精品解析：2022年江苏省苏州市常熟市兴隆中学九年级数学中考考前适应性练习 (2)

初三数学中考考前适应性练习 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列实数中，最小的无理数的是（ ） A. B. 1 C. π D. ﹣5 【答案】A 【解析】 【分析】先找出无理数，再比较大小即可求解． 【详解】选项中的无理数有和π， ∵＜2＜3＜π， ∴最小的无理数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了无理数的概念以及实数比较大小的知识，找出选项中的无理数是解答本体的关键． 2. 如图所示，正三棱柱的俯视图是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】正三棱柱从上面看到的图形即俯视图． 【详解】该几何体为水平放置的三棱柱，故俯视图的外部轮廓应为矩形，还有一条可以看到的水平棱（实线）， 故选：B． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图的画法，主视图、左视图、俯视图实际上就是从正面、左面、上面对该几何体正投影所得到的图形． 3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用旋转的性质得AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE，所以选项A、C不一定正确 再根据等腰三角形的性质即可得出，所以选项D正确；再根据∠EBC =∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB判断选项B不一定正确即可． 【详解】解：∵绕点顺时针旋转得到， ∴AC=CD，BC=EC，∠ACD=∠BCE， ∴∠A=∠CDA=；∠EBC=∠BEC=， ∴选项A、C不一定正确， ∴∠A =∠EBC， ∴选项D正确． ∵∠EBC=∠EBC+∠ABC=∠A+∠ABC=-∠ACB不一定等于， ∴选项B不一定正确； 故选D． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等腰三角形的性质． 4. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】先化简所求的式子得到，把代入即可求结果． 【详解】， =， =， =， =， 把代入上式， 原式=1． 故答案选C． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，准确进行分式的加减乘除的运算时解题的关键． 5. 已知直线mn，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 65° 【答案】D 【解析】 【分析】由平行线的性质：两直线平行，内错角相等直接可得答案． 【详解】解：∵m∥n， ∴∠2＝∠ABC+∠1＝30°+35°＝65°． 故选：D． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，准确判断角的位置关系是解题的关键． 6. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先把点代入，求出的值，将代入不等式，可得不等式，解不等式即可求出结果． 【详解】解：把点代入， 可得： 将代入不等式， 可得：， 解得：． 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据总重量得到第一个方程，再分析互换一只后两边的雀燕数量，根据重量相等得到第二个方程，即可选出正确答案． 【详解】解：设雀每只两，燕每只两， ∵五只雀，六只燕共重16两， ∴可得第一个方程， 互换其中一只后，一方剩余4只雀，得到1只燕，另一方剩余5只燕，得到1只雀，此时二者重量相等， ∴可得第二个方程 ， 因此列出的方程组为． 8. 如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作DE⊥BC′于E，根据中线，得出BD=CD=，根据折叠C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°，根据补角性质得出∠BDC′=180°-∠CDC′=120°，根据等腰三角形的判定与性质得出BE=C′E，∠BDE=∠C′DE=60°，然后利用30°直角三角形性质，勾股定理求解即可． 【详解】解：过点D作DE⊥BC′于E， ∵AD是边上的中线， ∴BD=CD=， ∵将沿着翻折，点的对称点为， ∴C′D=CD=2，∠ADC=∠ADC′=30°， ∴∠CDC′=60°， ∴∠BDC′=180°-∠CDC′=120°， ∵BD=C′D=2，DE⊥BC′， ∴BE=C′E，∠BDE=∠C′DE=60°， ∴∠EBD=90°-∠BDE=30°， ∴DE=， ∴BE=， ∴BC′=2． 故选择C． 【点睛】本题考查中线性质，折叠性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，掌握中线性质，折叠性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理是解题关键． 9. 如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（ ） A. B. C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由图象可知，点E从点A运动到点B用了，可得，此时，根据勾股定理可得；当时，，可得，根据相似三角形的性质可得，进而得出a的值． 【详解】解：如图所示，作，交于点M，作，交于点N， 由题意可知，，，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE，可得DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°，由锐角三角函数可求BD＝a，CE＝a，由面积公式可求a的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接CE，延长EA交BC于F， ∵AB＝2AC， 设AC＝a，则AB＝2a， ∴BC＝＝a， ∵将△BAC绕点A顺时针旋转至△DAE， ∴DE＝BC＝a，CA＝AE＝a，AB＝AD＝2a，∠ADE＝∠ABC，∠DAE＝∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ADB＝∠ADE， ∴∠DEA＝∠DFA， ∴DF＝DE＝a， 又∵∠DAE＝90°， ∴AF＝AE＝a＝AC， ∴∠ECF＝90°， ∵sin∠ACB＝sin∠CFE＝＝， ∴＝， ∴CE＝a， ∵tan∠ACB＝tan∠CFE＝＝2， ∴CF＝a， ∴CD＝DF﹣CF＝a， ∴BD＝BC+DC＝a， ∴△BDE的面积＝×a×a＝×a×a×＝． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，锐角三角函数，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，利用参数解决问题是本题的关键． 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11. 年月日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为万公里，数字用科学记数法表示为 ________________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数．确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正整数；当原数的绝对值时，是负整数． 【详解】解：． 故答案为：． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 【答案】3（a+2）（a﹣2） 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方式或平方差式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】3a2﹣12 =3（a2﹣4） =3（a+2）（a﹣2）． 13. 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_____ m． 【答案】134 【解析】 【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似. 【详解】据相同时刻的物高与影长成比例， 设金字塔的高度为，则可列比例为：， 解得：米. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查同一时刻物高和影长成正比.考查利用所学知识解决实际问题的能力. 14. 若，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】先将变形为，再将作为整体代入计算即可得． 【详解】解：， ， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了代数式求值，熟练掌握整体代入思想是解题关键． 15. 如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为_____． 【答案】 【解析】 【分析】用黑色部分的总面积除以正方形的面积即可求得概率． 【详解】解：∵正方形的面积为2×2=4cm2，黑色部分的总面积为2cm2， ∴向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了几何概率，解决本题的关键是掌握概率公式． 16. 已知，，规定，则的最小值是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先根据和的大小关系求出对应的范围，再化简得到的分段一次函数，利用一次函数的单调性求解最小值． 【详解】解：，， 当时，， 解得：， ， 一次函数中，随的增大而增大， 当时，取得最小值，最小值为， ； 当时，， 解得：， ， 一次函数中，随的增大而减小， 时，， ； 综上所述，的最小值为． 17. 已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角线的比值为，则这个菱形中较小的内角为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用菱形对角线互相垂直平分、平分内角的性质，将问题转化为直角三角形中求角度，即可得到结果． 【详解】解：如下图所示， 设，，则和， ∴， ， 菱形较小内角为． 18. 在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则_____． 【答案】2 【解析】 【分析】利用垂直平分线性质得 ，结合  得出；通过构造旋转全等三角形，将转化为，证明共线，从而将转化为线段的长；最后在等腰中计算与的关系，代入求值． 【详解】解：垂直平分， ． ， 在中，， ∴． 在下方作，且，连接， 绕点逆时针旋转得到， ． ， ，即． 在和中 ， ， ． ， ． 在延长线上， ， ． 在中，， ， ， 三点共线， ， ． 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ， ． 三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 19. 计算：． 【答案】1 【解析】 【分析】先计算特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，然后根据实数的计算法则求解即可． 【详解】解： 【点睛】本题主要考查了特殊角三角函数值，零指数幂，二次根式的化简，实数的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 20. 先化简再求值：，其中满足． 【答案】；8 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将变形为，即可得出值． 【详解】解： ， ∵， ∴， 即原式的值为8． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟悉掌握分式混合运算法则是解题的关键． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后代值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． 22. 分式方程的应用 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．两个采样点到检测中心的路程分别为、，两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍； 信息二：两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？ 【答案】不会失效． 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设采样点送检车的平均速度为千米/小时，则采样点送检车的平均速度为千米/小时，根据题意，列出分式方程，求出的值，即可求出采样点送检车的平均速度，进而求出采样点送达检测中心需要时间，最后求出总时间与比较即可判断求解，根据题意，正确列出方程是解题的关键． 【详解】解：设采样点送检车的平均速度为千米/小时，则采样点送检车的平均速度为千米/小时， 依题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴采样点送检车的平均速度为千米/小时， ∴采样点送达检测中心需要时间为：小时， ∵， ∴采样点采集的样本不会失效． 23. 2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 最受启发的实验 频数（人） 频率 ．“冰雪”实验 6 0.15 ．液桥演示实验 ．水油分离实验 ．太空抛物实验 0.35 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ，样本中认为最受启发的实验是C的学生人数为 人； （2）若该校共有1200名学生，请根据调查结果估计认为最受启发的实验是B的学生人数； （3）某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．小明和小丽从A、B、C、D四个实验中随机选取一个，请用画树状图或列表格的方法，求两人选择同一个实验的概率． 【答案】（1）40，12 （2）240人 （3） 【解析】 【分析】（1）利用A所占的频数为：6，频率为：0.15，可以求出样本容量，利用C所占的频率为：0.30，可以求出样本中认为最受启发的实验是C的学生人数； （2）利用A、C、D各自所占的频数，求出B所占的频数，进一步估计出全校认为最受启发的实验是B的学生人数； （3）先画出树状图找到所有的等可能性的结果数，然后找到两人选择同一实验的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵A所占的频数为：6，频率为：0.15， ∴本次调查的样本容量为， ∵C所占的频率为：0.30， ∴样本中认为最受启发的实验是C的学生人数为（人）； 【小问2详解】 解：∵A所占的频数为6，C所占的频数为：，D所占的频数为：， ∴B所占的频数为：， ∴认为最受启发的实验是B的学生人数为：（人）； 【小问3详解】 解：画树状图如下： 由树状图可知一共有16种等可能性的结果数，其中两人选择同一个实验的结果数有4种， ∴两人选择同一个实验的概率为． 【点睛】本题主要考查了频数与频率分布表和扇形统计图，用样本估计总体，树状图或列表法求解概率，正确理解题意读懂统计图和频数分布表是解题的关键． 24. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm． （1）当PA＝45cm时，求PC的长； （2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732） 【答案】（1）27cm （2）34.6cm 【解析】 【分析】（1）连接PO，利用垂直平分线的性质得出PA=PO，然后利用勾股定理即可求出PC； （2）过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，根据矩形的性质可知DE=FC，DF=EC，分别在Rt△DOE和Rt△PDF中利用勾股定理以及锐角三角函数即可求出DE、EO，进而求出PF，即可得解． 【小问1详解】 连接PO，如图， ∵点D为AO中点，且PD⊥AO， ∴PD是AO的垂直平分线， ∴PA=PO=45cm， ∵BO=24cm，BC=12cm，∠C=90°， ∴OC=OB+BC=36(cm)， ∴在Rt△POC中，(cm)， 即PC长为27cm； 【小问2详解】 过D点作DE⊥OC于E点，过D点作DF⊥PC于F点，如图， ∵PC⊥OC， ∴四边形DECF是矩形，即FC=DE，DF=EC， 在Rt△DOE中，∠DOE=180°-∠AOC=180°-120°=60°， ∵DO=AD=AO=12(cm)， ∴DE===(cm)，EO=DO=6(cm)， ∴FC=DE=cm，DF=EC=EO+OB+BC=6+24+12=42(cm)， ∵∠FDO=∠DOE=60°，∠PDO=90°， ∴∠PDF=90°-60°=30°， 在Rt△PDF中，PF=(cm)， ∴PC=PF+FC=(cm)， ∴PC， 即PC的长度为34.6cm． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、线段垂直平分线的性质、勾股定理、矩形的判定与性质、锐角三角函数等知识，准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 25. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以 的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的弧长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据平行四边形的性质得到，，得到，根据全等三角形的性质得到，得到，即可得证； （2）证明是等边三角形，得出，，求出，由弧长公式可得出答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， 与相切； 【小问2详解】 解：由（1）知：， 又∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴的长为：． 【点睛】本题考查切线的判定，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，弧长公式等知识点．熟练掌握切线的判定是解题的关键． 26. 图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． （1）______，______，补全函数图象； （2）求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； （3）连接，交于点，求平分时的值． 【答案】（1）；； 补全图象如图所示： （2） （3） 平分 时 的值为 【解析】 【分析】（1）根据当时，从点正好运动到点，即可求出运动速度，根据当时，，求出的长，然后用，即可算出的长，根据时，，补全图象即可； （2）分或两种情况下，使的面积为的值不小于的的取值范围，即可求出结果； （3）以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，根据已知条件写出、、、的坐标，根据点为的中点，写出点的坐标，求出用表示的的函数关系式，把点的坐标代入，解关于的方程即可得出的值． 【小问1详解】 解：图是点在上运动时，与的函数图象， 当时，从点正好运动到点， ， 点运动的速度， 当时，， 即， ， ， ； 当时，， 当时，从运动到点，停止， ，图略； 故答案为：；． 【小问2详解】 当时，，， ，即， 整理得， 解得：， ， ； 当时，， ，即， 解得：， ； 综上分析可知，当时，的面积为的值不小于． 【小问3详解】 以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示： 则点坐标为，点坐标为，点的坐标为，点坐标为， 平分， 点为的中点， 点的坐标为：， 设直线的解析式为，把、两点的坐标代入得： ，解得：， 直线的解析式为， 点在上， ， 解得：，（舍去）， 即平分时的值是． 【点睛】本题主要考查了动点问题，一次函数关系式，二次函数关系式，解不等式，以为轴，为轴，为坐标原点，建立平面直角坐标系，用函数的思想解决问题（3），是解题的关键． 27. 如图1，抛物线（）与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，顶点为．连接、、． 　　 （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴右侧抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； （3）数学实验课上，在（2）的基础上，小张同学利用网络画板进行如下操作：连接，把绕着点A进行逆时针旋转（注：与，与，与相对应），使得点的对应点落在轴上，此时与轴交于点．小张猜想：是的中点．请探究并判断小张猜想是否正确．如果正确，请直接写出点的坐标；如果不正确，请直接写出与的比值． 【答案】（1）y=x2+2x-3 （2）M(，) （3）小张的猜想不正确，EH与DH的比值为5∶4 【解析】 【分析】（1）设抛物线的顶点式，再把代入即可求出解析式． （2）计算得AC2+PC2=AP2，由勾股定理的逆定理得∠ACP=90º， 如图，延长PC、AM交于点N，因为AC平分∠PAM所以点N是点P关于AC的对称点，可求得点N(1，-2)，进一步得出直线AN的解析式，再设M(m，m2+2m-3)，代入直线AN的解析式即可求出； （3）连接AE，AF，AD，由已知条件得绕着点逆时针旋转了90º，因为M()，P(-1，-4)，所以E(，)，D(1，2)，所以，故小张猜想不正确． 【小问1详解】 解：∵抛物线的顶点为， ∴设抛物线的解析式为：y=a(x+1)2-4， 把点代入y=a(x+1)2-4得， a-4=-3， 解得：a=1， ∴y=(x+1)2-4 即y=x2+2x-3； 【小问2详解】 解：∵y=x2+2x-3， 当y=0时，x1=-3，x2=1， 即点A(-3，0)，点B(1，0)， ∵AC2==18， PC2=(-1-0)2+(-4+3)2=2， AP2=(-3+1)2+(0+4)2=20， ∴AC2+PC2=AP2， ∴∠ACP=90º， 即AC⊥PC， 如图，延长PC、AM交于点N， ∵AC平分∠PAM，AC⊥PN， ∴点N是点P关于AC的对称点， 即点C(0，-3)是PC的中点， ∵点P向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度得到点C， ∴点C向右平移1个单位长度再向上平移1个单位长度得到点N． ∴点N(1，-2)． 设直线AN的解析式为y=kx+b，那么 ， 解得：， ∴直线AN的解析式为， ∵点M经过直线AN，设点M(m，m2+2m-3)(m>0)， ∴ 解得：m1=-3(不合题意，故舍去)，m2=， ∴M(，)． 【小问3详解】 解：小张的猜想不正确，EH与DH的比值为5∶4， 连接AE，AF，AD，过P作PG⊥x轴，交x轴于点G， 过D作DQ⊥x轴，交x轴于点Q，如图所示．那么∠QAD+∠ADQ=90º，∠GAP+∠APG=90º， ∵把绕着点A进行逆时针旋转（注：与，与，与相对应），使得点的对应点落在轴上， ∵OA=OC=3，∠AOC=90°， ∴∠CAO=45°，由勾股定理得， ∵∠AOH=90°， ∴由勾股定理得：OF=3， ∴OF=OA，F(0，3)， ∴∠FAO=45°， ∴∠FAC=∠FAO+∠CAO=90º， ∴旋转角是90º， ∴AP⊥AD，AM⊥AE，AP=AD，AM=AE， ∴∠PAG+∠QAD=90º， ∴∠APG=∠DAQ， 在和中 ， ∴． ∴DQ=AG，AQ=PG， ∴D的横坐标为：OQ=AQ-AO=4-3=1，D的纵坐标为：DQ=3-1=2， ∴D(1，2)． 同理，解得E(，)． ∴， ∴小张猜想不正确． 【点睛】此题考查了二次函数与旋转的综合，解题的关键是数形结合，作出辅助线求解． 28. 如图，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）． （1）b＝ ，点B的坐标是 ； （2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB； （3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标． 【答案】（1） （2）见解析． （3）E（-5，4）或 【解析】 【分析】（1）根据二次函数图象与坐标轴交点性质可得答案． （2）在x轴上找出点B的对称点，由点B，点C的坐标，可求出BC的长，由点A的坐标，得出的长，从而得出由等腰三角形的性质即可得出结果． （3）当点 G 恰好落在 BC 上时，由对称性可知： AD = DG = CD ，所以 A ，C ， G 三点在以 D 为圆心， AC为直径的圆上，连接 AG ，所以 ，从而可知 ED / BC ，求出直线 BC 的解析式，从而可求出 ED 的解析式，联立直线 DE 的解析式与抛物线的解析式即可求出点 E 的坐标． 【小问1详解】 ∵点在二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象上， 当时， ∴点B的坐标为 故答案为： 【小问2详解】 如图1，作点B关于y轴对称的点，连接 ∵时， 令即 【小问3详解】 如图2所示：连接AG交直线DE于点F，连接DG， ∵当点G恰好落在直线BC上时，由对称性可知， ∵点D为AC的中点， ∴点A，C，G三点共圆，即在以点D为圆心，直径为AC的圆上， ∵直线DE垂直平分AG， 设直线BC的解析式为： 把点代入 ∴直线BC的解析式为： ∴可设直线DE的解析式为： 点D为线段AC 的中点， 把代入中， ∴直线DE 的解析式为： 把直线DE和抛物线联立，得 ∴解得 ∵点E是抛物线在第二象限图象上一个动点， 特别地，当点G与点C重合时，此时DE⊥AC， 设直线AC的解析式为y=ax+c,则， 解得： ∴直线AC的解析式为 ∴直线DE的解析式为 ∴ 解得：或 ∵点E为第二象限， ∴E（-5，4）． 故E（-5，4）或 【点睛】此题考查的是二次函数的综合题目，涉及知识点有二次函数的有关性质，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，抛物线与坐标轴交点问题，圆周角定理等知识，正确作出辅助线是解决此题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三数学中考考前适应性练习 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔填涂在答题卡相应的位置上． 1. 下列实数中，最小的无理数的是（ ） A. B. 1 C. π D. ﹣5 2. 如图所示，正三棱柱的俯视图是( ) A. B. C. D. 3. 如图，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，点的对应点为，连接．下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果，那么代数式的值为（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 已知直线mn，将一块含30°角的直角三角板ABC，按如图所示方式放置，其中A、B两点分别落在直线m、n上，若∠1＝35°，则∠2的度数是（　　） A. 35° B. 30° C. 25° D. 65° 6. 已知函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 《九章算术》是中国古代的一本重要数学著作，其中有一道方程的应用题：“五只雀，六只燕，共重16两，雀重燕轻，互换其中一只，恰好一样重．问每只雀、燕的重量各为多少？”若设雀每只x两，燕每只y两，则可列出方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，是边上的中线，将沿着翻折，点的对称点为．已知，，那么点与点之间的距离为（ ） A. 3 B. C. D. 4 9. 如图，在四边形中，，，点沿着的路径以的速度匀速运动，到达点停止运动，始终与直线保持垂直，与或交于点，记线段的长度为，与时间的关系图如图所示，则图中的值为（ ） A. B. C. 9 D. 10. 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转至，点刚好落在直线上，则的面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分，把答案直接填写在答题卡相应位置上． 11. 年月日，天问一号探测器成功着陆火星，迈出了我国星际探测征程的重要一步．已知火星与地球的近距离约为万公里，数字用科学记数法表示为 ________________． 12. 分解因式：3a2﹣12=___． 13. 据传说，古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的顶部立一根木杆，借助太阳光线构成两个相似三角形，来测量金字塔的高度．如图所示，木杆EF的长为2m，它的影长FD为3m，测得OA为201m，则金字塔的高度BO为_____ m． 14. 若，则的值为______． 15. 如图是小明同学的健康码示意图，用黑白打印机打印在边长为2cm的正方形区域内，图中黑色部分的总面积为2cm2，现在向正方形区域内随机掷点，点落入黑色部分的概率为_____． 16. 已知，，规定，则的最小值是_____． 17. 已知一个菱形的较短的对角线与较长的对角线的比值为，则这个菱形中较小的内角为_____． 18. 在中，，的垂直平分线交于点F，交于点E，P是延长线上一点，连接，将绕点F顺时针旋转，得到，连接，如果，则_____． 三、解答题：本大题共10小题，共76分，把解答过程写在答题卡相应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 19. 计算：． 20. 先化简再求值：，其中满足． 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 分式方程的应用 核酸检测时采集的样本必须在小时内送达检测中心，超过时间，样本就会失效．两个采样点到检测中心的路程分别为、，两个采样点的送检车有如下信息： 信息一：采样点送检车的平均速度是采样点送检车的倍； 信息二：两个采样点送检车行驶的时间之和为小时． 若采样点从开始采集样本到送检车出发用了小时，则采样点采集的样本会不会失效？ 23. 2022年3月23日下午，中国空间站“天宫课堂”再度开课，“太空教师”翟志刚、王亚平、叶光富演示了太空“冰雪”实验、液桥演示实验、水油分离实验、太空抛物实验．某校学生全员观看了太空授课直播，为了了解学生心中“最受启发的实验”的情况，随机抽取了部分学生（每人只选择一个实验）进行调查，以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分． 最受启发的实验 频数（人） 频率 ．“冰雪”实验 6 0.15 ．液桥演示实验 ．水油分离实验 ．太空抛物实验 0.35 根据以上信息，回答下列问题： （1）本次调查的样本容量为 ，样本中认为最受启发的实验是C的学生人数为 人； （2）若该校共有1200名学生，请根据调查结果估计认为最受启发的实验是B的学生人数； （3）某班的班主任为加深同学们的印象，让每位同学各自从这四个实验中随机抽取一个，制作手抄报讲解实验现象背后的科学原理．小明和小丽从A、B、C、D四个实验中随机选取一个，请用画树状图或列表格的方法，求两人选择同一个实验的概率． 24. 如图1是一台放置在水平桌面上的笔记本电脑，将其侧面抽象成如图2所示的几何图形，若显示屏所在面的侧边AO与键盘所在面的侧边BO长均为24cm，点P为眼睛所在位置，D为AO的中点，连接PD，当PD⊥AO时，称点P为“最佳视角点”，作PC⊥BC，垂足C在OB的延长线上，且BC＝12cm． （1）当PA＝45cm时，求PC的长； （2）若∠AOC＝120°，求PC的长．（结果精确到0.1cm，参考数据：≈1.414，≈1.732） 25. 如图，在平行四边形中，是对角线，，以点为圆心，以 的长为半径作，交边于点，交于点，连接． （1）求证：与相切； （2）若，，求的弧长． 26. 图1，在中，，．点以的速度从点出发沿匀速运动到；同时，点以（）的速度从点出发沿匀速运动到．两点同时开始运动，到达各自终点后停止，设运动时间为，的面积为．当点在上运动时，与的函数图象如图2所示． （1）______，______，补全函数图象； （2）求出当时间在什么范围内变化时，的面积为的值不小于； （3）连接，交于点，求平分时的值． 27. 如图1，抛物线（）与轴的负半轴交于点，与轴的正半轴交于点，与轴交于点，顶点为．连接、、． 　　 （1）求抛物线的解析式； （2）点是轴右侧抛物线上一点，连接，若平分，求点的坐标； （3）数学实验课上，在（2）的基础上，小张同学利用网络画板进行如下操作：连接，把绕着点A进行逆时针旋转（注：与，与，与相对应），使得点的对应点落在轴上，此时与轴交于点．小张猜想：是的中点．请探究并判断小张猜想是否正确．如果正确，请直接写出点的坐标；如果不正确，请直接写出与的比值． 28. 如图，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与x轴交于点A、B与y轴交于点C，点A的坐标为（﹣8，0），P是抛物线上一点（点P与点A、B、C不重合）． （1）b＝ ，点B的坐标是 ； （2）连接AC、BC，证明：∠CBA＝2∠CAB； （3）点D为AC的中点，点E是抛物线在第二象限图象上一动点，作DE，把点A沿直线DE翻折，点A的对称点为点G，点E运动时，当点G恰好落在直线BC上时，求E点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $