精品解析：上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高一上学期摸底考试数学试题

2025-2026学年度第一学期 高一数学摸底考试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 设全集,集合，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到，结合补集的概念与运算，即可求解. 【详解】由全集， 又由集合，可得. 故答案为：. 2. “四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的____________________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空） 【答案】充分不必要 【解析】 【分析】根据充分非必要条件的定义，结合矩形以及正方形的性质即可求解. 【详解】若四边形ABCD是正方形，则其对角线相等，故充分性成立， 若四边形ABCD的两条对角线相等，则四边形可能是等腰梯形或者矩形等，故必要性不成立， 因此“四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的充分非必要条件， 故答案为：充分非必要 3. 若，则符合条件的集合M有__________个. 【答案】 【解析】 【分析】由子集及真子集的概念，可转化为求集合真子集的个数即可得解. 【详解】因，所以M中含有元素0，1，2， 故符合条件的集合M个数相当于求集合的真子集个数，故有个. 故答案为： 4. 已知，，则的范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质求出范围. 【详解】由，，得. 所以的范围是. 故答案为： 5. 设，且，，则e的值是__________. 【答案】2 【解析】 【分析】把问题转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】因为， 两边同除以得：. 因为，所以或. 又，所以. 故答案为：2 6. 若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由二次三项式因式分解为，求出的值，可得的值. 【详解】因为， 又， 所以，则， 故. 故答案为：1 7. 若是方程的两个实数根，则的值等于__________. 【答案】 【解析】 【分析】已知是方程的两个实数根，由根与系数的关系得出及的值，再对进行化简后代入及的值求解． 【详解】是方程的两个实数根， ， ． 故答案为： 8. 观察下列各式： ， ， ， …… 计算：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意归纳出，改写所求的算式即可得解. 详解】观察题中式子可得， 则 故答案为：. 9. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先由题设得到，接着分和求出B结合分析求解即可. 【详解】因为，所以， 当时，满足； 当时，则或，解得或， 综上所述，a的所有取值构成的集合为. 故答案为：. 10. 已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据，利用数轴，列出不等式组，即可求出实数的取值范围. 【详解】用数轴表示两集合的位置关系，如上图所示， 或 要使，只需或，解得或． 所以实数的取值范围或. 故答案为：或 11. 如图，AB是的直径且，点C是OA的中点，过点C作交于D点，点E是上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】证明，根据相似比即可得解. 【详解】因为，点C是OA的中点，所以， 连接，因为为直径，所以， 又，所以， 因为，所以， 所以，即. 故答案为： 12. 已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，求出、、关于所设参数的表达式，在中应用正弦定理求，再根据的取值范围求最值． 【详解】设落在边BC的处，则两点关于折线对称，连接， 由于，，则, ,进而可得, 设， 则，，． 在中，． 在中，， 由正弦定理知：，即， 所以，即， 由于，则， 故当，即时，此时取到最大值， 故取到最大值，进而取最小值 故答案为：. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果为实数，且，那么一定有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】借助指数运算法则计算可得，即得D符合；通过举反例排除A,B,C项可得. 详解】由，可得， 则，即， 即，故，故D符合题意； 对于A，若取，，则，故A不合题意； 对于B，若取，，则，故B不合题意； 对于C，若取，，则，故C不合题意. 故选：D. 14. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分不必要条件的判定方法进行判定. 【详解】因为若“且”则“”成立； 但当“”时，“且”未必成立.比如“，”时，“”成立，但“且”不成立. 所以“且”是“”的充分不必要条件. 故选：A 15. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点C，D，与坐标轴分别相交于点A，B，作轴于点E，作轴于点F，过点E，F分别作，，分别交x轴于点M，N，线段DF与EM相交于点P，有以下说法： ①的面积等于的面积； ②； ③若与的面积和为12，则. 其中正确的说法是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 【答案】A 【解析】 【分析】由已知得四边形都是平行四边形，可得，即可判断①；设，则，联立两方程可得，又得，即可判断②；可得的面积与的面积都为6， 由已知可得，则，又，由，可得，解得，即可判断③. 【详解】因为轴，轴， 轴， ，， 所以四边形都是平行四边形， 又直线与反比例函数的图象相交于点C，D， ， 则， ， ， 所以①正确； 设， 则， 联立与，得， 得，则， ， 对，当时，，当时，， ，则， ， ， ，， 故②正确； ③若与的面积和为12， 由①知的面积等于的面积， 则的面积与的面积都为6， 联立与，得， 得， 解得， 因为，， ， ， 由②知，， ， ， ， 由①知， ， 化简，得， 解得，故③错误. 故选：A 三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋18＋18＝78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 解关于的不等式. 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】根据不等式的解法，分，和，三种情况讨论，即可求解. 【详解】由不等式， 当时，即时，解得，所以不等式的解集为； 当时，即时，不等式即为恒成立，所以不等式的解集为； 当时，即时，解得，所以不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 已知，. （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先求出集合，依题意可得，则和为方程的两根； （2）分、为单元素集合、为双元素集合三种情况讨论，分别求出参数的取值范围. 【小问1详解】 因为， 若是的子集，则， 所以，解得. 【小问2详解】 若是的子集，则. ①若为空集，则，解得； ②若为单元素集合，则，解得. 将代入方程，得，解得，所以，符合要求； ③若为双元素集合，，则. 综上所述，或. 19. 上海交大附中为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台. （1）求甲、乙两种书柜的进价； （2）若学校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，请您帮学校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱. 【答案】（1）元；元. （2）购买甲种书柜20个，乙种书柜40个时花费最少，最少花费为元. 【解析】 【分析】（1）设乙种规格的书柜进价为元，根据两种书柜数量关系列方程即可得解； （2）设购进甲种书柜个，根据不等关系求出的范围，利用一次函数性质求解可得. 【小问1详解】 设乙种规格的书柜进价为元，则甲种规格的书柜进价为元， 由题可得，，解得， 所以甲种书柜的进价为元，乙种书柜的进价为元. 【小问2详解】 设购进甲种书柜个，则购进乙种书柜个， 则所需花费， 由题知，，故， 由一次函数性质可知，当时，所需花费最小，最小值为元. 即当购进甲种书柜20个，乙种书柜40个时花费最小，最少花费元. 20. 如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点.点P是直线BC上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数的表达式； （2）连接PO，PC，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时四边形ACPB的面积以及P点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）当P点坐标为时，四边形ACPB的面积最大为 【解析】 【分析】（1）代入B、C点坐标，即可求得方程； （2）分析可得P为线段OC的垂直平分线与抛物线的交点，求得线段OC的垂直平分线方程，与二次函数联立，即可得答案. （3）求出直线BC方程，设出P点坐标，过P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点Q，分别求出AB，PQ的长，代入公式，可得面积的表达式，根据二次函数性质，即可得答案. 【小问1详解】 因为、在二次函数上， 代入可得，解得， 所以二次函数的表达式为. 【小问2详解】 因为四边形为菱形， 所以，即P为线段OC的垂直平分线与抛物线的交点， 因为， 所以线段OC的垂直平分线方程为， 联立，可得， 因为P是直线BC上方的抛物线上一动点， 所以，则P点坐标为. 【小问3详解】 令，解得， 所以A点坐标为，即， 因为P在抛物线上，所以设， 设直线BC方程为， 代入B、C点坐标可得，解得， 直线BC方程为， 过P作x轴的垂线，交x轴于点F，交直线BC于点Q，如图所示 所以Q点坐标为， 所以， 所以 ， 当时，四边形ACPB的面积最大，且为， 此时，即P点坐标为， 所以当P点坐标为时，四边形ACPB的面积最大为. 21. 已知，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 【答案】（1），，， （2）证明见解析 （3）是“好集合”，且满足的好数阵有四个：；；；． 【解析】 【分析】（1）直接根据新定义解出未知量的值； （2）先证是不同于的“好数阵”，再证、，列举两个“好数阵”，即可证明； （3）假设为“好集合”，根据新定义可得，证明不是偶数即可求解. 【小问1详解】 由“好数阵”的定义， 知，，，,4,5,， 故，，，,,，进一步得到，， 从而，，，． 【小问2详解】 如果是一个“好数阵”， 则，. 从而， . 故也是一个“好数阵”. 由于是偶数，故，从而. 所以数阵和的第1行第2列的数不相等，故是不同的数阵. 设全体“好数阵”构成的集合为S，并定义映射如下： 对，规定. 因为由中的元素构成的数阵只有不超过种，故是有限集合. 而 ， 即，从而是满射，由是有限集，知也是单射，故是一一对应. 对于“好数阵”， 已证数阵和是不同数阵， 故. 同时，对两个“好数阵”，，如果，则； 如果，则.所以，当且仅当. 最后，对，由，称2元集合为一个“好对”. 对，若属于某个“好对”，则或，即或. 由于，故无论是还是，都有. 所以每个“好数阵”恰属于一个“好对”，所以“好数阵”的个数是“好对”个数的2倍，从而“好数阵”必有偶数个. 【小问3详解】 若是“好数阵”，则有 ， 所以， ， 若， 因为， ， 所以只有以下两种可能：和， （i）若，则， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得； 情形二：时，只有，，，可得； （ii）若，则， 使的只有，使的有两种可能：，或， 情形一：时，只有，，，可得， 情形二：时，只有，，，可得， 综上， 是“好集合”，且满足的好数阵有四个： ；；；． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期 高一数学摸底考试卷 （本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.） 一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分） 1. 设全集,集合，则__________. 2. “四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的____________________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空） 3. 若，则符合条件的集合M有__________个. 4. 已知，，则的范围是________. 5. 设，且，，则e的值是__________. 6. 若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为__________. 7. 若是方程的两个实数根，则的值等于__________. 8. 观察下列各式： ， ， ， …… 计算：__________ 9. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________. 10. 已知集合或，，若，则实数的取值范围_________． 11. 如图，AB是的直径且，点C是OA的中点，过点C作交于D点，点E是上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则的值为__________. 12. 已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为__________. 二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分） 13. 如果为实数，且，那么一定有（ ） A. B. C. D. 14. 设，则“且”是“”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 15. 下列说法正确是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点C，D，与坐标轴分别相交于点A，B，作轴于点E，作轴于点F，过点E，F分别作，，分别交x轴于点M，N，线段DF与EM相交于点P，有以下说法： ①的面积等于的面积； ②； ③若与的面积和为12，则. 其中正确的说法是（ ） A ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋18＋18＝78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤. 17. 解关于的不等式. 18. 已知，. （1）若是的子集，求实数的值； （2）若是的子集，求实数的取值范围. 19. 上海交大附中为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台. （1）求甲、乙两种书柜的进价； （2）若学校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，请您帮学校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱. 20. 如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点.点P是直线BC上方的抛物线上一动点. （1）求二次函数表达式； （2）连接PO，PC，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P坐标； （3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时四边形ACPB的面积以及P点的坐标. 21. 已知，若存在数阵满足：①；②．则称集合为“好集合”，并称数阵为的一个“好数阵”． （1）已知数阵是的一个“好数阵”，试写出的值； （2）若集合为“好集合”，证明：集合的“好数阵”必有偶数个； （3）判断是否为“好集合”．若是，求出满足条件的所有“好数阵”；若不是，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $