对称的区间上，函数单调性相同。 知识点03偶函数核心知识梳理 1. 定义公式 对任意 ，满足： 2. 核心性质 （1）图象关于y轴对称； （2）恒满足 （去绝对值、化简求值常用）； （3）在关于原点对称的区间上，函数单调性相反。 知识点04奇偶函数图象几何特征 1. 奇函数图象特征 点 在图象上 对称点 在图象上。 2. 偶函数图象特征 点 在图象上 对称点 在图象上。 3. 图象常用功能 利用对称性可：补全函数图象、求对称区间解析式、比较函数值大小、判断单调性。 知识点05特殊函数分类 1. 既奇又偶函数：，定义域关于原点对称； 2. 非奇非偶函数：定义域不对称，或不满足奇偶性公式。 知识点06本节必背公式总结 1. 奇函数： 2. 偶函数： 3. 偶函数推论： 4. 奇函数零点结论： 知识点07高频易错点总结 1. 定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶，无需代公式； 2. 是奇函数的必要不充分条件，不能单独用来证奇函数； 3. 奇函数对称区间单调性一致，偶函数对称区间单调性相反； 4. 奇偶性是函数整体性质，不是区间局部性质。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·期中）若是偶函数，则_______． 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，若函数是偶函数，则实数______． 3．若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为________. 5．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为__________. 6．已知函数，若，则______. 7.（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 8．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 9．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则______. 10．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则__________. 11．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 12．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______． 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·阶段检测）若二次函数表达式为，则 “ ” 是 “此函数为偶函数” 的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 15．（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4)． 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）讨论函数（其中）的奇偶性． 19．已知m、n是常数，而函数为奇函数.求m、n的值. 20．（24-25高一·上海·课堂例题）定义在上的偶函数满足：对任意的，有且，求不等式的解集. 21．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）判断函数（为常数）的奇偶性，并证明你的结论； （2）若已知为奇函数，则正数应满足什么条件？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数的奇偶性（知识详解+5典例精讲+课后作业） 知识详解·核心内容 知识点01：奇函数 知识点02：偶函数 知识点03：奇、偶函数图像的特征 典例精讲·例题解析 （举一反三） 题型01：函数奇偶性的定义与判断 题型02：由奇偶性求函数解析式 题型03：函数奇偶性的应用 题型04：由奇偶性求参数 题型05：由函数奇偶性解不等式 课后作业·巩固延伸 一、填空题（12） 二、单选题（4） 三、解答题（5） 【知识点01】奇函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称． 【例1】判断函数 是否为奇函数。 解：步骤1：判断定义域 函数为整式函数，定义域，关于原点对称，满足奇偶性判定前提。 步骤2：代入计算解析式 步骤3：变形比对定义 满足奇函数定义 。 结论：函数是奇函数。 【知识点02】偶函数 如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称． 【例2】判断函数 是否为偶函数。 解：步骤1：判断定义域 定义域，关于原点对称，满足判定条件。 步骤2：代入求解 步骤3：比对偶函数定义 满足偶函数定义。 结论：函数是偶函数。 【知识点03】奇、偶函数图像的特征 奇偶函数的对称性是相对于其图象来说的，具体而言奇函数的图象关于原点对称，其特点是f（x）＝m时，f（﹣x）＝﹣m；偶函数的图象关于y轴对称，它的特点是当f（x）＝n时，f（﹣x）＝n． 【例3】已知偶函数的图象关于轴对称，且当时，，求时函数的解析式。 解：步骤1：设变量、转化区间 设，则，满足已知解析式的区间条件。 步骤2：代入已知区间解析式 步骤3：利用偶函数图象性质 结论：当时，。 【题型01】函数奇偶性的定义与判断 【典例1-1】函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数，又是偶函数 【答案】B 【分析】由函数奇偶性定义判断. 【详解】因为，所以函数的定义域为，关于原点对称． 又， 所以是偶函数,而，故不是奇函数， 故选：B. 【变式1-1】（24-25高一下·上海徐汇·开学考试）已知函数为偶函数，则函数，的奇偶性为（    ） A．均为偶函数 B．至少有1个为偶函数 C．均为奇函数 D．至少有1个为奇函数 【答案】B 【分析】分别根据函数，的奇偶性，判断函数的奇偶性，进行判断. 【详解】若函数，均为偶函数，则，所以为偶函数； 若函数为偶函数，为奇函数，则，所以为偶函数； 若函数为奇函数，为偶函数，则，所以为偶函数； 若函数为奇函数，为奇函数，则，所以为奇函数. 所以函数为偶函数，则函数，至少有1个为偶函数. 故选：B 【变式1-2】（24-25高一上·上海徐汇·期中）下列函数中，偶函数的序号为_______ ① ② ③      ④ 【答案】①②④ 【分析】利用偶函数的定义逐一判断即得. 【详解】对于①，函数的定义域为， ，①是； 对于②，函数中，，解得， ，，②是； 对于③，中，，而，，③不是； 对于④，中，，当时，， ；当时，，， 因此，④是. 故答案为：①②④ 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）判断下列函数的奇偶性，并说明理由： (1)． (2)． 【答案】(1)偶函数 (2)既是奇函数又是偶函数 【分析】（1）（2）先求函数的定义域，再求与的关系即可判断函数的奇偶性； 【详解】（1）令，， ， 所以， 所以函数为偶函数. （2）令， ，解得或， 所以，所以既有，又有， 所以函数既是奇函数又是偶函数. 【题型02】由奇偶性求函数解析式 【典例2-1】已知是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因为时，，所以利用即可求解. 【详解】设，则，则. 故选:C. 【变式2-1】（25-26高一上·上海青浦·阶段检测）已知函数是奇函数，当时，；则当时，______________. 【答案】 【分析】利用函数奇偶性求解. 【详解】当时，则，， 又，所以. 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海浦东新·阶段检测）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则当时，_________． 【答案】 【分析】根据函数奇偶性求解析式即可． 【详解】当时，，且是定义在上的偶函数， ， 故，， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25高一上·上海·课后作业）设是定义在上的奇函数且当时，，求的表达式． 【答案】 【分析】运用奇函数的定义和性质求解即可. 【详解】解：∵是定义在上的奇函数，∴． 任取，则，． ∵为奇函数，∴， ∴，∴ 【题型03】函数奇偶性的应用 【典例3-1】（25-26高一上·上海嘉定·期末）已知函数是定义在上的偶函数，且当时，，则方程的解集为________． 【答案】 【分析】先求解当时，的解，再根据函数奇偶性求解即可. 【详解】当时，， 若，则，解得或（舍去） 因为函数是定义在上的偶函数， 所以当时，的解为， 综上，方程的解集为. 故答案为： 【变式3-1】（25-26高一上·上海·期末）已知函数是定义在上的奇函数，且时，，则___________． 【答案】 【分析】根据题意先求，再结合奇函数性质求解即可. 【详解】因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 因为时，， 所以， 所以 故答案为： 【变式3-2】已知是定义域为的奇函数，且当，（其中为常数，且）. (1)求的值； (2)求函数的解析式. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）函数在处有定义，利用奇函数性质求解即可； （2）根据对称性，设，利用正数区间上函数的解析式和求解即可. 【详解】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，即. （2）设，则，所以， 所以的解析式为 【变式3-3】函数． (1)判断函数的奇偶性并证明； (2)解方程． 【答案】(1)偶函数，证明见解析 (2)、2、3、4 【分析】（1）根据奇偶性的定义即可证明； （2）由于函数是偶函数，列出方程组，即可求出x. 【详解】（1）答：函数是偶函数. 证明：， ， 所以函数是偶函数. （2）解：由（1）知函数是偶函数， ， ， 或；解得或，或， 即、2、3、4. 【题型04】由奇偶性求参数 【典例4-1】若函数是偶函数，则实数的值是（    ）． A．-1 B．0 C．1 D．不唯一 【答案】C 【解析】直接利用偶函数, ,代入x=1即可求出a. 【详解】因为函数是偶函数, 所以,即,解得: a=1 故选:C 【点睛】函数奇偶性的应用: (1)一般用或; (2)有时为了计算简便,我们可以对x取特殊值: 或. 【变式4-1】（24-25高一下·上海宝山·期末）已知．若为偶函数，则_________． 【答案】 【分析】利用偶函数的定义求出参数值. 【详解】函数的定义域为R，由为偶函数，得， 即，而不恒为0， 所以. 故答案为：0. 【变式4-2】（25-26高一上·上海徐汇·期末）已知是奇函数，则实数的值为______． 【答案】/0.5 【分析】根据奇函数的定义域具有对称性，则，再代入验证即可. 【详解】由题意得， 又因为其为奇函数，则其定义域具有对称性， 则，解得，则， 此时，解得，定义域关于原点对称， 且，则为奇函数，满足题意. 故答案为：. 【变式4-3】（24-25高一上·上海·课堂例题）设（、为实常数），若是奇函数，求的值． 【答案】或. 【分析】根据题意，得到，整理得，列出方程组，即可求解. 【详解】解：因为是奇函数，可得， 即对定义域内任意实数成立， 整理得， 所以，可得或. 经检验，都符合题意，所以的值分别为或. 【题型05】由函数奇偶性解不等式 【典例5-1】设奇函数的定义域为，若当时，的图象如下图，则不等式的解是______． 【答案】 【分析】根据奇函数的性质，结合图象进行求解即可. 【详解】因为奇函数的定义域为，所以函数图象关于原点对称， 由图可知，当时，或， 所以不等式的解是. 故答案为：. 【变式5-1】已知函数是定义在实数集上的偶函数，当时，的图像如图所示，则关于的不等式的解集为____________． 【答案】 【分析】由偶函数的定义作出在上的图像，根据图像讨论即可. 【详解】因为函数是上的偶函数，图像关于轴对称， 所以在上的图像如图所示： 的定义域为， 由图像可知在上，，，所以， 在上，，，所以， 在上，，，所以， 在上，，，， 综上不等式的解集为， 故答案为： 【变式5-2】已知是上的奇函数，且当时，，则不等式的解集为______． 【答案】； 【分析】根据函数解析式先求当时不等式的解，再由奇函数对称性求出时的解，又，综上即可得出不等式解集. 【详解】当时，，解得， 因为是上的奇函数，故图象关于原点对称 所以当时，， 又由是上的奇函数，所以，即， 综上，的解集为. 故答案为： 【变式5-3】定义在上的奇函数在轴右侧的图象如图所示： （1）将该函数图像补完整; （2）求不等式的解集. 【答案】（１）见解析（２）见解析 【分析】（1）由奇函数性质，作出函数的图象；（2）根据图像得到不等式的解集． 【详解】（１）根据函数的奇偶性可得该函数图像： （２）设点Ａ点坐标为 ，点Ｂ点坐标为，其中 由图像可知不等式的解集为： ． 【点睛】本题考查函数的奇偶性，考查对称性的应用，考查数形结合处理问题的能力，属于基础题． 知识点01函数奇偶性判定前提（必考第一步） 判断函数奇偶性必先看定义域： 若函数定义域 不关于原点对称，函数为非奇非偶函数； 若定义域 关于原点对称，再代入解析式判断奇偶性。 知识点02奇函数核心知识梳理 1. 定义公式 对任意 ，满足： 2. 核心性质 （1）图象关于原点中心对称； （2）若 ，必有 （常用快速检验结论）； （3）在关于原点对称的区间上，函数单调性相同。 知识点03偶函数核心知识梳理 1. 定义公式 对任意 ，满足： 2. 核心性质 （1）图象关于y轴对称； （2）恒满足 （去绝对值、化简求值常用）； （3）在关于原点对称的区间上，函数单调性相反。 知识点04奇偶函数图象几何特征 1. 奇函数图象特征 点 在图象上 对称点 在图象上。 2. 偶函数图象特征 点 在图象上 对称点 在图象上。 3. 图象常用功能 利用对称性可：补全函数图象、求对称区间解析式、比较函数值大小、判断单调性。 知识点05特殊函数分类 1. 既奇又偶函数：，定义域关于原点对称； 2. 非奇非偶函数：定义域不对称，或不满足奇偶性公式。 知识点06本节必背公式总结 1. 奇函数： 2. 偶函数： 3. 偶函数推论： 4. 奇函数零点结论： 知识点07高频易错点总结 1. 定义域不关于原点对称，直接判定非奇非偶，无需代公式； 2. 是奇函数的必要不充分条件，不能单独用来证奇函数； 3. 奇函数对称区间单调性一致，偶函数对称区间单调性相反； 4. 奇偶性是函数整体性质，不是区间局部性质。 一、填空题 1．（25-26高一上·上海·期中）若是偶函数，则_______． 【答案】1 【分析】利用偶函数的性质得到在R上恒成立，即可得. 【详解】由题设，函数定义域为R，且恒成立， 所以，即恒成立， 则对于 ，恒有或， 若，则，不合题意； 故，所以. 故答案为：1 2．（25-26高一上·上海·期末）已知，若函数是偶函数，则实数______． 【答案】 【分析】先求出定义域，然后由对定义域内的每一个数均成立，可求得的值. 【详解】因为，所以，所以原函数的定义域为， 因为原函数为偶函数，所以， 所以，所以对任意 恒成立， 因为 不恒为0（如当 时，），故必有，解得. 3．若函数为偶函数，则正实数的值为___________． 【答案】4 【分析】根据偶函数满足对定义域内任意恒成立的性质，列等式求解正实数的值. 【详解】由偶函数定义可知，对任意，均有成立， 因为正实数，整理得： 该式对任意恒成立，故 ，解得. 4．（25-26高一上·上海浦东新·期末）已知定义在上的偶函数，当时，，则的值为________. 【答案】8 【分析】根据定义域关于原点对称可得，进而根据偶函数的性质即可代入求解. 【详解】因为为偶函数，所以定义域关于原点对称，即，得， 且知，代入得. 故答案为：8. 5．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）已知是定义在上的奇函数，当时，，则定义域为的该函数的解析式为__________. 【答案】 【分析】由奇函数的性质求解即可； 【详解】当时，则， 由奇函数性质知， 所以. 故答案为：. 6．已知函数，若，则______. 【答案】 【分析】根据即可求解. 【详解】当时，， 所以，解得：， 故答案为： 7.（25-26高一上·上海宝山·期末）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则 在时的解析式是_____. 【答案】 【分析】当时，，求出，再根据奇函数的定义求出. 【详解】当时，， 则当时，，有， 因为是定义域为的奇函数，所以， 故 在时的解析式是. 故答案为： 8．（25-26高一上·上海·期末）已知是定义在上的奇函数，当时，，则______. 【答案】 【分析】根据奇函数的性质结合函数解析式求解即可. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以，. 所以. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海嘉定·期末）已知函数是偶函数，是奇函数，且，则______. 【答案】 【分析】利用函数的奇偶性，可得，再和，两式相加即可求得. 【详解】因为函数是偶函数，是奇函数， 所以，， 因为①， 所以， 即②， 则①②两式相加可得， 即. 故答案为：. 10．（24-25高一上·上海奉贤·阶段检测）若函数是定义在上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则__________. 【答案】 【分析】利用赋值法，结合累加法求解即可. 【详解】令，得，即， 因为为偶函数，所以，解得. 当时，， ，即. ，，， ，， 以上式子相加可得：，解得. 故答案为：. 11．（25-26高一下·上海·阶段检测）函数为定义在上的奇函数，且满足，若，则_________ 【答案】5 【分析】先由函数的奇偶性与对称性推出周期，再计算一个周期内的函数值之和，最后利用周期性对所求求和式进行化简计算. 【详解】由为奇函数，得. 由，得， 故，即的周期为. ，，，. 因此，一个周期内的和为. ，故. 代入得. 12．（25-26高一上·上海·期末）已知函数的定义域为，若是偶函数，是奇函数，则______． 【答案】 【分析】根据函数的奇偶性定义列出方程组，联立求得，再代值计算即可. 【详解】由是偶函数，可得，即①， 由是奇函数，可得，即②， 由 ，则，故. 故答案为：1. 二、单选题 13．（24-25高一上·上海·阶段检测）若二次函数表达式为，则 “ ” 是 “此函数为偶函数” 的（     ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】根据二次函数奇偶性，结合充要条件的定义判定即可． 【详解】二次函数表达式为，则，其定义域为， 若，则二次函数为偶函数，充分性成立， 若二次函数为偶函数，，，必要性成立， 所以是此函数为偶函数的充要条件. 故选：C． 14．（25-26高一上·上海·阶段检测）“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【分析】根据偶函数图象的性质，结合充分、必要性的定义判断条件间的关系. 【详解】若是偶函数，则函数的定义域关于原点对称， 若函数的定义域关于原点对称，但不一定成立， 比如的定义域为R，但不是偶函数， 所以“函数的定义域关于原点对称”是“函数为偶函数”的必要非充分条件. 故选：B 15．（24-25高一上·上海静安·期末）设函数是定义在上的奇函数，当时,，则不等式的解集为（    ） A．() B．[] C． D． 【答案】C 【分析】根据奇函数的性质求解，即可分类讨论代入求解. 【详解】设，则,故， 故， 当且，即，则，解得， 当且时，即， ，解得， 当且时，即， ，解得， 当且，此时不存在， 综上可得， 故选：C 16．（24-25高一上·上海·随堂练习）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，其中，则关于函数的叙述中正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是奇函数 C．是奇函数 D．的值域是 【答案】A 【分析】根据奇偶性的定义直接判断各选项. 【详解】因为， 所以， 所以为偶函数，B选项错误； ， 所以为偶函数，A选项正确，C选项错误； 又因为，所以， 所以值域不可能负数，D选项错误； 故选：A. 三、解答题 17．（24-25高一上·上海·课堂例题）判断下列函数的奇偶性，并说理． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)奇函数，理由见解析 (2)偶函数，理由见解析 (3)非奇非偶函数，理由见解析 (4)既是奇函数又是偶函数，理由见解析 【分析】（1）（2）（3）（4）根据函数奇偶性定义判断. 【详解】（1）根据题意，函数定义域为， 且，所以函数为奇函数； （2）根据题意，函数定义域为， 且，所以函数为偶函数； （3），函数定义域为， 定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数； （4）根据题意，，所以函数定义域为， 函数，所以函数既是奇函数又是偶函数. 18．（24-25高一上·上海·课堂例题）讨论函数（其中）的奇偶性． 【答案】答案见解析 【分析】利用函数奇偶性的定义讨论即可. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称． ①当时，． ∵， ∴为偶函数； ②当时，，且． ∴函数是非奇非偶函数． 综上所述，当时，函数为偶函数；当时，函数是非奇非偶函数． 19．已知m、n是常数，而函数为奇函数.求m、n的值. 【答案】 【分析】根据题意结合奇函数的定义运算求解. 【详解】因为的定义域为， 若为奇函数， 则， 可得，则，解得. 20．（24-25高一·上海·课堂例题）定义在上的偶函数满足：对任意的，有且，求不等式的解集. 【答案】 【分析】由函数奇偶性以及单调性解不等式即可求得不等式的解集. 【详解】根据题意由可得函数在上单调递减， 再由偶函数性质可得在上单调递增，且， 因此可得当，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 综上可得，不等式的解集为. 21．（24-25高一上·上海·课后作业）（1）判断函数（为常数）的奇偶性，并证明你的结论； （2）若已知为奇函数，则正数应满足什么条件？ 【答案】（1）奇函数，证明见解析；（2）． 【分析】（1）根据函数的奇偶性定义证明即可； （2）由对数的概念得，即，因为是正数，所以，再利用奇函数的对称性得，代入解析式验证即可. 【详解】（1）为奇函数，证明如下： 的定义域为，定义域关于原点对称， 对于任意，， ∴为奇函数． （2）由题得，，即， 因为是正数，所以， 因为函数为奇函数，所以，． 所以， ， 所以，所以此时函数是奇函数． 所以正数应满足的条件是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $