专题11.1 平面内点的坐标（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦平面内点的坐标核心知识点，从平面直角坐标系的概念（坐标轴、象限）到点的坐标表示及几何意义，再到各象限、坐标轴上、与坐标轴平行直线上点的坐标特征，延伸至坐标与图形面积、动点探究的应用，构建从基础到综合的学习支架。 本资料以“题型归纳+举一反三”为特色，涵盖10类典型题型，例题与变式结合。通过正方形、密码问题等情境培养数学眼光，动点探究题发展空间观念与推理意识，助力教师分层教学，学生可通过变式练习巩固知识，查漏补缺。

专题11.1 平面内点的坐标（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 写出坐标系中点的坐标】 2 【题型2 点到坐标系的距离】 4 【题型3 判断点所在象限】 6 【题型4 由点所在位置求参数】 8 【题型5 与坐标系平行点的坐标特征】 9 【题型6 象限角平分线上的点】 12 【题型7 求坐标系中图形面积】 14 【题型8 由面积求坐标系中点的坐标】 17 【题型9 坐标系中的角度关系探究】 19 【题型10 坐标系中的动点探究】 27 考点1 平面内点的坐标 知识点1 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点2 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点3 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【题型1 写出坐标系中点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）下图平面直角坐标系中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为． 【变式1-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点P在x轴上，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】x轴上的点纵坐标为0，据此即可判断正确选项． 【详解】解：∵点P在x轴上， ∴点的纵坐标为 观察四个选项，只有A选项的纵坐标为，符合要求． 【变式1-2】（25-26八年级下·云南·期中）如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意求出，，再根据点C在第一象限即可得到答案． 【详解】解：∵四边形是边长为2的正方形， ∴，， ∴点C的坐标为． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆·期中）小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了判断点所在的象限，写出直角坐标系中点的坐标，解题关键是掌握上述知识点．先求出“科”的坐标，再根据坐标判断所在的象限． 【详解】解：因为“创”“新”的坐标分别为，， 所以可建立平面直角坐标系如图， 所以“科”的坐标为， 则“科”在第二象限， 故选： B． 【题型2 点到坐标系的距离】 【例2】点到轴的距离是_____． 【答案】 【详解】解：已知点的坐标为，其纵坐标为， 因此点到轴的距离为， 故答案为：． 【变式2-1】（25-26八年级下·云南昭通·期中）若点是第四象限的点，且到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到轴的距离是纵坐标的绝对值，点到轴的距离是横坐标的绝对值，结合第四象限内点的坐标特征：横坐标大于零，纵坐标小于零，即可求解点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴，， ∴，， 又∵点在第四象限， ∴，， 可得，， ∴点的坐标为． 【变式2-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知第四象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是______． 【答案】 【分析】根据“点到轴的距离是到轴距离的3倍”得到，根据点在第四象限可知且，进而取绝对值求解即可． 【详解】解：点到轴的距离是到轴距离的3倍， ， 点在第四象限， 且， ， 解得． 【变式2-3】（2026·云南曲靖·一模）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文，例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如图1所示：为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示． “猜猜我是谁”：我的身份对应的明文是__________． 信息一：我的身份经过了双重加密，密文为“”，左起奇数位密钥为，偶数位密钥为． 信息二：密钥隐于坐标：已知点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5． 【答案】 【详解】解：∵点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5， ∴，， ∴奇数位密钥，偶数位密钥， 密文是“”，共8位， 奇数位(1、3、5、7位)用密钥解密， 偶数位(2、4、6、8 位)用密钥解密； 1．第1位：r(第 18个字母)，密钥； 2．第2位：d(第4个字母)，密钥； 3．第3位：y (第 25个字母)，密钥； 4．第4位： k(第 11 个字母)，密钥； 5．第5位： q(第17个字母)，密钥； 6．第6位：r(第18个字母)，密钥； 7．第7位：a(第1个字母)，密钥； 8．第8位：h(第8个字母)，密钥； 将解密后的字母依次组合：． 