专题12.1 函数（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦初中数学函数核心知识点，系统梳理常量与变量、函数定义、自变量取值范围、函数值等基础概念，衔接函数的列表法、解析法、图象法三种表示法及动点问题应用，构建从概念理解到方法运用再到实际问题解决的学习支架。 资料特色在于9大题型分类清晰，每题型含例题与变式训练实现举一反三，结合加油数据、漏刻计时等生活实例培养数学眼光，通过三种表示法训练提升数学思维与语言表达能力，课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

专题12.1 函数（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 常量与变量】 2 【题型2 函数的概念与函数图象的识别】 3 【题型3 求自变量的取值范围】 4 【题型4 求自变量的值或函数值】 4 【题型5 用列表法表示变量间的函数关系】 5 【题型6 用解析法表示变量间的函数关系】 6 【题型7 用描点法画函数图象】 7 【题型8 用图象法表示变量间的函数关系】 8 【题型9 动点问题的函数图象】 10 考点1 函数的相关概念 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点3 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点4 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 【题型1 常量与变量】 【例1】（25-26八年级下·广西河池·期末）某水果的市场零售价为元斤，买斤水果共支付元，则和分别是（     ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图是李师傅某次给汽车加油时，加油机上的数据显示牌，其中的常量是（     ） 金额 143.64元 数量 18L 单价 7.98元/L A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【变式1-3】指出下列事件过程中的常量与变量． （1）某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是_____，变量是_____； （2）周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是_____，变量是_____； 注意：π是一个确定的数，是常量 【题型2 函数的概念与函数图象的识别】 【例2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）下列关于变量、的关系，其中不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   【变式2-3】（25-26八年级下·北京·期中）下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【题型3 求自变量的取值范围】 【例3】（2026·云南昭通·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式3-1】（2026·山东济宁·二模）写出使函数有意义的自变量x的一个值____．（写出任意一个符合题意的实数） 【变式3-2】（25-26八年级下·四川内江·期中）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·湖南娄底·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是_______． 【题型4 求自变量的值或函数值】 【例4】（25-26七年级下·河北张家口·期末）变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式4-1】（25-26八年级下·四川乐山·期末）当时，函数的函数值为（     ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·单元复习）填空： （1）已知函数，当_________时，函数值为0； （2）已知函数，当时， _________；当_________时，． 【变式4-3】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的关系式为，则弹簧的原长为______． 考点2 函数的三种表示法 知识点5 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是解析法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 解析法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 【题型5 用列表法表示变量间的函数关系】 【例5】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用：小明制作了一个简单的漏刻模型，并实验发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如下表所示的关系，时对应的水位为________． 时间（） 水位（） 【变式5-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 3 6 9 下列说法中，不正确的是（     ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．时间每增加，容器中水的高度增加 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．当经过的时间为时，容器中水的高度是 【变式5-2】（25-26六年级下·全国·课后作业）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 【变式5-3】（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【题型6 用解析法表示变量间的函数关系】 【例6】（25-26七年级下·河南周口·期中）物体在匀速直线运动中，路程．某物体运动速度恒定，运动3分钟路程为1800米；运动5分钟路程为3000米． (1)求该物体运动速度； (2)若路程不低于2400米，设运动时间为x分钟，列出不等式并求x的取值范围． 【变式6-1】（25-26八年级下·河北衡水·期末）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需50元的配送费，且一棵树苗15元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为，则与（为正整数）之间的关系式是___________． 【变式6-3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．张叔叔出差携带的行李超过，他这次乘坐经济舱的全票价为2000元．设他携带的行李为，需交的行李费用为元．请直接写出与之间的关系式___________． 【题型7 用描点法画函数图象】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 【变式7-1】（25-26八年级下·北京·课前预习）画出函数的图象． 【变式7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 【题型8 用图象法表示变量间的函数关系】 【例8】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）一辆无人配送车从站点出发给客户送物资，途中在社区驿站短暂停留装卸货物．整个过程中，配送车距离客户位置的距离（米）与所用时间（分钟）的关系如图所示，下列结论正确的是（     ） A．配送站点距离客户位置1600米 B．配送车在驿站装卸货物用了10分钟 C．从站点到驿站的速度比从驿站到客户位置的速度小 D．配送车离开驿站后的行驶速度为80米/分钟 【变式8-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为___________． 【变式8-3】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，是小旺从家到学校行进的路程（米）与时间（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（     ）． A．小旺前分钟走了总路程的一多半 B．小旺后分钟比前分钟走得快 C．学校距小旺家米 D．小旺用了分钟到学校 【题型9 动点问题的函数图象】 【例9】（25-26七年级下·四川成都·期末）小明同学热爱体育锻炼．每周六上午他都先从家跑步到离家一段距离的公园里，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能大致反映小明同学周六上午离家的距离随时间变化的图象是（     ） A． B． C． D． 【变式9-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）小刚在上学途中路过一家早餐店，在店里吃完早餐后仍保持匀速行进，准时到达学校．下列图中能较好地刻画小刚离家的距离与时间之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图所示，有四幅图象（从左到右排列），分别表示变量之间的关系．请根据图象从左到右的顺序，将下列四个情境与图像进行匹配，并将正确的情境序号按顺序填写在横线上． 情境：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系； ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 作答：正确的顺序是______． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题12.1 函数（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 常量与变量】 2 【题型2 函数的概念与函数图象的识别】 3 【题型3 求自变量的取值范围】 6 【题型4 求自变量的值或函数值】 7 【题型5 用列表法表示变量间的函数关系】 9 【题型6 用解析法表示变量间的函数关系】 11 【题型7 用描点法画函数图象】 12 【题型8 用图象法表示变量间的函数关系】 16 【题型9 动点问题的函数图象】 18 考点1 函数的相关概念 知识点1 常量和变量 1. 在某一变化过程中，数值保持不变的量叫做常量，可以取不同数值的量叫做变量． 2. 变量和常量往往是相对的，对不同的研究过程，其中的变量和常量是不同的，变量和常量是可以相互转换的． 知识点2 函数的定义 1. 函数的定义：一般地，在一个变化过程中的两个变量x和y，如果对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，x是自变量． 2. 对函数的理解应抓住以下四点 （1）有两个变量； （2）一个变量变化，另一个变量也随之变化； （3）对于自变量x的每一个值，函数y仅有一个值与之对应； （4）函数不是数，它是指在一个变化过程中两个变量之间的关系． 知识点3 确定自变量的取值范围 使得函数有意义的自变量的取值的全体叫做自变量的取值范围． 类型 特征 取值范围 整式型 等式右边是整式 全体实数 分式型 等式右边分母含有自变量 使分母不为0的实数 知识点4 函数值 对于一个函数，当自变量时，可以求出与它对应的y的值，我们就说这个值是当时的函数值． 【题型1 常量与变量】 【例1】（25-26八年级下·广西河池·期末）某水果的市场零售价为元斤，买斤水果共支付元，则和分别是（     ） A．常量，变量 B．变量，常量 C．常量，常量 D．变量，变量 【答案】A 【分析】根据定义判断两个量的属性即可求解．在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量． 【详解】解：∵该水果零售价元/斤是固定不变的数值，购买重量可以取不同数值，是变化的量， ∴是常量，是变量． 【变式1-1】（25-26八年级下·陕西西安·期末）如图是李师傅某次给汽车加油时，加油机上的数据显示牌，其中的常量是（     ） 金额 143.64元 数量 18L 单价 7.98元/L A．金额 B．数量 C．单价 D．金额和单价 【答案】C 【分析】本题考查常量与变量的概念，在一个变化过程中，数值始终不变的量叫做常量，数值发生变化的量叫做变量，只需判断各量是否变化即可得到结论. 【详解】∵ 加油过程中，加油数量可变化，金额会随加油数量的变化而变化，只有单价始终保持固定不变， ∴ 常量是单价. 【变式1-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）如图，张开大拇指和中指，两手指指尖间的距离为“一拃”．据统计，通常情况下，人的一拃长（单位：）与本人的身高（单位：）之间的关系式为，则下列关于变量和常量的说法正确的是（   ） A．是变量，是常量 B．是变量，是常量 C．0.3与是变量，与是常量 D．与是变量，0.3与是常量 【答案】D 【分析】本题考查了变量与常量的概念，解题关键是区分“变化的量”和“固定不变的量”． 要判断变量和常量，需明确：变量是在变化过程中数值发生改变的量，常量是数值固定不变的量，结合关系式分析即可． 【详解】解：在关系式中： （身高）和（一拃长）的数值会随不同的人发生变化，因此与是变量； 和是固定不变的数值，因此是常量． A、是变量，是常量，错误，不符合题意； B、是变量，是常量，错误，不符合题意； C、与是变量，与是常量，错误，不符合题意； D、与是变量，与是常量，正确，符合题意． 故选：D ． 【变式1-3】指出下列事件过程中的常量与变量． （1）某水果店橘子的单价为5元／千克，买a千克橘子的总价为m元，其中常量是_____，变量是_____； （2）周长C与圆的半径r之间的关系式是C＝2πr，其中常量是_____，变量是_____； 注意：π是一个确定的数，是常量 【答案】 5 a，m； 2，π C，r 【题型2 函数的概念与函数图象的识别】 【例2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）下列图象中，表示是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义：对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应．在图象上，可以通过“垂线法”判断，即作垂直于 轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则是函数图象． 【详解】解： A. 作垂直于 轴的直线，可能与图象有两个交点， 即对于同一个 ，有多个 值与之对应， 故 不是 的函数； B. 作垂直于 轴的直线，与图象可能有两个交点， 即对于同一个 ，有两个 值与之对应， 故 不是 的函数； C. 作垂直于 轴的直线，与图象只有一个交点， 即对于同一个 ， 有唯一确定的值与其对应， 故 是 的函数； D. 对于任意一个 ，与图象可能有两个交点， 即对于同一个 ，有两个 值与之对应， 故 不是 的函数． 【变式2-1】（25-26八年级下·湖北宜昌·期末）下列关于变量、的关系，其中不是的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数； 、对给定的的值，有几个值与之对应，不是的函数； 、对每一个的值，都有唯一确定的值与之对应，是的函数． 【变式2-2】（25-26八年级下·河南商丘·期末）下列不能表示y是x的函数的是（     ） A． x … 0 1 2 … y … 3 0 … B． C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数的概念，即一般地，如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么我们称y是x的函数，由此判断选项即可． 【详解】解：A选项，列表法表示y是x的函数； B选项，解析法表示y是x的函数； C选项，图像法表示y是x的函数； D选项，变量x的每一个值，变量y大部分情况下有2个值与它对应，不能表示y是x的函数． 【变式2-3】（25-26八年级下·北京·期中）下列情景中，可以表示是的函数的是_______．（填序号） 某天的气温与时间（时）的关系： 正方形的面积与边长的关系： 数轴上一个点的坐标与这个点到原点的距离的关系． 【答案】 【分析】函数定义为：在一个变化过程中，有两个变量与，对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，据此对三个情景逐一判断即可. 【详解】解：对于时间的每一个确定的值，气温都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 对于正方形边长的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与之对应，因此是的函数，符合题意； 由题意可得，当时，有两个不同的值与之对应，不满足函数定义，不符合题意； ∴能表示是的函数的是． 【题型3 求自变量的取值范围】 【例3】（2026·云南昭通·模拟预测）函数中自变量x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】该函数的分母不为0，据此可得自变量的取值范围． 【详解】解：自变量x应满足，解得， ∴自变量x的取值范围是． 【变式3-1】（2026·山东济宁·二模）写出使函数有意义的自变量x的一个值____．（写出任意一个符合题意的实数） 【答案】 （答案不唯一，任意满足的实数均可） 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到自变量的取值范围，在取值范围内任取一个符合要求的值即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得：， 在的范围内任取一个实数，例如（答案不唯一）． 【变式3-2】（25-26八年级下·四川内江·期中）下列函数中，自变量x的取值范围是的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出每个选项中自变量的取值范围，再选出符合要求的选项即可． 【详解】解：A、，解得，不符合要求； B、，解得，不符合要求； C、，解得，不符合要求； D、，解得，符合要求． 【变式3-3】（2026·湖南娄底·模拟预测）函数的自变量x的取值范围是_______． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义的条件和零指数幂的定义，列出不等式求解自变量的取值范围即可． 【详解】解：由题意可得， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴且． 【题型4 求自变量的值或函数值】 【例4】（25-26七年级下·河北张家口·期末）变量y随x变化的关系式如图所示，当x从2增加到4时，y的值增加了（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】分别求出和时y的值，即可得到y增加的值． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴y的值增加了． 【变式4-1】（25-26八年级下·四川乐山·期末）当时，函数的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】直接将给定的的值代入函数解析式，计算即可得到对应函数值． 【详解】解：将 代入解析式得 ． 【变式4-2】（25-26八年级下·全国·单元复习）填空： （1）已知函数，当_________时，函数值为0； （2）已知函数，当时， _________；当_________时，． 【答案】 /0.6 【分析】本题考查根据已知条件求函数值或自变量，直接代入函数解析式，通过计算或解方程得到结果即可． 【详解】解：（1）由题意，函数值为，即， 令，则. 解得． （2）当时，则； 令，则，解得． 【变式4-3】（25-26八年级下·陕西安康·阶段检测）在弹性限度内，某弹簧的长度y（单位：）与所挂物体质量x（单位：）的关系式为，则弹簧的原长为______． 【答案】12 【分析】求出时的y的值即可得到答案. 【详解】解：当时，． 考点2 函数的三种表示法 知识点5 函数的三种表示法 函数的表示方法有三种，分别是解析法、列表法、图象法． 有的函数用以上三种方法都能表示，有的函数只能用其中的一种或两种方法表示． 表示方法 优点 缺点 解析法 准确地反映出两个变量之间的数量关系 有的函数不能用表达式法表示 列表法 能直接找出自变量与对应的函数值 写出的对应值有限，不能直接看出两个变量之间的对应规律 图象法 直观、形象地表示出变量之间的关系，便于直观地研究函数的性质 所画出的图象是近似的、局部的；由图象确定的函数值往往不够准确 【题型5 用列表法表示变量间的函数关系】 【例5】（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）漏刻是我国古代的一种计时工具，它是中国古代人民对变量之间关系的创造性应用：小明制作了一个简单的漏刻模型，并实验发现每分钟水位上升的高度相同，水位和时间之间存在如下表所示的关系，时对应的水位为________． 时间（） 水位（） 【答案】 【详解】解：每分钟水位上升的高度相同， ∴由表格可知，每增加 ，增加 ， ∴时对应的水位为 ． 【变式5-1】（25-26七年级下·宁夏银川·期末）水钟在我国又称漏刻、漏壶，是一种利用水流等时性原理计时的古老装置．小志依据水钟的原理，制作了一个简易的计时工具．通过观察，他发现容器中水的高度和时间有如下关系： 时间/ 1 2 3 4 5 6 水的高度/ 3 6 9 下列说法中，不正确的是（     ） A．上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系 B．时间每增加，容器中水的高度增加 C．当容器中水的高度为时，对应的时间为 D．当经过的时间为时，容器中水的高度是 【答案】C 【分析】根据表格表示的变量间关系，从表格中准确提取对应信息，逐一判断选项即可． 【详解】解：A、上表反映了容器中水的高度和时间两个变量之间的关系，该选项正确，不符合题意； B、由表格数据可得，，，以此类推，可知时间每增加，容器中水的高度增加，该选项正确，不符合题意； C、由表格可知，当容器中水的高度为时，对应的时间为，不是，该选项错误，符合题意； D、由表格可知，当经过的时间为时，容器中水的高度是，该选项正确，不符合题意； 【变式5-2】（25-26六年级下·全国·课后作业）某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示函数关系．由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为，进而令，代入解析式，即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为， 当时，. 故答案为：． 【变式5-3】（2025八年级上·上海·专题练习）某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有一家印刷社，印刷收费y（元）与印刷数量x（张）之间的关系如下表： 印刷数量x（张） … 100 200 300 400 … 印刷收费y（元） … 15 30 45 60 … (1)上表中的变量是什么？ (2)从上表可知：印刷收费y（元）随印刷数量x（张）的增加而________； (3)若要印刷1000张宣传单，收费多少元？ 【答案】(1)变量是印刷收费与印刷数量 (2)增加 (3)150（元） 【分析】本题考查常量与变量，函数的表示方法，理解常量与变量的意义，得出印刷收费的单价是解决问题的关键． （1）由表格中数据变化可得答案； （2）由表格中，印刷收费与印刷数量的变化关系得出答案； （3）求出印刷的单价，即每张的印刷收费，再求出1000张印刷收费即可． 【详解】（1）解：根据表格中的数据变化可得：上表反映了印刷收费和印刷数量之间的关系，其中印刷数量自变量，因变量是印刷收费， 故答案为：印刷收费；印刷数量； （2）解：从上表可知：收费（元）随印刷数量（张）的增加而增加， 故答案为：增加； （3）解：由表格中数据的变化情况可知，每张的印刷收费为（元）， 所以印刷1000张宣传单，收费（元）． 【题型6 用解析法表示变量间的函数关系】 【例6】（25-26七年级下·河南周口·期中）物体在匀速直线运动中，路程．某物体运动速度恒定，运动3分钟路程为1800米；运动5分钟路程为3000米． (1)求该物体运动速度； (2)若路程不低于2400米，设运动时间为x分钟，列出不等式并求x的取值范围． 【答案】(1)该物体运动速度为600米/分钟； (2)，． 【分析】（1）根据得到，进而计算即可； （2）根据列不等式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴该物体运动速度为（米/分钟）； （2）解：由题意得：， 解得． 【变式6-1】（25-26八年级下·河北衡水·期末）某小区计划购买一批树苗绿化小区，需送货上门．已知送货上门需50元的配送费，且一棵树苗15元，则花费总金额y（元）与购买棵数x（棵）之间的函数解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据总金额由上门费和购买树苗的费用组成，将两部分费用相加得到总金额，即可推导出函数解析式． 【详解】解：由题意得，． 【变式6-2】（25-26七年级下·江西吉安·期末）自行车的链条是由若干节链条连接而成，将其展直后链条的总长度随着链条节数（节）的变化而变化，如图，某品牌自行车每节链条的长度为，链条交叉重叠部分的圆的直径为，则与（为正整数）之间的关系式是___________． 【答案】 【分析】根据图形得到链条的长度与节数之间的关系，即可得到与之间的关系式． 【详解】解：由图形可知，一节链条的长度为， 两节链条的长度为， 三节链条的长度为， ， 节链条的长度为， 整理可得：． 【变式6-3】（25-26七年级下·山东枣庄·期末）某航空公司规定：乘坐飞机经济舱的旅客每人最多可免费托运行李，超出部分每千克按经济舱全票价的计费．张叔叔出差携带的行李超过，他这次乘坐经济舱的全票价为2000元．设他携带的行李为，需交的行李费用为元．请直接写出与之间的关系式___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得． 【题型7 用描点法画函数图象】 【例7】（25-26八年级下·全国·课后作业）要做一个面积为的长方形小花坛，该花坛的一边长为，另一边长为． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，请表示出函数y的值（用表格表示）； (3)请画出函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据长方形面积等于长乘宽即可得函数表达式； （2）根据解析式代入计算，即可得相应的值； （3）根据列表，在直角坐标系中描点、连线即可． 【详解】（1）解：与之间的函数表达式是； （2）解：当x的值分别为1，2，3，4，5，6时，函数y的值如下： 1 2 3 4 5 6 12 6 4 3 2 （3）解：函数的图象如下： 【变式7-1】（25-26八年级下·北京·课前预习）画出函数的图象． 【答案】见解析 【详解】解：列表： 0 1 2 0 1 2 3 描点、连线，得到一条过和的直线． 【变式7-2】（25-26八年级下·全国·课后作业）6月13日，某港口的潮水高度和时间的部分数据及函数图象如下． … 11 12 13 14 15 16 17 18 … … 189 137 103 80 101 133 202 260 … （数据来自某海洋研究所） 【数学活动】 根据表中数据，通过描点、连线（光滑曲线）的方式补全该函数的图象． 【数学应用】 根据研究，当潮水高度超过时，货轮能够安全进出该港口．请问当天什么时间段适合货轮进出此港口？ 【答案】数学活动：见解析；数学应用：时和时适合货轮进出此港口 【分析】数学活动：根据表格数据在函数图象上描点连线即可； 数学应用：根据图象找到时所有的x值，再结合图象判断即可． 【详解】解：数学活动：补全该函数的图象如答图所示． 数学应用：根据图象，可知当潮水高度超过时，和． 所以时和时适合货轮进出此港口． 【变式7-3】（25-26八年级下·全国·课后作业）水龙头关不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，小敏进行了以下研究：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每记录一次容器中的水量，下表是小敏在一段时间内收集到的一组数据． 漏水时间 0 5 10 15 20 25 30 … 漏水量 0 4 8 12 16 20 24 … (1)求漏水量随漏水时间而变化的函数表达式； (2)画出这个函数的图象． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）漏水时间每增加，漏水量增加，即可求解． （2）利用描点法画出函数图象即可． 【详解】（1）解：观察表格发现，漏水时间每增加，漏水量增加， 所以． （2）解：利用描点法画出函数图象，如图： 【题型8 用图象法表示变量间的函数关系】 【例8】（25-26七年级下·宁夏中卫·期末）一辆无人配送车从站点出发给客户送物资，途中在社区驿站短暂停留装卸货物．整个过程中，配送车距离客户位置的距离（米）与所用时间（分钟）的关系如图所示，下列结论正确的是（     ） A．配送站点距离客户位置1600米 B．配送车在驿站装卸货物用了10分钟 C．从站点到驿站的速度比从驿站到客户位置的速度小 D．配送车离开驿站后的行驶速度为80米/分钟 【答案】C 【分析】根据函数图象获取信息：时的值即为站点到客户的距离；水平线段对应的时间差即为停留时间；斜线段中路程除以时间即为速度，分别计算两段行驶速度进行比较即可． 【详解】解：由图象可知： 当时，，即配送站点距离客户位置 米，故 A 错误； 配送车在驿站装卸货物的时间为（分钟），故 B 错误； 从站点到驿站的速度为（米/分钟）， 从驿站到客户位置的速度为（米/分钟）， ， 从站点到驿站的速度比从驿站到客户位置的速度小，故 C 正确； 配送车离开驿站后的行驶速度为 米/分钟，故 D 错误． 【变式8-1】（25-26八年级上·辽宁沈阳·期末）小明从家跑步到体育馆，在那里锻炼了一段时间后又跑步到书店买书，然后步行回家（小明家、书店、体育馆依次在同一直线上），如图表示的是小明离家的距离与时间的关系，则小明在体育馆锻炼的时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数图像的解读，需结合横纵坐标含义(横坐标为时间，纵坐标为离家距离)，分析图像，第一段水平线段表示小明在体育馆锻炼，第二段水平线段表示小明在书店买书． 【详解】解：小明在体育馆锻炼时，离家距离不变，对应图像中第一段上升后的水平线段，锻炼时间为该水平线段的结束时间减去开始时间，水平线段起点为，终点为，锻炼时间为． 故选． 【变式8-2】甲、乙两人同时骑自行车前往A地，他们距A地的路程与行驶时间之间的关系如图所示．甲乙的速度和为___________． 【答案】 【分析】本题考查了用图象表示变量间的关系，根据图象求得甲、乙的速度是解题的关键．根据图象，利用速度等于路程除以时间，分别求出甲乙的速度即可得解． 【详解】解：根据图可知，甲距离A地，行驶时间为，乙距离A地，行驶时间为， 甲的速度为 ，乙的速度为 ， 甲乙的速度和为 ． 故答案为： 【变式8-3】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，是小旺从家到学校行进的路程（米）与时间（分）之间关系的图象．观察图象，以下信息错误的是（     ）． A．小旺前分钟走了总路程的一多半 B．小旺后分钟比前分钟走得快 C．学校距小旺家米 D．小旺用了分钟到学校 【答案】B 【分析】本题考查了用图象表示变量之间的关系，从图象中识别信息，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A、由图象可知，小旺前分钟走了总路程的一多半，故A正确，不符合题意； B、由图象可知，相同的时间内，小旺后分钟比前分钟走的路程短，所以后分钟比前分钟走得慢，故B错误，符合题意； C、由图象可知，学校距小旺家米，故C正确，不符合题意； D、由图象可知，小旺用了分钟走到学校，故D正确，不符合题意． 【题型9 动点问题的函数图象】 【例9】（25-26七年级下·四川成都·期末）小明同学热爱体育锻炼．每周六上午他都先从家跑步到离家一段距离的公园里，在那里与同学打一段时间的羽毛球后再慢步回家．下面能大致反映小明同学周六上午离家的距离随时间变化的图象是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，将小明的运动过程分为三个阶段：跑步去公园、在公园打球、慢步回家，分析每个阶段离家距离 随时间 的变化情况及速度快慢对图象斜率的影响即可． 【详解】解：∵小明先从家跑步到公园， ∴离家距离 随时间 的增大而增大，且因为跑步速度较快，图象较陡； ∵在公园打一段时间羽毛球， ∴离家距离保持不变，图象为平行于轴的线段； ∵后慢步回家， ∴离家距离随时间的增大而减小，直至为0，且因为慢步速度较慢，图象较平缓． 观察选项，只有D选项符合“先陡峭上升，再水平，最后平缓下降”的特征． 【变式9-1】（25-26七年级下·陕西西安·期末）小刚在上学途中路过一家早餐店，在店里吃完早餐后仍保持匀速行进，准时到达学校．下列图中能较好地刻画小刚离家的距离与时间之间的关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据小刚开始时路程随着时间的增大而增大，在店里吃完早餐时，路程保持不变，吃完早餐后，路程又随时间的增大而增大，确定合适的函数图象即可． 【详解】解：∵小刚从家到早餐店匀速运动， ∴离家的距离随着时间的增大而增大， 在店里吃早餐的过程中路程保持不变， ∵在店里吃完早餐后仍保持匀速行进， ∴路程又随时间的增大而增大， 综合以上A符合． 【变式9-2】（25-26八年级下·吉林·期中）如图，均匀地向一个鱼缸内注水直至注满，鱼缸中水面的高度是注水时间的函数．下列函数图象中，能反映随变化规律的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：鱼缸的横截面面积从底面到缸口，先变大再变小，故注水时水面升高的速度先变慢，再变快， 其中A选项，速度为匀速，且有一段不升高，不合题意； B选项，速度为匀速，不合题意； C选项，速度变化为先变快，再变慢，不合题意； D选项，速度变化为先变慢再变快，符合题意 ． 【变式9-3】（25-26六年级下·山东烟台·期末）如图所示，有四幅图象（从左到右排列），分别表示变量之间的关系．请根据图象从左到右的顺序，将下列四个情境与图像进行匹配，并将正确的情境序号按顺序填写在横线上． 情境：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系； ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系； ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系； ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系． 作答：正确的顺序是______． 【答案】①③④② 【分析】根据情境描述，逐一对应题目中的图象． 【详解】解：①篮球运动员投篮时，投出去的篮球高度与时间的关系，对应图1； ②小明妈妈去超市购买同一单价的水果，所付费用与水果质量的关系，对应图4； ③一面在升降台上冉冉上升的旗子，它的离地高度与时间的关系，对应图2； ④周末，小明从家骑行到图书馆，看了一段时间书后，按原速度原路返回，小明离家的距离与时间的关系，对应图3． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $