精品解析：2022年上海师范大学第二附属中学自主招生数学试卷

2022年上海师范大学第二附属中学自主招生数学试卷 1. 已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F，根据同角的余角相等求出∠α=∠DCF，利用两角对应相等的两三角形相似证明△BEC∽△CFD，再由相似三角形对应边成比例可得BE=h，然后在Rt△BCE中利用锐角的正切值等于对边比邻边列式计算即可得解． 【详解】如图，过点C作CE⊥l4于点E，延长EC交l1于点F， 在矩形ABCD中，∠BCD=90°， ∵∠α+∠BCE=90°，∠BCE+∠DCF=180°-90°=90°， ∴∠α=∠DCF， 又∵∠BEC=∠CFD=90°， ∴△BEC∽△CFD， ∴， 即， ∴BE=h， 在Rt△BCE中，∵∠BEC=90°， ∴tanα==， 故选C． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，锐角三角形函数的定义，作辅助线，构造出相似三角形以及∠α所在的直角三角形是解题的关键． 2. 如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别与、交于，两点，若，则线段的长为（   ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题综合考查了角平分线的性质、正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 作于点，可证是等腰直角三角形，由角平分线的性质可得，进一步证，即可求解． 【详解】解：如图，作于点， ∵ 四边形为正方形， ∴为等腰直角三角形 ∵平分， 为对角线交点， ∵ ，且 即 化简 故选：C. 3. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 【答案】A 【解析】 【详解】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB＝5，根据角平分线的性质得PE＝PC＝PD，设P（t，t），利用面积的和差得到×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t，求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y＝中求出k的值． 【解答】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图， ∵A（0，4），B（3，0）， ∴OA＝4，OB＝3， ∴AB＝＝5， ∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P， ∴PE＝PC，PD＝PC， ∴PE＝PC＝PD， 设P（t，t），则PC＝t， ∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB＝S矩形PEOD， ∴×t×（t﹣4）+×5×t+×t×（t﹣3）+×3×4＝t×t， 解得t＝6，∴P（6，6）， 把P（6，6）代入y＝得k＝6×6＝36． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式． 4. 如图，一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（   ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查树状图法求概率． 根据题意可知，共有种等可能得结果，其中有种情况可以获取食物，即可得获取食物的概率． 【详解】解：由图可知，共有条路径，其中有条路径可以获取食物， 根据题意可知，蚂蚁选择每条路径的可能性相同， ∴它获取食物的概率是． 故选：B． 5. 如图，已知，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点．若，，则的半径是（   ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，由勾股定理可得 ，根据锐角三角函数可求的长，再根据勾股定理可求的长，即可求的半径． 【详解】解：如图，连接，， ∵是切线， ∴， ∵是直径， ∴，且， ∴，且， ∴，且， ∴， 在中， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，解直角三角形，灵活运用相关的性质定理、综合运用知识是解题的关键． 6. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点为；④．其中正确的结论是（   ）． A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】先根据抛物线对称轴方程对①进行判断，然后根据自变量为时对应的函数值为负数可对②进行判断； 接下来，根据抛物线的对称性，由抛物线与x轴的一个交点为得到抛物线与x轴的另一个交点为，则可对③进行判断； 最后由抛物线开口方向得到，由对称轴位置可得，由抛物线与y轴的交点位置可得，于是可对④进行判断． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴ ∴， ∴①正确． ∵时，， ∴， ∴ ∴②错误． ∵抛物线与x轴的一个交点为，而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴③错误． ∵抛物线开口向上， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴， ∴， ∴④正确． 综上，正确的有①④． 【点睛】本题考查二次函数的图像与系数的关系，对于二次函数，抛物线对称轴方程为直线，当时，抛物线开口向上，当时，抛物线开口向下；当抛物线与y轴交于y轴正半轴时，，当抛物线与y轴交于负半轴时，当对称轴在y轴左侧时，a、b同号，当对称轴在y轴右侧时，a、b异号；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 【答案】2.2 【解析】 【分析】利用勾股定理算出梯子的长度，再利用勾股定理算出，根据即可解题． 【详解】解：如图： 根据题意，可知， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___． 【答案】12 【解析】 【分析】根据图象可知点P在BC上运动时，此时BP不断增大，而从C向A运动时，BP先变小后变大，从而可求出线段长度解答． 【详解】根据题意观察图象可得BC=5，点P在AC上运动时，BPAC时，BP有最小值， 观察图象可得，BP的最小值为4，即：BPAC时，BP=4， 又∵CP=， 因点P从点C运动到点A， 根据函数的对称性可得CP=AP=3，所以的面积==12. 【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是注意结合图象求出线段的长度，本题属于中等题型． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是__________. 【答案】 【解析】 【分析】连接AM，证明BM是线段AC的垂直平分线，结合勾股定理求解. 【详解】解：如图，连接AM， 由题意得：CA＝CM，∠ACM＝60°， ∴△ACM为等边三角形， ∴AM＝CM，∠MAC＝∠MCA＝∠AMC＝60°； ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝， ∴AC＝＝CM＝， ∵AB＝BC，CM＝AM， ∴BM垂直平分AC， ∴BO＝AC＝；OM＝＝. ∴BM＝BO＋OM＝. 故答案为：. 【点睛】本题考查了旋转的性质、线段垂直平分线的性质及勾股定理，要求学生应理解旋转变换是全等变换，即旋转前后的两个图形全等. 10. 如图，在矩形中，垂足为，点分别在上，则的最小值为 ___________ 【答案】 【解析】 【分析】在Rt△ABE中，利用三角形相似可求得AE、DE的长，设A点关于BD的对称点A′，连接A′D，可证明△ADA′为等边三角形，当PQ⊥AD时，则PQ最小，所以当A′Q⊥AD时AP+PQ最小，从而可求得AP+PQ的最小值等于DE的长，可得出答案. 【详解】解：设BE=x，则DE=3x， ∵四边形ABCD为矩形，且AE⊥BD， ∴△ABE∽△DAE， ∴AE2=BE•DE，即AE2=3x2， ∴AE=x， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2=AE2+DE2，即62=（x）2+（3x）2，解得x=， ∴AE=3，DE=3， 如图，设A点关于BD的对称点为A′，连接A′D，PA′， 则A′A=2AE=6=AD，AD=A′D=6， ∴△AA′D是等边三角形， ∵PA=PA′， ∴当A′、P、Q三点在一条线上时，A′P+PQ最小， 又垂线段最短可知当PQ⊥AD时，A′P+PQ最小， ∴AP+PQ=A′P+PQ=A′Q=DE=， 故答案为：. 【点睛】本题主要考查轴对称的应用，利用最小值的常规解法确定出A的对称点，从而确定出AP+PQ的最小值的位置是解题的关键，利用条件证明△A′DA是等边三角形，借助几何图形的性质可以减少复杂的计算． 11. 如图，为⊙的直径, 为⊙上一点，弦平分，交于点,，则的长为________. 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：如图， 连接BD、CD， ∵AB为的直径， ∵弦AD平分∠BAC， ∴∠CBD=∠DAB， 在△ABD和△BED中， ∴△ABD∽△BED， 即 解得 故答案为 12. 如图，已知正方形的顶点A、B在上，顶点C、D在内，将正方形绕点A逆时针旋转，使点D落在上．若正方形的边长和的半径均为，则点D运动的路径长为 ___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆心为O，连接，易证三角形是等边三角形，确定，再利用弧长公式计算即可． 【详解】解：设圆心为O，连接， ∵， ∴， ∴三角形是等边三角形， ∴， 同理：是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点D运动的路径长为：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理的运用以及弧长公式的运用，题目的综合性较强，解题的关键是正确的求出旋转角的度数． 13. 甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需________分钟到达终点B． 【答案】78． 【解析】 【分析】根据路程与时间的关系，可得甲乙的速度，根据相遇前甲行驶的路程除以乙行驶的速度，可得乙到达A站需要的时间，根据相遇前乙行驶的路程除以甲行驶的速度，可得甲到达B站需要的时间，再根据有理数的减法，可得答案． 【详解】解：由纵坐标看出甲先行驶了1千米，由横坐标看出甲行驶1千米用了6分钟， 甲的速度是1÷6=千米/分钟， 由纵坐标看出AB两地的距离是16千米， 设乙的速度是x千米/分钟，由题意，得 10x+16×=16， 解得x=千米/分钟， 相遇后乙到达A站还需（16×）÷=2分钟， 相遇后甲到达B站还需（10×）÷=80分钟， 当乙到达终点A时，甲还需80-2=78分钟到达终点B， 故答案为：78 【点睛】本题考查了函数图象，利用同路程与时间的关系得出甲乙的速度是解题关键． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若，，,则线段AE的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】设BE=x，根据菱形性质可得到AB= AD=CD=2x，进而得到，解得x值，根据勾股定理即可求得AE值． 【详解】解：设BE=x， ∵菱形， ∴AB= AD=CD=2x， ∵， ∴, ∴BD=3x， ∴OB=OD=， ∴， ∴x=2， ∴AB=4，BE=2， ∴， ∴, 故答案为：． 【点睛】本题考查菱形的性质结合勾股定理的应用，熟练掌握菱形性质是解题的关键． 15. 如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为__________（精确到米，参考数据：，，） ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，需要用到坡度坡角、三角函数、矩形的性质相关知识，解题可先根据斜坡的坡度求出斜坡的垂直高度和水平距离，再结合三角函数求出相关线段长度，进而求出建筑物的高度． 【详解】作于点，作于点，作，如图， 设，， 由勾股定理，得， 解得：， 不合题意，舍去， ∴，， ∴． ∵， ∴， ∵，， ， ∴， ∴． 故答案为：． 16. 图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图①倒置后与原图①拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为．如果图③和图④中的圆圈都有层． (1) 我们自上往下，在图③的每个圆圈中填上一串连续的正整数，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________． (2) 我们自上往下，在图④的每个圆圈中填上一串连续的整数，，，，，则最底层最右边这个圆圈中的数是__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化类，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题；注意连续整数相加的时候的这种简便计算方法. （1）13层时最底层最左边这个圆圈中的数是第12层的最后一个数加1； （2）首先计算圆圈的个数，从而分析出23个负数后，又有多少个正数，即可解题； 【详解】解：（1）当有13层时，图中共有 个. 故最底层最左边这个圆圈中的数是79. 故答案为：79. （2）图④中所有圆圈共有（个）数，其中23个负数，1个0，67个正数，最底层最右边这个圆圈中的数是67； 故答案为：67. 17. 如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图，过点作，交于点，连接交于点． 判断四边形的形状，并说明理由； 若，，求的长． 【答案】（1） 证明：根据折叠的性质得， 又∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2） 解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； ． 【解析】 【分析】（）根据折叠的性质得，又四边形是矩形，则，根据平行线的性质得，最后等腰三角形的判定即可求证； （）由四边形是矩形，得，又，证明四边形是平行四边形，再根据邻边相等的平行四边形是菱形即可； 由四边形是矩形，得，，通过勾股定理求，从而，设，则，由勾股定理得解得，从而求解； 本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，翻折变换等知识，解题的关键是熟练掌握知识点的应用． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 ∵四边形是矩形， ∴，， ∵，， ∴由勾股定理得：， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得，即， ∴， ∴． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点，与y轴交于点A． （1）求二次函数的表达式； （2）连接、，若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求N点的坐标； （3）连接，在（2）的结论下，求与的数量关系． 【答案】（1）； （2）当时，即时，的面积最大； （3）． 【解析】 【分析】（1）由点B和点C的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）可设，则可用n表示出的面积，由，可求得，则可用n表示出的面积，再利用二次函数的性质可求得其面积最大时n的值，即可求得N点的坐标； （3）由N点坐标可求得M点为的中点，由直角三角形的性质可得，在和中，可分别求得和的长，可求得与的关系，从而可得到与的数量关系． 【小问1详解】 解：将点，点的坐标分别代入可得， 解得， ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：设点的坐标为， 则，， ∵，， ∴， 在中， 令，可得， ∴点，， ∴ ， ∵， ∴， 与在边和边上等高， ∴， ∴， ∵， ∴当时，即时，的面积最大； 【小问3详解】 解：当时，N为边中点， ∵， ∴， ∴M为边中点， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、平行线分线段成比例、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质、勾股定理等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）中找到和的面积之间的关系是解题的关键，在（3）中确定出为和的中间“桥梁”是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2022年上海师范大学第二附属中学自主招生数学试卷 1. 已知直线l1∥l2∥l3∥l4，相邻两条平行线间的距离均为h，矩形ABCD的四个顶点分别在这四条直线上，放置方式如图所示，AB＝4，BC＝6，则tanα的值等于(　　) A. B. C. D. 2. 如图，正方形的对角线与相交于点，的角平分线分别与、交于，两点，若，则线段的长为（   ）． A. B. C. D. 3. 如图，在直角坐标系中，以坐标原点O（0，0），A（0，4），B（3，0）为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y＝的图象上，则k的值为（ ） A. 36 B. 48 C. 49 D. 64 4. 如图，一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在每个岔路口都会随机选择一条路径，则它获取食物的概率是（   ）． A. B. C. D. 5. 如图，已知，，以为直径的圆交于点，过点的的切线交于点．若，，则的半径是（   ）． A. B. C. D. 6. 二次函数的图像如图所示，下列结论：①；②；③抛物线与轴的另一个交点为；④．其中正确的结论是（   ）． A. ①② B. ①④ C. ②④ D. ③④ 7. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米．如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为______________米． 8. 如图1，点P从△ABC的顶点B出发，沿B→C→A匀速运动到点A，图2是点P运动时，线段BP的长度y随时间x变化的关系图象，其中M为曲线部分的最低点，则△ABC的面积是___． 9. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2.将△ABC绕点C逆时针旋转60°，得到△MNC，连接BM，则BM的长是__________. 10. 如图，在矩形中，垂足为，点分别在上，则的最小值为 ___________ 11. 如图，为⊙的直径, 为⊙上一点，弦平分，交于点,，则的长为________. 12. 如图，已知正方形的顶点A、B在上，顶点C、D在内，将正方形绕点A逆时针旋转，使点D落在上．若正方形的边长和的半径均为，则点D运动的路径长为 ___________． 13. 甲、乙两人在一条笔直的道路上相向而行，甲骑自行车从A地到B地，乙驾车从B地到A地，他们分别以不同的速度匀速行驶，已知甲先出发6分钟后，乙才出发，在整个过程中，甲、乙两人的距离y（千米）与甲出发的时间x（分）之间的关系如图所示，当乙到达终点A时，甲还需________分钟到达终点B． 14. 如图，在菱形中，对角线相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若，，,则线段AE的长为_____． 15. 如图，已知点与某建筑物底端相距米（点与点在同一水平面上），某同学从点出发，沿同一剖面的斜坡行走米至坡顶处，斜坡的坡度（或坡比），在处测得该建筑物顶端的俯视角为，则建筑物的高度约为__________（精确到米，参考数据：，，） ． 16. 图①是由若干个小圆圈堆成的一个形如等边三角形的图案，最上面一层有一个圆圈，以下各层均比上一层多一个圆圈，一共堆了层．将图①倒置后与原图①拼成图②的形状，这样我们可以算出图①中所有圆圈的个数为．如果图③和图④中的圆圈都有层． (1) 我们自上往下，在图③的每个圆圈中填上一串连续的正整数，，，，，则最底层最左边这个圆圈中的数是__________． (2) 我们自上往下，在图④的每个圆圈中填上一串连续的整数，，，，，则最底层最右边这个圆圈中的数是__________． 17. 如图1，将一张矩形纸片沿着对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）如图，过点作，交于点，连接交于点． 判断四边形的形状，并说明理由； 若，，求的长． 18. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点，点，与y轴交于点A． （1）求二次函数的表达式； （2）连接、，若点N在线段上运动（不与点B、C重合），过点N作，交于点M，当面积最大时，求N点的坐标； （3）连接，在（2）的结论下，求与的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $