2026年暑假北师大版数学九年级收心课 第一课

收心第一课 菱形的形状与判定 参考答案与试题解析 一、知识框架 2、 知识梳理 【知识点1 菱形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 【知识点2 菱形面积的计算】 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 【知识点3 菱形的判定】 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 三、针对练习 （一）．菱形的性质 1．下列关于菱形性质的说法，正确的是（　　） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 【分析】根据菱形的性质即可得到结论． 【解答】解：A、对角线不一定相等，原说法错误，故不符合题意； B、四个角不一定都是直角，原说法错误，故不符合题意； C、对角线互相垂直，原说法正确，故符合题意； D、菱形是轴对称图形，原说法错误，故不符合题意； 故选：C． 2．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，若AB＝5，AO＝3，则BD的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 【分析】根据菱形的性质得AC⊥BD，，再用勾股定理解Rt△AOB即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，， ∵AB＝5，AO＝3， ∴， ∴BD＝2OB＝8， 故选：B． 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE．若∠ABD＝21°，则∠AEO的度数为（　　） A．20° B．21° C．23° D．25° 【分析】根据菱形的性质得出∠ABC的度数及OA＝OC，利用等腰三角形性质求出∠ACB，在Rt△AEC 中利用直角三角形两锐角互余求出∠CAE，最后根据直角三角形斜边中线性质得出∠AEO＝∠CAE即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，OA＝OC，∠CBD＝∠ABD＝21°， ∴∠ABC＝∠ABD+∠CBD＝42°， ∴， ∵AE⊥BC， ∴∠AEC＝90°， ∴∠CAE＝90°﹣∠BCA＝90°﹣69°＝21°， 在Rt△AEC 中，∵OA＝OC， ∴， ∴∠AEO＝∠CAE＝21°， 故选：B． 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，则OE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 【分析】由菱形的性质推出AOAC＝4，AC⊥BD，DO＝OB，由勾股定理求出OB＝3，由直角三角形斜边中线的性质推出OE＝OB＝3． 【解答】解：∵ABCD是菱形， ∴AOAC8＝4，AC⊥BD，DO＝OB， 由勾股定理得到：OB3， ∵DE⊥AB于点E， ∴∠DEB＝90°， ∵O是BD的中点， ∴OEBD， ∴OE＝OB＝3． 故选：A． 5．如图，菱形ABCD中，若∠C＝110°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．45° 【分析】根据菱形的性质，求出∠ABC的度数，再根据菱形的对角线平分一组对角即可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴∠C+∠ABC＝180°，∠ABD＝∠CBD∠ABC， ∵∠C＝110°， ∴∠ABD＝35°， 故选：C． 6．如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上．已知AC＝8，BD＝6，则点C的坐标为（　　） A．（5，4.8） B．（4，4.8） C．（5，9.6） D．（10，9.6） 【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，进而利用勾股定理得出DC，进而解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，DE＝EB＝3，EC＝AE＝4， ∴CD， ∵菱形ABCD的面积， 即， ∴OD， ∴点C的坐标为（5，4.8）， 故选：A． 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．16 C．12 D．20 【分析】根据OE是△BCD的中位线，即可得到BC的长，然后根据菱形的周长公式计算即可得． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，BO＝DO， 又点E是CD的中点， ∴OE是△BCD的中位线， ∴BC＝2OE＝2×2＝4， ∴菱形ABCD的周长＝4×4＝16， 故选：B． 8．如图，在平面直角坐标系中，点B，C位于第一象限，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，则点B的坐标为（　　） A． B． C．（4，4） D．（6，2） 【分析】根据菱形的性质得到OA＝AB，再利用“直角三角形中，30°角所对的边是斜边的一半”和勾股定理求解． 【解答】解：如图，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，过点B作BD垂直x轴，垂足为点D， ∴OC∥BA，OA＝AB＝4， ∴∠BAD＝∠AOC＝60°， 在Rt△ABD中，∠BAD＝60°， ∴∠ABD＝30°， ∴AD＝2， 在直角三角形ABD中，由勾股定理得：BD， ∴OD＝OA+AD＝6， ∴点B的坐标为， 故选：B． 9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的值为（　　） A．4.8 B．5 C．6 D．8 【分析】设AC与BD相交于点O，由菱形性质得OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD，在Rt△OAB中由勾股定理得AB＝5，再由菱形面积公式得AB•DHAC•BD，据此可得DH的值． 【解答】解：设AC与BD相交于点O，如图所示： ∵四边形ABCD是菱形，且对角线AC＝8，BD＝6， ∴OAAC＝4，OBBD＝3，AC⊥BD， ∴△OAB是直角三角形， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB5， ∵DH⊥AB于点H， ∴由菱形的面积公式得：S菱形ABCD＝AB•DHAC•BD， ∴DH4.8． 故选：A． 10．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，延长AE交BC于点G，连结FC，FG．若AE＝AF，则图中与△AFG面积相等的图形是（　　） A．△BFG B．四边形CDFG C．△ADF D．四边形CFEG 【分析】由等腰三角形的性质推出∠AFE＝∠AEF，由菱形的性质推出AB＝BC，∠ABF＝∠CBF，判定△ABF≌△CBF（SAS），得到∠CFE＝∠AEF，FC＝AE，推出AG∥FC，得到△AEF的面积＝△FGC的面积，因此△AFG面积＝四边形CFEG的面积． 【解答】解：∵AE＝AF， ∴∠AFE＝∠AEF， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC，∠ABF＝∠CBF， ∵BF＝BF， ∴△ABF≌△CBF（SAS）， ∴AF＝FC，∠AFE＝∠CFE， ∴∠CFE＝∠AEF，FC＝AE， ∴AG∥FC， ∴△AEF的边AE上的高和△FGC的边FC上的高相等， ∵AE＝FC， ∴△AEF的面积＝△FGC的面积， ∴△AFG面积＝四边形CFEG的面积， 故选：D． 11．如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝FC； （2）若AB＝2，且AE⊥CD，求AF的长． 【分析】（1）证明△ADE≌△FCE（AAS），再结合菱形的性质即可证明； （2）先证明△ABF是直角三角形，再由勾股定理求解即可． 【解答】（1）证明：由题意可得：AD＝BC，AD∥BC， ∴∠D＝∠DCF，∠F＝∠DAE， 又∵E是边CD的中点， ∴CE＝DE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AD＝FC， ∴BC＝FC； （2）解：由题意，AB＝BC＝2， ∴FC＝BC＝2， ∴BF＝4 ∵AE⊥CD， ∴∠AED＝90°， 又∵AB∥DC， ∴∠BAF＝∠AED＝90°， ∴在Rt△ABF中，． 12．如图，点G在菱形纸板ABCD的对角线AC上，且CG＝AB，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． （1）求证：△ABG≌△ADG； （2）若∠BAD＝56°，求“翼角”∠ABG的度数． 【分析】（1）根据菱形的性质可得AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，可利用SAS即可证明△ABG≌△ADG； （2）结合菱形的性质可得∠ABC＝124°，∠BCG＝28°，再由等腰三角形的性质可得，即可求解． 【解答】（1）证明：点G在菱形纸板ABCD的对角线AC上，且CG＝AB，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC， 在△ABG和△ADG中， ∵AB＝AD，∠BAG＝∠DAG，AG＝AG， ∴△ABG≌△ADG（SAS）； （2）解：∵四边形ABCD为菱形，∠BAD＝56°， ∴，AB＝BC， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAD＝124°，∠BCG＝28°， ∵CG＝AB， ∴BC＝GC， ∴， ∴∠ABG＝∠ABC﹣∠CBG＝48°． 二．菱形的判定（共9小题） 13．要使▱ABCD为菱形，则需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．对角线AC，BD互相平分 D．对角线AC，BD互相垂直 【分析】已知▱ABCD是平行四边形，结合菱形的判定定理逐一判断选项，即可得到正确结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， AB＝CD是平行四边形的固有性质，因此选项A不能判定它是菱形； 对角线相等的平行四边形是矩形，不是菱形，因此选项B错误； 对角线互相平分是平行四边形的性质，因此选项C不能判定它是菱形； 根据菱形判定定理，对角线互相垂直的平行四边形是菱形， ∴添加条件“对角线AC，BD互相垂直”可判定▱ABCD为菱形， 故选：D． 14．根据图中标出的角度，下列平行四边形中不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的性质及菱形的判定定理求解即可． 【解答】解：根据等腰三角形的判定定理可得，平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故A不符合题意； 根据平行四边形的邻角互补，对角线平分一个120°的角，可得平行四边形的一组邻边相等，即可判定该平行四边形是菱形， 故B不符合题意； 一组邻角互补，不能判定该平行四边形是菱形， 故C符合题意； 根据三角形内角和定理可得，平行四边形的对角线互相垂直，即可判定该平行四边形是菱形， 故D不符合题意； 故选：C． 15．如图，△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，连接AE，DE，EF，下列条件中，能判断四边形ADEF是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．∠BAC＝90° C．AE⊥BC D．AE＝BE 【分析】由菱形的判定方法，即可判断． 【解答】解：∵点D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点， ∴DE、EF是△ABC的中位线， ∴DE∥AC，EF∥AB， ∴四边形ADEF是平行四边形， A、不能判定四边形ADEF是菱形，故A不符合题意； B、判定四边形ADEF是矩形，不一定是菱形，故B不符合题意； C、由题意得到AE垂直平分BC，推出AB＝AC，由线段的中点定义得到AD＝AF，判定四边形ADEF是菱形，故C符合题意； D、由题意得到AE＝BE＝EC，推出∠BAE＝∠B，∠CAE＝∠C，由三角形内角和定理推出∠BAC＝90°，判定四边形ADEF是矩形，不一定是菱形，故D不符合题意． 故选：C． 16．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】由题意知，DF，EF，DE是等边三角形的中位线，根据三角形的中位线平行于对边且等于对边的一半知，有DF＝EF＝DE＝AE＝AF＝BF＝CE＝BD＝CD，根据四边相等的四边形是菱形判定作答． 【解答】解：∵△ABC是等边三角形， ∴AB＝BC＝CA， ∵D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点， ∴，，， ∵DF，EF，DE是△ABC的中位线， ∴，，， ∴DF＝EF＝DE＝AE＝AF＝BF＝CE＝BD＝CD， ∴四边形AFDE、四边形BDEF、四边形CEFD是菱形， 故选：B． 17．在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，1），点M在x轴正半轴上，点N在坐标平面内，若以A，B，M，N四点为顶点的四边形为菱形，则点M的坐标为 　或　 ． 【分析】依题意得OA＝2，OB＝1，由勾股定理求出AB，分两种情况讨论如下：①当AB为菱形的一边时，则AM＝AB，由此得OM，据此可得点M的坐标为；②当AB为菱形的对角线时，则MA＝MB，设点M的坐标为（a，0），则MA＝2﹣a，由勾股定理得MB，由此得，解出a，继而可得点M的坐标为，综上所述即可得出答案． 【解答】解：∵点A（2，0），B（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， 在Rt△OAB中，由勾股定理得：AB√5， ∵点M在x轴正半轴上，点N在坐标平面内， ∴有以下两种情况： ①当AB为菱形的一边时，如图1所示： 则AM＝AB， ∴OM＝OA+AM， ∴点M的坐标为； ②当AB为菱形的对角线时，如图2所示： 则MA＝MB， 设点M的坐标为（a，0）， ∴OM＝a， ∴MA＝OA﹣OM＝2﹣a， 在Rt△OMB中，由勾股定理得：MB， ∴， 解得：a， ∴点M的坐标为， 综上所述：点M的坐标为或． 故答案为：为或． 18．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形，则添加的条件可以是AB＝AD（答案不唯一）　 ．（只需添加一个即可） 【分析】依据菱形的判定方法解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O， ∴可添加的条件为AB＝AD（答案不唯一），使得邻边相等的平行四边形为菱形， 故答案为：AB＝AD（答案不唯一）． 19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE＝∠CBF，EF与BD相交于点O． （1）求证：BO＝DO． （2）如果∠ADB＝90°，∠ADE＝∠A．求证：四边形EBFD是一个菱形． 【分析】（1）利用平行四边形的性质得出 AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C，证明△ADE≌△CBF 得到 AE＝CF，从而BE＝DF，结合 BE∥DF 证得四边形EBFD是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分即可证得 BO＝DO． （2）由∠A＝∠ADE可得AE＝DE，根据∠ADB＝90° 推出∠BDE＝∠ABD，得到 DE＝EB，从而证得四边形EBFD是菱形． 【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C，AB∥CD，AB＝CD， ∵∠A＝∠C， 又∵∠ADE＝∠CBF，AD＝CB， ∴△ADE≌△CBF（ASA）， ∴AE＝CF， ∵AE＝CF，AB＝CD， ∴BE＝DF， 又∵AB∥CD， ∴BE∥DF， ∴四边形EBFD是平行四边形， ∴BO＝DO． （2）∵∠A＝∠ADE， ∴AE＝DE， ∵∠ADB＝90°， ∴∠ADE+∠BDE＝90°， ∴∠A+∠ABD＝90°， 又∵∠ADE＝∠A， ∴∠BDE＝90°﹣∠A， ∴∠ABD＝90°﹣∠A， ∴∠BDE＝∠ABD， ∴DE＝EB， ∵四边形EBFD 是平行四边形， ∴四边形EBFD 是菱形． 20．求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 下面是嘉嘉的做法： 已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为O，求证：　平行四边形ABCD是菱形　 ． （1）请把“求证”补充完整，并根据题意画出图形； （2）写出证明过程． 【分析】由平行四边形的性质得OA＝OC，再由线段垂直平分线的性质得AD＝CD，然后由菱形的定义即可得出结论． 【解答】解：（1）求证：平行四边形ABCD是菱形； 故答案为：平行四边形ABCD是菱形； （2）如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC， ∵AC⊥BD， ∴AD＝CD， ∴平行四边形ABCD是菱形． 21．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF． （1）求证：AF＝CE； （2）若AF＝CF，说明四边形AFCE为菱形． 【分析】（1）连接AC交BD于O，由平行四边形的性质得OA＝OC，OB＝OD，再证OE＝OF，得四边形AFCE是平行四边形，即可得出结论； （2）由（1）得：四边形AFCE是平行四边形，再由AF＝CF，即可得出平行四边形AFCE为菱形． 【解答】（1）证明：连接AC交BD于O，如图所示： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BE＝DF， ∴OE＝OF， ∴四边形AFCE是平行四边形， ∴AF＝CE； （2）说明如下：由（1）得：四边形AFCE是平行四边形， 又∵AF＝CF， ∴平行四边形AFCE为菱形． 三．菱形的判定与性质（共2小题） 22．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝4，求AE的长． 【分析】（1）证明DE是△ABC的中位线，BC＝2BD，得DE∥AB，DEAB，再证明四边形ABDF是平行四边形，进而证明AB＝BD，然后由菱形的判定即可得出结论； （2）连接AD，先证明△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝CDBC，再证明BC＝2AB＝8，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，然后由勾股定理求出AC的长，即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵点D、E分别是边BC、AC的中点， ∴DE是△ABC的中位线，BC＝2BD， ∴DE∥AB，DEAB， ∵AF∥BC， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵BC＝2AB， ∴AB＝BD， ∴平行四边形ABDF是菱形； （2）解：如图，连接AD， ∵AB＝BD＝4，∠B＝60°， ∴△ABD是等边三角形， ∴AD＝BD＝AB＝CDBC， ∴BC＝2AB＝8，△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°， ∴AC4， ∵E是AC的中点， ∴AEAC＝2， 即AE的长为2． 23．如图所示，在▱ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，且BF＝BE． （1）求证：▱ABCD为菱形； （2）若∠D＝120°，AF＝3cm，求▱ABCD的面积． 【分析】（1）根据菱形的判定定理证明； （2）结合菱形的性质和勾股定理计算即可． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C， ∵BF⊥AD，BE⊥CD， ∴∠BFA＝∠BEC＝90°， 在△AFB和△CEB中， ∴△AFB≌△CEB（AAS）， ∴AB＝BC， ∴▱ABCD是菱形； （2）解：在菱形ABCD中，∠D＝120°， ∴∠A＝180°﹣∠D＝180°﹣120°＝60°，∠FBA＝90°﹣60°＝30°， 在Rt△ABF中，AF＝3cm， ∴AB＝2AF＝6cm，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $ 收心第一课 菱形的性质与判定 一、知识框架 2、 知识梳理 【知识点1 菱形的性质】 图示 性质 数学语言描述 边 对边平行 AB∥CD，AD∥BC 四条边都相等 角 对角相等 ， 对角线 对角线互相垂直平分 ，， 每条对角线平分一组对角 , 【知识点2 菱形面积的计算】 计算方法 符号表示 主要依据 菱形的面积=底高 菱形是特殊的平行四边形 菱形的面积=两条对角线乘积的一半 【知识点3 菱形的判定】 1．根据定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形． 2．根据对角线：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 3．根据边：四边相等的平行四边形是菱形． 拓展：（1）对角线互相垂直平分的四边形是菱形． （2）对角线平分一组内角的平行四边形是菱形． 三、针对练习 （一）．菱形的性质 1．下列关于菱形性质的说法，正确的是（　　） A．对角线相等 B．四个角都是直角 C．对角线互相垂直 D．不是轴对称图形 2．如图，菱形ABCD的两条对角线交于点O，若AB＝5，AO＝3，则BD的长为（　　） A．4 B．8 C．10 D．12 3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AE⊥BC于点E，连接OE．若∠ABD＝21°，则∠AEO的度数为（　　） A．20° B．21° C．23° D．25° 4．如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AB于点E，连接OE，则OE的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．8 5．如图，菱形ABCD中，若∠C＝110°，则∠ABD的度数是（　　） A．20° B．30° C．35° D．45° 6．如图，菱形ABCD的边AB在x轴上，点D在y轴上．已知AC＝8，BD＝6，则点C的坐标为（　　） A．（5，4.8） B．（4，4.8） C．（5，9.6） D．（10，9.6） 7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E为CD的中点．若OE＝2，则菱形ABCD的周长为（　　） A．4 B．16 C．12 D．20 8．如图，在平面直角坐标系中，点B，C位于第一象限，菱形OABC的顶点A的坐标为（4，0），∠AOC＝60°，则点B的坐标为（　　） A． B． C．（4，4） D．（6，2） 9．如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，DH⊥AB于点H，则DH的值为（　　） A．4.8 B．5 C．6 D．8 10．如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线BD上的点，延长AE交BC于点G，连结FC，FG．若AE＝AF，则图中与△AFG面积相等的图形是（　　） A．△BFG B．四边形CDFG C．△ADF D．四边形CFEG 11．如图，在菱形ABCD中，E是边CD的中点，连接AE并延长交BC的延长线于点F． （1）求证：BC＝FC； （2）若AB＝2，且AE⊥CD，求AF的长． 12．如图，点G在菱形纸板ABCD的对角线AC上，且CG＝AB，夕夕准备沿纸板上的虚线裁出“翼型”三角板（阴影部分）． （1）求证：△ABG≌△ADG； （2）若∠BAD＝56°，求“翼角”∠ABG的度数． （二）．菱形的判定 13．要使▱ABCD为菱形，则需要添加的条件是（　　） A．AB＝CD B．AC＝BD C．对角线AC，BD互相平分 D．对角线AC，BD互相垂直 14．根据图中标出的角度，下列平行四边形中不一定是菱形的是（　　） A． B． C． D． 15．如图，△ABC中，点D，E，F分别为边AB，BC，AC的中点，连接AE，DE，EF，下列条件中，能判断四边形ADEF是菱形的是（　　） A．AB＝BC B．∠BAC＝90° C．AE⊥BC D．AE＝BE 16．如图，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为三边BC，CA，AB的中点，则图中共有菱形（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 17．在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（0，1），点M在x轴正半轴上，点N在坐标平面内，若以A，B，M，N四点为顶点的四边形为菱形，则点M的坐标为 　 　 ． 18．已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件，使四边形ABCD是菱形，则添加的条件可以是　 　 ．（只需添加一个即可） 19．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F分别在边AB、CD上，∠ADE＝∠CBF，EF与BD相交于点O． （1）求证：BO＝DO． （2）如果∠ADB＝90°，∠ADE＝∠A．求证：四边形EBFD是一个菱形． 20．求证：对角线互相垂直的平行四边形是菱形． 下面是嘉嘉的做法： 已知：平行四边形ABCD的对角线AC、BD互相垂直，垂足为O，求证：　 　 ． （1）请把“求证”补充完整，并根据题意画出图形； （2）写出证明过程． 21．如图，在平行四边形ABCD中，点E、F在对角线BD上，且BE＝DF． （1）求证：AF＝CE； （2）若AF＝CF，说明四边形AFCE为菱形． （三）．菱形的判定与性质 22．如图，在△ABC中，BC＝2AB，D，E分别为BC，AC的中点，过点A作AF∥BC交DE的延长线于点F． （1）求证：四边形ABDF是菱形； （2）若∠B＝60°，AB＝4，求AE的长． 23．如图所示，在▱ABCD中，BF⊥AD于F，BE⊥CD于E，且BF＝BE． （1）求证：▱ABCD为菱形； （2）若∠D＝120°，AF＝3cm，求▱ABCD的面积． 9:10；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $