1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题课后同步练习（提升版）-2026年新高二暑假预习数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦空间向量解决距离与夹角问题，分层设计覆盖基础巩固、能力提升、综合应用，通过正方体、圆锥等模型培养空间观念与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|线线角、线面角等单一计算|以正方体为模型，如第1题求异面直线余弦值，强化坐标法应用| |能力提升|公垂线、动点轨迹等综合问题|结合多选题型，如第6题辨析公垂线段性质，培养批判性思维| |综合应用|翻折、动态几何中的夹角距离|设置解答题如第26题翻折问题，融入模型观念，提升问题解决能力|

1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】建立空间直角坐标系，求出两直线的方向向量，利用向量夹角公式计算异面直线所成角的余弦值 【详解】设正方体的棱长为1，以D为坐标原点，分别以、、的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系. 则，，，. ∴， ，, . 设直线和所成角为，则， 所以. 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【详解】点是底面直径所对弧的中点，所以，建立空间直角坐标系如图所示:    则，，，，，， 可得，，， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得， 设直线和平面所成角为， 可得. 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为原点，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为，分别求得平面和平面的法向量和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】以为原点，以所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 如图所示，设正方体的棱长为， 因为点为的中点，则， 可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 又由平面的一个法向量为，可得， 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. 故选：B. 4．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求得平面PMN的法向量，由求解. 【详解】以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 所以， 令，则，可得. 因为， 所以点A到平面PMN的距离. 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】建立适当空间直角坐标系，求出和在方向上的投影，即可由向量方法直接计算点到直线的距离． 【详解】因为平面，所以，又，所以. 可以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，. 所以， 所以在方向上的投影为， 所以点到直线的距离为． 6．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，由垂直关系的向量表示可得，利用公垂线的定义可得A正确，利用投影向量模长公式计算可得B错误，由点到直线距离的向量求法可得C正确，再由点到平面距离的向量求法可得D正确. 【详解】以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 则， 所以，可得； 对于A，易知， 易知，即， 根据定义可知线段是异面直线与的公垂线段，即A正确； 对于B，因为四边形为正方形，则， 因为平面，平面，则， 所以，异面直线与的公垂线的一个方向向量为， 又，所以异面直线与的距离为，即B错误； 对于C，所以在方向上的投影向量的模长为； 所以点到直线的距离为，即C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 则，取，则； 所以，又， 因此点到平面的距离为，即D正确. 故选：B 7．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合空间向量的模长公式和二次函数的性质求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作面， 以为原点，建立空间直角坐标系， 由题意得，，，，， 则，，， 而，由两点间距离公式得， 因为，所以，解得， 因为，所以，解得， 代入可得，解得（负根舍去）， 得到，则， 因为，所以， 设，则，可得，解得， 而，可得， 则，而，， 设面的法向量为，则， 令，解得，，可得， 因为平面，所以， 得到，化简得， 此时变为， 则，由模长公式得， 令，由二次函数性质得在处取得最小值， 而，则. 8．（25-26高二上·湖北武汉·期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 【答案】C 【分析】设正四面体的底面中心为点，连接，则平面，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设正四面体的棱长为，然后利用空间向量法逐一分析求解可得结果. 【详解】如下图所示，设正四面体的底面中心为点，连接，则平面， 以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系， 设正四面体的棱长为， 则，，，，， 设，其中， 对于A，若存在某个位置使得，，， 所以，解得，不满足题意，故A错误； 对于B，若存在某个位置使得，，， 则，该方程无解，故B错误； 对于C，设平面的一个法向量为， ，， 由，令，则， 若存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为，又， 则， 整理得，解得或（舍去）， 所以存在，即为的中点，满足题意，故C正确； 对于D，设平面的一个法向量为， 又，， 由，取，得， 设平面的一个法向量为， ，， 由，取，则， 若存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为， 则， 整理得，易得，所以该方程无解，故D错误. 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题解决的关键点在于建立空间直角坐标系，利用空间向量法解决立体几何的相关问题，解题过程要注意利用方程思想进行向量运算，认真细心，准确计算． 9．（2026·北京·三模）在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．对任意点，都有平面 D．对任意点，三棱锥的体积为定值 【答案】D 【分析】建立空间坐标系，设出点后结合选项逐一分析. 【详解】已知正方体棱长为，故以为原点，以方向为轴建立空间坐标系， 则各点坐标：，， 又在线段上，设，则， 选项A：向量，， 若垂直，则， 即，存在这样的，A选项正确； 选项B：向量，，， ，即， 若，则， 此时与重合，即当时，， 又，平面， 故平面，存在这样的，B选项正确； 选项C：，， 设平面的法向量为，则， 即：，取，则： 所以法向量，又 ，所以， 且不在平面上，故对任意，平面，C选项正确； D选项：，， ，， 设平面法向量，则， 取，则，则法向量为：， 点到平面的距离：， 由于，，所以：， 三棱锥的体积： 又为定值，但随变化，因此体积不是定值，D选项错误. 10．（25-26高二下·河南濮阳·期末）（多选）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 【答案】ACD 【分析】若中点为，根据已知并应用线面、面面垂直的判定定理证明平面平面判断A，构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求线面角、异面直线所成角、面面角的正余弦值判断B、C、D. 【详解】由 ​，，可得和均为等腰三角形， 若中点为，则，且，又， 故，所以， 由且都在平面内，则平面， 由平面，则平面平面，故A正确； 以为原点， 为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，，， 由为中点，即，为中点，即， 由，，， 设平面的一个法向量， 则， 取，则，，故， 设直线与平面所成角为， 则，故B错误； 由，， 则，故C正确； 由，，设平面的一个法向量， 则，取，则，，故， 又平面法向量， 则，故D正确. 11．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 【答案】ABD 【分析】以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，对A，求直线的方向向量和平面的法向量，验证方向向量与法向量垂直，结合线不在面内判定；对B，计算和​的数量积判断；对C，利用异面直线夹角公式，计算两个方向向量夹角的余弦绝对值判断；对D，求出平面的法向量，代入距离公式计算验证. 【详解】以为原点，​分别为轴， 由，得各点坐标： ， 对于选项A：，平面中， 设平面的法向量为，则，即， 令，则，所以是平面的一个法向量 ， 因为，故，且不在平面内， 因此平面，A正确； 对于选项B：， 因为 ，所以，B正确； 对于选项C：，设异面直线与所成角为， 则，得，C错误； 对于选项D：，设平面的法向量， 则，即，令，则， 所以是平面的一个法向量，又， 所以点到平面的距离： ，D正确. 12．（25-26高二上·安徽滁州·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到直线的距离为 C．直线与直线是异面直线 D．点到平面的距离为 【答案】ABD 【分析】建立空间直角坐标系，对于A，写出直线的方向向量与平面的法向量，再代入公式即可；对于B，写出直线的方向向量，再代入点到线公式即可；对于C，写出直线的方向向量与直线的方向向量进而判断出两条直线平行即可；对于D，写出平面的法向量，再代入点到面的距离公式即可. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，由正方体性质可知平面的一个法向量， 设直线与平面所成的角为，则，故A正确； 而， 点到直线的距离为，故B正确； 因为， 所以，所以四点共面， 所以直线与直线不是异面直线，故C错误； ，， 设平面的法向量为，所以， 令，则，所以， 得到点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD. 13．（25-26高三上·江苏连云港·期中）（多选）在正四棱柱中，，，.H，，E分别为，，的中点，点M在直线上，，.下列说法正确的有（    ） A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，点M到平面的距离为 C．当时，平面 D．若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则 【答案】BC 【分析】如图以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，然后利用空间向量逐个分析判断即可. 【详解】以为原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，. 对于A.，，， ，A错. 对于B，，E到面的距离为B到面的距离， ，，所以. 设M到平面的距离h，则，所以，B对. 对于C，，，，，， ，，所以面，C对. 对于D，，，，则， 设平面的法向量， 则，不妨设，则，，所以， 设平面的法向量，， 则，不妨设，则，，所以， 所以，化简整理得，解得或2，D错， 故选：BC. 14．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为9π B．若，则点P的轨迹长度为 C．的最小值为 D．若直线与平面所成的角为，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】补形为长方体求出外接球的表面积判断A；利用勾股定理得并确定轨迹判断B；作出点关于平面的对称点计算判断C；建立空间直角坐标系，求出点的坐标满足的关系，再利用两点间距离公式计算判断D. 【详解】对于A，由两两垂直，得三棱锥与以为棱的长方体有相同的外接球， 则该球的直径为，该球的表面积为，A正确； 对于B，由平面，得，则， 因此点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，其长度为，B错误； 对于C，延长到，使得，则点关于平面对称， 因此， 当且仅当为与平面的交点时取等号，C正确； 对于D，以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则， 设，，而平面的法向量， 由直线与平面所成的角为，得， 整理得，因此， 当且仅当时取等号，即的最小值为，D正确. 故选：ACD 15．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 【答案】AD 【分析】建立恰当的空间直角坐标系，由空间向量线性运算的坐标表示，判断A；求得异面直线与的公垂线的方向向量，根据异面直线间距离的向量求法求得异面直线与间的距离，判断B；根据点到直线的距离的向量求法，求得点到直线的距离，判断C；根据点到平面距离的向量求法求得点到平面的距离，判断D. 【详解】因为平面，且，所以可以为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系. 由题可知，. 因为为中点，所以. 对于A，，所以，所以A正确； 对于B，，. 设，且，则，所以. 令，则. 则满足条件的一个向量. 所以异面直线与间的距离为，所以B不正确； 对于C，，所以点到直线的距离为，所以C不正确； 对于D，，，设平面的法向量为，则， 所以，即，令，则， 所以平面的一个法向量为， 因为，所以点到平面的距离，所以D正确. 故选：AD. 16．（2026高三下·甘肃·竞赛）正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 【答案】/ 【分析】如图，取的中点，连接交于点，连接，可知异面直线与的距离为点到平面的距离，根据三棱锥等体积法计算即可得出结果. 【详解】 取的中点，连接交于点，连接 则点为线段的中点，为的中位线，又， 有，且， 所以异面直线与的距离为到平面的距离， 即点到平面的距离，设该距离为， 由题意得，， 由，得， 解得,故异面直线AC与的距离是：. 17．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·阶段检测）正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为______ 【答案】 【分析】结合正四棱锥的性质得到平面，底面为正方形，根据二面角及线面角的定义判断对应的平面角，结合三角函数求解即可. 【详解】设与的交点为，连接，则平面. 因为 平面，所以，. 则即为侧棱与底面所成角. 过点作，交于，连接. 因为 平面，，所以平面. 又平面，所以， 所以即为侧面与底面所成二面角的平面角，故. 设正四棱锥底面正方形边长为，则 ，. 在中，，所以 ， ， 在中，， 又，所以. 18．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 【答案】 【分析】建立空间直角坐标系，用向量的方法计算两个平面夹角，进而可得线段的长度和距离. 【详解】因为底面是矩形，平面，所以， 故以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则， 因为点是线段上一点，设， 设平面的法向量为，则，， 令，则.平面的法向量为. 因为平面与平面的夹角为， 所以， 所以，解得（舍去），所以. 此时，， 所以点到平面的距离. 19．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    【答案】 【分析】根据圆锥的几何性质，结合已知条件得出互相垂直关系，建立空间直角坐标系，求出相关点坐标，利用三角形的性质，求出面积最大值时点坐标，求出平面法向量和相关向量，进而利用点到平面距离公式计算求解． 【详解】连接，由题意可知，， 以为坐标原点，建立下图所示空间直角坐标系，    则， 点在底面圆上，且点在直径同侧，设， 母线长，为等腰三角形， ， 设边上的高为，则， ， 令，则，开口向下，对称轴为， 当时，面积最大，此时， ，， ，设平面的法向量为， 则，令，则， 点到平面距离为． 20．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，分别以为轴作出空间直角坐标系，写出相应的坐标，求出的坐标，然后利用点到平面距离的向量求法求解即得.. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，因为正方体的棱长为4，，， 则， 在平面内，直线方程为，直线方程为，联立解得， 所以，， 设平面的法向量， 则，令，得， 于是点M到平面的距离. 21．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明：过点作，垂足为，因为平面平面， 平面平面，平面，所以平面，又平面，所以， 又因为底面，底面，所以，又， 所以平面. (2) 【分析】（1）先根据面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而得到线线垂直，再根据线面垂直的判定定理即可证明线面垂直； （2）建立空间直角坐标系，分别求出两个平面的法向量，利用两个平面夹角的余弦值即等于两个平面法向量夹角余弦的绝对值求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）知平面，平面，所以， 又四边形为平行四边形，则，所以， 以为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，， 又，则，所以，， 设平面法向量为，则，所以，即， 取，则，所以， 因为底面，所以为平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 22．（25-26高二下·云南昭通·期末）如图，在长方体中，，点分别为的中点，点M为长方形内一动点（含边界）． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若直线平面，求点M的轨迹长度． 【答案】(1)法一：以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 则， 故，即． 法二：连接， 在长方体中，⊥平面， 因为平面，所以， 又四边形是正方形，所以， 因为，平面， 所以平面，又平面， 所以． (2) (3) 【分析】法一：（1）建立空间直角坐标系，利用空间向量求证即可； （2）利用线面角的空间向量公式求解即可； （3）设（其中，），结合平面可得，进而求解即可； 法二：（1）连接，先证明，，可得平面，进而求证即可； （2）易得平面，可知即为直线与平面所成角，进而求解即可； （3）连接，取中点，在上取点，使得，连接，分析可得点在平面与平面的交线上，从而点的轨迹是线段，进而求解即可. 【详解】（1）略 （2）法一：由（1）知，点，，，， 易得平面的一个法向量为，而， 设直线与平面所成角为， 则， 即直线与平面所成角的正弦值为. 法二：在长方体中，平面，即平面， 所以即为直线与平面所成角， 在直角三角形中，，则， 所以， 即直线与平面所成角的正弦值为. （3）法一：由（1）知，，，，， 设（其中，），则， 而，， 设平面的一个法向量为， 则，令，得， 因为平面，故，则，即，                           而，，则点M的轨迹为线段，且线段的两个端点为， 则点M的轨迹长度． 法二：在长方体中，取的中点，连接， 由点为的中点，得， 则四边形是平行四边形， ，又， 则四边形是平行四边形， 于是，取中点，在上取点， 使得，连接， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面，于是平面，     由为的中点，得，而平面，平面， 则平面． 又平面，因此平面平面， 由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上，从而点的轨迹是线段， 而，所以点的轨迹长度为． 23．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）建立坐标系，利用向量垂直得出直线垂直，结合线面垂直的判定可证，或求解平面法向量，利用可证结论； （2）求出平面的法向量，利用向量夹角公式可求答案； （3）利用点线距的向量求解公式可得答案，或作出距离，利用三角形相似可求答案. 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， 又平面平面，平面平面， 平面平面. 以为原点，所在的直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系． 则， 法一：， ， ， 又平面平面， 平面. 法二：设是平面的一个法向量， 令则， 是平面的一个法向量． ，平面. （2）设是平面的一个法向量， 令，则 是平面的一个法向量. 设平面与平面夹角为， ， ， 平面与平面夹角的正弦值为. （3）法一：， ，，， ， 点到直线的距离. 法二：， ，，， 点到直线的距离. 法三：过点作直线的垂线，交的延长线于点， 平面平面 平面． 四边形为矩形， 平面， 平面， ， ， 为的中点， ， 点到直线的距离. 24．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱 锥中，平面平面，， ，，，且.    (1)证明： . (2)设平面 与平面 的交线为 . ①证明：. ②求与平面所成角的余弦值. 【答案】(1)因为平面平面，平面平面，，平面， 所以平面，又因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 又平面，所以； (2)①因为，平面，平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以，即； ②. 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理得线面垂直，再由线面垂直的性质定理得线线垂直； （2）①由线面平行的判定定理得线面平行，再由线面平行的性质定理得线线平行； ②建立空间直角坐标系，求平面的法向量和直线的方向向量，用向量方法求出线面角的正弦值，再求其余弦即可. 【详解】（1）略 （2）①略；     ②过在平面内作， 由（1）知平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 又，所以以为原点，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，    则， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 设与平面 所成角为， 则， 因为为锐角， 所以 25．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量共线的概念，找出点的轨迹，再根据线面平行的判定定理，作出辅助线，求出结果即可； （2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出方向向量坐标，根据向量的数量积，求出向量夹角，进而求出点到直线的距离即可，构造函数，判断距离的最大值； （3）根据点的坐标，求出方向向量和法向量，根据面面夹角的向量求出，求出夹角的余弦值的范围即可. 【详解】（1） 当时，点在线段上， 过作，交于，过作，交于， 此时，面，面， 所以平面，此时， 因为，所以，即，解得， 所以. （2） 过作，交下底面圆周于点， 以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系， 可知点在以为圆心，以为半径的圆上，所以设点， 可知，， 可知点到的距离为， 可知， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 当时，最大值， 即当时，点到的最大距离为. （3）可知点在以为圆心，以为半径的圆周上， 所以设， 可知，， 设平面的法向量为， 则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，则，即， 令，解得， 即平面的一个法向量为， 设平面与平面夹角为， 则， 化简得， 令，即， 因为，所以，可得， 所以， 设函数，可知函数对称轴为， 所以函数在上单调递减， 所以当时，，所以， 即平面与平面夹角余弦值的取值范围为. 26．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 【答案】(1)（i）由题意得，， ， 在中，因为，所以， 又因为，，， 在中，因为，所以， 因为，、平面，所以平面. 因为平面，所以平面平面.    （ii）. (2) 【分析】（1）（i）利用勾股定理可证得，，利用线面垂直和面面垂直的判定定理可证得结论成立； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴，以平面内过点垂直于的直线为轴，建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得二面角的大小； （2）设，根据题意得出，结合图形不妨取，所以，并设，，，利用空间向量法结合函数的单调性可求得与平面所成角的正弦值的范围. 【详解】（1）（i）略； （ii）以为原点，以、所在直线分别为、轴， 以平面内过点垂直于的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系： 则、、、， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 易知平面的一个法向量为， 则， 结合图形可知，二面角的平面角为钝角， 所以二面角的大小为. （2）设，因为，， 即，所以， 结合图形不妨取，所以， 则，，， 设平面的一个法向量为， 则，取，可得， 设与平面所成角为， 所以， 设，， 由，不妨取，则，所以， 所以 ， 令，所以， 因为函数、在上为减函数， 故函数在上为减函数， 故当时，，所以， 所以与平面所成角的正弦值的范围是. 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4.2 用空间向量研究距离、 夹角问题课后同步练习（提升版） 1．（25-26高一下·江苏常州·期末）在正方体中，点分别在线段和上，且，，则直线和所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·江苏南京·阶段检测）如图，圆锥PO的底面圆周上有三点，为底面圆O的直径，点是底面直径所对弧的中点，点D是母线PA的中点，若，则直线和平面所成角的正弦值为（   ）    A． B． C． D． 3．（25-26高三上·广东·阶段检测）在正方体中，点为的中点，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·甘肃兰州·期中）如图，在棱长为2的正方体中，P，M，N分别为AB，，的中点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C．1 D． 5．（25-26高二下·黑龙江佳木斯·开学考试）在三棱台中，，且，若平面，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高二上·内蒙古包头·阶段检测）已知和两条异面直线都垂直相交的直线叫做两条异面直线的公垂线，公垂线与两条直线相交的点所形成的线段，叫做这两条异面直线的公垂线段．两条异面直线的公垂线段的长度，叫做这两条异面直线的距离．如图，在棱长为1的正方体中，点在上，且；点在上，且．则下列结论错误的是（   ） A．线段是异面直线与的公垂线段 B．异面直线与的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 7．（25-26高二下·江苏·阶段检测）已知平行六面体的底面是边长为2的正方形，，．动点M满足，，且平面，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·湖北武汉·期中）在正四面体中，点E在棱AB上，满足，点F为线段AC上的动点，则（    ） A．存在某个位置，使得 B．存在某个位置，使得 C．存在某个位置，使得直线DE与平面DBF所成角的正弦值为 D．存在某个位置，使得平面DEF与平面DAC夹角的余弦值为 9．（2026·北京·三模）在棱长为的正方体中，点分别是棱的中点，点在线段（含端点）上运动，则下列结论不正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得平面 C．对任意点，都有平面 D．对任意点，三棱锥的体积为定值 10．（25-26高二下·河南濮阳·期末）（多选）如图，在三棱锥中，，，，，分别为，的中点，则（    ） A．平面平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D．平面与平面夹角的余弦值为 11．（2026·河南开封·模拟预测）（多选）在直三棱柱中，，，为线段的中点，则下列正确的有（    ） A．直线平面 B． C．直线与直线所成的角为 D．到平面距离为 12．（25-26高二上·安徽滁州·期末）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，分别为棱的中点，则下列结论正确的有（    ） A．直线与平面所成角的正弦值为 B．点到直线的距离为 C．直线与直线是异面直线 D．点到平面的距离为 13．（25-26高三上·江苏连云港·期中）（多选）在正四棱柱中，，，.H，，E分别为，，的中点，点M在直线上，，.下列说法正确的有（    ） A．当时，与所成角的余弦值为 B．当时，点M到平面的距离为 C．当时，平面 D．若平面与平面所成锐二面角的余弦值为，则 14．（25-26高三上·湖北黄冈·阶段检测）（多选）如图，在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为四边形内（包括边界）一个动点，则下列结论正确的是（   ） A．三棱锥外接球的表面积为9π B．若，则点P的轨迹长度为 C．的最小值为 D．若直线与平面所成的角为，则的最小值为 15．（25-26高二上·四川绵阳·期末）（多选）如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，，平面，为中点，则下列说法正确的是（    ） A． B．异面直线与间的距离为 C．点到直线的距离为 D．点到平面的距离为 16．（2026高三下·甘肃·竞赛）正方体的棱长为2，则异面直线AC与的距离是_________． 17．（25-26高一下·黑龙江佳木斯·阶段检测）正四棱锥中，侧面与底面所成二面角的余弦值为，则侧棱与底面所成角大小为______ 18．（25-26高二下·河北石家庄·开学考试）如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面且，，点是线段上一点，当平面与平面的夹角为时，______，这时，点到平面的距离为______. 19．（2026·上海·三模）如图，为圆锥底面圆的直径，为的中点，点是圆上的动点（点在直径同侧），当的面积最大时，点到平面距离为______．    20．（25-26高二上·广东潮州·期末）已知正方体的棱长为4，，，直线与交于点，则点到平面的距离为______． 21．（25-26高二下·陕西西安·期末）已知四棱锥中，底面为平行四边形，底面，平面平面． (1)求证：平面； (2)若，，点在棱上，且，求平面与平面夹角的余弦值. 22．（25-26高二下·云南昭通·期末）如图，在长方体中，，点分别为的中点，点M为长方形内一动点（含边界）． (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值； (3)若直线平面，求点M的轨迹长度． 23．（25-26高三上·天津·期末）如图，空间几何体中，平面平面，四边形为矩形，，为的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值； (3)求点到直线的距离． 24．（25-26高二下·云南昆明·阶段检测）如图，在四棱 锥中，平面平面，， ，，，且.    (1)证明： . (2)设平面 与平面 的交线为 . ①证明：. ②求与平面所成角的余弦值. 25．（2026·河南开封·模拟预测）如图，在圆柱中，矩形为其轴截面，点为底面半圆弧上的动点（前半部分，且点不与点重合），点在母线上，，，点是上底面内的一个动点. (1)若，平面，求的长度； (2)若点F是上底面圆周上一点，求到的最大距离； (3)求平面与平面夹角余弦值的取值范围. 26．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，长方形中，，，若为线段的中点，将沿翻折至． (1)若， （i）证明：平面平面； （ii）求二面角的大小； (2)求与平面所成角的正弦值的范围． 2 / 39 1 / 39 学科网（北京）股份有限公司 $