第27章 二次函数（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材沪教版五四制九年级上册

**基本信息** 新教材沪教版五四制第27章二次函数培优卷，覆盖定义、性质、图像及几何综合、实际应用，梯度合理，适配单元复习，助力提升数学抽象与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|二次函数定义、图像性质、符号判断|结合菱形（第7题）考查几何直观，体现数学眼光| |填空题|6/18|平移、最值、点坐标关系|以刹车距离（第14题）关联实际，培养应用意识| |解答题|9/72|解析式求解、几何综合、实际建模|无人机轨迹（第24题）融合建模与推理，发展数学思维与语言|

第27章 二次函数·培优卷 【新教材沪教版五四制】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 【详解】解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据解析式确定抛物线的开口方向和对称轴，再结合二次函数的性质即可求解． 【详解】解：∵函数 中，二次项系数 ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 对于开口向下的二次函数，在对称轴右侧，函数值随的增大而减小 ∴当函数值随的增大而减小时，的取值范围是． 3．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据二次函数的图象与性质，分别通过开口方向、对称轴位置、与y轴交点位置判断a、b、c的符号，从而得到正确选项． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向上， ∴， ∵对称轴在y轴左侧，二次函数对称轴为直线， ∴， ∴， ∵二次函数图象与y轴交于负半轴，当时，， ∴， 综上，，，，故选项A符合题意． 4．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了求抛物线解析式和抛物线图象的性质，因为点和点在抛物线上，所以将这两个点的坐标代入抛物线解析式，得到关于a、b的方程组，可求出a、b的值，确定抛物线的具体解析式，然后令抛物线解析式中的，解一元二次方程得到x的两个解，得出点A的横坐标．因为A、B都在x轴上，即可计算的长． 【详解】解：把已知点、代入， 得方程组： ，解得， 因此抛物线解析式为． 令，解方程， 因式分解得，得根和， 因此． ∵A、B都在x轴上， ∴． 故选： D． 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程解的关系． 将方程转化为，方程的根即为二次函数中函数值为3时对应的值，通过表格查找对应即可求解． 【详解】解：∵方程可变形为， ∴该方程的根是二次函数的函数值为3时对应的值， 由表格数据可知，当时，；当时，， ∴方程的根是，． 故选：B． 6．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知该抛物线的对称轴和开口方向，并通过比较两点的纵坐标可知两点离对称轴的远近关系，由此可列不等式，求出的范围，进而选出符合条件的选项． 【详解】解：当时，的取值范围是， 抛物线开口向下，对称轴为直线， ， 点较点更靠近对称轴，即， 整理得， 当时，即，有，解得， 当时，即，有，解得， 综上，或， 只有D选项符合题意． 7．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质求得点A的横坐标是解题的关键．连接交于点D，则由菱形性质知，从而得；由知，点纵坐标为3，由此可求得A点横坐标，即得，从而可得，由菱形面积公式即可求得其面积． 【详解】解：如图，连接交于点D； ∵四边形是菱形， ∴，， ∴； ∵， ∴点纵坐标为3； ∵点A在抛物线上， ∴， 解得：， 即A点横坐标为3， 即， ∴， ∴菱形面积为． 8．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）二次函数和二次函数的图象有一个交点，过点的直线与二次函数和二次函数的图象分别交于点、，线段的长（   ） A．与、的取值有关 B．与、的取值有关 C．与、的取值有关 D．与、、的取值均无关 【答案】D 【分析】先联立两个二次函数求出交点的横坐标，再分别联立直线与两个二次函数，利用根与系数的关系得到点、的横坐标与点横坐标的关系，进而求出横、纵坐标的差值，最后通过两点间距离公式计算线段的长度，判断其为定值，与、、的取值均无关． 【详解】解：设点，，的横坐标分别为，，，点，的纵坐标分别为，， ∵二次函数和二次函数的图象有一个交点， ∴令可得， 整理得，解得； ∵直线与二次函数的图象交于点， ∴令，可得， 整理得，该方程的两个根分别为与， 则，即； ∵直线与二次函数的图象交于点， ∴令，可得， 整理得，该方程的两个根分别为与， 则，即， ∴； ∵点、在直线上， ∴， ∴． 故选：D． 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，过点作轴于点，过点作轴于点，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得进行求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点．如图所示： 点，的横坐标分别为，，已知正方形的顶点，在二次函数的图象上， ， ． 四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ， ， ∵点，在轴的同侧， ， ， 故选：B． 10．（25-26九年级上·四川眉山·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： 图象与坐标轴的交点为，，； 当时，函数取得最大值； 当或时，函数值y随x值的增大而增大； 若在函数图象上，则也在函数图象上； 当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是． 其中正确的结论有（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，利用数形结合的思想是解题的关键． 对于，求出函数与坐标轴的交点坐标即可判断； 对于和，根据函数图象判断即可； 对于，根据函数的对称轴即可判断； 对于由图可知，当直线与函数G在之间或相切时，恰好有三个交点，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点，解得此时m的值，再结合图象即可判断． 【详解】解：对于 ， 由得 函数G的图象与y轴的交点为， 由得 因式分解，得， 或， 解得， 函数G的图象与x轴的交点为，， 函数G的图象与坐标轴的交点为，，，故正确； 对于由图象可知，函数无最大值，故错误； 对于 函数G的图象与x轴的交点为，， 结合图象可知，函数图象的对称轴为直线， 当或时，函数值y随x值的增大而增大，故正确； 对于 函数图象的对称轴为直线，， 若在函数图象上，则也在函数图象上，故正确； 对于如图，当直线过点时，直线与函数图象恰好有三个交点， ， ， 直线过点时，直线与函数图象恰好有一个交点， ， ， 当时，直线与函数G的图象有2个交点， 当直线与函数的图象相切时，恰好有三个交点， 令， 整理得，， ， ， 结合图象可知，当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是或，故错误． 综上，正确的有． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 【答案】或 【分析】本题考查图象交点与不等式的解集，掌握数形结合思想是解题的关键．当时的取值范围是一次函数图象在二次函数图象下方对应的自变量的取值范围． 【详解】解：∵一次函数与二次函数交于和两点由函数图象可得， 当或者时，一次函数在二次函数下方，即， ∴或者时，． 故答案为：或． 12．将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 【答案】 【分析】根据抛物线顶点坐标为，然后通过向右平移个单位后，再向下平移个单位进行解答即可． 【详解】解：∵抛物线顶点坐标为， ∴把向右平移个单位后，再向下平移个单位得到， ∴所得抛物线的顶点坐标为． 13．（25-26九年级下·安徽·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 【答案】/ 【详解】解：∵二次函数的解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴开口向上的抛物线上，点离对称轴越远，对应的函数值越大， 分别计算三点到对称轴的距离： 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·河北唐山·期末）汽车刹车后行驶的距离单位：米关于行驶的时间单位：秒的函数关系式是，则汽车刹车后行驶 ______ 米才能停下来． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，利用顶点坐标求解是解题的关键．汽车刹车后速度减为0时停下来，此时行驶的距离达到最大值，因此，本题即求的最大值即可． 【详解】解：． 因为，当时，取得最大值． 故汽车刹车后米停下来． 故答案为：． 15．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知抛物线中，直线，若在直线l下方的抛物线C上，至少存在两个横坐标为整数的点，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数和二次函数的交点问题，不等式的应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．直线 下方的抛物线上至少存在两个横坐标为整数的点，即存在整数满足不等式 ，化简得．结合，可得且 ，即，再根据至少包含两个整数，则，即可得解． 【详解】解：由题意可知，， ， ，， ，即， ，即， 在直线l下方的抛物线C上，至少存在两个横坐标为整数的点， ， ， 若，当为整数，则只有一个整数点，不符合题意； 故答案为：． 16．给定抛物线，其顶点为点，其对称轴交轴于点，现给定一条过点的直线（直线除外）与抛物线交于两点，直线分别交轴于点，则的值为_____． 【答案】16 【分析】先配方求出抛物线的顶点D坐标和对称轴，得到点M坐标，设出过点R的直线l的表达式，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系得到两根和与两根积，再求出直线与x轴的交点P、Q的横坐标，化简计算即可得到结果． 【详解】解：如图所示， ∵抛物线 ∴顶点，对称轴为，对称轴交轴于， ∴， 设过点的直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 联立直线与抛物线的方程得， 整理得， 由根与系数的关系得：，， 设，， 设直线的解析式为， 将，代入得， 解得 ∴直线的解析式为 将代入得，， 设直线与轴交点为，令，得 ∴， 同理可得，设，则． ∵的横坐标为， ∴，， 则 ， ∴的值为16． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)求该函数图象与y轴的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的性质． （1）将二次函数化为顶点式，进而根据顶点式的性质作答即可； （2）将代入解析式求出的值即可求出与y轴的交点坐标． 【详解】（1）解： ， 即顶点坐标为； （2）解：当时，， 即该函数图象与y轴的交点坐标为． 18．（6分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，解题时要熟练掌握解析式的求法、函数的最值及函数图象的交点是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）依据题意，由，进而结合求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数图象与轴交于点，， ∴把，代入解析式得， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，有最大值，为9； 又当时，； 当时，； 所以，当时，． 19．（6分）（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门如图所示，点Q为图中抛物线的顶点，其高（即顶点Q到地面的距离）为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求图中抛物线的函数表达式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使得点A、D在抛物线上，点B、C在上，若光带的长度为6米，求“光带”、的长度之和（即的值）． 【答案】(1) (2)“光带”、的长度之和为9米 【分析】（1）先求出抛物线的顶点，再利用顶点式求解； （2）先根据矩形的性质得出轴，，再利用对称性得出点的横坐标为3，令，求得，从而可得，于是可求得． 【详解】（1）解：∵米， ∴顶点的横坐标为， ∴顶点的坐标为， 设图中抛物线的函数表达式为， 将代入， 得， 解得:， ∴图中抛物线的函数表达式为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴轴，， ∵米， ∴由抛物线的对称性可知：点的横坐标为3， 令，则， ∴， ∴（米）， ∴“光带”、的长度之和为9米． 【点睛】本题考查了把化成顶点式，根据二次函数的对称性求函数值，待定系数法求二次函数解析式，拱桥问题(实际问题与二次函数)，根据矩形的性质求线段长等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 20．（8分）（24-25九年级下·河南郑州·月考）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数与不等式，求一次函数的关系式， 对于（1），将点，点代入顶点式，整理求出解即可； 对于（2），先求出交点B，P的坐标，再根据直线在抛物线上方时自变量的取值范围即为答案； 对于（3），分两种情况：点M在x轴下方时，此时与点P重合可得答案；点M在x轴上方时，先求出点P关于x轴的对称点的坐标，再求出直线的关系式，然后联立直线和抛物线的关系式，求出解即可. 【详解】（1）解：抛物线与轴交于点，点． 设抛物线解析式为 ． 整理，得； （2）解：． 将化为顶点式，得． 点坐标为. 点的坐标为， 不等式的解集为； （3）解：存在． 由抛物线的对称性可知 故当点在x轴下方时，点与点重合，可得点坐标为． 如图所示，作点关于轴的对称点，点P的坐标为， 可得Q点坐标为. 设直线的解析式为． ∵点，， 直线的解析式为． 联立方程组可得 解得（舍）． 将代入， 得． 故的坐标为. 综合以上可得点M的坐标为或． 21．（8分）（25-26九年级下·海南·月考）如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； 【答案】(1) (2)①见解析；②的最大面积为， 【分析】本题考查了二次函数综合问题，涉及待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，面积问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）把A、B、C三点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，，代入解析式得： 解得 所以抛物线的解析式为； （2）解：配方得， ∴点的坐标为， 作轴于点，则，如图1， 所以， 在中，，所以， 所以所以是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点、代入得： 解得 ∴直线的解析式为， ∵，所以， 设点，过点作轴于点，交于点，如图2所示： ∴，则， ∵， ∴， ∵； 当时，的最大面积为， 当时，，所以. 22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 23．（9分）（25-26九年级下·重庆江津·月考）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时 (3)， 【分析】（1）直接利用待定系数法求解即可； （2）过点Q作轴于点D，求出直线的解析式为，得到，设，则，则，即可求解； （3）求出直线的表达式为，将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位，得到，进一步得到，联立上式和直线的表达式得，得到点，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入抛物线得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过点Q作轴于点D，如图： 当时，，即， 设直线的解析式为：， 把，代入得：， 解得： ∴直线的解析式为：， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值为4，此时； （3）解：设直线的表达式为：， 把，代入得：， 解得： ， ∴直线的表达式为：， 将抛物线沿射线方向平移，设抛物线向右平移m个单位，则向上平移m个单位， 则， 当时，， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴， 联立上式和直线的表达式得：， 解得：或（舍去）， ∴点， 当点M在下方时，如图，此时点的位置为， ∵， ∴， 则直线的表达式为：， 联立和新抛物线的表达式得：， 解得：（不符合题意，舍去）或， ∴； 当点M在上方时，令点关于直线的对称点为，作直线交新抛物线于， 由轴对称的性质可得， ∴，即点即为所求，且点和点的中点在直线上，， ∴， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴， 设直线的表达式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的表达式为， 联立和新抛物线的表达式得， 解得：或（不符合题意，）， ∴； 综上所述，，． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，二次函数的平移等知识，掌握相关知识是解题的关键． 24．（10分）（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； (3)在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，即可解出抛物线的解析式； （2）①先根据题意列出抛物线的解析式，然后根据题意，安全距离不少于，因为该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点上方处的点恰好在抛物线，把该点坐标代入的解析式，即可解出的高度； ②求出两无人机飞行路线解析式的交点，并根据图像特点，划出两个自变量范围，继而求出两个范围内的最大值，最后比较两个最大值，就可以求出最大高度差． （3）联立无人机回收飞行轨迹的解析式和回收平台的截面解析式，求出交点，并根据题意得出值． 【详解】（1）解：根据题意可设抛物线的解析式为， 将点代入，解得， 抛物线的解析式为 ． （2）①根据题意可设抛物线的解析式为 ． 因为，，此时点正好在抛物线最高点的下方，与最高点的距离超过，点的坐标为．． 因为无人机乙从平台上的点处起飞后刚好安全通过障碍物，所以点恰好在抛物线上， 将点代入 ， 解得， 即该平台的高度为； ②由①得，抛物线的解析式为 ． 当 时， 解得， 综合图像可得，当时，有最大高度差，此时高度为， 当时，有最大高度差，此时高度为， ， 最大高度差为． （3）存在； k的值为或． 联立和，整理可得 ，解得（舍），． 是正整数，4d是整数． 当4k是整数时，x的值也是整数， ∵， ∴满足条件的有和 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式、二次函数的平移性质、二次函数与一次函数的交点问题，正确理解题意是关键． 25．（10分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 【答案】(1)，， ， (2)①证明见解析；② (3) 【分析】（1）联立二次函数与直线，解方程求出点、的坐标，将求出的坐标代入，求出与； （2）①先表示出点、、的坐标，再表示出与，进而得到与的关系； ②作轴，垂足为，作，垂足为，容易判断出和都是等腰直角三角形，结合三角形外角的性质可计算出．根据含角的直角三角形的性质和等腰直角三角形的性质可推导出，从而求得点的坐标．使用待定系数法求出直线的解析式后，与抛物线联立，求出点的坐标； （3）根据满足的不等式，画出其图象，由抛物线与较低的部分组成，容易判断出直线过定点，则当直线与有三个公共点时，直线的斜率应该在过点与相切的直线的斜率以及直线的斜率之间，从而求出的取值范围．根据函数的对称轴位置和增减性，分为和两种情况讨论，计算出最大值和最小值后，结合题意构造方程组，解出的值即可． 【详解】（1）解：联立二次函数与直线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为，点的坐标为， 将，代入，得， ， 解得， ∴； （2）解：①证明：由题意可知，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵， ∴，， ∴； ②如图，作轴，垂足为，作，垂足为， ∵，轴， ∴点的坐标为， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由勾股定理可得， ∵是的外角， ∴， ∵， ∴， ∵， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在直角中，，， ∴， 由勾股定理可得， ∴， ∴， 在直角中，， ∴点的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线与抛物线，得， ， 解得或， ∴点的坐标为； （3）解：∵， ∴的图象为与中较低的部分，如图所示， 对于直线，当时，为定值， ∴直线过定点， 当直线过点时，此时直线与直线重合， ∴， 当直线与抛物线相切时，联立方程，得， ， 化简，得， ∵直线与抛物线相切，即只有一个交点， ∴判别式， ∴， 解得， ∵直线与函数的图象有三个公共点， ∴， 在二次函数中，图象开口向上，对称轴为直线， ①当时，区间在对称轴右侧， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最小值；当时，取得最大值， ∴， 解得，这与矛盾，故舍去； ②当时， ∵图象开口向上， ∴离对称轴越近，函数值越小 ∵， ∴当时，取得最小值， ∵， ∴当时，取得最大值， ∴， 解得（负值舍去）， 综上所述，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第27章 二次函数·培优卷 【新教材沪教版五四制】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·福建福州·期中）已知函数，当函数值y随x的增大而减小时，x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26九年级下·河南周口·期中）二次函数图象开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴交于负半轴，则a、b、c符号判断正确的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26九年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）在平面直角坐标中，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上，则的长为（   ） A．3 B．6 C．5 D．4 5．（25-26九年级上·河南南阳·期末）根据下表中二次函数的取值情况，可知方程的根是（   ） … 0 1 2 3 4 … … 15 8 3 0 0 3 8 … A．， B．， C．， D．， 6．（25-26九年级下·上海长宁·期中）已知抛物线经过点，，当时，的取值范围是，那么的值可能是（   ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级下·山东东营·期中）如图，菱形的顶点在抛物线上，其中点为坐标原点，对角线在轴上，且．则菱形的面积是（    ） A．18 B． C．9 D． 8．（25-26九年级下·江苏泰州·月考）二次函数和二次函数的图象有一个交点，过点的直线与二次函数和二次函数的图象分别交于点、，线段的长（   ） A．与、的取值有关 B．与、的取值有关 C．与、的取值有关 D．与、、的取值均无关 9．（25-26九年级上·浙江嘉兴·月考）如图，正方形的顶点，在二次函数（为常数，且）的图象上，点在点的左侧，点在轴正半轴上，设点，的横坐标分别为，，则，的关系为（   ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·四川眉山·期中）我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．某数学兴趣小组画出了“鹊桥”函数的图象（如图所示），并写出了下列结论： 图象与坐标轴的交点为，，； 当时，函数取得最大值； 当或时，函数值y随x值的增大而增大； 若在函数图象上，则也在函数图象上； 当直线与函数G的图象有2个交点时，则m的取值范围是． 其中正确的结论有（　　） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．如图，一次函数与二次函数交于和两点，则当时，的取值范围是_______． 12．将抛物线向右平移个单位后，再向下平移个单位，所得抛物线的顶点坐标为______． 13．（25-26九年级下·安徽·月考）若，，为二次函数的图象上的三点，则，，的大小关系是______． 14．（25-26九年级上·河北唐山·期末）汽车刹车后行驶的距离单位：米关于行驶的时间单位：秒的函数关系式是，则汽车刹车后行驶 ______ 米才能停下来． 15．（25-26九年级上·河北保定·期末）已知抛物线中，直线，若在直线l下方的抛物线C上，至少存在两个横坐标为整数的点，则k的取值范围是______． 16．给定抛物线，其顶点为点，其对称轴交轴于点，现给定一条过点的直线（直线除外）与抛物线交于两点，直线分别交轴于点，则的值为_____． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分） 17．（6分）（25-26九年级上·河南许昌·期末）已知二次函数． (1)求该函数图象的顶点坐标； (2)求该函数图象与y轴的交点坐标． 18．（6分）（25-26九年级上·江西景德镇·期末）二次函数图象与轴交于点，． (1)求该二次函数解析式； (2)当时，直接写出的取值范围． 19．（6分）（25-26九年级上·陕西咸阳·期末）某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门如图所示，点Q为图中抛物线的顶点，其高（即顶点Q到地面的距离）为6米，宽为12米．以点O为原点，所在直线为x轴，过点O且垂直于的直线为y轴建立平面直角坐标系如图所示． (1)求图中抛物线的函数表达式；（无需写出自变量x的取值范围） (2)小区物业计划在拱形大门处安装一个矩形“光带”，使得点A、D在抛物线上，点B、C在上，若光带的长度为6米，求“光带”、的长度之和（即的值）． 20．（8分）（24-25九年级下·河南郑州·月考）如图所示，抛物线与轴交于点，点，是抛物线的顶点． (1)求抛物线所对应的函数解析式； (2)设直线所在的函数解析式为，请直接写出不等式的解集； (3)抛物线上是否存在点，使得，若存在，请求出点坐标，若不存在，请说明理由． 21．（8分）（25-26九年级下·海南·月考）如图，抛物线过点，，． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点， ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； 22．（9分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 23．（9分）（25-26九年级下·重庆江津·月考）抛物线交x轴于点和点，交y轴于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上一动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； (3)将抛物线沿射线方向平移得到新抛物线，新抛物线经过点C且与直线另一交点为点K，M为新抛物线上的一动点，当时，请直接写出符合条件的点M的坐标． 24．（10分）（25-26九年级下·河北邯郸·阶段检测）【实际情境】某科技公司在筹备一场盛大的无人机灯光秀，为确保表演效果与安全，技术人员需要用电脑软件给每架无人机绘制飞行路线（下列出现的无人机只向右飞行）． 【数学建模】无人机甲在试飞阶段的飞行轨迹可抽象为抛物线的一部分，飞行轨迹最高点距地面，起飞点和降落点（都在水平地面上）的距离为，以为原点，所在直线为轴，过点与水平地面垂直的直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求抛物线的解析式； 【解决问题】 (2)无人机在越过障碍物时，与障碍物的上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于，才能安全通过．如图，在水平地面上放置了一个设备，该设备的纵切面为四边形，其中，，，．无人机乙原计划从距离左侧的点处起飞（其飞行轨迹抛物线与抛物线的形状和最高点距地面的高度均相同），发现不能安全越过障碍物．若该公司人员在起飞点处放置一个平台，无人机乙从平台上的点（轴）处起飞后刚好安全通过障碍物，此时无人机乙的飞行轨迹记为抛物线． ①求该平台的高度； ②求当时，在平台点处起飞的无人机乙的飞行路线与无人机甲的试飞路线在相同时的最大高度差； (3)在完成任务后，无人机需降落在一个倾斜的回收平台上．电脑绘制的无人机回收飞行轨迹的解析式为（其中是正整数，，无人机从处起飞），回收平台的截面是直线，为了保证平稳降落，无人机必须降落在回收平台上异于起飞点的另一点处．判断是否存在，使得点的横坐标是正整数，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 25．（10分）（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与直线交于，两点，二次函数的图象经过点，． (1)求点，的坐标及，的值； (2)直线与二次函数，的图象分别相交于点，，与直线相交于点，当时， ①求证：； ②过点作直线与正半轴交于点，与二次函数交于点（点不与重合），使得，请直接写出点的坐标； (3)若新函数满足，直线与函数的图象有三个公共点，函数，当时，函数y的最小值为，最大值为，求的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $