专题06 构造等腰三角形的技巧（举一反三专项训练）数学新教材苏科版八年级上册

**基本信息** 以“构造等腰三角形”为核心，通过6大题型系统提炼作平行线、角平分线结合、截长补短等辅助线技巧，形成“知识点-典例-变式”三阶训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |作腰（底）的平行线构等腰|1例+3变式|作腰/底边平行线得新等腰三角形|从基础平行线性质到复杂图形转化| |角平分线遇平行线构等腰|1例+3变式|内角/外角平分线+平行线得等腰|角平分线性质与平行导角结合| |截长补短法构等腰|1例+3变式|截取或延长线段构造全等与等腰|通过线段转化解决不等关系| |二倍角处理构等腰|1例+3变式|角平分线、截取、延长线段转化二倍角|从角关系到边等量关系推导| |特殊角翻折构等腰|1例+3变式|利用特殊角（如45°）翻折构造等腰|特殊角性质与翻折对称性结合| |倍长中线构等腰|1例+3变式|延长中线构造全等与等腰三角形|中点性质与“八字模型”导角应用|

专题06 构造等腰三角形的技巧（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 作腰（底）的平行线构等腰】 1 【题型2 角平分线遇平行线构等腰】 9 【题型3 截长补短法构等腰】 13 【题型4 二倍角处理构等腰】 21 【题型5 】 25 【题型6 倍长中线构等腰】 35 知识点1 作腰（底）的平行线构等腰 类型 作腰的平行线 作底边的平行线 条件 ∥ ∥ 图示 结论 【题型1 作腰（底）的平行线构等腰】 【例1】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1）______； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为______． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟知等边三角形的性质及其判定定理是解题的关键． （1）由等边三角形的性质得到，求出得到，据此可得答案； （2）过点D作交于点H，证明是等边三角形，得到，；再证明，得到，再由线段的和差关系可得答案． 【详解】解：（1）∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图所示，过点D作交于点H， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为_________． 【答案】5 【分析】此题考查了三角形中位线定理和全等三角形的判定和性质，构造三角形的中位线是关键．取的中点，连接，根据中位线定理得到，再证明，即可得到答案． 【详解】解：取的中点，连接，如图， ∵点D是的中点，， ∴， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【答案】(1) 证明：过点作交于， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ； (2) 以、、为顶点的三角形的形状是等边三角形， 理由： 连结， 于， ，， ， 又，， ，， ，， 由（1）知，， 为等边三角形， ， ， ， ， ， 为等边三角形； 【分析】（1）过点作交于，证明,根据全等三角形的性质得出结论； （2）连结，根据补角的概念得到，根据等腰三角形的判定定理得到，进而得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； 本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、直角三角形的性质，正确作出辅助线是解题的关键. 【变式1-3】（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： (1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． (3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等边对等角，等角对等边，是解题的关键： （1）等边对等角，得到，平行线的性质，推出，进而得到，均为等腰三角形； （2）过点作于点，三线合一，结合平行线的性质，推出，即可得证； （3）过点作交的延长线于点，推出为等边三角形，进而得到，推出，三线合一，即可得证． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 故答案为：； （2）解：过点作于点，如图 ， ． ， ． ． ， ∴是等腰三角形 ； （3） 理由如下：过点作交的延长线于点． 答图2为等边三角形， ． ， ． 为等边三角形． ． ，即． ， ． 又， ． 知识点2 角平分线遇平行线构等腰 类型 内角平分线＋平行线 外角平分线＋平行线 图示 方法 BD平分∥ 为△ABC的外角，∥，AE平分 结论 【题型2 角平分线遇平行线构等腰】 【例2】如图，在中，，点M是的中点，是的平分线，作交于F，已知，则的长为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】可通过作辅助线，即延长到，使，连接，延长交延长线于，从而利用角之间的关系转化为线段之间的关系，进而最终可得出结论． 【详解】解：如图，延长到，使，连接，延长交延长线于， 是中点， ， 在和中， ， ， ，， 又，， ， ，， ， ，， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及角、线段之间的转化问题，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定． 