专题03 二次根式的拓展（举一反三专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式拓展应用，通过8类典型题型构建从基础化简到整体求值的递进训练体系，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础化简与求值|5题型（含等腰三角形周长应用）|考查二次根式性质应用、隐含条件挖掘|从二次根式概念生成到性质推导，结合几何情境提升应用意识| |字母型运算|1题型（含4变式）|强调含字母的根式运算法则与条件限制|衔接代数运算逻辑，深化符号意识与数学表达| |分母有理化|1题型（含二重根式化简）|涵盖常规与复杂根式有理化技巧|体现数学语言的简洁表达，培养转化思想| |整体思想应用|1题型（含3变式）|运用升（降）次法解决代数式求值|整合方程思想与整体思维，发展逻辑推理能力|

专题03 二次根式的拓展（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 中】 1 【题型2 】 3 【题型3 且】 5 【题型4 】 7 【题型5 】 9 【题型6 字母型二次根式的运算】 10 【题型7 分母有理化】 14 【题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值】 15 【题型1 中】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）若，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，可得到关于的不等式组，求解得到的值，再代入原式求出的值，最后计算即可． 【详解】解：由题意得， 解得， ， ． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 【答案】 【分析】根据表达式中包含二次根式，根号下的被开方数必须是非负数，求出，进而求出，再进行计算即可． 【详解】解： 根据二次根式有意义的条件可知， 让和有意义 ∴且， 解得和， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知，则的值是____． 【答案】2027 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的取值范围，再化简绝对值，整理等式后两边平方变形，即可求出的值． 【详解】解：根据二次根式的定义，被开方数非负，可得， 解得， 因此，根据绝对值的性质，可得， 将代入原方程得， 移项整理得， 两边同时平方得， 移项得． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 【答案】11或13 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质，掌握二次根式有意义的条件，三角形三边关系，等腰三角形的性质是解题的关键．先根据二次根式有意义的条件得出：，解得：，把代入求出a的值，然后再分类分析，计算三角形的周长即可． 【详解】解：由题意，得， 解得：， 把代入，得 当等腰三角形的腰长为3时，则三角形的三边为3，3，5， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：； 当等腰三角形的腰长为5时，则三角形的三边为5，5，3， ， 能组成三角形， 三角形的周长为：， 综上所述，此三角形的周长为11或 故答案为：11或 【题型2 】 【例2】已知，则____________． 【答案】10 【分析】根据非负数的性质求出，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， ∴， 解得：， 将代入得：． 【变式2-1】（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【答案】 【详解】解：与互为相反数， ， 又，，且，， ∴，， ，， 解得，， ， ∵的平方根为， ∴的平方根是． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【答案】1 【分析】根据相反数的定义和非负数的性质求出x、y的值，然后求出的值，最后根据的算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 的算术平方根是1． 【变式2-3】已知为实数，且，则________． 【答案】13 【分析】本题考查了换元法，二次根式的非负性，完全平方公式变形，换元法是解本题的关键．设,，由已知条件得，且，解出和的值，再代入所求表达式计算 【详解】解：设,，则 由,，得 将代入，得 展开得，即 两边除以2得 解方程得或（舍去，因为） 则 故 【题型3 且】 【例3】（24-25九年级下·广东广州·自主招生）对一切实数，有成立，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式的性质，求不等式的解集，先根据二次根式有意义的条件求出，设，则，得到，即，即可解答． 【详解】解：由题意得 且 ， 解得且， 所以， 设， 则， 由于， 所以，即， 因此，的最小值为， 所以的最大值为． 故答案为：． 【变式3-1】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【答案】1 【分析】先确定，得到，结合已知得到，利用非负性求解即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·重庆·期中）若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查算术平方根有意义的条件和相关计算，解不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．根据算术平方根有意义的条件，得出 ，从而简化原方程，求出 ，进而得到 ． 【详解】解：∵ ， ∴ ，，． 由 得 ， 由 得 ，即 ， ∴ ． 代入原式：， ， ∴ ， 两边平方得 ，即 ， ∴ ． 故选：A． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【答案】4 【分析】本题考查了绝对值的非负性，算术平方根的非负性，二次根式的定义和性质，求代数式的值，理解绝对值和二次根式的非负性是解题的关键．根据平方根的非负性，确定c的值；再根据绝对值的非负性和平方根的定义，求出a和b的值；最后代入代数式计算。 【详解】解：且， ， ， ∴ 且， ，即：， ， 且， 解得，，， ， 故答案为：4． 【题型4 】 【例4】（25-26九年级上·海南儋州·期中）化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式的性质．根据二次根式的性质计算即可． 【详解】解：． 故选：A 【变式4-1】（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的性质．根据二次根式有意义的条件可得，从而得到，再根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】解：根据题意得：， ∴， ∴， ∴ 故选：A 【变式4-2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）化简的值为________． 【答案】 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定自变量的取值范围，再利用二次根式的性质，化简，最后合并同类项得到结果． 【详解】 解：要使有意义，可得 解得 由，可得 化简原式： ． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 【答案】 【分析】本题考查了化简二次根式，绝对值，熟练掌握二次根式性质和二次根式有意义的条件，是解题的关键． （1）先根据题意得到，据此化简二次根式即可； （2）先将化简为，然后分类讨论：当时，当时，当时，根据绝对值的意义分别化简，得出结论即可． 【详解】（1）∵二次根式有意义， ∴，即， ， ∴原式 ； （2） ， ∴， 当时，； 当时，； 当时，； ∴x的取值范围是． 【题型5 】 【例5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质．由可知，因此，代入原式，进行化简，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【变式5-1】（25-26九年级上·海南海口·期中）化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，熟知二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．根据算术平方根的定义，，结果应为非负数． 【详解】解： ， 故选：B． 【变式5-2】（25-26八年级下·山东德州·期末）已知，请写出一个满足上式的正整数x取值____________． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】利用二次根式的性质化简等式，再根据绝对值的性质确定的取值范围，从中选取符合要求的正整数即可． 【详解】解：根据二次根式的性质，将化简得， 根据绝对值的性质，当时，， 因此可得不等式， 解得， 满足条件的正整数为，，，任取一个即可． 【变式5-3】（25-26八年级下·云南楚雄·期中）若，则_____． 【答案】3或 【分析】根据，解方程求解即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或． 【题型6 字母型二次根式的运算】 【例6】计算 (1)； (2)（）． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）先将除法转化为乘法计算，然后利用乘法的分配率分别相乘，根据二次根式、分式的运算法则计算即可； （2）先对括号内分别通分计算加减法，将除法转化为乘法计算，根据二次根式、分式的运算法则计算即可． 【详解】（1） 解： ＝ ＝－＋ ． （2） 解： ＝· ． 【点睛】 本题考查了二次根式、分式的混合运算，掌握运算法则、准确熟练地进行计算是解题的关键． 【变式6-1】计算： 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，分母不变，分子利用完全平方公式和平方差公式变形，然后化简求解即可．解题的关键是将分子利用完全平方公式和平方差公式变形． 【详解】 ． 【变式6-2】计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 【答案】－ 【详解】解：原式＝÷ ＝÷ ＝· ＝－． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的乘法以及立方根和算术平方根的性质化简，再合并即可； （2）根据二次根式的运算法则化简即可 （3）根据二次根式的运算法则化简即可； （4）根据二次根式的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型7 分母有理化】 【例7】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【答案】 【分析】先通分化成同分母再利用平方差公式、完全平方公式相加化简即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式7-1】（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【答案】 【分析】先将各项化为最简二次根式，再合并同类二次根式得到结果即可． 【详解】解：． 【变式7-2】可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子：_______． 【答案】2 【分析】先把，分别化为与，再化简，结合分母有理化，最后计算加减运算即可． 【详解】解： ； 故答案为：2 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的混合运算，分母有理化，掌握二次根式的化简的方法与技巧是解本题的关键． 【变式7-3】化简______． 【答案】 【分析】将原式变形为，再求出，继而化简得到． 【详解】解：设 则 ， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则和二次根式的性质． 【题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式进行变形，然后代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴，代入得， ． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值、二次根式的运算、完全平方公式等知识点，熟知分式混合运算的法则和换元法是解题的关键． 由已知条件，设，则，代入得，再利用完全平方公式求的值，结合确定符号即可解答． 【详解】解：设，则，且，代入得：， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴，即. 故答案为：． 【变式8-2】（第02讲二次根式的运算（2大考点6种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（沪教版））已知，，求代数式的值． 【答案】2015 【分析】直接利用分母有理化将原式化简，再将多项式变形，进而代入得出答案． 【详解】解：∵x， y， ． 【点睛】本题主要考查了分母有理化，正确化简各数是解题关键． 【变式8-3】已知a＝＋1，求a3－a2－3a＋2016的值． 【答案】2017 【分析】先根据a＝＋1,可得: a－1＝,然后利用完全平方公式两边平方可得: (a－1)2＝2,继而可得: a2－2a＝1,然后整体代入a3－a2－3a＋2016= a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016,即可求解. 【详解】解:∵a＝＋1, ∴a－1＝, ∴(a－1)2＝2, 即a2－2a＝1, ∴原式＝a(a2－2a)＋(a2－2a)－a＋2016＝a＋1－a＋2016＝2017. 【点睛】本题主要考查代数式化简求值,解决本题的关键是要利用完全平方公式巧变形,再整体代入思想求解. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 二次根式的拓展（举一反三专项训练） 【新教材北师大版】 题型归纳 【题型1 中】 1 【题型2 】 1 【题型3 且】 1 【题型4 】 2 【题型5 】 2 【题型6 字母型二次根式的运算】 3 【题型7 分母有理化】 3 【题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值】 4 【题型1 中】 【例1】（25-26七年级下·河南信阳·期末）若，则_____________． 【变式1-1】（25-26八年级下·全国·暑假作业）若，则________． 【变式1-2】（25-26八年级下·江苏宿迁·期末）已知，则的值是____． 【变式1-3】（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知a、b分别为等腰三角形的两条边长，且a、b满足，则此三角形的周长是________． 【题型2 】 【例2】已知，则____________． 【变式2-1】（25-26七年级下·天津南开·期中）如果与互为相反数，那么的平方根是________． 【变式2-2】（25-26七年级下·陕西宝鸡·阶段检测）如果与互为相反数，那么的算术平方根是_________． 【变式2-3】已知为实数，且，则________． 【题型3 且】 【例3】（24-25九年级下·广东广州·自主招生）对一切实数，有成立，则的最大值为___________． 【变式3-1】（25-26九年级下·重庆万州·阶段检测）已知：，求_________． 【变式3-2】（25-26八年级上·重庆·期中）若满足关系式，则的值为（    ） A． B．6 C．2 D． 【变式3-3】（25-26八年级上·黑龙江绥化·期中）已知、满足，则_________． 【题型4 】 【例4】（25-26九年级上·海南儋州·期中）化简的结果是（    ） A．5 B．25 C． D．10 【变式4-1】（24-25七年级上·广西桂林·期末）化简：的结果是（　　） A． B．5 C． D． 【变式4-2】（25-26九年级下·山东烟台·期末）化简的值为________． 【变式4-3】（24-25八年级下·重庆长寿·阶段检测）阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件，并回答下面的问题． 化简： 解：隐含条件，解得； 所以； 所以原式． （1）按照上面的解法，化简：_____； （2）若，求的取值范围：______． 【题型5 】 【例5】（25-26八年级上·上海奉贤·期中）当时，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（25-26九年级上·海南海口·期中）化简的结果是（    ） A． B．6 C． D． 【变式5-2】（25-26八年级下·山东德州·期末）已知，请写出一个满足上式的正整数x取值____________． 【变式5-3】（25-26八年级下·云南楚雄·期中）若，则_____． 【题型6 字母型二次根式的运算】 【例6】计算 (1)； (2)（）． 【变式6-1】计算： 【变式6-2】计算（＋）÷（＋－）（a≠b）． 【变式6-3】（25-26八年级上·上海浦东新·期中）计算 (1) (2)（其中） (3)（其中） (4)（其中） 【题型7 分母有理化】 【例7】（25-26八年级下·浙江嘉兴·期末）计算：______． 【变式7-1】（2026·江苏南京·二模）计算的结果是______． 【变式7-2】可以用配方法化简二重根式， 例如：， 请化简式子：_______． 【变式7-3】化简______． 【题型8 与二次根式有关的整体升（降）次整体求值】 【例8】（25-26八年级下·全国·课后作业）已知，则的值为_________． 【变式8-1】（25-26七年级上·江苏苏州·阶段检测）已知，且，则的值为______． 【变式8-2】（第02讲二次根式的运算（2大考点6种解题方法）-2022-2023学年八年级数学上学期考试满分全攻略（沪教版））已知，，求代数式的值． 【变式8-3】已知a＝＋1，求a3－a2－3a＋2016的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $