第21章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·提升卷）数学新教材沪科版九年级上册

**基本信息** 本卷为初中数学二次函数与反比例函数单元提升卷，通过拱桥、喷泉等实际情境及升幂函数新定义问题，考查抽象能力、模型意识与创新意识，适配单元复习培优。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|二次函数图象与性质、反比例函数交点|结合图象辨析，考查几何直观| |填空题|6/12|反比例函数解析式、二次函数最值|函数与方程转化，体现抽象能力| |解答题|8/72|拱桥建模、喷泉函数表达式、升幂函数新定义|实际情境应用（如21题拱桥）、新定义探究（26题），培养模型意识与创新意识|

第二十一章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若函数是关于的二次函数，则为（   ） A． B． C． D． 2．函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 3．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（   ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（　　） A．16 B．20 C．32 D．40 5．如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（   ） A． B． ． D． 6．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 8．老师给出了二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是方程的一个根； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 9.如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 10．如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝ （k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是　 　. 12．如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ． 13．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 的图象经过点 ，则 　 　． 14．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为2． （1）求k和m的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数y= 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围． 16．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 17．已知，点在二次函数 的图象上． (1)当时，求此时二次函数的表达式； (2)若时，求m的取值范围． 18．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 19．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣6与双曲线y= （k≠0）的一个交点为A（m，2），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求点B的坐标及k的值； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为16，求点P的坐标． 20．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 21．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．如图2，发球机从中线的端点O的正上方处的点A发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图2、图3所示． (1)求图2中抛物线的表达式及落球点E到原点O之间的距离． (2)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状一致，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则球弹跳的跨度的长为多少？ 22.已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1) 求抛物线解析式； (2) 当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3) 过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接， 请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 23．二次函数（c为常数，且）的图象过点． (1) 求此二次函数的表达式． (2) 若过点与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C，且该直线到x轴的距离等于线段的长， 求t的值． （3）若点，都在此函数的图象上，其中，且满足，求m的取值范围． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C A C B B C B A C D 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11． x＜-3或0＜x＜3 12． 13． 3 14． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．【答案】（1）k=4，m=1；（2）﹣4≤y≤﹣ 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵△AOB的面积为2， ∴k=4， ∴反比例函数解析式为y= ， ∵A（4，m）， ∴m= =1 （2）解：∵当x=﹣3时，y=﹣ ； 当x=﹣1时，y=﹣4， 又∵反比例函数y= 在x＜0时，y随x的增大而减小， ∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣ 16．【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 17．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （2）把点代入，可得到关于m的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在二次函数 的图象上，且， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵点在二次函数 的图象上，且， ∴ 解得：． 18．【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 19．【答案】（1）（3，0），k＝8； （2）P1（﹣1，0），P2（7，0） 【分析】（1）把A（m，2）代入y＝2x﹣6，即可求出m，然后把A代入线y= ，即可求出k；通过一次函数y＝2x﹣6，令y＝0，即可求出B点； （2）过点A作AM⊥x轴于点M，通过三角形的面积计算，即可求出PB，最后算出P点坐标． 【详解】（1）解：令y＝0，则2x﹣6＝0，可得x＝3， ∴直线y＝2x﹣6与x轴交点B的坐标为 将A（m，2），代入y＝2x﹣6，得m＝4， 将A（4，2），代入y= ，得 （2）解：过点A作AM⊥x轴于点M， ∵A（4，2），C（0，﹣6）， ∴OC＝6，AM＝2， ∵ ， ∵S△APC＝16， ∴PB＝4， ∴P1（﹣1，0），P2（7，0） 20．【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵当时，， ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 21．【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义． （1）由待定系数法即可求解，再令，即可求解； （2）由，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知点A、M的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得，解得， 则抛物线的表达式为， 令， 解得（舍去）或，即． （2）解：设点，则点， 设抛物线的表达式为， 则， 解得，（不符合题意，舍去）， 即，则跨度DE的长为． 22.【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F， 求出的长，将分成与的面积和， 根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长， 根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标， 进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，， 分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． （2）过点P作轴于点H，交于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 （3）设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴，   ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 当时，， 有 解得∶(舍去)，， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 23．【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次不等式等知识，解题的关键是能准确进行计算． （1）由二次函数的图象过点，得，解得（舍去）或，即可得二次函数的表达式为； （2）在中，令得，故，，而直线到x轴的距离等于线段的长，可得，即，解得或； （3）求出，根据，得，即可解得m的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，则： ， 解得（舍去）或， ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令得， 整理得：， ∴，， ∵直线到x轴的距离等于线段的长， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或； （3）解：∵点，都在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十一章 二次函数与反比例函数（高效培优单元自测·提升卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．