【变式2-1】如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)18 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键，用阿拉伯数字加弧线表示角更形象直观． （1）根据角平分线的定义可得，根据两直线平行，内错角相等可得，然后求出，再根据等角对等边可得； （2）同理可得，从而确定出等腰三角形，再求出的周长，然后代入数据进行计算即可得解． 【详解】（1）证明：平分， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知，， 平分， ， ， ， ， ， 的周长， ， ， ， ，， 的周长． 【变式2-2】如图，在中，平分，平分，经过点O，与相交于点M，N，且，若的周长为18，则的长为___． 【答案】10 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键．根据平行线和角平分线的定义证明，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理：， ∴的周长， ∵， ∴． 故答案为：10． 【变式2-3】如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（    ） A．6 B．3 C．12 D．9 【答案】A 【分析】根据角平分线的定义以及两直线平行，内错角相等可得，，再由等角对等边得到，然后利用的周长是6，可得，进而求得即可． 【详解】解：∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的周长是6， ∴， ∴ ． 故选A． 【题型3 截长补短法构等腰】 【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）在中，求出即可解决问题； （2）在上取一点M，使得，只要证明是等边三角形即可解决问题． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：在上取一点M，使得， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、直角三角形30度角性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 【变式3-1】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）取的中点，并连接，通过正方形和等腰直角三角形的基本性质，证明，即可得出结论； （2）连接后，由点，分别为，的中点，推出为的中位线，再结合全等三角形的性质转换边长，根据中位线定理求解即可； （3）结合（1）的结论，可得到，从而考虑运用“半角”模型，因此延长至点，使得，连接，运用两次基础全等证明即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图所示，取的中点，并连接， ∴， ∵E是边的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形外角的平分线为， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵点，分别为，的中点， ∴为的中位线， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：，理由如下： 如图所示，延长至点，使得，连接， 由正方形基本性质得：，， ∴， ∴，， 由（1）知，，且， ∴， ∴， ∴，即：， 在和中， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形判定与性质，等腰直角三角形的性质、三角形中位线定理等知识点，在证明第一小问时要合理作出辅助线，才能为后面的问题做良好的铺垫，掌握基本图形的性质，熟练运用基本定理是解题关键． 【变式3-2】阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长． 【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题； （2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长． 【答案】（1）5.8；（2）4.3 【分析】（1）由已知条件和辅助线的作法，证得△ACD≌△ECD，得到AD＝DE，∠A＝∠DEC，由于∠A＝2∠B，推出∠DEC＝2∠B，等量代换得到∠B＝∠EDB，得到△BDE是等腰三角形，得出AC＝CE＝3.6，DE＝BE＝2.2，相加可得BC的长； （2）在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE，得到△DEB≌△DBC（SAS），在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE，得到△BDE≌△FDE，即可推出结论． 【详解】解：（1）如图2，在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE． 在△ACD与△ECD中， ， ∴△ACD≌△ECD（SAS）， ∴AD＝DE，∠A＝∠DEC， ∵∠A＝2∠B， ∴∠DEC＝2∠B， ∴∠B＝∠EDB， ∴△BDE是等腰三角形； ∴BE＝DE＝AD＝2.2，AC＝EC＝3.6， ∴BC的长为5.8； （2）∵△ABC中，AB＝AC，∠A＝20°， ∴∠ABC＝∠C＝80°， ∵BD平分∠B， ∴∠1＝∠2＝40°，∠BDC＝60°， 在BA边上取点E，使BE＝BC＝2，连接DE， 在△DEB和△DBC中， ， ∴△DEB≌△DBC（SAS）， ∴∠BED＝∠C＝80°， ∴∠4＝60°， ∴∠3＝60°， 在DA边上取点F，使DF＝DB，连接FE， 同理可得△BDE≌△FDE， ∴∠5＝∠1＝40°，BE＝EF＝2， ∵∠A＝20°， ∴∠6＝20°， ∴AF＝EF＝2， ∵BD＝DF＝2.3， ∴AD＝BD+BC＝4.3． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，熟悉这些定理是解决本题的关键． 【变式3-3】如图1，中，，点D在BC边上，点E在AD上，，． （1）求证； （2）作，垂足为F（如图2），探究线段CD，DE，EF的数量关系并证明． 【答案】（1）见解析  （2）；理由见解析 【分析】（1）由等腰三角形的性质可到结论． （2）过点过点B作，交AD延长线于点G，由“AAS”可证，可得，，由角平分线的性质可得,从而可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）． 理由如下：过点B作，交AD延长线于点G． ∵，，， ∴． ∴，． ∵，， ∴，即BE平分． ∵，， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，添加辅助线构造全等三角形是解题关键． 知识点3 二倍角处理构等腰 类型 二倍角处理 条件 图示 方法 BD平分 截取 延长CB 结论 【题型4 二倍角处理构等腰】 【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠B=_____度． 【答案】40 【分析】延长CB到点E，使得BE=BA，连接AE，则∠E=∠BAE，由AB+BD=DC可得出DE=DC，结合AD⊥BC于D可得出△ACE为等腰三角形，利用等腰三角形的性质可得出∠C=∠E，在△CAE中，利用三角形内角和定理可求出∠C，∠E，∠BAE的度数，再利用三角形外角的性质，即可求出∠ABC的度数． 【详解】解：延长CB到点E，使得BE=BA，连接AE，则∠E=∠BAE，如图所示． ∵AB+BD=DC， ∴BE+BD=DE=DC． 又∵AD⊥BC于D， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AC=AE， ∴∠C=∠E． 在△CAE中，∠CAE+∠C+∠E=180°， ∴∠BAC+∠BAE+∠C+∠E=180°． ∴∠C=∠E=∠BAE=（180°-120°）=20°． ∴∠ABC=∠E+∠BAE=20°+20°=40°． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理以及三角形外角的性质，利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理，求出∠E和∠BAE的度数是解题的关键． 【变式4-1】如图在中，平分，，，，则的长为（    ） A．15 B．11 C．8 D．6 【答案】C 【分析】在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可． 【详解】解：在上截取，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定；利用了全等三角形中常用辅助线—截长补短法构造全等三角形，然后利用全等三角形解题，这是解决线段和差问题最常用的方法，注意掌握． 【变式4-2】如图，在四边形中，，相交于点.若为的中点，，，，则的长为______. 【答案】6 【分析】作DF∥AB交AC于F，则∠BAC=∠DFE，利用AAS证明△ABE≌△FDE，由全等三角形的性质得AE=FE=2，AB=FD，由∠BAC=∠DFE，根据三角形的外角性质结合可得∠FDC=∠FCD，则FD=FC，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：作DF∥AB交AC于F， ∴∠BAC=∠DFE， ∵为的中点， ∴BE=DE， 又∵∠AEB=∠FED， ∴△ABE≌△FDE， ∴AE=FE=2，AB=FD， ∵，∠BAC=∠DFE=∠FDC+∠ACD， ∴∠FDC=∠FCD， ∴FD=FC， ∴AB=FC， ∵FC=CE-EF=8-2=6， ∴AB=6． 故答案为：6． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，作辅助线构建全等三角形是解题的关键． 【变式4-3】如图，在中，为角平分线，，，垂足为E，点F在边上，且．    (1)求证； (2)连接，求证垂直平分； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 【分析】本题主要考查直角三角形全等的判定和性质，以及垂直平分线的判定， （1）根据平分线性质得，得到，即可证明结论； （2）由（1）知，得，则有，故垂直平分； （3）由（1）、（2）可知，，根据即可求得的长． 【详解】（1）证明：∵为角平分线，，， ∴，． 在与中， ∴， ∴； （2）如图，    由（1）知，． 在与中， ∴， ∴， ∵，， ∴点A，D都在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：由（1）、（2）可知，， ∵， ∴， ∴，解得， 即的长为5． 知识点4 特殊角翻折构等腰 类型 特殊角翻折 条件 ，BD平分 图示 方法 截取 截取 截取 结论 【题型5 】 【例5】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 【答案】 如图，作平分交于点 ①；②；③;④相等 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，角平分线定义，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 作平分交与点，根据得到，根据角平分线定义得到，，因此，即可证明，得到，因此等腰三角形两腰上的高线的长度相等． 【变式5-1】如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 【答案】（1）22.5°；（2）6；（3）见解析 【分析】（1）先根据角的数量关系求出∠B的度数，然后根据直角三角形的性质得出∠BAC，再根据角平分线的定义即可得出结论； （2）根据AAS易证△ADE≌△ADC，可得AE＝AC，DE＝CD，然后利用线段间的等量代换即可求出结果； （3））如图③，在AB上取一点F，使AF＝AC，根据SAS可证△DAF≌△DAC，于是可得DF＝CD，∠AFD＝∠C，然后利用已知、三角形的外角性质和等腰三角形的判定可得BF＝DF，进一步即可得出结论． 【详解】解：（1）∵∠C＝2∠B，∠C＝90°， ∴∠B＝45°， ∴∠BAC＝90°﹣∠B＝45°， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠CAD＝∠BAC＝22.5°， 故答案为：22.5°； （2）由（1）知，∠B＝∠BAC， ∴AC＝BC， ∵DE⊥AB， ∴∠AED＝90°＝∠C， ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAE＝∠DAC， 又∵AD=AD， ∴△AED≌△ACD（AAS）， ∴AE＝AC，DE＝CD， ∴△DBE的周长=BD+DE+BE＝BD+CD+BE＝BC+BE＝AC+BE＝AE+BE＝AB＝6； （3）如图③，在AB上取一点F，使AF＝AC， ∵∠DAB＝∠DAC，AD=AD， ∴△DAF≌△DAC（SAS）， ∴DF＝CD，∠AFD＝∠C， ∵∠C＝2∠B， ∴∠AFD＝2∠B， ∵∠AFD＝∠B+∠BDF， ∴∠BDF＝∠B， ∴BF＝DF， ∴BF＝CD， ∴AC+CD＝AF+BF＝AB． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质、直角三角形的性质以及三角形的外角性质等知识，正确添加辅助线、熟练掌握全等三角形的判定和性质是解本题的关键． 【变式5-2】情景观察： 如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． (1)请说明：△ADF≌△CDB； (2)试探索线段AF与线段CE的数量关系，并说明理由； (3)问题探究： 如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E，延长AB、CD交于点G．试探索AE与CD的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AF=2CE，理由见解析 (3)AE=2CD，理由见解析 【分析】（1）根据∠BAC=，CD⊥AB，可得△ADC是等腰直角三角形，进而得到AD=CD，又因为， ，然后根据ASA可证明△ADF≌CDB； （2）首先根据题意可得△ABC是等腰三角形，然后根据等腰三角形的三线合一性质可得BC=2CE，然后由（1）证得的△ADF≌△CDB得到AF=BC，即可得出AF与线段CE的数量关系； （3）延长AB、CD交于点G，首先根据ASA证明△ADC≌△ADG，然后CG＝2CD，然后根据ASA证明△ABE≌△CBG，得到AE＝CG，即可证明出AE=2CD． 【详解】（1）∵CD⊥AB，∠BAC= ，        ∴AD=CD， ∵CD⊥AB，             ∴∠B+∠BCD＝ ， 又∵AE⊥BC，            ∴∠B+∠BAE= ， ∴∠BCD＝∠FAD                        在 中         ≌ ； （2）AF=2CE.                            由（1）得△ADF≌CDB，    ∴AF=BC，    又∵AB=AC，且AE⊥BC，       ∴BC=2CE，   ∴AF=2CE． （3）AE=2CD 理由如下：延长AB、CD交于点G，如图所示： ∵AD平分∠BAC，       ∴∠CAD=∠GAD， ∵AD⊥CD，           ∴∠ADC=∠ADG=， ∵AD＝AD    在△ADC和△ADG 中       ∴△ADC≌△ADG ， ∴CD=GD，即CG=2CD，               ∵∠BAC= ，AB=BC，       ∴∠ABC=， ∴∠CBG=，       ∴∠G+∠BCG= ， ∵∠G+∠BAE=，        ∴∠BAE=∠BCG， ∵∠ABE＝∠CBG＝ ，AB＝CB，             ∴△ABE≌△CBG， ∴AE=CG=2CD． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的性质，等腰三角形三线合一性质等知识．判定三角形全等的方法有：SSS，SAS，AAS，ASA，HL(直角三角形)． 【变式5-3】如图，在中，，点、分别在、上，且满足，延长交于点． (1)如图1，若． ①求证：平分； ②求证：； (2)如图2，过点作，交的延长线于点，若，，记的面积为，的面积为，求的值（用含、的式子表示）． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】（1）①根据三角形内角和定理，求得，即可得证； ②过点作,得出，作，交于点，得出，证明，得出，，根据即可得证； （2）过点作，于点，证明，进而证明 ，根据全等三角形的性质得出，结合已知条件，得出，即可求解． 【详解】（1）①证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即平分； ②如图， 过点作, ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴,， ∴， 作，交于点， ∵， ∴， ∴， 在与中 ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过点作，于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， 由， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴ ， ∴， ∴， ∵， ∵， ∴， 记的面积为，的面积为，则． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 知识点5 倍长中线构等腰 类型 中点、等角模型 中点、八字模型导角 条件 ， ，， P为AD的中点 图示 方法 延长DC至点F，使，连接BF 延长CP至点H，使 结论 【题型6 倍长中线构等腰】 【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的判定，作出恰当的辅助线是解答此题的关键． 过点作于点，利用平行线的性质得出，进而利用得出，再利用全等三角形的性质以及等腰三角形的判定得出即可． 【详解】证明：过点作于点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是________ ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中线定义，解题的关键是掌握相关知识并正确作出辅助线． 延长至点，使得，连接，证明，得到，，结合，，可得，推出，即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， 为边上的中线， ， 又 ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【答案】10 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线和中线，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，作辅助线构造全等三角形是解题关键．延长至点，使得，连接，则，证明，得到，，再推出，从而得到，即可得解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接， ， ， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， 平分 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：10． 【变式6-3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 【答案】(1)，； (2) (3) 证明：延长至点，使，连接，    由（1）同理可得：， ，， ， ， ， ，即， ． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系，三角形的中线，掌握知识点是解题的关键． （1）根据证明，得到，，得到，以此即可解答； （2）先求出，，，根据三角形的三边关系，得到，代入求解即可； （3）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明． 【详解】（1）解：∵为边的中点， ， 在和中， ， ， ，， ∴， 故答案为：，； （2）∵，，， ∴，， ∴， 解得． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 构造等腰三角形的技巧（举一反三专项训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型1 作腰（底）的平行线构等腰】 1 【题型2 角平分线遇平行线构等腰】 3 【题型3 截长补短法构等腰】 4 【题型4 二倍角处理构等腰】 6 【题型5 】 8 【题型6 倍长中线构等腰】 10 知识点1 作腰（底）的平行线构等腰 类型 作腰的平行线 作底边的平行线 条件 ∥ ∥ 图示 结论 【题型1 作腰（底）的平行线构等腰】 【例1】（25-26八年级上·天津南开·期末）如图，过边长为4的等边的边上一点D作，垂足为E点． （1）______； （2）点F为延长线上一点，若，连接，线段与相交于点G，则的长为______． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，连接并延长交的延长线于点F，若，则的长为_________． 【变式1-2】（24-25八年级上·福建龙岩·期中）已知，如图在等边中，点为边上一点，点为边上一点，连接并延长交延长线于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)当时，试判断以、、为顶点的三角形的形状，并说明理由； 【变式1-3】（24-25八年级下·山西运城·期中）下面是小颖同学的数学笔记，请认真阅读，并完成相应的任务． 等腰三角形的深入思考 作垂线和作平行线是几何中常用的辅助线，我发现当它们出现在等腰三角形中时，有时会出现新的等腰三角形． 如图1，在中，，点是延长线上的一点，过点作交的延长线于点，过点作交的延长线于点，图中出现了新的等腰三角形． 如图2，在中，，点是延长线上一点，过点作于点，交于点，则是等腰三角形．在证明时，我过点作于点 通过改变动点的位置继续探究，我发现如下结论：过等腰三角形边上或延长线上任意一点作腰或底的平行线与三角形第三边所在直线相交，就能得到新的等腰三角形；过等腰三角形边上或延长线上任意一点作底边的垂线与两腰所在直线相交，也能得到新的等腰三角形． 任务： (1)在不添加字母的情况下，写出图1中所有的新等腰三角形：______． (2)在图2中补全小颖的辅助线，并证明是等腰三角形． (3)如图3，在等边中，点为延长线上一点，点为边上一点，且，连接．若，试判断与的位置关系，并说明理由． 知识点2 角平分线遇平行线构等腰 类型 内角平分线＋平行线 外角平分线＋平行线 图示 方法 BD平分∥ 为△ABC的外角，∥，AE平分 结论 【题型2 角平分线遇平行线构等腰】 【例2】如图，在中，，点M是的中点，是的平分线，作交于F，已知，则的长为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【变式2-1】如图，在中，平分平分，过点O作的平行线分别交于点M、N． (1)求证：； (2)若，求的周长． 【变式2-2】如图，在中，平分，平分，经过点O，与相交于点M，N，且，若的周长为18，则的长为___． 【变式2-3】如图，在中，平分，平分，且，若的周长是6，则的长是（    ） A．6 B．3 C．12 D．9 【题型3 截长补短法构等腰】 【例3】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，为等腰直角三角形，，，点D在线段上，连接，，，过C作，且，连接，交于F． (1)求的面积； (2)证明：． 【变式3-1】如图，四边形是正方形，E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F． (1)求证：； (2)连接，则的值为__________； (3)连接，设与交于点H，连接，探究之间的关系． 【变式3-2】阅读下面材料： 【原题呈现】如图1，在ABC中，∠A＝2∠B，CD平分∠ACB，AD＝2.2，AC＝3.6，求BC的长． 【思考引导】因为CD平分∠ACB，所以可在BC边上取点E，使EC＝AC，连接DE．这样很容易得到DEC≌DAC，经过推理能使问题得到解决（如图2）． 【问题解答】（1）参考提示的方法，解答原题呈现中的问题； （2）拓展提升：如图3，已知ABC中，AB＝AC，∠A＝20°，BD平分∠ABC，BD＝2.3，BC＝2．求AD的长． 【变式3-3】如图1，中，，点D在BC边上，点E在AD上，，． （1）求证； （2）作，垂足为F（如图2），探究线段CD，DE，EF的数量关系并证明． 知识点3 二倍角处理构等腰 类型 二倍角处理 条件 图示 方法 BD平分 截取 延长CB 结论 【题型4 二倍角处理构等腰】 【例4】如图，在△ABC中，∠BAC=120°，AD⊥BC于D，且AB+BD=DC，那么∠B=_____度． 【变式4-1】如图在中，平分，，，，则的长为（    ） A．15 B．11 C．8 D．6 【变式4-2】如图，在四边形中，，相交于点.若为的中点，，，，则的长为______. 【变式4-3】如图，在中，为角平分线，，，垂足为E，点F在边上，且．    (1)求证； (2)连接，求证垂直平分； (3)若，，求的长． 知识点4 特殊角翻折构等腰 类型 特殊角翻折 条件 ，BD平分 图示 方法 截取 截取 截取 结论 【题型5 】 【例5】（24-25八年级上·重庆沙坪坝·期末）学习了等腰三角形后，小渝进行了拓展性探究．他发现，如果作等腰三角形两底角的平分线且与两腰相交，那么等腰三角形的这两条角平分线的长度相等．其解决思路是通过证明对应线段所在的两个三角形全等得出结论．请根据他的思路完成以下作图与填空：用直尺和圆规，作的平分线，交于点．（不写作法，保留作图痕迹） 已知：如图，在中，，平分交于点，平分交于点． 求证：． 证明：在中， ， ① ． 又平分，平分， ， ② ． ． 又 ③ ， ． ． 小渝进一步研究发现，等腰三角形两腰上的高线均有此特征请你依照题意完成下面命题： 等腰三角形两腰上的高线的长度 ④ ． 【变式5-1】如图：在△ABC中，∠C＝2∠B．AD平分∠BAC （1）如图①，当∠C＝90°时，则∠CAD的度数为 ． （2）如图②，在第（1）问的条件下，过D作DE⊥AB于点E，已知AB＝6，求△DBE的周长． （3）如图③，当∠C≠90°，证明：AC＋CD＝AB． 【变式5-2】情景观察： 如图1，△ABC中，AB=AC，∠BAC=45°，CD⊥AB，AE⊥BC，垂足分别为D、E，CD与AE交于点F． (1)请说明：△ADF≌△CDB； (2)试探索线段AF与线段CE的数量关系，并说明理由； (3)问题探究： 如图2，△ABC中，∠BAC=45°，AB=BC，AD平分∠BAC，AD⊥CD，垂足为D，AD与BC交于点E，延长AB、CD交于点G．试探索AE与CD的数量关系，并说明理由． 【变式5-3】如图，在中，，点、分别在、上，且满足，延长交于点． (1)如图1，若． ①求证：平分； ②求证：； (2)如图2，过点作，交的延长线于点，若，，记的面积为，的面积为，求的值（用含、的式子表示）． 知识点5 倍长中线构等腰 类型 中点、等角模型 中点、八字模型导角 条件 ， ，， P为AD的中点 图示 方法 延长DC至点F，使，连接BF 延长CP至点H，使 结论 【题型6 倍长中线构等腰】 【例6】（2025八年级上·全国·专题练习）已知如图，点在上，点在的延长线上，且，．求证：是等腰三角形． 【变式6-1】（25-26八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，为边上的中线，为上一点，连接并延长交于，，若，，则的长度是________ ． 【变式6-2】（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图已知中，为边上的中线，平分交边于点，，，则_____． 【变式6-3】（25-26八年级上·广东揭阳·期末）【模型启迪】（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为______，位置关系为______． 【模型探索】（2）若，，则的取值范围为______． 【模型迁移】（3）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且；求证：． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $