上海市上海交通大学附属中学2025-2026学年高一上学期摸底考试数学试题

2025-2026学年度第一学期

高一数学摸底考试卷

（本试卷满分150分，考试时间120分钟，答案一律写在答题纸上.）

一、填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）

1. 设全集,集合，则__________.

2. “四边形ABCD是正方形”是“四边形ABCD的两条对角线相等”的____________________条件.（用“充分非必要”“必要非充分”“充要”“既非充分又非必要”填空）

3. 若，则符合条件的集合M有__________个.

4. 已知，，则的范围是________.

5. 设，且，，则e的值是__________.

6. 若关于x的二次三项式因式分解为，则的值为__________.

7. 若是方程的两个实数根，则的值等于__________.

8. 观察下列各式：

，

，

，

……

计算：__________.

9. 已知集合，集合，若，则a的所有取值构成的集合为__________.

10. 已知集合或，，若，则实数的取值范围_________．

11. 如图，AB是的直径且，点C是OA的中点，过点C作交于D点，点E是上一点，连接DE，AE交DC的延长线于点F，则的值为__________.

 

12. 已知三角形ABC为等腰三角形，其中，，在AB、AC上分别取D、E两点，若沿线段DE折叠该三角形时，顶点A恰好落在边BC上.则线段AD的长度的最小值为__________.

二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）

13. 如果为实数，且，那么一定有（   ）

A.  B.

C.  D.

14. 设，则“且”是“”的（　　）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

15. 下列说法正确的是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

16. 如图，直线与反比例函数的图象相交于点C，D，与坐标轴分别相交于点A，B，作轴于点E，作轴于点F，过点E，F分别作，，分别交x轴于点M，N，线段DF与EM相交于点P，有以下说法：

①的面积等于的面积；

②；

③若与的面积和为12，则.

其中正确的说法是（   ）

A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③

三、解答题（本大题共5题，共14＋14＋14＋18＋18＝78分）解答下列各题必须在答题纸规定的方框内写出必要步骤.

17. 解关于的不等式.

18. 已知.

（1）若，求实数的值；

（2）若，求实数的取值范围.

19. 上海交大附中为构建书香校园，拟购进甲、乙两种规格的书柜放置新购置的图书.已知每个甲种书柜的进价比每个乙种书柜的进价高10%，用3300元购进的甲种书柜的数量比用4500元购进的乙种书柜的数量少5台.

（1）求甲、乙两种书柜的进价；

（2）若学校拟购进这两种规格的书柜共60个，其中乙种书柜的数量不大于甲种书柜数量的2倍，请您帮学校设计一种购买方案，使得花费最少，并求出最少花费多少钱.

20. 如图，已知二次函数的图象经过点，与x轴分别交于点A，点.点P是直线BC上方的抛物线上一动点.

（1）求二次函数的表达式；

（2）连接PO，PC，并把沿y轴翻折，得到四边形，若四边形为菱形，请求出此时点P的坐标；

（3）当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时四边形ACPB的面积以及P点的坐