1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题课后同步练习（基础版）-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 本同步练习（基础版）聚焦空间向量的距离与夹角问题，以基础巩固为主，通过梯度化题型设计，培养数学抽象与运算能力，适配课后知识内化需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|空间向量夹角、距离公式直接应用|单选1-7题，如正方体中异面直线夹角计算，强化公式记忆| |技能应用|结合简单几何体（正方体、长方体）的距离与夹角综合计算|多选11-13题、填空14-18题，如动点到平面距离范围，提升空间观念| |综合拓展|复杂几何体（四棱锥、三棱台）中的距离、二面角求解|解答题19-20题，完整推理过程，体现逻辑推理与数学表达能力|

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题课后同步练习（基础版） 1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A． B． C． D． 6．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 7．（25-26高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 11．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 12．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，则四点共面 B．若平面的法向量，则与平面所成的角为 C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D．若，且是钝角，则实数的取值范围是 13．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）（多选）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 14．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 15．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    16．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 17．（福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为________ 19．（天津市河东区2025-2026学年高二下学期期末数学试题）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 20．（湖南怀化市2025-2026学年下学期高二年级期末测试数学试题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)点为中点，求平面与平面夹角余弦值． 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题课后同步练习（基础版） 1．（25-26高一下·江苏连云港·期末）在正方体中，为的中点，则与夹角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先设正方体棱长并建立空间直角坐标系，写出各点坐标得到两条直线的方向向量，通过向量点积公式求出向量夹角余弦，再取其绝对值得到异面直线夹角的余弦值． 【详解】 设正方体棱长为， 如图，以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系， ，，，， ，， 所以， 所以与夹角的余弦值为． 2．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知为直线的方向向量，，为直线的方向向量，若与的夹角的余弦值为，则等于（    ） A．0 B． C． D．1 【答案】C 【分析】两直线的方向向量的夹角与两直线所成的角相等或互补，结合题中条件得到，根据向量夹角的坐标表示，即可求解． 【详解】因为为直线的方向向量，为直线的方向向量，与的夹角的余弦值为， 所以，解得． 故选：C 3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知：空间中，过点且一个法向量为的平面方程为.据此可知，若平面的方程为，直线是两平面与的交线，则直线与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出平面的一个法向量，再得出相交于直线的两个平面的法向量，由这两个法向量求出直线的方向向量，由平面的法向量与直线的方向向量夹角的余弦值的绝对值得线面角的正弦值． 【详解】由题意知平面的一个法向量是， 平面与的法向量分别是， 设直线的一个方向向量为， 则，所以，取，得， 所以， 故直线l与平面所成角的正弦值为. 故选：A． 4．（25-26高三·全国·一轮复习）如图，在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设棱长为1，则， . 设平面的法向量为， 则有，即， 解得，则. 平面的法向量为， . 因此平面与平面夹角的余弦值为. 5．（25-26高二上·湖北武汉·阶段检测）如图，已知四边形，均为矩形，且，二面角的大小为，则异面直线与所成角的余弦值为（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令且，，应用向量数量积的运算律及已知求及其模长，再求出它们的夹角余弦值，即可得. 【详解】由题意，令，且，， 所以 ， 由四边形，均为矩形，则，且， 所以，则二面角的平面角， 所以，， 所以，即异面直线与所成角的余弦值为. 故选：C 6．（25-26高一下·广东深圳·期末）已知向量，，，则三棱锥的体积为（ ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】先求出平面的法向量，再利用向量求出点到平面的距离，然后利用向量求出点到直线的距离，进而求出的面积，最后利用三棱锥的体积公式即可. 【详解】设平面的法向量为， 则，则， 则点到平面的距离为， 又，， 则点到直线的距离为， 则， 故三棱锥的体积为. 7．（25-26高二上·全国·课后作业）正方体的棱长为1，则平面与平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将平面与平面的距离转化为点到平面的距离，建立空间直角坐标系，，然后用空间向量求解 【详解】由正方体的性质：∥,∥， ，， 且平面，平面， 平面，平面， 所以平面平面， 则两平面间的距离可转化为点B到平面的距离． 以为坐标原点，所在的直线分别为轴 建立空间直角坐标系，如图所示： 由正方体的棱长为1，所以，，， ，， 所以，， ，． 连接， 由，， 所以， 且， 可知平面， 得平面的一个法向量为， 则两平面间的距离： ． 故选：D. 8．（25-26高二下·福建宁德·期末）在三棱台中，，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和直线的方向向量即可由点到直线向量法距离公式直接计算求解. 【详解】由题意，平面，， 因此以为原点，分别以、、方向为轴建立空间直角坐标系： 则，，，，， 直线​的方向向量， ， 点到直线的距离. 9．（25-26高二上·广东汕头·开学考试）定义：两条异面直线之间的距离是指其中一条直线上任意一点到另一条直线距离的最小值.在棱长为1的正方体中， 直线与之间的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设为直线上任意一点，过作，垂足为，利用向量表示，，再结合向量模的性质求的最小值，由此可得结论. 【详解】设为直线上任意一点，过作，垂足为， 设 ，， 则 ， 因为，所以 即 所以，所以， 所以， ∴当时， 取得最小值， 故直线与之间的距离是 故选：B. 10．（25-26高二上·山东泰安·阶段检测）（多选）在棱长为2的正方体中，是棱上一动点，则到平面的距离可能是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据给定条件，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用点到平面距离公式求出到平面的距离范围即可. 【详解】在棱长为2的正方体中，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，设平面的法向量为， 则，取，得，而， 因此到平面的距离， 而，所以AD不是，BC可以是. 故选：BC 11．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，，平面，为的中点，则（   ） A． B．异面直线与所成角的余弦值为 C． D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】根据向量线性运算可知A正确；以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法、向量模长的求解与点到平面距离的向量求法依次验证BCD选项即可. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，以为坐标原点，正方向为轴正方向可建立如图空间直角坐标系， 则，，，， ，，， 即异面直线与所成角的余弦值为，B正确； 对于C，由B知：，， 即，C错误； 对于D，由B知：，，， 设平面的法向量， 则，令，解得：，，， 设点到平面的距离为，则，D正确. 故选：ABD. 12．（25-26高二上·山东青岛·阶段检测）（多选）下列说法中，正确的有（    ） A．若平面的法向量，则四点共面 B．若平面的法向量，则与平面所成的角为 C．若平面的法向量，则点到平面的距离是2 D．若，且是钝角，则实数的取值范围是 【答案】AB 【分析】对于A，根据空间向量共面性质判断即可；对于B，利用向量数量积为零判断垂直即可；对于C，利用点到平面距离公式求解即可；对于D，利用向量数量积小于零判断后，再排除掉反向共线的情况即可． 【详解】对于A，，故，、、、四点共面，故A正确； 对于B，，故，平面ABC，PA与平面ABC所成角为，故B正确； 对于C，点到平面ABC的距离，故C错误； 对于D，因为是钝角，所以，解得，但时与反向共线，为平角，不满足钝角，故D错误． 故选：AB． 13．（25-26高二上·宁夏吴忠·阶段检测）（多选）如图，点在正方体的面对角线上运动（点异于，点），则下列结论正确的是（     ） A．异面直线与所成角为60° B．平面 C．三棱锥的体积不变 D．直线与平面所成角正弦值的取值范围为 【答案】ABC 【分析】选项A：利用异面直线的夹角定义求解即可，选项B：利用线面垂直的定义结合线面垂直的判定定理求解即可,选项C：利用等体积法求解即可，选项D：建立空间直角坐标系，利用空间向量的夹角公式求出线面角正弦值的表示式，再运用二次函数的性质即可求得其范围. 【详解】 对于A，因为正方体中，且为等边三角形，故异面直线与夹角为，故A正确； 对于B，由正方体的性质可知，，平面，, 平面，又因为平面，， 同理可得平面，又因为平面，， 又因为平面，平面，故B正确； 对于C，因为平面，平面，所以平面, 所以为定值，故C正确； 对于D，建立如图所示直角坐标系，设正方体的棱长为1，， 则，，，，， 从而，， 由正方体的性质知：平面， 即平面，故平面的法向量可取为， 直线与平面所成角正弦值为，, 因为，， 所以，故D错误. 故选：ABC. 14．（25-26高三上·广东汕尾·阶段检测）已知四棱柱的底面为平行四边形，，，且，则异面直线与的夹角余弦值为___________． 【答案】 【分析】应用空间向量的数量积公式及运算律计算，再运用夹角公式计算求解. 【详解】根据图形可知 ， 所以, 则异面直线与的夹角余弦值为. 故答案为：. 15．（25-26高二上·上海·期末）如图所示，四棱锥的底面是边长为3的正方形，平面且，Q是棱上一点.若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为_____.    【答案】 【分析】构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，应用向量法求面面角的余弦值. 【详解】由题意，可构建如下空间直角坐标系，则， 所以，若平面的一个法向量为，    所以，取，则， 而是平面的一个法向量， 所以， 即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故答案为： 16．（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，四棱锥中，平面，，，，则到平面的距离是______. 【答案】/ 【详解】以为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面一个法向量为， 则，取，得， 所以到平面的距离为. 17．（福建莆田市2025-2026学年下学期期末质量调研试卷高二数学）在直三棱柱中，，，为的中点，则直线与所成角的余弦值为________． 【答案】 【分析】以为原点建立空间直角坐标系，求出两条直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值可得. 【详解】由于直三棱柱中，且侧棱底面， 故以为坐标原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系.    设，可得，，，，. 因为为的中点，因此的坐标为. 则直线的方向向量，直线的方向向量. 设异面直线与所成角为，， ， ，； 所以. 因此直线与所成角的余弦值为. 18．（25-26高二下·福建漳州·期末）在空间直角坐标系中，点，，，则到直线的距离为________ 【答案】 【分析】利用空间向量的点到直线的距离公式求解即可. 【详解】设直线的单位方向向量为， 点，，，，， ，， ，， 到直线的距离为. 故答案为：. 19．（天津市河东区2025-2026学年高二下学期期末数学试题）如图，在长方体中，，点分别是棱的中点． (1)求长方体外接球的表面积； (2)求证：平面； (3)求直线到平面的距离． 【答案】(1) (2)在长方体中，以为原点，建立空间直角坐标系，如图： 则， ， 于是，而点直线， 则，又平面，平面， 所以平面. (3). 【分析】（1）利用长方体的结构特征求出其外接球直径，进而求出球的表面积. （2）建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明推理得证. （3）求面的法向量，再利用点到平面的距离公式求解. 【详解】（1）在长方体中，， 则该长方体外接球直径， 所以该长方体外接球的表面积. （2）略 （3）由平面，得点到平面的距离即为直线到平面的距离． ，设平面的法向量为， 则，取，得， 因此点到平面的距离为， 所以直线到平面的距离为. 20．（湖南怀化市2025-2026学年下学期高二年级期末测试数学试题）如图，在四棱锥中，底面为矩形，，，，． (1)证明：； (2)求点到平面的距离； (3)点为中点，求平面与平面夹角余弦值． 【答案】(1)连接，因为四边形为矩形，，， 所以， 因为，所以， 因为，，所以，故， 因为四边形为矩形，则且，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，故. (2) (3) 【分析】（1）连接，利用勾股定理证明出，结合可得出，结合矩形的几何性质得出，利用线面垂直判定和性质定理可证得结论成立； （2）证明出平面，推导出平面，可知点到平面的距离等于点到平面的距离为的长，即可得出答案； （3）取线段的中点，连接，推导出平面，然后以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得平面与平面夹角余弦值. 【详解】（1）略 （2）因为，，所以，故， 因为，，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为，平面，平面，所以平面， 因此点到平面的距离等于点到平面的距离为. （3）取线段的中点，连接， 因为平面，平面，所以， 因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 以点为坐标原点，、、的方向分别为、、轴的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系， 则、、、、， 当点为的中点时，则， 设平面的一个法向量为，，， 则，取，则， 设平面的一个法向量为，，, 则，取，可得， ， 故当点为的中点时，平面与平面夹角余弦值为. 2 / 18 1 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $