第21章二次函数与反比例函数 测试卷 2026-2027学年沪科版九年级数学上册

**基本信息** 沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数单元卷，120分钟150分，覆盖核心知识点，通过基础题与综合应用题结合，适配单元复习，培养数学抽象、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|二次函数与x轴交点、反比例函数图像性质|结合图像分析，考查几何直观| |填空题|4/20|反比例函数解析式、抛物线平移旋转|融入矩形面积等几何情境，体现空间观念| |解答题|9/90|二次函数顶点、函数综合应用（排球发球、销售利润）|实际问题建模，培养应用意识与推理能力|

2026-2027学年数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数测试卷 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ （考试时间：120分钟 满分：150分 ） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．二次函数与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是（    ） A．且 B．且 C． D． 2．若点在反比例函数的图象上，则该图象也过点（   ）． A． B． C． D． 3．抛物线（）与轴的一个交点坐标为；对称轴是直线，其部分图象如图所示，当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 4．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，抛物线与轴交于两点，下列说法正确的是（     ） A．抛物线的对称轴为直线 B．抛物线的顶点坐标为 C．两点之间的距离为5 D．当时，的值随值的增大而减小 6．已知函数的图象经过点，且在第一象限内y随x的增大而增大．下列函数符合要求的是（    ） A． B． C． D． 7．已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 8．一抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，顶点为，则此抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 9．如图，已知一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限分别交于点和点，过点和点作轴的垂线，垂足分别为点和点．当四边形的面积为12时，则（     ） A． B． C． D． 10．如图所示的是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，且经过点．给出下列说法：①；②0；③；④若是抛物线上的两点，则；⑤（其中）．其中正确的是（   ） A．①②④⑤ B．①②③ C．①④⑤ D．③④⑤ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 11．如图，点C、E在坐标轴上，矩形分别交某反比例函数于点F、G，，，的面积为9，则该反比例函数解析式为__________． 12．抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为________． 13．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型拱门，现把这个方案中的抛物线型拱门图形放入平面直角坐标系中（如图所示），拱门的跨度，拱高．其中点在轴上，，，要在拱门中设置矩形框架，当时，矩形框架的周长为_________． 14．已知二次函数（a，b，c为常数，）图像的顶点坐标是，且经过，两点，．有下列结论： ①关于x的一元二次方程（）有两个不相等的实数根； ②当时，y的值随x值的增大而减小； ③； ④； ⑤对于任意实数t，总有． 以上结论正确的有（请填写序号）______________； 三.（本题共16分） 15．已知二次函数． (1)求二次函数图象的顶点坐标； (2)当时，函数的最大值和最小值分别为多少？ 16．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点．抛物线经过点A且交线段于点C． (1)求k的值． (2)求点C的坐标． (3)直接写出当x在何范围时，． 四.（本题共16分） 17．如图，某排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方的A处发出，其运行的高度与运行的水平距离满足关系式．已知球网与O点的水平距离为，高度为． (1)求y与x的关系式； (2)球能否越过球网？ 18．如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． (1)求一次函数解析式和反比例函数解析式； (2)请根据图像，直接写出当时，自变量的取值范围． 五.（本题共20分） 19．某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（单位：微克/毫升）与服药时间x（单位：h）之间函数关系如图所示， (1)求y与x之间的函数表达式． (2)血液中药物浓度不低于4微克/毫升的时候对人体是有效的，服药后对人体的有效时间是多少？ 20．已知二次函数（为常数，）． (1)该函数图象的对称轴是直线________； (2)若，当时，求函数值的取值范围； (3)若，求证：该函数的图象与轴有两个交点． 六.（本题共12分） 21．如图，已知直线与反比例函数的图象交于点，与轴交于点，过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点． (1)求直线和反比例函数图象的表达式； (2)求的面积； (3)请直接写出不等式的的取值范围． 七.（本题共12分） 22．每年的3月3日为全国爱耳日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，某公司新研发了一批耳背式助听器计划在该月销售，根据市场调查，每个助听器盈利60元时，每天可售出50个：单价每降低2元，每天可多售出5个．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每个助听的利润不低于40元，设每个助听器降价x元，每天的销售利润为y元 (1)求y与x的函数关系式：每个助听器降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元； (2)全国爱耳日当天，公司共获得销售利润3750元，请问这天售出了多少个助听器． 八.（本题共14分） 23．如图，抛物线的图象经过点，与轴交于点A，点． (1)求抛物线的表达式； (2)将抛物线向右平移1个单位，再向上平移3个单位得到抛物线，求抛物线的表达式，并判断点是否在抛物线上； (3)在轴上方的抛物线上，是否存在点，使是等腰直角三角形．若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026-2027学年数学沪科版九年级上册第21章二次函数与反比例函数测试卷》 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C B C B A B B A 1．A 【分析】本题考查了二次函数的定义，一元二次方程根的判别式，根据题意得到，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵抛物线与x轴有两个不同的交点， ∴， ∴，且， 故选：A． 2．B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，由题意得，据此逐项判断即可求解，掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵，， ∴该图象也过点， 故选：． 3．C 【分析】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x=-1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（-3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当-3＜x＜1时，y＞0． 故选：C． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质． 4．B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 5．C 【分析】将点坐标代入抛物线解析式求出的值，确定函数解析式，根据二次函数的性质逐项分析判断即可求解 ． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴，解得， ∴抛物线解析式为， ∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为， 故A，B选项错误； 令，则， 解得， ∴， ∴， 故C选项正确； ∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大； ∴当时，在时，的值随的增大而减小，在时，随的增大而增大； 故D选项错误． 6．B 【分析】本题先将已知点代入各选项解析式求出参数，再根据函数增减性，判断是否满足“第一象限内随的增大而增大”的条件，用到一次函数、反比例函数、二次函数的增减性性质． 【详解】解：选项A：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴ 随的增大而减小，不符合要求，排除A； 选项B：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴ 随的增大而增大，在第一象限满足条件，符合要求； 验证其余选项： 选项C：∵ 函数经过点， ∴代入坐标得， ∵ ，反比例函数在第一象限内随的增大而减小，不符合要求，排除C； 选项D：∵ 函数经过点， ∴ 代入坐标得 ， 解得， ∵ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为轴， 在第一象限时随的增大而减小，不符合要求，排除D． 7．A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 8．B 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握抛物线形状、开口方向，待定系数法求解析式，是解决问题的关键． 根据抛物线形状、开口方向得到，根据顶点为即可得出解析式． 【详解】解：∵抛物线的形状、开口方向与抛物线相同， ∴， ∵抛物线顶点为， ∴抛物线解析式为，． 故选：B． 9．B 【分析】设，则，，，根据四边形的面积为12，得出，联立得出，根据根与系数的关系得出，代入进行求解即可． 【详解】解：设， ∴，，． ∵四边形的面积为12， ∴． ∴， ∴， ∴， ∴，化简整理得， 又联立，消去得：， ∴和是方程的两根． 由一元二次方程根与系数的关系可知， ∴， ∴， 解得． 10．A 【分析】根据二次函数的图象性质，如开口方向、对称轴、与坐标轴的交点等，对每个说法逐一进行分析判断． 【详解】解：①抛物线开口向下，． 抛物线的对称轴为直线， ． 拋物线与轴的交点在轴上方， ． 故①正确； ②抛物线的对称轴为直线，且经过点， 抛物线与轴的另一个交点为， ， ． 故②正确； ③抛物线经过点， 当时，，． 故③错误； ④点离对称轴要比点离对称轴远， ．故④正确； ⑤拋物线的对称轴为直线， 当时，有最大值， （其中）． （其中）． 故⑤正确． 综上所述，正确的是①②④⑤． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（包括开口方向、对称轴、对称性、最值等）的知识点，解题关键是熟练掌握二次函数的各项性质，结合图象对每个说法进行准确分析． 11． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，矩形的性质，正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 由反比例函数k的几何意义得到的面积=的面积=，根据的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积可求出k，即可求出答案． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵矩形分别交某反比例函数于点F、G，，， ∴,的面积=的面积=， ∵的面积=矩形的面积-的面积-的面积-的面积=9，矩形的面积， ∴， 解得（负值已舍去）， ∴反比例函数解析式为． 故答案为：． 12． 【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答． 【详解】解： 所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为； 可设新抛物线的解析式为， 代入得：， 把抛物线绕顶点旋转180°， 可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变， 所以，所求的抛物线解析式为：， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，求出相应的抛物线解析式．根据题意可知：点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标，点在该抛物线上，从而可以求出该抛物线的解析式，在矩形框架，，，可得，，即可求得矩形框架的周长． 【详解】解：由题意可得，点的坐标为，点为该抛物线的顶点坐标， ∴可设该抛物线的解析式为， ∵点在该抛物线上， ∴， 解得， ∴该抛物线的解析式为， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴点，点的纵坐标都为，且都在抛物线上， ∴， 解得，， 即，， ∴， ∴矩形框架的周长为 故答案为：． 14．②③④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，结合题意画出函数图像，结合函数图像一一判断即可得出答案． 【详解】解：∵二次函数（a，b，c为常数，）图像的顶点坐标是， 且经过，两点， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴，抛物线与x轴的交点为：和， 图像如下所示： 令，当， ∵， ∴， 结合函数图像可知有两个相等的实数根， 当， 结合函数图像可知没有实数根， 当， 结合函数图像可知有两个不相等的实数根，故①错误； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，y的值随x值的增大而减小，故②正确； ∵抛物线与x轴的交点为：和 ∴二次函数为， ∴， ∵ ∴， 解得，故③正确， 结合函数图像可知，当时，，故④正确， ∵ ∴， ∴ ， ∵，， ∴， 即对于任意实数t，，故⑤正确， 综上：②③④⑤正确， 故答案为：②③④⑤ 15．(1) (2)当时，函数的最大值为4，最小值为0 【分析】（1）化成顶点式即可求解； （2）根据二次函数的性质求解即可． 本题考查了二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵抛物线的对称轴为， 又∵，，抛物线开口向下， 当时，函数有最大值，最大值为； 当时，函数有最小值，最小值为． 16．(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合： （1）根据二次函数解析式求出点A坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）联立两函数解析式求出对应的交点坐标即可得到答案； （3）根据函数图象找到一次函数图象在二次函数图象上方时自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：在中，当时，解得或， ∴， 把代入中得：，解得； （2）解：由（1）可得， 联立，解得或， ∴； （3）解：由函数图象可知，当或时，． 17．(1) (2)球能越过球网 【分析】（1）把点代入关系式，求出a的值，即可求出y与x的关系式； （2）把代入解析式求得y的值，若则球能越过球网，反之则不能，把代入解析式求得y的值，若则会出界，反之则不会． 【详解】（1）解：把点代入关系式得：， 解得：， 则y与x的关系式为：； （2）∵当时，， ∴球能越过球网． 18．(1)， (2)或 【分析】本题是一次函数与反比例函数的综合，考查了求函数解析式，利用图像求不等式的解集等知识； （1）把点B的坐标代入反比例函数式中求得k的值，从而求得反比例函数解析式，进而可求得点A的坐标，再用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）当时，表明一次函数的图像在反比例函数的图像上方，观察图像即可求得自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数相交于点和点， ∴， 解得， 即； 把点A坐标代入中，， 即； 把A、B两点坐标分别代入中，得，解得：， 即． （2）解：由图像知，当时，或． 19．(1) (2)服药后对人体的有效时间是 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． （1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出时两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【详解】（1）当时，函数为正比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，； 当时，函数为反比例函数，设：， ∵函数经过点， ∴，即， ∴当时，， ∴； （2）当药物浓度为4微克/毫升时，即时， 由，得， 由，得， ∴根据图象可以判断出：当时，血液中药物浓度不低于4微克/毫升， ∴持续时间为． 20．(1) (2) (3)证明：，且， ，， ， ∴方程有两个不相等的实数根， 该函数的图象与x轴有两个公共点． 【分析】（1）根据的对称轴为求解，即可解题； （2）将代入函数解析式计算，得到函数解析式，再根据抛物线的增减性和最值求解，即可解题； （3）根据根的判别式，以及不等式性质求解，即可证明该函数的图象与x轴有两个公共点． 【详解】（1）解：， 该函数图象的对称轴是直线； （2）解：将代入函数解析式得，， 抛物线的对称轴为直线，开口向上． 当时，随的增大而增大， ， 当时，y最小是2，当时，距离对称轴最远，则y最大是6， ； （3）略 21．(1)， (2)6 (3) 【分析】（1）由题意，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）根据题意，在平面直角坐标系中，由代入坐标求解即可得到答案； （3）由函数图象与不等式的关系，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：已知直线与反比例函数的图象交于点， ，解得；； 直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为； （2）解：直线与轴交于点， 当时，，即； 过点作轴的平行线交反比例函数的图象于点， ， ， ； （3）解：直线的表达式为；反比例函数图象的表达式为， 不等式的解集是当反比例函数图象在直线上方时的取值范围， 如图所示： ， 当时，反比例函数的图象在直线的上方，故不等式的的取值范围是． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数综合，涉及待定系数确定函数关系式、反比例函数图象与性质、一次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、利用函数图象解不等式等知识，熟练掌握一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质，数形结合是解决问题的关键． 22．(1)每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元 (2)75个 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的列出函数关系式，是解题的关键： （1）根据总利润等于单件利润乘以销量，列出二次函数关系式，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）令，得到关于x的一元二次方程，进行求解即可． 【详解】（1）根据题意得， ，开口向下，有最大值 当时，有最大值，最大值为4000 答：每个助听器降价20元时，每天的销售利润最大，最大利润为4000元 （2）根据题意得， 解得：，， 不合题意，舍去 答：这天售出了75个助听器． 23．(1) (2)，点在抛物线上 (3)存在，点的坐标为：或 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式、二次函数与几何的综合、二次函数图像的平移等知识点，灵活利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来成为解题的关键． （1）将点D的坐标代入抛物线表达式，求得a的值即可； （2）由题意得：，当x=1时，，即可判断点是否在抛物线上； （3）分为直角、为直角、为直角三种情况，分别运用全等三角形的判定与性质，进而确定点E的坐标，进而确定点P的坐标． 【详解】（1）解：将点的坐标代入抛物线表达式得：，解得：， 则抛物线的表达式为：． （2）解：由题意得：， 当时，， 故点在抛物线上． （3）解：存在，理由如下： ①当为直角时，如图1，过点作且，则为等腰直角三角形， ，， ， ， ， ∴，， ∴点， 当时，，即点在抛物线上， ∴点即为点； ②当为直角时，如图2， 同理可得：， ∴，， ∴点， 当时，， ∴点在抛物线上， ∴点即为点； ③当为直角时，如图3， 设点， 同理可得：， ∴且，解得：且， ∴点， 当时，， 即点不在抛物线上； 综上，点的坐标为：或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $