2027届高考数学一轮复习----3.4构造函数的5大模型

**基本信息** 以“构造函数5大模型”为核心，通过题型分类构建“模型总结-题型应用-典例精讲-精练巩固”的系统性训练体系，培养数学思维与模型观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |原函数加法型|2例+2练|基于导函数与原函数关系构造和函数|从导数性质到函数构造，建立“已知f'(x)+f(x)”模型| |原函数相乘型|2例+2练|构造含指数/幂函数的乘积函数|结合函数奇偶性，推导“xf'(x)+f(x)”结构模型| |原函数相除型|2例+2练|构造商函数分析单调性|通过“f'(x)g(x)-f(x)g'(x)”结构提炼除法模型| |与三角函数组合型|2例+2练|构造含三角函数的复合函数|融合三角导数公式，建立跨知识模块构造逻辑| |看题干结构型|2例+2练|根据代数式特征匹配构造模型|强化结构识别能力，实现模型迁移应用|

3.4 构造函数的5大模型 【必备知识点】 1. 对于 2. 对于0），构造 3. 对于，构造 4. ，构造 5. ，构造 6. ，构造 7. 8. ，构造 9. 对于，构造 10. 对于 11. 对于 12. 对，构造 13. 对于，构造 14. 对于，构造 【题型一 原函数加法型】 【题型精讲】 例1．已知是定义在上的奇函数，是函数的导函数且在上，若，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，由已知得在上的奇函数且单调递减，即可将不等式变形为，利用函数的单调性求解即可. 【详解】设，则 又上，，则，即函数在上单调递减， 又是定义在上的奇函数，则函数为上的奇函数，故在上单调递减， 又 ，即 可得：，解得： 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，解题的关键是根据题目条件构造与之对应的函数，再利用函数求导，结合函数的单调性来转化解决问题，考查学生的转化能力与运算求解能力，属于一般题. 例2．已知定义域为的函数满足，，其中为导函数，则满足不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设则故在上单调增，且即可求解不等式. 【详解】设，则，故在上单调增， 又 所以的解为 ，则不等式的解集 故答案为：A 【题型精练】 1．已知定义在上的函数，其导函数为，，，则不等式的解集为______. 【答案】 【分析】因为的导函数为，故考虑构造函数，利用导数分析得出函数在上为增函数，分别在条件下化简不等式，并结合函数的单调性解不等式可得结论. 【详解】构造函数，则， 所以函数在上为增函数， 且. 显然当时，不等式不成立， 故我们只需讨论时，不等式的解集即可； ①当时，由可得， 即， 即，可得，解得，此时不存在； ②当时，由可得， 即. 即，可得，解得，此时. 综上所述，不等式的解集为. 故答案为：. 【点睛】思路点睛：利用导数不等式求解函数不等式，思路如下： （1）根据导数不等式的结构构造原函数； （2）分析原函数的奇偶性，并利用导数分析出函数的单调性； （3）将所求不等式变形为或（偶函数）； （4）利用函数的单调性可得出关于、的不等式进行求解. 2．已知定义在R上的函数满足，且的导函数满足，则不等式的解集为___________ 【答案】 【分析】令，结合导数可得函数在R上单调递增，进而由将原不等式等价于，进而结合单调性求解即可. 【详解】令，则， 所以函数在R上单调递增， 因为， 故原不等式等价于，所以， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 【题型二 原函数相乘型】 【题型精讲】 例1．设函数的定义域为，是函数的导函数，，则下列不等关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将给定不等式变形，构造函数，利用函数单调性逐项判断作答. 【详解】函数的定义域为，则， 令，，则，即在上单调递增， 对于A，，即，A正确； 对于B，，即，B不正确； 对于C，，即，C不正确； 对于D，，即，有，D不正确. 故选：A 例2．定义在R上的偶函数的导函数为，且当时，．则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，利用导数判断出函数的单调性即可比较. 【详解】令，因为是偶函数，所以为偶函数， 当时，， 所以在单调递减，在单调递增， 则，即，则，故A错误； ，即，故B错误； ，即，故C错误； ，即，则，故D正确. 故选：D. 【题型精练】 1．定义在上的函数满足，，则不等式(为自然对数的底数)的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，由已知得的单调性，不等式化为，由单调性得结论． 【详解】设，因为， 所以，所以是上的增函数， 不等式可化为，即，所以． 故选：A． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数解不等式，解题关键是构造新函数，由导数确定单调性，原不等式化为，然后由单调性得结论． 2．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】构造函数，求导并利用得到在上是减函数，利用单调性可解得结果. 【详解】令，则， ∵，，∴，即， ∴在上是减函数， ∴可化为：   ， ∴，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 【点睛】关键点点睛：构造函数，求导并利用得到在上是减函数是解题关键. 【题型三 原函数相除型】 例1．定义在上的函数的导函数为，若对任意实数，有，且为奇函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据为奇函数，即可求出，令，根据，即可判断出的单调性，再根据，即可求出，则的解集等价于的解集，求解即可. 【详解】解：为奇函数， ， 即， 令， ， 则， 在上单调递减， ， 的解集等价于的解集， 即的解集为. 故选：C． 例2．设函数是定义在上的奇函数，为其导函数.当时，，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】当时，构造函数，求导结合已知得其单调性，进而可得当时，，当时，，结合奇函数的性质即可进一步得解. 【详解】当时，令，则，所以在上单调递增， 当时，，即， 当时，，即， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以， 当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：关键是构造函数，利用导数得出单调性，从而即可顺利得解. 【题型精练】 1．已知函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设函数，根据题意可判断在上单调递减，再求出，不等式整理得，所以，利用单调性解抽象不等式即可. 【详解】设函数， 所以，因为， 所以，即，所以在上单调递减，因为， 所以，因为，整理得， 所以，因为在上单调递减，所以. 故选：C. 【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效. 2．在上的导函数为，，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，根据已知可得，由此可知在上单调递增，通过可推导得到结果. 【详解】令，则， ，，在上单调递增， ，即，. 故选：A. 【题型四 与三角函数组合型】 【题型精讲】 例1．已知奇函数的定义域为，其导函数是．当时，，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造，结合已知条件利用导数判断在上的单调性，结合奇偶性的定义判断的奇偶性，从而求出在上的单调性，分和两种情况，对进行变形，结合的单调性，从而求出解集. 【详解】解：设，∴， ∵当时，，∴， ∴在上单调递减，∵是定义在上的奇函数， 故，∴是定义在上的偶函数． ∴在上单调递增．①当时，， 则不等式可转化为， 即，∴，故． ②当时，， 则不等式可转化为， 即，∴，故． 不等式的解集为． 故选：D． 【点睛】关键点睛: 本题的关键是构造出，结合奇偶性和已知条件求出所构造函数的单调性；本题第二个关键是对所解不等式进行变形. 例2．定义域为的函数满足，其导函数为，当时，有成立，则关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造，结合导数探讨函数的性质，将所解不等式转化为，由单调性即可得解． 【详解】由且，得是奇函数， 令，当时，，则在是减函数， 显然函数是奇函数，则在是递减，从而在上是减函数， 不等式化为，即，解得， 所以不等式的解集为. 故选：B 【题型精练】 1．奇函数定义域为，其导函数是.当时，有，则关于的不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则，函数是定义域当(内的单调递减函数，由于关于的不等式可化为，即，则；而当时，，则关于的不等式可化为，即，也即可得，即．所以原不等式的解集，应选答案D． 点睛：解答本题的关键在于如何将不等式进行等价转化，这不仅需要有一定的知识作支撑，同时还要具有较高思维能力和观察能力．求解时，先通过观察构造函数，再对其进行求导，运用题设确定其单调递减，然后将原不等式进行等价转化，从而使得问题巧妙获解． 2．已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，将原不等式转化为，结合的单调性即可得解. 【详解】当时，，则， 令，， 当时， 所以函数在上单调递增， 因为函数是定义在上的奇函数， 所以，即是上的偶函数， 所以函数在上单调递减，又， 不等式，即， 即，所以， 由解得，所以由，即，解得， 综上，所以不等式的解集为， 故选：D 【题型五 看题干结构型】 【题型精讲】 例1．下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，其中，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性可判断各选项的正误. 【详解】构造函数，其中，则， 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 对于A选项，，则，即，所以，，A错误； 对于B选项，，则，即，所以，B正确； 对于C选项，，则，即， 所以，，所以，，C错误； 对于D选项，，则，即，所以，，D错误. 故选：B. 例2．已知实数a，b，，e为自然对数的底数，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题得得，，，构造函数，利用导数求出函数的单调性即得解. 【详解】解：由，，得，，， 构造函数，求导得，令，得． 当时，，单调递减；当时，，单调递增． 因为，所以，所以， 又因为，在上单调递减，所以. 故选：A． 【题型精练】 1．设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造函数， 导数判断其单调性，由此确定的大小. 【详解】方法一：构造法 设，因为， 当时，，当时， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 所以，所以，故，即， 所以，所以，故，所以， 故， 设，则, 令，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， 又， 所以当时，， 所以当时，，函数单调递增， 所以，即，所以 故选：C. 方法二：比较法 解： ， ， ， ① ， 令 则 ， 故 在 上单调递减， 可得 ，即 ，所以 ； ② ， 令 则 ， 令 ，所以 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ， 所以 在 上单调递增，可得 ，即 ，所以 故 2．下列不等式正确的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】构造函数，利用导数研究其单调性，通过单调性即可比较各个选项的数的大小． 【详解】令，则， 则当0<x<e时，，单调递增； 当时，，单调递减； 则， 对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，∵，故根据f(x)的单调性可知， 故D错误． 故选：B﹒ 学科网（北京）股份有限公司 $3.4构造函数的5大模型 【必备知识点】 1.对于xf(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=x·f(x) 2.对于xf(x)+kf(x)>0(<0),构造g(x)=x·f(x) 3.对于x:f(x)-fx)>0(<0),构造g(x)=fx 4对行xfx刘-对x>0〔<0.构造gx=fX 5.对于f(x)+f(x)>0(<0),构造g(x)=ef(x) 6.对于f(x)+f(x)>0(<0),构造gx)=ea·f(x】 7对于f(x)-f(x)>0(<0,构造gx=fx刘 8.对于f(x)-f(x)>0(<0,构造gx)=fx 9.对于sinx.f(x)+cosx·f(x)>0(<0),构造gx)=f(x)-sinx 10对于sinxF(x)-c0sxfx>0(<0,gx=fx刘 sin x 11.对圩cosx·f(x)-sinx·fx)>0(<0),构造g(x)=f(x)cosx 12.对于cosx·f(x)+sinx:f(x)>0(<0,构造g(x)=fx COSX 13.对于f(x)-f(x)>k(<k),构造gx)=e[f(x)-k] 14.对于f(xnx+fx>0(<0,构造g(x)=-Inx-F(x) X 【题型一原函数加法型】 【题型精讲】 例1，已知①是定义在R上的奇函数， f'(x) f(x) [0,+o） 是函数 的导函数且在 上 f(x)<1,若f(2020-m)-f(m)≥2020-2m,则实数m的取值范围为() A.H0101010j B.1010+w) c.（0-1010] D.（-0,-1010]U[1010,+o) 2.已定义城为R的题数女满付)，+4>0，其中了为四号 函数，则满足不等式f()≥1-2x的解集为() a.B）c.片.( 【题型精练】 1.已知定义在R上的函数 (x) f'(x)f'(x)>2f(2)=4 ，其导函数为 则不等式 xf(x-1)<2x2-2x 的解集为一 f(x)f(2)=20f(x)」 '(x) 2.已知定义在R上的函数满足 ，且的导函数 满足 f'(x)>6x2+2 f(x)>2x3+2x ，则不等式 的解集为】 【题型二原函数相乘型】 【题型精讲】 (x) (0,+o）f'(x) f(x) f(x)+(xInx)f(x)>0 例1.设函数 的定义域 是函数 的导函数， 则下列不等关系正确的是() A.fg,3>feB.③n写0c.>29D.<0 例2.定义在R上的偶函数()的导函数为/'()，且当x>0时，寸'()+2f()<0.则 () f@>f2) A.4 e2 B.9f(3)>f(1) C.4f(-2)<9f(-3) 。. e2 【题型精练】 1.定义在R上的西数满起>-了)，0)=6，则不等式1：(e为白 然对数的底数)的解集为（) (0,+0) c.（,0u(6+w) D.（，0) 2.设函数f(x)是定义在←0,0)上的可导函数，其导函数为(0，且有 2fx)+x·f()>x2,则不等式x+2021·fx+202)-4f-2)>0的解集为() A.(-0,-2023) B.（-00,-2) C.(-2,0) D.(-2022,0) 【题型三原函数相除型】 【题型精讲】 f(x) f'(x) 例1.定义在上的函数 f(x)>f'(x 的导函数为 ,若对任意实数，有 ,且 f(x)+2022 f(x)+2022e*<0 为奇函数，则不等 的解集是（) A.（,0) （-0,2022) (0,+0) (2022,+0) B c. 0. f(x) R f'(x) x>0 例2.设函数是定义在上的奇函数， 为其导函数当时， xf'(x)-f(x)>0f()=0 f(x)<0 ，则不等式 的解集为（) A.（-o,-1)U(1,+o) B.（-1,0)U(1,+oo) c.（←o-u@,1) D.10U(@,1) 【题型精练】 f(x) ，若对任意的∈R f'"(x) f()>f'(x)+2 1.已知函数的导函数为 “，都有 且 f()=2022 (x)-2020e1<2 ,则不等式 的解集为() A.(0,+o) B.0. C.(1,+o） D.(-o,1) 2.四在0+网） f'(x)f'(x)>2f(x) 在上的导函数为 ,则下列不等式成立的是（) A.2021f(2022)>2022f(2021) B.2021f(2022)<2022f(2021) C.2021f(2022)>2022f(2021) D.2021f(2022)<2022f(2021) 【题型四与三角函数组合型】 【题型精讲】 例1.已知奇函数的定义域为受00引，其号函数是了，当*e0)时， n-fcs<0,则关于的不等式u2r君n的解装为【) A.（-og e.（5 c.（o .（(8 例2，定义域为2产的函数/)满起/)+-=0，其号函数为.当0≤x<号 时，有了esx+fsnx<0成立，则联于的不等式/)<5/孕cos*的解集为 () A.←7孕U经 . c.(←oUo孕 D.(←年0U(牙2 【题型精练】 f(x) (-元，0)u(0,π 1.奇函数定义域为 ）,其姆函数足 当0<x<时，有 f()sinr-fosx<0,则关于x的不等式fk2/日 的解集为 A.(0B.-(经0c.(-0u@D.(-0u 4 2.已知数是定义在受引上的奇函数当0引时，+付am*>0. 则不等式osx++血/(-小0的解集为() 【题型五看题干结构型】 【题型精讲】 例1.下列结论正确的是（) A.π<elnm B.π2>2elnm C.e2ln2π>4π D.π2<elnm c∈(0,1) 例2.已知实数a,b, e为自然对数的底数，且e=2e°6e-3e 2c=eln2,则() A.b<a<c B.a<b<c C.b<c<a D.c<a<b 【题型精练】 1.设a=0.1e,b= g'c=-ln0.9 则() A.a<b<c B.c<b<a C.c<a<b D.a<c<b 2.下列不等式正确的是() ln2、ln4 A.2>4 2n3>1n2 B.3 C.eln10>10 D.26>6