20 函数中的构造问题专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数构造问题，以分层训练系统构建“导数性质→辅助函数构造→单调性应用”的解题逻辑链，强化数学思维与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |A级基础巩固|12题|构造函数法（如g(x)=e^x f(x)、x f(x)等）|从导数条件抽象函数模型，通过构造新函数判断单调性解决比较大小、解不等式问题| |B级能力提升|4题|多变量构造（如lnx/x型）、综合构造|深化构造技巧，结合函数零点、最值分析复杂函数关系，提升推理与模型意识|

分层练20函数中的构造问题 【A级基础巩固】 1.设f()是定义在R上的函数，其导函数为f'(,满足()f(x)<0,若 a=2f(2),b=f(4),则() A.a<b B.a>b C.a=b D.,b的大小无法判断 2.已知定义在R上的函数（的导函数为f'(),对任意x∈R,满足 f(x)+∫'(x)<0,则下列结论一定正确的是() A.f(2)>f(3) B.ef(2)<ef(3) c.ef(2)>e2f3) D.ef(2)<ef(3) 3. E果i数.6任食o引，了er+0o>0, 列结论正确的是() Ar}r .r ersr） 得 4. 函数f()的定义域为R,f-)=2,对任意x∈R,f'()>2,则f()>2x+4 的解集为() A（1, B.（l,+o) c.(-0,-1) D.(-o,+o) 5.若y=(x)在R上可导，且满足不等式()+()>0恒成立，对于任意正数 a,b,若a<b,则下列一定正确的是() Aaf(b)<bf(a)B.bf(a)<af(b)caf(a)<bf(b)bf(b)<af(a) 6.已知a>b>0,且aa=b,则() A.0<b<1 B.0<a<1 C.l<b<e D.l<a<e 7.已知定义域为R的函数f()的导函数为()，且f'(x)>f(),若实数a>0, 则下列不等式恒成立的是() A.af(na)≥ef(a-1) B.af(Ina)<e-f(a-1) c.ef(na)≥af(a-l) D.ef(Ina)saf(a-1) 8.己知a=e,b=0.01,c=lnl.01,则() A.c>a>b B.b>a>c C.a>b>c D.b>c>a 9.已知定义在R上的函数()满足(x)+f()>0,且f(0)=1,则()>1的解 集为一。 10.已知函数f(的定义域是(0，+0），其导函数为f'(x),且满足 f(+f)>0,则f(@)_0慎“>”或<”) f()_f(s>e9 11.已知函数f()的定义域为(0，+o),当>x>0时，为x七x,若 f(2)=e+L,则nf(mx)hx>2的解集为一 ln(25 12.若a=ln3,b=e1,t 25 ,则实数a,b,c的大小关系为一 【B级能力提升】 13.已知a=2,b=5,c=7,则() A.a>b>c B.a>c>b C.b>axc D.c>b>a 14.已知a<5,且ae3=5e°，b<4且be=4e,c<3且ce3-3e,则() A.c<b<a B.b<c<a C.a<c<b D.a<b<c 15.已知正数x,y,2满足血y=沦=zx,则x,y,2的大小关系为一 16.已知a=e1-l,b=sin0.1,c=lnl.1,则a,b,c的大小关系为一 参考答案与解析 1.A t段8) g-四0 所以画数8()在(0，+0）上单调道增， f(4)、f(2) 即8(4)>g(2),所以4> 2 那么f(4)>2f(2),即a<b] 2.A [构造函教8(x)=ef(x)】 则8'(=e[f'()+f(] f(+f'()<0,故8()<0 因此可得8()在R上单调递减， 由于2<3，故8(2)>8(3) ef(2)>ef(3)无法荆断cD的正误] 3.C [8()s cosx, ()co)in cosx π 对于 野以高数g国为0相这2 π，π<π 因为643 e &目 即 6 4 3 V3 V2 所以2 2 2 所以 rfAr得 4.B [f()>2x+4.·f(x)-2x-4>0 令8(x)=f(x)-2x-4 g(x)=f'(x)-2>0 g()为R上的增函数， 又“8()=f(-H)-2x(-1)-4=0 由8()>8(-)=0得x>-1] 5.C [令8()()，：f(+f)>0.g()>0 ∴g()=f()+()>0,南g(d)左R上单调造增，a,be0,+切)且a<b, ∴g(a<g(),即财(a)fb),c正确 无法判断A,B的正误] 6.C [a=b两边同取自然对数得 InaInb a b, f(x)=I f)=1- 设 x,由 令f'(x)>0 解得0<x<e, 令f()<0,解得x>e, ∴f(四在0，e)上单调道增，在e,+切）上单调递减， :f()在x=e处取得最大值 (@)-1 在(0，)内，函教f()有唯一的零点x=1, 在e,+o)内，f()>0, 又'a>b>0且f(a)=f(b)>0 1<b<e<a,故选C] 7.D ts) g间-/因0,8回为9A款 e,则 et 今Aa)=a-a+1a)=l2a 。则 当0<a<1时，h(a>0,h(a)单调逢增， 当a>l时，h(a)<0,h(a）单调运减， ∴.h(a)≤h()=0.lna≤a-l, f(Ina)sf(a-1) :.g(Ina)sg(a-1) ea-1 即ef(na)≤af(a-l),D正确； 无法判断A,B的正误] 8.C [由指数函数的性质得 >0.01=6 a=e>e=1 设f(x)=e*-1-x 则f(=e-120在[0，+w)上恒成立， 因此f(四在[0，+o)上足增画数。 f(0.01)）>f(0),即e1-1-0.01>0, 即e01>1.01, .0.01>lnl.01=c,.a>b>c] 9(1,+o) [令8（四=矿(），则8'()=矿()+/()>0，则8(：在R上单拥运增，因为f0=1 ,则80=1，则原不等式8()>80，故x>1山 10.> [令8(x)=f(x)lnx 可袋8')=nrf()+f) Inx-f(x)+.f(x)>0 因为 可得8(>0,8（四在0，+0）上单拥道增， 又由80=0，所以8(e)>80, 即f(e)lne>0,即f(e)>0] n.(1e) f_fs、e-e5 [由x， 得f(:)-xe>,f(3)-x,e 令g()=f()-xe,剥g()>g() 又6>x>0 ∴g(:)在(0，+∞)上单调递减 Inxf (Inx)-xlnx >2 g(2)=2f(2)-2e2=2 ·g(nx)>g(2).0<lnr<2, 得l<x<e2] 12.b>a>c ()-Inr g/()人ar x2 故当t∈(0，e),f'(x)>0, 当x∈(e,+∞）f'(x)<0 () 而 b-e'-me-f(e)c=- e g同 且e<3<25,故b>a>cj 13.A na=In2_In4 [法一由于 24， Inb=Ins Inc=In7 5 f(x)=In 可构造函数 "(x)=1-nx 因为 x2 所以当x∈(e,+∞)时，f'()<0 f(x)在(e,+0)上单调道减 故f(4)>f(5)>f() 即lna>lnb>lnc,a>b>c Ina=In2 In4-0 法二由于 -24-0, Inb=In5-0 Inc=In7-0 5-0 7-0 起lna,h6,lnc分别秀作高数y=lnr图象上的点4血4)，(5，n5),(7,h7)与原点连线的针 率 通过作图直接比较斜率大小得到lna>lnb>lhc,所以a>b>c. 法三因为a=V2=32,b=5=925,所以a>b 又因为b=5=5,c=7=7厅 而57=25×25×25×5>50×50×25>49×49×7=7，所以b>c.因此，a>b>C] 14.D [三个等式可变形为5a,4b,3c ae=5e,a<5,.a>0, 同理b>0，c>0. I(x)= 构造函数 x,x>0, ()-(-1) 则 x2 当0<x<1时，f(:<0,f(四为减通教 当x>1时，∫(，)>0，f(为增函数 “f(5)=f(a）,而0<a<5,故0<a<1 同理，0<b<1,0<c<1,f(4)=f(b),f(3)=f(c) :f(5)>f(4)>f(3) .f(a)>f(b)>f(c)0<a<b<c<1] 15.2<y<x [由y=e=2x得 y=2x,则2=y,得y=e 所以ee=zx，所以2， 令f(e)=e-zz>0,则f(2)=e-1>0,所以品载f(2在(0，+w）上单调运增， 所以f(2)>f(0)=e°-0=1 ty=e 所以e>2,即y>2,所以 -e -e-e_ce-,0 所以>y 综上，2<y<x] 16.c<b<a [令f(x)=e-1-sinr ∴f'(x)=e-cosx 当x>0时，e>1,.e-cosx>0, f(x)>0f()在(0，+o)上单调递增， ∴f(0.1)>f(0）,即e1-1-sin0.1>0, 即a>b, 令8(x)=ln(x+1)-sinr g()=1 cosr=1-(+1cosx +1 x+1 _1-xcosx-cosx x+1 令h()=1-xCOS--cosx h'(x)=(x+1)sinx-cosx 令p(x)=(c+l)小sinx-cosx ..o'(x)=2sinx+(x+1)cosx 0<x< 当 6时，p(x)>0 :()在6)上单拥递增， h(x)在(0,0.1)上单调递减， .h(x)<h(0)=0∴g'(x)<0 ∴g(d)在(0,0.)上单调递减， ∴g(0.1)<g(0)=0,即lnl.1-sin0.1<0, ∴.c<b,综上，c<b<a]