2.3 确定二次函数的表达式(第一课时) 课件 2025-2026学年北师大版九年级数学下册

数 学 北师大版 九年级全一册 第二章　二次函数 2.3　确定二次函数的表达式(第一课时) 课前练兵 1.已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点(1，2)，则m的值为______. 2.已知抛物线的顶点坐标为(－1，2)，且经过点(0，4)，其函数表达式为_________________. 3.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴的交点为(3，0)和(4，0)，则这个二次函数的表达式是__________________. 课前练兵 0 y＝2x2＋4x＋4 y＝x2－7x＋12 课堂验标 ◆知识点1：求二次函数的表达式(含两个未知数) 1.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点(1，－2)，(0，－5)，求这个函数的表达式. 课堂验标 解：y＝x2＋2x－5. ◆知识点2：利用顶点式和交点式求二次函数的表达式 2.归纳结论： (1)已知抛物线的顶点坐标以及另一点坐标，可以求得二次函数的表达式，此时可以设顶点式__________________； (2)已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标以及另一点坐标，可以求得二次函数的表达式，此时可以设交点式____________________. 课堂验标 y＝a(x－h)2＋k y＝a(x－x1)(x－x2) 3.已知二次函数的图象与x轴交点的横坐标分别为2和3，且经过点(5，4)，求这个函数的表达式. 课堂验标 解：y＝x2－x＋4. 4.如图，抛物线与直线y＝x＋3分别交x轴于点A，y轴于点C，且抛物线的对称轴为直线x＝－2. (1)求出抛物线与x轴的两个交点A，B的坐标； 课堂验标 (第4题) 解：对于直线y＝x＋3，当y＝0时，x＝－3， 所以点A的坐标为(－3，0). 当x＝0时，y＝3，所以点C的坐标为(0，3). 因为抛物线的对称轴为直线x＝－2，所以点A与点B关于直线x＝－2对称. 所以点B的坐标是(－1，0). (2)试确定抛物线的表达式. 课堂验标 解：因为抛物线的对称轴为直线x＝－2，所以设抛 物线的表达式为y＝a(x＋2)2＋c. 因为抛物线经过点C(0，3)和点A(－3，0)， 所以可得方程组 解得 所以抛物线的表达式为y＝(x＋2)2－1，即y＝x2＋4x＋3. (第4题) 课外出彩 一、练基础 1.抛物线y＝x2－2x＋c经过点(1，－3)，则c的值为(　　) A.－1 B.2 C.－3 D.－2 课外出彩 D 2.如图所示的抛物线是二次函数y＝ax2＋5x＋4－a2的图象，那么a的值是(　　) A.2 B.－2 C.－ D.±2 课外出彩 (第2题) B 3.已知抛物线与二次函数y＝－5x2的图象相同，开口方向相同，且顶点坐标为(－1，2 025)，它对应的函数表达式为(　　) A.y＝－5(x－1)2＋2 025 B.y＝5(x－1)2＋2 025 C.y＝5(x＋1)2＋2 025 D.y＝－5(x＋1)2＋2 025 课外出彩 D 4.已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点(－2，8)和(－1，5)，这个二次函数的表达式为(　　) A.y＝－x2＋6x B.y＝x2＋6x C.y＝－x2－6x D.y＝x2－6x 课外出彩 C 5.如果一条抛物线的形状与y＝－x2＋2的形状和开口方向均相同，且顶点坐标是(－4，2)，那么它的函数解析式为y＝_______________. 课外出彩 －(x＋4)2＋2 6.已知二次函数y＝－2x2＋bx＋c的图象经过A(0，4)和B(1，－2). (1)求该抛物线的解析式； 课外出彩 解：把A(0，4)和B(1，－2)代入y＝－2x2＋bx＋c， 得 解得 所以此抛物线的解析式为y＝－2x2－4x＋4. (2)求抛物线的顶点坐标. 课外出彩 解：因为y＝－2x2－4x＋4 ＝－2(x2＋2x)＋4 ＝－2[(x＋1)2－1]＋4 ＝－2(x＋1)2＋6， 所以此抛物线的顶点坐标为(－1，6). 二、提能力 7.如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是(0，8)，以点C为顶点的抛物线经过x轴上的点A，B，则此抛物线的解析式为______________________. 课外出彩 (第7题) y＝－2x2＋16x－24 8.已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与y轴交于点A(0，－6)，与x轴的一个交点是B(－2，0). (1)求二次函数的表达式，并写出顶点坐标； 课外出彩 解：依题意，有解得 所以二次函数的表达式为y＝x2－x－6. 配方，得y＝－. 所以二次函数的顶点坐标为. 课外出彩 (2)将二次函数图象沿x轴向左平移 个单位长度，求所得图象对应的函数表达式. 课外出彩 解：由(1)知，二次函数的表达式为y＝－，将其沿x轴向左平移 个单位长度，得y＝－. 所以y＝x2＋4x－ . 9.已知关于x的二次函数y＝x2＋bx＋c的图象过点(－1，0)，(3，0). (1)求这个二次函数的解析式； 课外出彩 解：由题意，得解得 所以这个二次函数的解析式为y＝x2－2x－3. 课外出彩 (2)求当－2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差. 解：因为y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，所以当x＝1时，y有最小值－4. 因为当x＝－2时，y＝5；当x＝2时，y＝－3， 所以当－2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为5－(－4)＝9. 10.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的顶点坐标为(1，0). (1)若函数图象经过点(－1，2)，求这个函数的解析式； 课外出彩 解：设二次函数的解析式为y＝a(x－h)2＋k.由题意，得h＝1，k＝0. 把(－1，2)代入y＝a(x－1)2，得a＝.所以 y＝(x－1)2. (2)若a－b＋c＝1，求这个函数的解析式； 课外出彩 解：因为 a－b＋c＝1，所以图象经过点(－1，1). 把(－1，1)代入y＝a(x－1)2，得a＝.所以 y＝(x－1)2. (3)若a，b，c满足1≤a－b＋c≤2，S＝16a＋4b＋c，求S的取值范围. 课外出彩 解：由题意，得二次函数解析式为y＝a(x－1)2. 因为1≤a－b＋c≤2，所以当x＝－1时，1≤y≤2. 所以 1≤(－1－1)2·a≤2.所以 ≤a≤. 因为 S＝16a＋4b＋c＝(4－1)2·a＝9a，所以 ≤S≤. 11.如图，已知抛物线y＝ax2＋bx－3(a≠0)经过A(－1，0)，B(3，0)两点，直线l是抛物线的对称轴. (1)求抛物线的解析式； 课外出彩 (第11题) 解：把A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3， 得解得 所以抛物线的解析式为y＝x2－2x－3. (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点M，使得△ACM的周长最短？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由. 课外出彩 (第11题) 解：抛物线y＝x2－2x－3的对称轴为x＝－＝1. 因为点A，B关于直线x＝1对称， 所以连接BC，交直线x＝1于点M，此时MC＋MA最小. 设直线BC的解析式为y＝mx＋n.因为B(3，0)，C(0，－3)， 所以 解得 所以直线BC的解析式为y＝x－3. 当x＝1时，y＝1－3＝－2，所以M(1，－2). 所以在抛物线的对称轴上存在一点M，使得△ACM的周长最短，此时M(1，－2). 课外出彩 (第11题) $