第16讲 函数的基本性质（2）（函数的单调性）-【暑假辅导班】2021年新高一数学暑假精品课程（沪教版2020必修第一册）

第16讲 函数的基本性质（2）（函数的单调性） 【基础知识】 注：①函数的单调区间是函数定义域的子集，在讨论函数的单调性的基础上不要忽略函数定义域的要求； ②一个函数有多个单调递增或递减区间时不能用“ ”连接；如 的单调递减区间时 和 而不能写成 。 单调性证明四部曲 ①任取 , 属于定义域，且令 < ；②作差 － 并变形，一般情况下是变形为几个式子乘积的形式； ③判断 － 的符号；④得出结论. 复合函数的单调性：同增异减 注：在解决复合函数单调性问题时不可忽略函数的定义域要求。 单调性与奇偶性之间的关系 奇函数在对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间上的单调性相反。 单调性的其它等价形式 ①对于任意的 ，都有 ，表示 单调递增； 对于任意的 ，都有 ，表示 单调递减. ②对于任意的 ，都有 ，表示 单调递增； 对于任意的 ，都有 ，表示 单调递减. ③若 是奇函数，且对定义域内的任意 （ ）都有 恒成立，则 在定义域内递增； 恒成立，则 在定义域内递减. 【考点剖析】 考点一：单调性的概念及简单基本函数的单调性 例1．设 是定义在 上的函数． ①若存在 ，当 时、有 成立，则函数 在 上单调递增； ②若存在 ，当时，有 成立，则函数在 上不可能单调递 减； ③若存在 ，对于任意 ，都有 成立，则函数在上 单调递增； ④任意，当时，都有 成立，则函数在上单调递减． 以上命题正确的序号是（ ） （A）①③ （B）②③ （C）②④ （D）② 【难度】★★ 【答案】D 例2．判断命题： （1）已知 均为 上的单调递增函数，则 是 上单调递增函数； （2）已知 的定义域为 ， ， 为 上的增函数。 （3）已知 的定义域为 ， 在 上单调递增，则 在 上单调递增。 （4）偶函数一定不是单调函数。 【难度】★★ 【答案】（1）错（2）错（3）错（4）对 例3.定义在R上的函数f(x)的图像过点M（－6，2）和N（2，－6），且对任意正实数k，有f(x+k)< f(x)成立，则当不等式| f(x-t)+2|<4的解集为(－4,4)时，实数t的值为 . 【难度】★★ 【答案】2 例4．写出下列函数对应的单调区间 的递增区间是___________________，递减区间是____________________； 的单调递增区间 ； 的单调递增区间 的单调递增区间 . 【难度】★★【答案】（1） （2） （3） 和 （4） 【解析】（1）画图（2）不要忽略定义域（3）画图，多个单调递增区间不能用“ ”连接（4）单调函数四则运算规律 例5．已知函数 ， ，且 与 的图像在 轴上的截距相等，则函数 的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】 例6．求 的单调递增区间 【难度】★★ 【答案】 和 【解析】 ，令 ，原函数变为 从而可得函数的递增区间为 和 考点二：定义法判断函数的单调性 例12．已知函数 ， ， ． 当 时，求证函数 是单调函数． 【难度】★★【答案】 可证函数在两段上都是单调递增的，又函数连续，故 是单调递增函数. 例13．讨论函数 在区间 上的单调性 【难度】★★【答案】当a>0时递减，a=0时为常值函数不具有单调性；当a<0时递增 考点三：分段函数单调性 例13．已知函数 ,满足对任意 ,都有 成立,则 的取值范围是__________. 【难度】★★【答案】 例14．设 、 、 是定义域为 的三个函数，对于命题：若 、 、 均为增函数，则 、 、 中至少有一个增函数；这个命题是否正确？ 【难度】★★【答案】错；可举反例 考点四：单调性的应用 例15．已知函数 在区间(－∞，3)上是减函数，则 的取值范围是 　 　　 . 【难度】★★ 【答案】 例16．函数 = 在区间（-2，+∞）上为增函数，则 的取值范围是 【难度】★★ 【答案】 例17．已知 ， ， 在定义域上为增函数，求 的取值范围 【难度】★★【答案】 【解析】两种方法：一种是根据函数性质分类讨论；另外根据单调性定义转化为恒成立问题。 例18．已知函数 在区间 上是减函数，则实数 的取值范围是 . 【难度】★★ 【答案】 例19．已知函数 ，若函数 在 上为增函数，求 的取值范围 【难度】★★【答案】 【解析】利用定义法解参数取值可化为恒成立问题，注意等号能够取得到。 例20． （1） 在区间 上是增函数，求 的取值范围。 （2） 的单调递增区间