【题型3 判断点所在象限】 【例3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）若点在轴上，则点在第__________象限. 【答案】二 【分析】本题主要考查了点的坐标，掌握直角坐标系中的点的位置特征是解题的关键． 直接利用y轴上点的坐标特点得出n的值，进而得出答案． 【详解】解：∵点在轴上，所以横坐标，解得， 点的坐标为，即点的坐标为 横坐标为负，纵坐标为正， 因此点在第二象限， 故答案为：二． 【变式3-1】如果点在第三象限，则点在第______象限． 【答案】四 【分析】本题考查了象限及点的坐标的有关性质，解题的关键是熟练的掌握象限及点的坐标的有关性质，根据第三象限点的横坐标是负数，纵坐标是负数判断出的正负情况，进而判断出点B的横坐标与纵坐标的正负情况，然后解答即可． 【详解】解：点在第三象限， ，， ，， 则点在第四象限． 故答案为：四． 【变式3-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的三种情况，然后根据图形判断即可． 【详解】解：如图，分别过点A、B、C作对边的平行线，分别交于点， ∴可得， 由图可知，点D不可能在第三象限． 【变式3-3】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标在第_______象限． 【答案】一 【分析】先根据“少”“年”的位置建立直角坐标系，从而确定“强”的坐标，再确定其所在的象限即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为，， ∴建立直角坐标系如下： ∴“强”的坐标为，即 “强”的坐标在第一象限． 【题型4 由点所在位置求参数】 【例4】（25-26七年级下·云南楚雄·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】A 【分析】利用x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0，求出的值，再计算即可得到结果． 【详解】解：点在轴上， 点的纵坐标为，即， 解得； 又点在轴上， 点的横坐标为，即， 解得； ． 【变式4-1】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据第二象限点的横纵坐标符号规则即可求解． 【详解】解：∵平面直角坐标系中，第二象限内点的横坐标小于，纵坐标大于， 又∵点在第二象限，纵坐标满足条件， ∴． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）点在第二象限，且，，则点P的坐标为_____． 【答案】 【分析】根据绝对值的定义和有理数的乘方得到的值，再根据点在第二象限，得到的正负，即可解答． 【详解】解：，， ，， 点在第二象限， ， ， 点P的坐标为 【变式4-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）平面直角坐标系内，若点到两坐标轴的距离之差等于点到两坐标轴的距离之差的绝对值，则称点，互为“等差点”，例如和到两坐标轴的距离之差都等于，它们互为“等差点”，若点与第一象限的点互为“等差点”，则的值为________． 【答案】或 【分析】先求出点到两坐标轴的距离之差的绝对值，根据点在第一象限得出，再根据“等差点”的定义得出，解方程求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴点到两坐标轴的距离之差的绝对值为， ∵点在第一象限， ∴， ∴， ∵点与第一象限的点互为“等差点”， ∴， 解得：或． 【题型5 与坐标系平行点的坐标特征】 【例5】（25-26七年级下·江西新余·期中）已知点，且与坐标轴平行．若点在轴的上方，则点的坐标为_______． 【答案】或或 【分析】分轴和轴两种情况分类讨论计算即可． 【详解】解：由题意得， 当轴时， ∵点坐标为， ∴点的纵坐标为，满足点在轴上方， 又∵， ∴，， ∴点的坐标为或， 当轴时， ∵点坐标为， ∴点的横坐标为， 又∵，点在轴上方， 当点在点上方时，纵坐标为，符合条件，此时点坐标为， 当点在点下方时，纵坐标为，不符合条件，舍去， 综上所述，点的坐标为或或． 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知平面直角坐标系中有和两点，且直线轴，则________． 【答案】或3 【分析】平行于轴的直线上的点的纵坐标相同，据此可得的值，再根据得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵平面直角坐标系中有和两点，且直线轴， ∴，， ∴或， ∴或． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知平面直角坐标系中有和两点，且点A位于第四象限，，直线轴，则（     ） A．1 B．5 C． D．或5 【答案】C 【分析】先根据平行于y轴的直线上点的坐标特点得到b的值，再根据长度得到a的可能值，结合点A在第四象限的条件确定a的取值，代入计算即可． 【详解】解：直线轴， 、两点的横坐标相等， ， ， ∴， 或1， 点A位于第四象限， ∴， 代入得 ． 【变式5-3】（25-26七年级上·山东济南·期末）已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点P在x轴上，则点 P坐标为 ； (2)若点 P的纵坐标比横坐标大8，则点 P在第 象限； (3)点， 轴， 求点 P坐标． 【答案】(1) (2)二 (3) 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内各象限内点的坐标特征： （1）根据点在x轴的坐标的特征可得，从而得到m的值，即可求解； （2）根据题意可得关于m的方程，即可求解； （3）根据轴，可得，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴点 P坐标为； 故答案为： （2）解：∵点 的纵坐标比横坐标大8， ∴， 解得：， ∴点 P坐标为， ∴点 P在第二象限； 故答案为：二； （3）解：∵点，，轴， ， ， 点坐标为． 【题型6 象限角平分线上的点】 【例6】已知点在第四象限角平分线上，则a的值是______． 【答案】3 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的坐标特征是解题的关键．根据第四象限的角平分线上的点横、纵坐标互为相反数可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：点在第四象限角平分线上， ， 解得， 故答案为： 【变式6-1】平面直角坐标系中，点和点分别在（    ） A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上 【答案】C 【分析】根据点的坐标得到两点分别在第三、四象限的角平分线上． 【详解】解：在第三象限的角平分线上；点在四象限的角平分线上． 故选：C． 【点睛】此题考查了根据点坐标判断点的位置，正确掌握各角平分线上点的坐标的特点是解题的关键． 【变式6-2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查角平分线的性质，平面直角坐标系中点的坐标．过点B作轴于点C，由轴，点A的坐标得到轴，点B的纵坐标为6，再由角平分线的性质得到，从而点B的横坐标为6，即可解答． 【详解】解：过点B作轴于点C， ∵轴，点A的坐标， ∴轴，点B的纵坐标为6，即， ∵是第一象限的角平分线， ∴， ∴点B的横坐标为6， ∴点B的坐标为． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点． (1)若点A在x轴上，点B在y轴上，求的值． (2)若点A在第一、三象限的角平分线上，点B在第二、四象限的角平分线上，求A，B两点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查的是坐标与图形性质，掌握坐标轴上点的坐标特征：x轴上点的纵坐标为0，y轴上点的横坐标为0；象限角平分线上点的坐标特征：第一、三象限的角平分线上点的横坐标相等，第二、四象限的角平分线上点的横纵坐标互为相反数是解题的关键． （1）根据点在x轴上，可得，可求得x的值；点在y轴上可得，即可求得y的值，从而可求解； （2）由点A在第一、三象限的角平分线上可得出，可求得y的值，由点B在第二、四象限的角平分线上，可得，可求得x的值，从而可求得A，B两点的坐标． 【详解】（1）解：∵点在x轴上 ∴，解得：； ∵点在y轴上， ∴，解得：， ∴； 即的值为． （2）解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴，解得：， ∴； ∵点在第二、四象限的角平分线上， ∴ 把代入得， ∴， ∴，， ∴． 考点2 坐标与图形 【题型7 求坐标系中图形面积】 【例7】点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查了直角坐标系，三角形的面积，根据三角形的面积公式得到是解题的关键，先求出点P的坐标，再根据三角形的面积公式列式计算即可． 【详解】解：当时，， ∴， ∵，， ∴， 即的面积是9． 故选：C． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【答案】C 【分析】本题考查的是坐标与图形面积，如图，过作于，过作于，再利用割补法求解面积即可． 【详解】解：如图，过作于，过作于， ∵，，，， ∴，，，，， ∴四边形的面积是． 故选：C 【变式7-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与平面，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 先根据矩形以及轴，得到轴，再由，求解即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴ ∵轴， ∴轴， ∴，， ∴矩形的面积是， 故选：B． 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，将三角形向下平移2个单位长度得到三角形，与轴交于点，，则阴影部分面积是______． 【答案】14 【分析】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟练掌握平移的性质是关键．用的面积减去的面积即可． 【详解】解：∵点，点， ， ， ， ∴阴影部分面积是： ． 故答案为：14． 【题型8 由面积求坐标系中点的坐标】 【例8】（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形． 先设，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵点B在x轴正半轴上， ∴可设， ∵三角形的面积等于3， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【答案】或 【分析】本题考查的知识点是求点到坐标轴的距离、三角形的面积，解题关键是灵活运用数形结合思想． 先求出，再根据点的坐标得到点到的距离求出面积，设点坐标为，根据三角形面积公式得，解得的值即可确定点的坐标． 【详解】解：依题得：， ， 设点坐标为， 则， ， 解得， 点的坐标为或． 故答案为：或． 【变式8-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【答案】B 【分析】本题考查了坐标与图形性质，根据三角形的面积结合列出关于a的含绝对值符号的一元一次方程是解题的关键．根据点A、B的坐标可找出、的长度，再根据三角形的面积公式结合即可得出关于a的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：∵和， ∴在轴上，在轴上，且，， ∴， 即， 解得：或． 故选：B． 【变式8-3】（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，现将线段向左平移4个单位长度，得到．点A、C的对应点分别为B、D，连接． (1)直接写出点B，D的坐标，求出四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，四边形的面积为12 (2)或 【分析】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、三角形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据平移的性质即可求解； （2）设点F的坐标为，表示出和的面积，根据题意列出方程，解出的值即可求解． 【详解】（1）解：点、向左平移4个单位长度分别得到点B、D， ，，， 由平移的性质得，四边形是平行四边形， 又， 四边形的面积． （2）解：如图， 设点F的坐标为， ， ， ， ， 解得：或， 点F的坐标为或． 【题型9 坐标系中的角度关系探究】 【例9】（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中有两点，现将点向上平移4个单位长度，得到对应点，连接． (1)与轴的位置关系是 ； (2)若点是轴正半轴上的一个动点（点不与点重合），连接，，试探究三个角的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)平行； (2)或，理由见解析； 【分析】（1）根据平移的性质求出点C的坐标即可解答； （2）分点P在线段上和点P在线段的延长线上两种情况求解； 【详解】（1）解：∵，将点A向上平移4个单位长度，得到对应点C， ∴， ∵， ∴轴 ∴与x轴的位置关系是平行． （2）解：点P在线段上时，如图，作， ∵轴 ∴轴， ∴， ∴； 当点P在线段的延长线上时，如图，作， 同理可求， ∴ 综上可知，三个角的数量关系为或； 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【答案】(1) (2)存在点满足，点的坐标为或 (3)点在运动过程中，或． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图象的变换，掌握图形的平移规律，几何图形面积的计算方法，平行线的判定和性质等知识是解题的关键． （1）根据平移的性质可得点向左边平移了6个单位，由此即可求解； （2）根据题意，设点，则，用含的式子表示，根据绝对值的性质即可求解； （3）根据题意，图形结合，分类讨论，当点在上时；当点在点的右边时；根据平行线的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：已知点，点，将线段平移至， ∴点的纵坐标为，横坐标为， ∴； （2）解：存在，理由如下， 设点，则，且，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， 当时，， 解得，，则； 当时，， 解得，，则； 综上所述，存在点满足，点的坐标为或； （3）解：已知点在轴的正半轴上移动（不与点重合）， 第一种情况，当点在上时，如图所示，作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 第二种情况，当点在点的右边时，如图所示，作， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，点在运动过程中，或． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，点在第一象限，过点向轴作垂线，垂足为点，连接，，点M从点O出发，沿轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为秒，连接． (1)求的值； (2)当时． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形的面积是否变化？若不变化，请求出；若变化，请说明理由． (3)当时，请直接写出的值及的面积． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②四边形的面积不变， (3)当或6时，，此时的面积为或84． 【分析】本题主要考查了坐标与图形： （1）先求出，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （2）①如图1，过点N作轴，则轴，由平行线的性质可得，据此可得结论；②如图2，由（1）得，；由题意得，，，再根据进行求解即可。 （3）分两种情况讨论：当时，此时点N在上，，，求出的值，进而求出，再根据，即可求出的面积；当时，此时点N在的延长线上，，，求出的值，进而求出、、，再根据，即可求出的面积． 【详解】（1）解：∵，轴， ∴， ∵， ∴，即， 解得或（舍去）； （2）解：①，理由如下： 如图1，过点N作轴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴． ②如图2，由（1）得，， ∴， ∴； 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积不变，． （3）解：当时，如下图，此时点N在上，，，   ， ， ， ， ， ； 当时，如下图，此时点N在的延长线上，，，   ， ， ， ， ，， ， ， 综上可知，当或6时，，此时的面积为或84． 【变式9-3】（25-26七年级下·四川广安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，，得平行四边形． (1)直接写出点，的坐标； (2)点在轴上，连接，，且三角形的面积等于四边形的面积，求出点的坐标； (3)点是线段上的一个动点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），直接写出、、的数量关系． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题主要考查了平移变换、坐标与面积计算以及平行线的性质． （1）根据平移坐标的变化规则即可解答； （2）先计算平行四边形的面积，设点的坐标为，则可得到，根据三角形的面积等于四边形的面积，即可求出点的坐标； （3）过点作，则可得到，根据平行线的性质可得，，而，即可得到、、的数量关系． 【详解】（1）解：根据平移坐标变化规律得，，； （2）设点的坐标为， ， ，， ， ， 解得或， 点的坐标为或； （3）如图，过点作， 则， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， 即当点在线段上移动时，、、的数量关系是． 【题型10 坐标系中的动点探究】 【例10】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形，设的边上的高为，根据的面积等于四边形面积的，列出方程，求得，即可求解． 【详解】解：设的边上的高为， 长方形的长为，宽为， ， 的面积等于四边形面积的， ， 即， 解得， 动点从点出发沿运动， 点的坐标为或 故答案为或 【变式10-1】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】直线轴且过，可得直线上点的纵坐标均为；根据垂线段最短，最短时，结合轴推出轴，可得点横坐标与横坐标相同，即可求解． 【详解】解：∵直线轴，且过点， ∴直线上所有点的纵坐标均为，设点， ∵当线段长度最短时，， 又轴， ∴轴， ∴点与点横坐标相同， ∵， ∴， ∴点坐标为． 【变式10-2】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线运动，到点B停止；点Q从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿的路线运动，到点B停止．设运动时间为t秒（）． (1)当时，求点P和点Q的路程？ (2)当时，三角形的面积是否为10？ 【答案】(1)点P路程为，点Q路程为； (2)不为10． 【分析】（1）直接根据速度计算即可； （2）求出时点P和点Q的坐标，根据割补法求出三角形的面积，进而判断即可． 【详解】（1）解：∵点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线运动，点Q从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿的路线运动， ∴当时，点P路程为，点Q路程为； （2）解：是，理由如下： 如图， 当时，点P路程为， ∵， ∴， 当时，点Q路程为，即， 此时 ， 即当时，三角形的面积不为10． 【变式10-3】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动，设点运动的时间为； (1)点的坐标为_________；当点运动5秒时，点的坐标为___________； (2)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)为秒或秒 (3)存在，点运动的时间为秒或秒 【分析】（1）先根据非负数的性质求出a、b的值，进而得，，再根据长方形的性质得，，即可得点B的坐标，当点运动5秒时，，即此时点P与点B重合，； （2）分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，；分别求出对应的时间即可； （3）设点P的运动时间为t，三角形的面积是10，分两种情况：当点P在上时，；当点P在上时，，则；分别根据面积求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵、满足， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， ∵四边形为长方形， ∴，， ∴点的坐标为； 当点运动5秒时，， 即此时点P与点B重合，则； （2）解：如图， 分两种情况： 当点P在上时，， （秒）； 当点P在上时，，则， ∴， （秒）． 综上，当点到轴的距离为4个单位长度时，点运动的时间为秒或秒； （3）解：设点P的运动时间为t，三角形的面积是10， 分以下两种情况： 当点P在上时，， ∴， ∴， 解得； 当点P在上时，，则， ∴， ∴， 解得； 综上，当点P的运动时间为秒或秒时，三角形的面积是10． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 平面内点的坐标（举一反三讲义） 【新教材沪科版】 题型归纳 【题型1 写出坐标系中点的坐标】 2 【题型2 点到坐标系的距离】 3 【题型3 判断点所在象限】 4 【题型4 由点所在位置求参数】 4 【题型5 与坐标系平行点的坐标特征】 5 【题型6 象限角平分线上的点】 5 【题型7 求坐标系中图形面积】 6 【题型8 由面积求坐标系中点的坐标】 7 【题型9 坐标系中的角度关系探究】 7 【题型10 坐标系中的动点探究】 9 考点1 平面内点的坐标 知识点1 平面直角坐标系及有关概念 1. 平面直角坐标系 在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2. 坐标轴 水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平面直角坐标系的原点． 3. 象限 坐标平面被两条坐标轴分成四个部分：右上部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向分别叫做第二象限、第三象限、第四象限.． 知识点2 建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 知识点3 平面直角坐标系内点的坐标 1. 点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2. 点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3. 点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【题型1 写出坐标系中点的坐标】 【例1】（25-26八年级上·山西运城·期末）下图平面直角坐标系中点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）在平面直角坐标系中，点P在x轴上，则点P的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26八年级下·云南·期中）如图，边长为2的正方形两边与坐标轴正半轴重合，则点C的坐标是______． 【变式1-3】（25-26七年级下·重庆·期中）小渝将“科”“技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中，若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐标分别为，，则“科”在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【题型2 点到坐标系的距离】 【例2】点到轴的距离是_____． 【变式2-1】（25-26八年级下·云南昭通·期中）若点是第四象限的点，且到轴的距离为3，到轴的距离为4，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知第四象限的点到轴的距离是到轴距离的3倍，则的值是______． 【变式2-3】（2026·云南曲靖·一模）恺撒密码是世界上最古老的加密技术之一，采用位移加密方法：明文中的所有字母都按照一个固定数值在字母表上向后（或向前）进行移位后形成密文，例如，向前移动3位（密钥）的恺撒密码，如图1所示：为方便使用恺撒密码进行加密和解密，可以使用密码盘如图2所示． “猜猜我是谁”：我的身份对应的明文是__________． 信息一：我的身份经过了双重加密，密文为“”，左起奇数位密钥为，偶数位密钥为． 信息二：密钥隐于坐标：已知点位于第一象限，到轴距离为3，到轴的距离为5． 【题型3 判断点所在象限】 【例3】（25-26八年级上·安徽淮南·期末）若点在轴上，则点在第__________象限. 【变式3-1】如果点在第三象限，则点在第______象限． 【变式3-2】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，D是平面内一点，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D不可能在（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3-3】（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为，，则“强”的坐标在第_______象限． 【题型4 由点所在位置求参数】 【例4】（25-26七年级下·云南楚雄·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，则的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【变式4-1】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知点在第二象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26七年级下·广东广州·期中）点在第二象限，且，，则点P的坐标为_____． 【变式4-3】（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）平面直角坐标系内，若点到两坐标轴的距离之差等于点到两坐标轴的距离之差的绝对值，则称点，互为“等差点”，例如和到两坐标轴的距离之差都等于，它们互为“等差点”，若点与第一象限的点互为“等差点”，则的值为________． 【题型5 与坐标系平行点的坐标特征】 【例5】（25-26七年级下·江西新余·期中）已知点，且与坐标轴平行．若点在轴的上方，则点的坐标为_______． 【变式5-1】（25-26七年级下·福建厦门·期中）已知平面直角坐标系中有和两点，且直线轴，则________． 【变式5-2】（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·期中）已知平面直角坐标系中有和两点，且点A位于第四象限，，直线轴，则（     ） A．1 B．5 C． D．或5 【变式5-3】（25-26七年级上·山东济南·期末）已知在平面直角坐标系中的点． (1)若点P在x轴上，则点 P坐标为 ； (2)若点 P的纵坐标比横坐标大8，则点 P在第 象限； (3)点， 轴， 求点 P坐标． 【题型6 象限角平分线上的点】 【例6】已知点在第四象限角平分线上，则a的值是______． 【变式6-1】平面直角坐标系中，点和点分别在（    ） A．第一、三象限的角平分线上 B．第二、四象限的角平分线上 C．第三、四象限的角平分线上 D．第二、三象限的角平分线上 【变式6-2】（25-26八年级上·北京海淀·期中）如图，平面直角坐标系中，已知点A的坐标，过点A作x轴的平行线，交第一象限角平分线于点B，则点B的坐标为______． 【变式6-3】（24-25八年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，已知点与点． (1)若点A在x轴上，点B在y轴上，求的值． (2)若点A在第一、三象限的角平分线上，点B在第二、四象限的角平分线上，求A，B两点的坐标． 考点2 坐标与图形 【题型7 求坐标系中图形面积】 【例7】点在第一象限，且，点A的坐标为，当时，的面积是（   ） A．7 B．8 C．9 D． 【变式7-1】如图，在平面直角坐标系中，，，，．则四边形的面积是（    ） A．22 B．23 C．24 D．25 【变式7-2】（24-25八年级上·陕西西安·期末）如图，已知矩形在平面直角坐标系中，轴，点B的坐标为，点D的坐标为，则矩形的面积是（   ） A．16 B．15 C．12 D．10 【变式7-3】如图，在平面直角坐标系中，点，点，将三角形向下平移2个单位长度得到三角形，与轴交于点，，则阴影部分面积是______． 【题型8 由面积求坐标系中点的坐标】 【例8】（24-25七年级下·广东中山·期末）已知点，，点B在x轴正半轴上，且三角形的面积等于3，则点B的坐标是__________． 【变式8-1】（25-26七年级上·山东威海·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，，，点是轴上一动点，当面积为面积的两倍时，点的坐标为___________． 【变式8-2】（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知和两点，且与坐标轴围成的三角形的面积等于20，则a的值为（   ） A．2 B．2或 C．0或2 D． 【变式8-3】（24-25七年级下·四川南充·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，C的坐标分别为，，现将线段向左平移4个单位长度，得到．点A、C的对应点分别为B、D，连接． (1)直接写出点B，D的坐标，求出四边形的面积； (2)在x轴上是否存在一点F，使得三角形的面积是三角形面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型9 坐标系中的角度关系探究】 【例9】（25-26七年级下·河南许昌·期中）如图，在平面直角坐标系中有两点，现将点向上平移4个单位长度，得到对应点，连接． (1)与轴的位置关系是 ； (2)若点是轴正半轴上的一个动点（点不与点重合），连接，，试探究三个角的数量关系，并说明理由． 【变式9-1】如图，在平面直角坐标系中，已知点，点，将线段平移至，点在轴的正半轴上移动（不与点重合），连接，且． (1)直接写出点的坐标； (2)点在运动过程中，是否存在点，满足，如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由； (3)点在运动过程中，请直接写出三者之间存在的数量关系． 【变式9-2】如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标系原点，点在第一象限，过点向轴作垂线，垂足为点，连接，，点M从点O出发，沿轴的正半轴以每秒2个单位长度的速度运动，点N从点B出发，沿射线以每秒3个单位长度的速度运动，点M与点N同时出发，设点M的运动时间为秒，连接． (1)求的值； (2)当时． ①请探究，，之间的数量关系，并说明理由； ②试判断四边形的面积是否变化？若不变化，请求出；若变化，请说明理由． (3)当时，请直接写出的值及的面积． 【变式9-3】（25-26七年级下·四川广安·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，现同时将点，分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点，的对应点，，连接，，，得平行四边形． (1)直接写出点，的坐标； (2)点在轴上，连接，，且三角形的面积等于四边形的面积，求出点的坐标； (3)点是线段上的一个动点，连接，，当点在线段上移动时（不与，重合），直接写出、、的数量关系． 【题型10 坐标系中的动点探究】 【例10】（24-25七年级下·湖北黄石·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，长方形的长为，宽为，动点从点出发沿运动，当的面积等于四边形面积的时，点的坐标为__________． 【变式10-1】（25-26七年级下·河北沧州·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知，，经过点的直线轴，点是直线上的一个动点，当线段的长度最短时，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26七年级下·云南曲靖·期中）在平面直角坐标系中，长方形的顶点O为坐标原点，点A在x轴正半轴上，点C在y轴正半轴上，点B的坐标为．点P从点O出发，以每秒2个单位的速度沿的路线运动，到点B停止；点Q从点C同时出发，以每秒1个单位的速度沿的路线运动，到点B停止．设运动时间为t秒（）． (1)当时，求点P和点Q的路程？ (2)当时，三角形的面积是否为10？ 【变式10-3】（25-26七年级下·宁夏固原·期中）如图，在长方形中，为平面直角坐标系的原点，点的坐标为，点的坐标为，且、满足．点在第一象限内，点从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着的路线运动，回到点，停止移动，设点运动的时间为； (1)点的坐标为_________；当点运动5秒时，点的坐标为___________； (2)在运动过程中，当点到轴的距离为4个单位长度时，求点运动的时间； (3)在路线的运动过程中，是否存在某个时刻，使三角形的面积是10？若存在，求出点运动的时间；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $