上海市2026-2027学年高一上学期数学开学考模拟卷A卷

**基本信息** 2026-2027学年上海市高一上开学考数学模拟卷（沪教版），立足初高中衔接，以集合、函数、不等式为核心，通过基础题巩固知识，创新题（如汽车智能刹车模型、集合“元和集”）培养抽象能力与数学建模，适配开学检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12题/54分|集合运算（2题）、方程根分布（3题）、不等式最值（7题）|后6题梯度提升，第12题有限集子集选取考查逻辑推理| |选择题|4题/18分|充要条件（13题）、集合韦恩图（14题）、不等式应用（15题）|第16题非空集合性质判断，强化抽象思维| |解答题|5题/78分|充分条件（17题）、集合关系（18题）、汽车刹车模型（19题）、含参不等式（20题）、新定义集合（21题）|第19题结合智能驾驶情境，第21题“元和集”“元差集”创新定义，培养数学建模与创新意识|

2026-2027学年上海市高一（上）开学考数学 质量检测预测模拟卷 A卷 （沪教版 · 考试时间120分钟 满分150分） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1.方程组 的解集为 ______ 。 2. 已知集合 ，，则 ______ 。 3. 已知方程 的两根均大于1，则实数 的取值范围为 ______ 。 4. 已知集合 ，集合 ，则集合 的子集个数为 ______ 。 5. 若直角三角形斜边长为 ，则该直角三角形面积的最大值为 ______ 。 6. 已知命题 或 ，命题 ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为 ______ 。 7. 已知 ， 且 ，则 的最小值为 ______ 。 8. 设 ， 是方程 的两个实数根，则 ______ 。 9. 命题甲：方程 有两个不相等的负实数根；命题乙：方程 无实数根。若甲、乙两个命题有且只有一个真命题，则实数 的取值范围为 ______ 。 10. 已知不等式 的解集中恰有3个整数，则实数 的取值范围为 ______ 。 11. 已知 ，集合 恰有四个非零元素，且四个元素在数轴上等距排列，则实数 ______ 。 12. 设有限集合 （，），任选 的两个非空子集 ，，使得 的最小元素严格大于 的最大元素，则不同的选取方式有 ______ 种。 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 已知 ，，，，， 均为非零实数，则 是"不等式 与 同解"的（　） A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件 14. 如图所示， 是全集，，， 是 的三个子集，则阴影部分表示的集合是（　） A. 　　B. C. 　　D. 15. 已知 ，，，则 的最小值为（　） A. 3　　B. 4　　C. 6　　D. 8 16. 非空集合 满足：①若 ，，则 ；②若 ，，则 。下列判断错误的是（　） A. 　　B. 　　C. 若 ，，则 　　D. 若 ，，则 三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤 17.（14分） 在解题过程中，解题思路有正误、繁简之分，请结合条件完成下列问题。 （1）设 ，集合 ，若 是 的充分条件，某学生误将条件写为 ，请求出正确的 的取值集合，并写出集合 的等价变形； （2）设 ，，，，求证： 和 至少有一个数是奇数。 18. （14分） 已知集合 ，集合 ，，满足 。设所有符合条件的 构成集合 ，若 ，求所有符合条件的 的值及对应 的取值范围。 19. （14分） 汽车智能辅助驾驶自动刹车原理：雷达检测车距与车速，达到报警距离触发提醒，达到危险距离自动刹车。报警过程分为准备、人的反应、系统反应、制动四个阶段，对应距离为 ，，，。当车速 （单位：m/s）时，已知：准备距离 米，人反应时间 s，系统反应时间 s，制动距离 米（ 为路面干湿系数）。 （1） 写出报警距离 关于车速 的函数关系式；当 时，汽车达到报警距离且无任何制动措施，求车辆撞上障碍物的最短时间； （2）若要求车辆在任意路面行驶时，报警距离均小于50米，求汽车的最高行驶速度（单位：km/h）。 20.（18分） 已知含参二次不等式 ，完成下列问题： （1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围； （2）若不等式 的解集为 ，求正实数 的取值范围。 21.（18分） 设集合 ，，。定义：集合 中所有含 个元素的子集的元素和组成的集合为" 元和集"；集合 中所有含 个元素的子集中，最大元素减去剩余元素之和的结果组成的集合为" 元差集"。 （1）若 的" 元和集"为 ，求集合 ； （2）在（1）的条件下，若 的" 元差集"为 ，求所有满足条件的 的真子集个数之和； （3）在（1）的条件下，若 ，求 的真子集的个数。 — 试卷结束 — 参考答案 一、填空题 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 1. 二、选择题 1. D 1. A 1. A 1. A 三、解答题 1. （1）；当 时 ，当 时 ；（2）证明略（见解析） 1. ； 1. （1），最短撞击时间 s；（2）最高车速 km/h 1. （1） 或 ；（2） 1. （1）；（2）；（3） 逐题解析 一、填空题 1. 两式相减得 ，代入 得 。故解集为 。 2. 集合 是函数 的定义域，二次函数对任意实数 均有意义，故 。集合 是函数 的值域，配方得 ，故 。因此 。 3. 设 ，该二次函数图像开口向上，对称轴 。两根均大于1，需满足：①判别式 ；②；③对称轴 自动满足。综上，，即 。 4. 逐一代入 检验方程 ： 时，； 时，； 时，。所以 ，，子集个数为 。 5. 设两条直角边分别为 、，斜边长为 ，由勾股定理得 。由 ，得 。面积 ，当 时取等号，面积最大值为3。 6. 是 的必要不充分条件，即 ，所以 对应集合 是 对应集合的子集。 对应集合为 。要使得 ，只需 ，解得 。 7. 由柯西不等式：。已知 ，所以 。故 ，当且仅当 时取等号，即 ，。 8. 由韦达定理，方程 的两根满足 ，。则 。 9. 甲真：方程 有两个不相等的负实数根。需满足 ，且两根和 ，两根积 。故 。乙真：方程 无实数根，需 。一真一假：甲真乙假： 且 ，即 ；甲假乙真： 或 ，且 ，即 。合并得 。 10. ，配方得 ，对称轴为 。不等式解集为 。恰有3个整数且解集关于 对称，只能是 2, 3, 4。故 ，即 。由 ，。解得 。 11. 令 ，方程化为 ，即 。设两根为 （），则 ，。四个根为 。四个元素在数轴上等距排列，须满足 ，即 ，故 ，即 。代入 ，得 ，。此时 。四个根为 ，等距排列。 12. 设 的最大元素为 ，则 且 ，共 种选法。 的最小元素大于 ，所以 且非空，共 种选法。总数为 。 二、选择题 13. 充分性：系数成比例但比例系数为负时，不等式方向相反，解集不同，不成立。必要性：同解的两个不等式系数不一定成比例，例如 与 虽成比例，但 与 同解却不成比例。故选 D。 14. 阴影部分位于 与 的交集内部，同时不在 内，即 。故选 A。 15. 原式 。由 ，，故 。当 时取等号，最小值为3。故选 A。 16. 由条件①取 ，得 。由条件②，，所以 。因此 A 说 是错误的。故选 A。 三、解答题 17. （1） 是 的充分条件，即 。（当 时 ），所以 。等价变形：当 时 ；当 时 。 （2），为奇数，所以 、 一奇一偶。若 为奇数， 与 中减去偶数者为奇数，减去奇数者为偶数；若 为偶数， 与 中减去奇数者为奇数，减去偶数者为偶数。总之二者一奇一偶，至少有一个是奇数。 18. ，由 且 ，得 。 可能为 、 或 。 当 时，判别式 且 为二重根，解得 ； 当 时，解得 ； 当 时，两根为3和4，比较系数得 。 所以 。 由 ，即所有 均不满足 ，故 对所有 成立。取交集得 。 19. （1）总反应时间 s，反应距离为 米。所以 ，。当 时，。撞击时间 。由均值不等式 ，所以 s，当 m/s 时取等号。 （2）任意路面即对所有 均需 。最严苛为 ，需 ，即 。解得 ，结合 得 m/s。换算得 km/h。 20. （1）原不等式化为 。当 时，，解集为 ，不符合；当 时，，解集为 ，符合。当 即 或 时，需 ：，即 或 。综上， 或 。 （2）由解集关于原点对称，一次项系数为 0，即 。代入常数项得 。由 ，所以 ，。 21. （1）设 ，。3元和集为 。则 ，，相减得 。逐一检验得 。 （2）由（1），枚举所有满足条件的 ，计算 的真子集个数之和为 15。 （3）由（1），又 ，所以 ，其真子集个数为 （排除空集和全集）。 — 解析结束 — 1 学科网（北京）股份有限公司 $