1.4 充分条件与必要条件【重点•题型】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

本讲义聚焦充分条件与必要条件核心知识点，系统梳理从“若p则q”真假判定到充要条件概念，再到集合关系对应条件关系的脉络，构建从定义理解到逻辑推理再到应用的学习支架。 资料通过定义法与集合转化法结合，培养学生逻辑推理（数学思维）和抽象能力（数学眼光），题型涵盖判断、参数求解、证明等，如用集合A⊆B对应充分条件助直观理解。课中辅助分层教学，课后多样练习助力查漏补缺，提升符号表达（数学语言）能力。

专题1.4 充分条件与必要条件 【知识点一、　充分条件与必要条件】 1.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2.几点说明 ①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． ②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． ③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． 【知识点二、　充要条件】 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【知识点三、　充分条件、必要条件与充要条件的概念】 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【特别提醒】 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 重难点题型1 充分条件或必要条件的判断 定义法判断充分条件、必要条件 1.确定谁是条件，谁是结论 2.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据不等式的性质由且得，反之不成立，进而求解. 【详解】由且，反之不成立，如， 所以且是的充分不必要条件， 故选：A. 2．（25-26高一上·全国·课后作业）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】既不充分也不必要条件 【分析】根据反例可判断两者之间的条件关系. 【详解】若，如，满足， 但不满足，充分性不成立； 若，如，满足，但不满足，必要性不成立． 所以是的既不充分也不必要条件． 故选：D. 3．对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、充分条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】若“且”则“”成立， 当，时，满足，但且不成立， 故且”是“”的充分非必要条件． 故选：A． 4．已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断即可得正确选项. 【详解】由可得：，则， 能推出， 取，，满足，但无意义得不出， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 5．设命题命题则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】判断p，q间关系可得答案. 【详解】当，则，故p是q的充分条件； 当，则可令，不能得到，则p不是q的必要条件. 则p是q的充分不必要条件. 故选：A 6．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.78 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据充分条件，必要条件的定义判断即可． 【详解】根据充分条件，必要条件的定义，若”且”则”且”是真命题，充分性成立． 反之是假命题，比如当，时满足且，但推不出且. 7．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【详解】对通分，得，即， ，当且仅当时等号成立， ，，故必要性成立； 令，满足题意， 得，但不成立，故充分性不成立. 故“”是“”的必要不充分条件. 8．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】充分条件、必要条件、既不充分也不必要条件 【分析】通过举反例判断充分性及必要性不成立，从而可判断结果. 【详解】充分性： 举反例：取（有理数），（无理数），满足“或为有理数”，但是无理数，因此充分性不成立. 必要性：举反例：取，都是无理数，不满足“或为有理数”，但是有理数，因此必要性不成立. 因此“或为有理数”是“为有理数”的既不充分也不必要条件. 重难点题型2 充分条件、必要条件与充要条件的应用 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 1．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】探求命题为真的充要条件、根据二次函数零点的分布求参数的范围 【分析】已知方程有实根，分和两种情况讨论，得出，经验证，时，，方程有实根成立. 【详解】若方程有实根， 当时，， 当时，，即且， 综上，． 验证：当时，方程为一元一次方程，有一个实根， 当且时，，方程有实根成立. 故选：A. 2．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】充分条件、公式法解绝对值不等式 【分析】由题意先求出的充要条件，然后结合是的充分条件可得实数的范围，从而对比选项即可得解. 【详解】由题意， 若是的充分条件，则当且仅当， 对比选项可知实数可以是3. 故选：A. 3．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】先利用绝对值的几何意义化简不等式，再根据充分不必要条件列不等式求解即可. 【详解】等价于， 因为成立的一个充分不必要条件是，所以，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 4．若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】根据题意得到，再利用数轴得到不等式，解出不等式即可. 【详解】 是的必要不充分条件, , , 实数的取值范围是, 故答案为： . 5．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】根据p是q的充分不必要条件，所以，然后建立关系式，解之即可. 【详解】解：，， 因为p是q的充分不必要条件，所以， 则，即. 经检验满足条件. 故答案为： . 6．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 【答案】(1)，，，，，，， (2)证明见解析 【难度】0.85 【知识点】求集合的子集（真子集）、充要条件的证明 【分析】（1）结合子集的概念列出即可； （2）分别判断充分性和必要性，结合集合的互异性判断取值即可. 【详解】（1）若，则，所以的所有子集为： ，，，，，，，. （2）证明：若，则，所以，故充分性成立； 若，则，因为，所以， 解得或，当时，，不满足互异性，故舍去， 当时，，满足互异性，故必要性成立. 所以“”是“”的充要条件. 7．已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 【答案】(1) (2)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、充要条件的证明 【分析】（1）由已知，先求解出集合，然后根据，将集合分为和两种情况讨论，分别列式求解即可； （2）由已知，先有或，证明至少有2个子集，即证明充分性，然后再根据至少有2个子集，求解参数的范围与或比较即可证明其必要性. 【详解】（1）由已知，集合，所以集合． 因为“，”为假命题，所以． 当时，，解得； 当时，要使，则，，且，， 即，解得或或或． 综上，实数m的取值范围为． （2）证明：充分性：若，或，则至少有2个子集． 当，或时，，方程有解， 集合至少有1个元素，至少有2个子集，充分性得证； 必要性：若至少有2个子集，则或． 若至少有2个子集，则至少有1个元素， 方程有解，，解得或， 必要性得证． 综上，至少有2个子集的充要条件是或． 重难点题型3 充要条件的证明 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】根据两个集合相等求参数、充要条件的证明、集合元素互异性的应用 【分析】根据集合的关系及集合元素的互异性求解判断即可. 【详解】因为，所以，要使，则，所以. 此时集合，， 要让，所以，解得. 当时，，不满足集合元素的互异性，故舍去； 当时，，，满足. 因此，若则且； 反之，若且可得. 即则“且”是“”的充要条件. 2．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断,即可得出答案. 【详解】充分性证明:当 ①若,则有,于是; ②若,则有于是; ③若,则有,于是,因为,,所以有成立. “”是“”的充分条件. 必要性证明:当 (1)若时，由，可得，则，于是; (2)时，由，可得，则，于是; (3)若,,则有,于是; (4)若,,则有,满足条件,于是成立; (5)若,,则不成立,不满足条件; (6)若,,由,可得,即,所以有. “”是“”的必要条件. 综上所述,“”是“”的充要条件. 3．（2026高二上·辽宁大连·学业考试）“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】充要条件的证明 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可． 【详解】充分性：若，根据不等式基本性质可得，充分性成立； 必要性：若，根据不等式基本性质可得，必要性成立； 因此“”是的充要条件， 故选：C. 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 【答案】（1）或；（2）证明见解析． 【难度】0.65 【知识点】根据必要不充分条件求参数、充要条件的证明 【分析】（1）根据必要不充分条件转化为真包含关系即可得解； （2）结合一元二次方程根的概念，分别证明充分性与必要性即可得证. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明： 充分性：∵，∴， 代入方程，可得， 即． 故关于x的方程有一个根为1． 是方程的一个根 必要性：是方程的一个根， 将代入方程得． 综上可得，是一元二次方程的一个根的充要条件是． 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 【答案】（1）或（2）证明见解析 【难度】0.85 【知识点】根据必要不充分条件求参数、充要条件的证明 【分析】（1）根据必要不充分条件得到取值范围； （2）先证明充分性，再证明必要性即可. 【详解】（1）根据是的必要而不充分条件， 所以命题中变量的取值集合是命题中变量取值集合的真子集， 所以可得到或， 即或； （2）证明：充分性：若，则， 方程有两个实根， 根据根与系数的关系得， 所以方程有两个异号实根； 必要性：若方程有两个异号实根， 则，即， 所以是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 重难点题型4 综合应用 1．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】判断命题的充分不必要条件 【分析】根据小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来得到充分性，结合若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入得到不必要性，进而得到结果； 【详解】若小球从口滚动进入，则一定从口滚动出来． 若小球从口滚动出来，可能是从口或口滚动进入， 所以“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的充分不必要条件． 故选：A. 2．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】判断元素与集合的关系、判断两个集合的包含关系、充要条件的证明、集合新定义 【分析】求被除的余数，判断A，求被除的余数，判断B，根据新定义及集合相等的定义判断C，结合新定义及充分条件，必要条件的定义判断D. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，，B错误； 对于C，每个整数除以后的余数只有，没有其他余数， 所以，又， 故，C正确； 对于D，若， 则， 若，则， 不妨设， 则， 所以，， 所以除以后余数相同， 所以属于同一“类” 所以整数属于同一“类”的充要条件是“”，D错误； 故选：C. 3．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． (3)若，求实数的取值范围； 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】判断两个集合的包含关系、根据集合的包含关系求参数、根据充分不必要条件求参数 【分析】（1）将集合化简，即可得到两集合的关系； （2）根据题意，将条件转化为集合是集合的真子集，列出不等式代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，由，得，然后分与讨论，即可得到结果. 【详解】（1），所以. （2）由是的充分不必要条件，可得集合是集合的真子集， 又， 则， 解得，经检验时满足题意，故实数的取值范围是. （3）因为， 所以由，得， 当时，，解得， 当时，则，解得， 综上， 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）由题可知集合A是集合B的子集，由此可求得实数的取值范围． （2）将已知条件转化为集合A与集合B的关系，讨论分析可得实数的取值范围． 【详解】（1）因为，所以集合A是集合B的子集，所以，解得：. 所以实数的取值范围是. （2）因为是的必要不充分条件，所以是的充分不必要条件，所以集合B是集合A的真子集. 当，即时，，满足集合B是集合A的真子集； 当，即时，，此时，，解得. 综上所述，实数的取值范围是：． 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 【答案】(1)集合不具有性质，理由见解析 (2)充要条件，证明见解析 【难度】0.4 【知识点】充要条件的证明、集合新定义 【分析】（1）从集合中任取三个元素，分情况讨论是否满足性质的三个条件； （2）根据“期待子集”的定义构造元素，证明满足性质的条件. 【详解】（1）集合不具有性质的三元子集，理由如下： （i）从集合中任取三个元素均为奇数时，为奇数，不满足条件③， （ii）从集合中任取三个元素有一个为2，另外两个为奇数时. 由于，中小于2的数只有1个，所以不能取2. 当时，，则，，所以，所以，不满足条件②； 当时，，因为中大于2的元素都是奇数，所以，所以，即，不满足③. 综上所述，可得集合不具有性质. （2）集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质， 证明如下： 先证充分性： 当集合是集合的“期待子集”时，存在三个互不相同的，使得均属于， 不妨设，令，则且，即满足条件①， 因为，所以，即满足条件②， 因为，所以为偶数，即满足条件③， 所以当集合是集合的“期待子集”时，集合具有性质. 再证必要性： 当集合具有性质，则存在，同时满足①；②；③为偶数， 由知. 令，则由条件①得， 由条件②得， 由条件③得均为整数， 因为， 所以，且均为整数，所以， 因为，所以均属于， 所以当集合具有性质时，集合是集合的“期待子集”. 综上所述，集合是集合的“期待子集”的充要条件是集合具有性质. 6．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合， (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)必要不充分条件 (2) 【难度】0.4 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、判断命题的必要不充分条件 【分析】（1）将代入，根据充分必要条件的定义，进行判断即可. （2）由可得出，对是否为空集进行讨论即可. 【详解】（1）（1）由于，所以，， 所以“”是“”的必要不充分条件. （2）由可得， 当时，，解得， 当时，则，无解， 综上所述，的取值范围是. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江宁波·期中）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】判断命题的必要不充分条件 【分析】根据函数单调性，使用赋值法结合充分条件和必要条件的性质判断即可. 【详解】设,, 函数在定义域上严格递增，则, 取,满足，但不满足，充分条件不满足， ，函数在定义域上严格递增得，必要条件满足， 则“”是“”成立必要不充分条件. 故选：B 2．（2026·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.67 【知识点】判断命题的充分不必要条件、由不等式的性质比较数（式）大小 【详解】对不等式化简变形可得： ，即，进一步化简可得： ，即， 所以原不等式等价于：， 若，则，，， 因此，原不等式成立， 即，充分性成立， 若取，，此时，​， 满足（原不等式成立），但不满足， 即，所以必要性不成立。 因此“”是“​”的充分不必要条件. 3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】根据充分不必要条件求参数 【分析】分、、三种情况讨论，分别确定不等式有解，即可求出参数的取值范围，再根据集合的包含关系判断. 【详解】当时，有解； 当时，二次函数开口向上，所以有解； 当时，有解，则，解得； 综上可得； 因为真包含于， 所以“，使”的一个充分不必要条件是. 故选：C 4．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【详解】已知，则，又因为，所以， 因此由可以推出，充分性成立. 取，则，满足， 但此时，并不满足，所以不能必然推出，必然性不成立. 因此是的充分不必要条件. 故选： 二、多选题 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 【答案】AB 【难度】0.85 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件、充要条件的证明 【分析】结合已知根据充分条件、必要条件的概念判断即可. 【详解】因为是的充分不必要条件，是的充分条件，所以，，． 因为是的充要条件，所以．因为是的必要条件，所以． 综上可得，，，但， 即是的充要条件，是的充分不必要条件． 故选：AB 6．（24-25高一上·四川内江·阶段检测）设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】判断两个集合的包含关系、交并补混合运算、充要条件的证明、利用Venn图求集合 【分析】利用韦恩图结合集合运算可判断ABD，举反例可判断C. 【详解】对于A，由韦恩图可知，当时，，故A错误； 对于B，由韦恩图可知，等价于，故B正确； 对于C，当时，取，，， 此时，，满足条件，但不成立，故C错误； 对于D，由韦恩图可知，等价于，故D正确. 故选：BD.    7．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】判断命题的真假、充分条件、必要条件、充要条件的证明 【分析】利用充分条件和必要条件的定义，验证各选项. 【详解】“”⇒“”为真命题， 但当时，“”⇒“”为假命题， 故“”是“”的充分不必要条件，故A为假命题； “是无理数”⇒“a是无理数”为真命题， “a是无理数”⇒“是无理数”也为真命题， 故“是无理数”是“a是无理数”的充要条件，故B为真命题； “”⇒“”为假命题，“”⇒“”也为假命题， 故“”是“”的即不充分也不必要条件，故C为假命题； ，故“”是“”的必要条件，故D为真命题． 故选：BD． 8．若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 【答案】AB 【难度】0.65 【知识点】充分条件、必要条件、充要条件的证明、既不充分也不必要条件 【分析】利用充分条件和必要条件的定义进行判断. 【详解】依题，四个命题的关系图可化为：. 则，所以乙是甲的必要不充分条件，A正确； ，甲是丙的充分不必要条件，B正确； 若甲：，丁：，乙和丙均为，满足题设，但此时丁是甲的充分必要条件， C错误； ，所以乙是丁的必要不充分条件，D错误. 故选：AB 9．（2025高一上·江苏·专题练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 【答案】AC 【难度】0.4 【知识点】判断命题的充分不必要条件、集合新定义 【分析】根据“类”的定义可直接判断A、B，根据可得判断C，整数属于同一“类”的充要条件是“”，判断D. 【详解】对于A，易知，能被整除，因此可得，即A正确； 对于B，可得，因此可得，可得B错误； 对于C，由可设， 所以，即，所以C正确； 对于D，整数属于同一“类”，则余数相同，作差余数为0，即，可知充分性成立； 若，则除以5之后的余数相同，故整数属于同一“类”， 因此整数属于同一“类”的充要条件是“”，即D错误. 故选：AC 10．（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．一个真命题的否定一定是假命题 B．设非空集合是集合的真子集，则是的必要不充分条件 C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D．设集合，则“”是“”的充分不必要条件 【答案】ABD 【难度】0.4 【知识点】判断命题的充分不必要条件、判断命题的必要不充分条件 【分析】利用否命题的真假与原命题真假相反可判断A;利用真子集中元素的关系可判断B;利用不等式的性质可以判断C;分别验证充分性与必要性可判断D 【详解】对于A，真命题的否定是对原命题的结论进行否定，真命题结论是正确的额，其否定必然错误，所以一个真命题的否定一定是假命题，A正确； 对于B，易知A真包含于B，由真子集的定义可知，若则一定有（必要性成立），若，则不一定有（充分性不成立），因此是的必要不充分条件，B正确； 对于C，如果，则同号，由不等式的性质可知“”是“”的充要条件，C错误； 对于D，若，则，显然（充分性成立），若，则或，解得或，不一定有（必要性不成立），D正确 故选：ABD 三、填空题 11．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、根据集合的包含关系求参数、根据必要不充分条件求参数 【分析】由必要条件得，进而有A可能为，，，结合集合A的描述列不等式组求对应x范围，根据可能集合情况确定参数范围即可. 【详解】由“”是“”的必要条件，即， 由A中元素为整数，故A只可能为，，， 由点不在第一、三象限，得：或，即①或②， 当时，①无解，由②得， 此时，故，有； 当时，由①②得， 此时，因，只须，有； 综上：实数a的取值范围是. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：由必要条件确定集合A的可能情况，根据其描述求集合A中元素的范围，再综合所得考虑参数范围. 四、解答题 12．（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件 【分析】（1）根据交集结果列式即可求解； （2）根据题意得到，列式即可求解. 【详解】（1）若，则或， 所以或， 故实数的取值范围. （2）因为成立的一个必要条件是， 所以， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 13．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)，或； (2). 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、交集的概念及运算、交并补混合运算、充分条件 【分析】（1）把代入集合得，求出，计算，即可. （2）由是的充分条件得出，然后建立不等式组求解即可. 【详解】（1）若，则集合，或， 又集合， 所以， 或. （2）因为是的充分条件，所以， 则，解得， 所以实数的取值范围是. 14．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）根据的值确定集合，再求出集合在全集下的补集，最后再求交集. （2）“”是“”的必要条件得出集合和集合的包含关系，再结合集合非空列出不等式组求解. 【详解】（1）当时，， 因为，所以或， 又，所以. （2）因为“”是“”的必要条件，所以. 又集合为非空集合，所以，解得. 实数的取值范围为. 15．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知集合. (1)若，求； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】交并补混合运算、根据必要不充分条件求参数 【分析】（1）先求得，得到或，结合集合交集的定义与运算，即可求解. （2）根据题意，转化为，分和时，两种情况讨论，即可求解. 【详解】（1）当时，集合，则或， 因为，所以或. （2）命题，命题，且是成立的必要不充分条件，所以， 当时，即时，此时，满足； 当时，即时，要使得， 则满足且等号不能同时成立，解得， 综上可得，实数满足，即实数的取值范围为. 16．（25-26高一上·江西景德镇·期中）若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、并集的概念及运算、充分条件 【分析】（1）先求出集合，再根据并集的定义求得； （2）由题意可得，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】（1）当时，， ， ， （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解. 综上所述，实数的取值范围为． 17．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、充分条件 【分析】（1）根据，按照和分类讨论，列出相应不等关系，求解即可； （2）由题意可判断B是A的子集，按照和分类讨论，列出相应不等关系，求解即可. 【详解】（1）因或，，且， 故当时，，解得，符合题意； 当时，，解得， 综上，实数的取值范围为； （2）因为“”是“”的充分条件，所以， 当时，有，解得，满足； 当时，则有或，解得或， 综上，实数的取值范围为； 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、必要条件 【分析】（1）两个集合交集得到的集合中的元素必属于原来的集合，故知道且，代入方程解得参数值，验证后得出结论. （2）找到集合的关系，得到集合的可能情况，代入验证即可得出结论. 【详解】（1）化简得，所以或， 所以， 因为，所以且， 所以，即，所以或， 当时，解得或，即不符合题意，舍去； 经检验，当时，满足题意； 故. （2）若是的必要条件，则且， 所以或或或或或， ①由（1）可知，当时，； ②当时，，解得或， 显然不成立； 当，显然，不符合题意，舍去； ③当时，由（1）可得或，显然此时不合题意，舍去； 当时，显然，不符合题意，舍去； ④当时，，此时方程无解，不合题意，舍去； 故和也不成立，所以舍去； 综上所述： 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 充分条件与必要条件 【知识点一、　充分条件与必要条件】 1.一般地，“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q，这时，我们就说，由p可以推出q，记作p⇒q，并且说，p是q的充分条件，q是p的必要条件． 2.几点说明 ①一般来说，对给定结论q，使得q成立的条件p是不唯一的；给定条件p，由p可以推出的结论q是不唯一的． ②一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个充分条件．每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件． ③一般地，要判断“若p，则q”形式的命题中q是否为p的必要条件，只需判断是否有“p⇒q”，即“若p，则q”是否为真命题． 【知识点二、　充要条件】 1.如果“若p，则q”和它的逆命题“若q，则p”均是真命题，即既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时，p既是q的充分条件，也是q的必要条件，我们就说p是q的充分必要条件，简称为充要条件． 2.如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件．概括地说，如果p⇔q，那么p与q互为充要条件． 【知识点三、　充分条件、必要条件与充要条件的概念】 若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且q⇏p p是q的必要不充分条件 p⇏q且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 p⇏q且q⇏p 【特别提醒】 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则由A⊆B可得，p是q的充分条件，请写出集合A，B的其他关系对应的条件p，q的关系． ①若AB，则p是q的充分不必要条件； ②若A⊇B，则p是q的必要条件； ③若AB，则p是q的必要不充分条件； ④若A＝B，则p是q的充要条件； ⑤若A⊈B且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件． 重难点题型1 充分条件或必要条件的判断 定义法判断充分条件、必要条件 1.确定谁是条件，谁是结论 2.尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3.尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 1．（25-26高三上·云南昆明·阶段检测）“且”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（25-26高一上·全国·课后作业）是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对于实数，，，且是的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．已知，都是实数，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 5．设命题命题则p是q的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·湖南长沙·三模）设甲：且，乙：且，则（    ） A．甲是乙的充分不必要条件 B．甲是乙的必要不充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲是乙的既不充分也不必要条件 7．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．（25-26高二下·湖南邵阳·期中）“或为有理数”是“为有理数”的（    ） A．既不充分也不必要条件 B．充分必要条件 C．充分不必要条件 D．必要不充分条件 重难点题型2 充分条件、必要条件与充要条件的应用 利用充分、必要、充要条件的关系求参数范围 1化简p，q两命题； 2根据p与q的关系充分、必要、充要条件转化为集合间的关系； 3利用集合间的关系建立不等式； 4求解参数范围. 1．（25-26高一上·全国·课前预习）“方程有实根”的充要条件为（   ） A． B． C． D． 2．已知，且是的充分条件，则实数可以是（    ） A．3 B．1 C． D． 3．若成立的一个充分不必要条件是，则实数的取值范围为______. 4．若“”是“|x|<1”的必要不充分条件，则实数m的取值范围是___________ 5．已知，，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是_____. 6．（24-25高一上·广东深圳·阶段检测）已知是实数，集合，． (1)若，请写出集合的所有子集； (2)求证：“”是“”的充要条件． 7．已知集合，． (1)若“，”为假命题，求的取值范围； (2)求证：至少有2个子集的充要条件是，或． 重难点题型3 充要条件的证明 1．（25-26高二下·河北邢台·阶段检测）已知集合，，则“且”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·天津·二模）设，，则“”是“”成立的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026高二上·辽宁大连·学业考试）“”是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（25-26高一上·宁夏吴忠·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）求证：是一元二次方程的一个根的充要条件是． 5．（24-25高一上·广西南宁·阶段检测）（1）已知或，且是的必要而不充分条件，求的取值范围； （2）证明：是一元二次方程有两个异号实根的充要条件. 重难点题型4 综合应用 1．（25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）现有一个迷宫如图所示，小球从三个口中的一个口滚动进入后，该口封闭，小球最终将从另一个口滚动出来，出来后不再滚动进入，则“小球从口滚动进入”是“小球从口滚动出来”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．在整数集中，被除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（    ） A． B． C． D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 3．（25-26高一上·广东江门·阶段检测）已知集合． (1)若，判断集合A与集合B的关系； (2)若是的充分不必要条件，求实数的取值范围． (3)若，求实数的取值范围； 4．（25-26高一上·陕西咸阳·阶段检测）已知． (1)若，求的取值范围． (2)已知命题，命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围． 5．（25-26高一上·上海·期中）已知集合中存在三个元素，同时满足①；②；③为偶数，那么称集合具有性质.已知集合，对于集合的非空子集，若中存在三个互不相同的元素，使得均属于，则称集合是集合的“期待子集”. (1)试判断集合是否具有性质并说明理由； (2)若集合，判断“集合具有性质”是“集合是集合的期待子集”的什么条件，并加以证明. 6．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）已知集合， (1)若，则“”是“”的什么条件？（用充分不必要，必要不充分，充要条件等作答） (2)若，求实数的取值范围. （建议用时：60分钟） 一、单选题 1．（25-26高一上·浙江宁波·期中）“”是“”成立的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2026·天津·一模）设，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（25-26高三上·福建福州·阶段检测）“，使”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D．或 4．（24-25高一上·福建厦门·阶段检测）已知实数，，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 5．（25-26高一上·全国·单元测试）已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的充要条件，是的必要条件，则（    ） A．是的充要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的充分不必要条件 D．是的充要条件 6．（24-25高一上·四川内江·阶段检测）设全集为，是非空子集，在下列选项中，是的充要条件是（    ） A． B． C． D． 7．对任意实数a，b，c，下列命题中真命题是（　　） A．“”是“”的充要条件 B．“是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的必要条件 8．若甲是乙的充分不必要条件，乙是丙的充要条件，丙是丁的必要不充分条件，则下列说法正确的是（    ） A．乙是甲的必要不充分条件 B．甲是丙的充分不必要条件 C．丁是甲的既不充分也不必要条件 D．乙是丁的充要条件 9．（2025高一上·江苏·专题练习）在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，则下面选项正确的为（ ） A． B． C．若，则 D．整数属于同一“类”的充分不必要条件是“” 10．（25-26高一上·安徽·阶段检测）下列说法正确的是（    ） A．一个真命题的否定一定是假命题 B．设非空集合是集合的真子集，则是的必要不充分条件 C．如果，那么“”是“”的充分不必要条件 D．设集合，则“”是“”的充分不必要条件 三、填空题 11．已知集合点不在第一、三象限，集合，若“”是“”的必要条件，则实数a的取值范围是______. 四、解答题 12．（25-26高一上·北京石景山·期末）已知集合，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若成立的一个必要条件是，求实数的取值范围. 13．（25-26高一上·甘肃白银·期末）已知集合，. (1)若，求，； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·江苏南通·期中）已知非空集合，，全集. (1)当时，求； (2)若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围. 15．（25-26高一上·广西玉林·期中）已知集合. (1)若，求； (2)设命题，命题，若是成立的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·江西景德镇·期中）若集合 (1)若，求； (2)设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围. 17．（25-26高一上·云南玉溪·阶段检测）已知集合或，. (1)若，求实数的取值范围； (2)若“”是“”的充分条件，求实数的取值范围. 18．（24-25高一上·上海浦东新·阶段检测）已知集合，非空集合 (1)若，求：的取值集合 (2)若是的必要条件，求：的取值集合 1 学科网（北京）股份有限公司 $