若函数是关于的二次函数，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．函数和在同一平面直角坐标系中图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、反比例函数图象与系数的关系，先根据二次函数图象得到字母系数的正负，再判断反比例函数图象即可求解． 【详解】解：由二次函数解析式得，对称轴为， A、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象符合题意；故正确； B、当，抛物线开口方向向上，双曲线的两个分支分别位于第一、三象限，抛物线与y轴交于负半轴，本图象不符合题意；故错误； C、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； D、当，抛物线开口方向向下，双曲线的两个分支分别位于第二、四象限，抛物线与y轴交于正半轴，本图象不符合题意；故错误； 故选：A． 3．如图是根据某拱桥形状建立的平面直角坐标系，从中得到函数，在正常水位时水面宽，当水位上升5m时，水面的宽为（   ）    A．16m B．18m C．20m D．24m 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用．由题意得，点A的横坐标为，据此求出，进而得到点C的纵坐标为，再求出即可得到答案． 【详解】解：由题意得，点A的横坐标为， 在中， 当时，， ∴， ∴点C的纵坐标为， 在中， 当时， 解得或， ∴， ∴（m）， 故选：C． 4．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数 的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（　　） A．16 B．20 C．32 D．40 【答案】B 【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（ x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入 y=冬，利用待定系数法求出k. 【详解】解：∵BD//x轴，D（0，4）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为4， ∴可设B（x，4）. ∵矩形ABCD的对角线的交点为E，. ∴E为BD中点，∠DAB=90°. ∴E（ x，4） ∵∠DAB=90°， ∴AD2+AB2=BD2， ∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10， ∴E（5，4）. 又∵反比例函数 （k>0，x>0）的图象经过点E， ∴k=5×4=20；故答案为：B. 5．如图，在中，，，斜边在轴上，将直线从轴出发向右平移，若在该直线左侧的阴影部分的面积记为，则与之间的函数关系的图象为（   ） A． B． ． D． 【答案】B 【分析】本题需分两个阶段分析直线平移过程中阴影面积与的函数关系： 当时：直线位于点左侧，此时阴影部分为等腰直角三角形， 利用等腰直角三角形的性质和三角形面积公式，推导出与的二次函数关系（开口向上）． 当时：直线位于点右侧， 此时阴影部分面积等于的面积减去右侧等腰直角三角形的面积， 推导出与的二次函数关系（开口向下）， 再结合函数的增减性判断图像形状． 【详解】解：如图，过点作轴，垂足为点， 设直线交轴于点， ； ，， ，，； 当直线在点的左侧时，如图，设直线交于点， 是等腰直角三角形，此时， ， ； 当直线在点的右侧时，如图，设直线交于点， 是等腰直角三角形，此时， ， ． 综上，当时，图象为开口向上的抛物线； 当时，图象为开口向下的抛物线． 故与之间的函数关系的图象为选项． 6．已知二次函数的图象如图所示，有下列结论：（1）；②；③；④不等式的解集为．其中正确的结论个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质、二次函数与不等式，根据抛物线的开口方向可判断①；根据抛物线与x轴没有交点可判断②；根据函数图象经过即可判断③；将不等式变形为：，令，根据直线与抛物线的图象交于点和，进而可判断④；熟练掌握二次函数的图象及性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的开口向上， ，则①正确； 抛物线与x轴没有交点， ，则②错误； ∵函数图象经过， ∴， ∴，即，故③正确； 不等式变形为：， 令，如图， 由图象得：直线与抛物线的图象交于点和， 不等式的解集为，故④正确， 则正确的个数有3个， 故选C． 7．已知，二次函数与轴有两个交点，且为正整数，当时，对应函数值的取值范围是，则满足条件的的值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程，由题意得出，且，结合为正整数，得出，从而得出二次函数为，再结合二次函数的性质分两种情况讨论：当时；当时，分别计算即可得出答案． 【详解】解：由题意得：，且， 解得：，且， ∵为正整数， ∴， ∴二次函数为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，，当时，， ∵当时，对应函数值的取值范围是， ∴， ∴当时，函数在上随着的增大而增大， ∴当时，，即， 解得：（不符合题意，舍去）或（不符合题意，舍去）； 当时，当时，取到最小值，为，即， 解得：（符合题意）； 故选：B． 8．老师给出了二次函数的部分对应值如表： … 0 1 3 5 … … 7 0 7 … 同学们讨论得出了下列结论， ①抛物线的开口向上； ②抛物线的对称轴为直线； ③当时，； ④是方程的一个根； ⑤若，是抛物线上的两点，则． 其中正确的是（   ） A．①③④ B．②③④ C．①④⑤ D．①③④⑤ 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据当和时，函数值相等，求出对称轴，判断②，得出顶点坐标，得出抛物线的开口方向，判断①，得出的对称点为，根据抛物线的开口向上，判断③，根据时，，判定④，根据抛物线的开口向上，反例“若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则”，判定⑤，综合得出答案即可． 【详解】解：∵当和时， ∴函数图象抛物线对称轴为，则为最低点，故②错误， ∴抛物线的开口向上，故①正确， ∵， ∴的对称点为， 又∵抛物线的开口向上， ∴当时，，故③正确， ∵时，， ∴是方程，即方程的一个根，故④正确， ∵抛物线的开口向上， ∴若，都在对称轴左边时，随的增大而减小，则，故⑤错误， 综上所述，正确的是①③④， 故选：A． 9.如图，点A在双曲线y1（x＞0）上，连接AO并延长，交双曲线y2（x＜0）于点B，点C为x轴上一点，且AO＝AC，连接BC，若△ABC的面积是6，则k的值为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】过点A作AD⊥x轴于点D，设，然后利用待定系数法求出直线OA的表达式为，然后令，解方程求出x的值，从而得点B的坐标，根据等腰三角形“三线合一”性质得OC=2OD=2a，接下来根据三角形面积公式得关于k的方程，解方程求出k的值即可. 【详解】解：如图，过点A作AD⊥x轴于点D， 设，直线OA的表达式为y=mx(m≠0)， ∴， 解得：， ∴直线OA的表达式为， 令， 解得：， ∴， ∵AO=AC，AD⊥x轴， ∴OC=2OD=2a， ∵， ∴， 解得：k=4， 故答案为：C. 10．如图，某公司准备在一个的绿地上建造一个矩形的休闲书吧，其中，点D，E，F分别在边上．有下列结论：①的长可以为；②点D在两个不同位置可使得休闲书吧的面积为；③休闲书吧面积的最大值为．其中，正确结论的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，矩形的性质，勾股定理等知识，根据勾股定理求出，可判断，设，则，，矩形 的面积为，则，可判断，根据可判断，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴的长可以为，故符合题意； ∵四边形是矩形， ∴， 设，则，， ∴， 设矩形 的面积为，则 ， 当的面积为，即 ， 解得：，， ∴当，时，矩形的面积为， 当，时，矩形的面积为， 故符合题意； ， ∴当时，函数有最大值，最大值为， 故符合题意， 故选：D． 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．） 11．正比例函数y1＝k1x（k1≠0）与反比例函数y2＝ （k2≠0）的图象的一个交点是M（﹣3，2），若y2＜y1，则x的取值范围是　 　. 【答案】x＜-3或0＜x＜3 【分析】利用反比例函数关于原点对称，可得到反比例函数与正比例函数的图象的另一个交点坐标，由当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方，可求出x的取值范围. 【详解】解：由反比例函数与正比例函数的图象的一个交点是M（-3，2）， ∴另一个交点是（3，-2）， 当y2＜y1时，即正比例函数图象在反比例图象上方， ∴x的取值范围是x＜-3或0＜x＜3， 故答案为：x＜-3或0＜x＜3. 12．如图，是线段上一动点，分别以，为边长在同侧作等边和等边，连接．若，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】/ 【分析】此题考查了二次函数的应用、等边三角形的性质，过作于，过作于，根据等边三角形的性质求出，设，则，结合解直角三角形求出，再根据二次函数的极值求解即可． 【详解】解：过作于，过作于，如图， 和是等边三角形， ，，，， ， 设，则， ，， ，， ，，， ， 当时，四边形面积的最小值为， 故答案为：． 13．如图， 和 都是等腰直角三角形， ，反比例函数 的图象经过点 ，则 　 　． 【答案】3 【分析】设OD＝a，BC＝b，则点A的坐标为（-a，a），点B的坐标为（-a-b，a﹣b），利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出a2﹣b2＝6，再由三角形的面积公式可得出. 【详解】解：设OD＝a，BC＝b， ∵△OAD和△BAC都是等腰直角三角形 ∴ AD=OD=a，AC=BC=b ∴点A的坐标为（-a，a），点B的坐标为（-a-b，a﹣b）． ∵反比例函数 y= 在第一象限的图象经过点B， ∴（-a-b）（a﹣b）＝-6， 即a2﹣b2＝6， ∴S△AOD−S△ABC===， 故答案为：3． 14．抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，P点为该图象在第一象限内的一点，过点P作直线的平行线，交x轴于点M，若点P从点C出发，沿着抛物线运动到点B，则点M经过的路程为 【答案】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点、求一次函数自变量值，二次函数，待定系数法求一次函数解析式，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据题意，可以先求出点的坐标，从而可以得到直线的解析式，再根据，点在抛物线上，可以写出点的坐标和对应的直线的解析式，再根据题意，可以得到点横坐标的最大值，从而可以得到点经过的路程． 【详解】解：如图所示， ∵二次函数， ∴当时，当时，， ∴点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 设直线的函数解析式为， ， 即直线的函数解析式为， ∵，点在抛物线上且在第一象限， ∴设点的坐标为， 设直线的解析式为， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令且， 解得， 此时直线的解析式为，当时， ∴点横坐标最大值是， ∴点经过的路程为：， 故答案为：． 三、解答题（本题共9小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15．如图，已知反比例函数y= 的图象经过点A（4，m），AB⊥x轴，且△AOB的面积为2． （1）求k和m的值； （2）若点C（x，y）也在反比例函数y= 的图象上，当﹣3≤x≤﹣1时，求函数值y的取值范围． 【答案】（1）k=4，m=1；（2）﹣4≤y≤﹣ 【分析】（1）根据反比例函数系数k的几何意义先得到k的值，然后把点A的坐标代入反比例函数解析式，可求出k的值；（2）先分别求出x=﹣3和﹣1时y的值，再根据反比例函数的性质求解． 【详解】（1）解：∵△AOB的面积为2， ∴k=4， ∴反比例函数解析式为y= ， ∵A（4，m）， ∴m= =1 （2）解：∵当x=﹣3时，y=﹣ ； 当x=﹣1时，y=﹣4， 又∵反比例函数y= 在x＜0时，y随x的增大而减小， ∴当﹣3≤x≤﹣1时，y的取值范围为﹣4≤y≤﹣ 16．把二次函数的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数的图象． (1)试确定a、h、k的值； (2)指出二次函数的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性． 【答案】(1)，， (2)开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 【分析】本题考查了二次函数的几何变换，二次函数的性质，熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减是解题的关键． （1）根据平移规律“上加下减，左加右减”，可得答案； （2）根据二次函数的图象性质，可得答案． 【详解】（1）解：二次函数的图象的顶点坐标为，把点先向右平移2个单位，再向下平移4个单位得到点的坐标为， 所以原二次函数的解析式为， 所以，，； （2）解：二次函数，即 ∵， ∴图象开口向下， 二次函数的图象的对称轴为直线，顶点坐标为，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，在对称轴右侧，y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大． 17．已知，点在二次函数 的图象上． (1)当时，求此时二次函数的表达式； (2)若时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质： （1）根据题意可得二次函数的对称轴为直线，从而得到，即可求解； （2）把点代入，可得到关于m的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在二次函数 的图象上，且， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵点在二次函数 的图象上，且， ∴ 解得：． 18．广东省全力实施“百县千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧美．某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔枝，销往国外．若按每吨5万元出售，平均每天可售出100吨．市场调查反映：如果每吨降价1万元，每天销售量相应增加50吨．该果商如何定价才能使每天的“利润”或“销售收入”最大？并求出其最大值．（题中“元”为人民币） 【答案】当定价为4.5万元每吨时，利润最大，最大值为312.5万元 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，设每吨降价x万元，每天的利润为w万元，根据利润每吨的利润销售量列出w关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】解：设每吨降价x万元，每天的利润为w万元， 由题意得， ， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值为， ∴， 答：当定价为万元每吨时，利润最大，最大值为万元． 19．在平面直角坐标系xOy中，直线y＝2x﹣6与双曲线y= （k≠0）的一个交点为A（m，2），与x轴交于点B，与y轴交于点C． （1）求点B的坐标及k的值； （2）若点P在x轴上，且△APC的面积为16，求点P的坐标． 【答案】（1）（3，0），k＝8； （2）P1（﹣1，0），P2（7，0） 【分析】（1）把A（m，2）代入y＝2x﹣6，即可求出m，然后把A代入线y= ，即可求出k；通过一次函数y＝2x﹣6，令y＝0，即可求出B点； （2）过点A作AM⊥x轴于点M，通过三角形的面积计算，即可求出PB，最后算出P点坐标． 【详解】（1）解：令y＝0，则2x﹣6＝0，可得x＝3， ∴直线y＝2x﹣6与x轴交点B的坐标为 将A（m，2），代入y＝2x﹣6，得m＝4， 将A（4，2），代入y= ，得 （2）解：过点A作AM⊥x轴于点M， ∵A（4，2），C（0，﹣6）， ∴OC＝6，AM＝2， ∵ ， ∵S△APC＝16， ∴PB＝4， ∴P1（﹣1，0），P2（7，0） 20．如图，抛物线经过，两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线解析式； (2)点P是抛物线对称轴上一点，当的周长最小时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查的是二次函数的综合应用，一次函数的图象与性质，轴对称的性质等知识点，依据轴对称路径最短问题确定出点P的位置是解题的关键． （1）根据待定系数法即可求得； （2）连接交抛物线的对称轴于点P，连接，依据轴对称图形的性质可得到，则的周长，故当点在一条直线上时，的周长最小值，然后求得直线的解析式，从而可得到点P的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过两点， ∴， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）∵当时，， ∴， ∵点P是抛物线对称轴上一点， ∴， ∴． ∴当点在一条直线上时，有最小值，即的长度． 如图，连接交抛物线的对称轴于点P， 又∵为定值， ∴此时，的周长最小． 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 将代入得：， ∴点P的坐标为， 即当的周长最小时，点P的坐标为． 21．图1是一张带智能发球机的乒乓球桌，它可以自定义设置球的落点、速度、弧度及旋转方式，能更真实地模拟实战．如图2，发球机从中线的端点O的正上方处的点A发球，球呈抛物线在正上方飞行，当飞行的水平距离为时，达到最高点M，其高度为．以O为原点，所在直线分别为x轴，y轴建立平面直角坐标系，如图2、图3所示． (1)求图2中抛物线的表达式及落球点E到原点O之间的距离． (2)图3是为了更好地模拟与人对打，将出球方向改变，调整成两跳球的方式，即球从点A落到点D，再反弹过网落下，反弹后球呈抛物线飞行，且形状与图2中的抛物线形状一致，但反弹后的最高高度变为．若最后球也落在点E，则球弹跳的跨度的长为多少？ 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查的是二次函数综合运用，关键是弄清楚题意，明确变量的代表的实际意义． （1）由待定系数法即可求解，再令，即可求解； （2）由，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意可知点A、M的坐标分别为、， 设抛物线的表达式为， 将点A的坐标代入上式得，解得， 则抛物线的表达式为， 令， 解得（舍去）或，即． （2）解：设点，则点， 设抛物线的表达式为， 则， 解得，（不符合题意，舍去）， 即，则跨度DE的长为． 22.已知：如图1，抛物线与坐标轴分别交于点A，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1) 求抛物线解析式； (2) 当点P运动到什么位置时，的面积最大？ (3) 过点P作x轴的垂线，交线段于点D，再过点P作轴交抛物线于点E，连接， 请问是否存在点P使为等腰直角三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据题意得点在抛物线上，使用待定系数法求解函数解析式即可； （2）根据点A和B求得直线解析式，设点P的横坐标并表示出点P和点F， 求出的长，将分成与的面积和， 根据三角形面积公式表示为函数求最值即可； （3）设点P横坐标，表示出点P和点D及的长， 根据对称性可知点P和点E关于抛物线对称轴对称，用中点坐标公式可得点D横坐标， 进而求得的长．由于要成为等腰直角三角形，，， 分类讨论t的范围，即可求得点P坐标． 【详解】（1）解：抛物线过点，则 ，解得∶ 故抛物线解析式为． （2）过点P作轴于点H，交于点F，如图， 当时，， 则， 设直线解析式为， ∵过点A和B，则，， ∴直线解析式为， ∵点P在线段上方的抛物线上，设点P的横坐标为t， ∴，， 则， ， 故点，的面积最大 （3）设， 则，那么， ∵抛物线， ∴对称轴为直线， ∵轴交抛物线于点E， ∴，且， ∴，   ． 则， ∵为等腰直角三角形， ∴，， 当时，， 有 解得∶(舍去)，， 则点， 当时， 有，解得，(舍去)， 则点， 故点或时，为等腰直角三角形． 23．二次函数（c为常数，且）的图象过点． (1) 求此二次函数的表达式． (2) 若过点与x轴平行的直线交此函数的图象于B，C，且该直线到x轴的距离等于线段的长， 求t的值． （3）若点，都在此函数的图象上，其中，且满足，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，一元二次方程根与系数的关系，解一元二次不等式等知识，解题的关键是能准确进行计算． （1）由二次函数的图象过点，得，解得（舍去）或，即可得二次函数的表达式为； （2）在中，令得，故，，而直线到x轴的距离等于线段的长，可得，即，解得或； （3）求出，根据，得，即可解得m的范围． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象过点，则： ， 解得（舍去）或， ∴二次函数的表达式为； （2）解：在中，令得， 整理得：， ∴，， ∵直线到x轴的距离等于线段的长， ∴， ∴， ∴， 即， 解得或； （3）解：∵点，都在函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $