专题11.1 幂的运算（举一反三讲义）数学新教材沪教版五四制七年级上册

本讲义聚焦初中数学幂的运算核心知识点，系统梳理同底数幂的乘法（含逆用）、幂的乘方（含逆用）、积的乘方（含逆用）等基础法则，延伸至比较大小、求参数、代数式求值等11类题型，构建从法则理解到综合应用的学习支架。 该资料以“题型归纳+举一反三”为设计亮点，每个考点配备例题及变式题，通过逆用公式、比较大小等题型培养学生抽象能力与推理意识。课中辅助教师系统授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺，提升数学思维与应用能力。

专题11.1 幂的运算（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 同底数幂的乘法】 1 【题型2 同底数幂的乘法的逆用】 2 【题型3 幂的乘方】 3 【题型4 幂的乘方的逆用】 3 【题型5 积的乘方】 3 【题型6 积的乘方的逆用】 4 【题型7 利用幂的运算比较大小】 4 【题型8 利用幂的运算求参数】 4 【题型9 利用幂的运算求代数式的值】 5 【题型10 利用幂的运算求幂的值】 5 【题型11 利用幂的运算确定字母之间的关系】 5 考点1 同底数幂的乘法 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 【题型1 同底数幂的乘法】 【例1】（25-26六年级下·山东泰安·期末）已知，，则的值为___________． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江舟山·期末）化简：_________．（用含的代数式表示） 【变式1-2】（25-26六年级下·上海·期末）______． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）规定：若实数，，满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则的值是__________． 【题型2 同底数幂的乘法的逆用】 【例2】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如果，则_______． 【变式2-1】（25-26七年级下·重庆长寿·阶段检测）已知x满足，则___________． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是______. 【变式2-3】（25-26七年级下·江西抚州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 考点2 幂的乘方 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【题型3 幂的乘方】 【例3】（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知（且），则_____． 【变式3-1】（25-26七年级下·湖南·期中）计算：_____． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，则的值为____． 【变式3-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，则_____（此处填写x的指数）． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【例4】（25-26七年级下·江苏南京·期中）比较大小：______（填“”“”或“”号）． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽黄山·期末）已知，．若用只含有的代数式表示，则________． 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）若，则m与n满足的数量关系为________． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则n的值为_____ ． 考点3 积的乘方 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【题型5 积的乘方】 【例5】（25-26七年级下·山东烟台·期末）_______． 【变式5-1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则_____． 【变式5-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________． 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 【题型6 积的乘方的逆用】 【例6】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_________． 【变式6-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，n为正整数，则________． 【变式6-2】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【变式6-3】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 【题型7 利用幂的运算比较大小】 【例7】已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：______． 【变式7-1】比较大小：___________（ 填“＜”或“>”或“=”） 【变式7-2】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【变式7-3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 【题型8 利用幂的运算求参数】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【变式8-2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，则x的值为________． 【变式8-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【题型9 利用幂的运算求代数式的值】 【例9】（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，，则的值为______． 【变式9-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为_________． 【变式9-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知，则的值为_____________． 【变式9-3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 【题型10 利用幂的运算求幂的值】 【例10】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值为________． 【变式10-2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知，，则的值是________． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则的值为_______． 【题型11 利用幂的运算确定字母之间的关系】 【例11】已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是______． 【变式11-1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【变式11-3】若，试探究代数式与之间关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.1 幂的运算（举一反三讲义） 【新教材沪教版五四制】 题型归纳 【题型1 同底数幂的乘法】 1 【题型2 同底数幂的乘法的逆用】 2 【题型3 幂的乘方】 5 【题型4 幂的乘方的逆用】 6 【题型5 积的乘方】 8 【题型6 积的乘方的逆用】 10 【题型7 利用幂的运算比较大小】 11 【题型8 利用幂的运算求参数】 13 【题型9 利用幂的运算求代数式的值】 14 【题型10 利用幂的运算求幂的值】 16 【题型11 利用幂的运算确定字母之间的关系】 18 考点1 同底数幂的乘法 知识点1 同底数幂的乘法 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 【题型1 同底数幂的乘法】 【例1】（25-26六年级下·山东泰安·期末）已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】将化为，再代入数值即可求解． 【详解】解：， 将代入得，． 【变式1-1】（25-26七年级下·浙江舟山·期末）化简：_________．（用含的代数式表示） 【答案】 【详解】解：． 【变式1-2】（25-26六年级下·上海·期末）______． 【答案】 【详解】 ． 【变式1-3】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）规定：若实数，，满足（且，），则记作．例如：，则．若，，，且，则的值是__________． 【答案】20 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，正确理解题目给出的新定义是解题关键，先根据新定义得到对应幂的关系，再利用同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：由题意得：，，， ∴， ∵， ∴， 故． 【题型2 同底数幂的乘法的逆用】 【例2】（25-26七年级下·湖南邵阳·期末）如果，则_______． 【答案】2 【分析】本题考查同底数幂乘法运算法则与指数方程求解． 借助幂的运算法则提取公因式化简式子，依据底数相等的幂指数相等求． 【详解】解： 【变式2-1】（25-26七年级下·重庆长寿·阶段检测）已知x满足，则___________． 【答案】4 【分析】利用同底数幂的乘法法则将方程左边变形，提取公因式化简后，根据同底数幂相等则指数相等求解x即可． 【详解】解：原方程根据同底数幂的乘法法则，变形为， 提取：得， 整理得， 即， 由同底数幂相等，底数为正且不等于1，则指数相等，可得， 解得 ． 【变式2-2】（24-25七年级下·江苏南京·期末）已知，，，下列结论：①；②；③.其中所有正确结论的序号是______. 【答案】①③ 【分析】本题考查了同底数幂乘法及其逆运算、对指数的大小比较，掌握这些知识点时解题的个关键. 利用同底数幂乘法及其逆运算对等式进行对比可得：①，②，③，可证结果. 【详解】解：（1）∵， ∴，即 ∴ ∴；①正确； （2）∵， ∴ ，即 ∵ ∴ ；②不正确； （3）∵ ∴ ，而，③正确； 故答案为：①③ . 【变式2-3】（25-26七年级下·江西抚州·期末）规定两数，之间的一种运算，记作，如果，那么． 例如：，．我们还可以利用此定义说明等式成立． 理由如下：设，，则，， ， ， 即． (1)根据上述规定，填空：________，________，________； (2)计算：的值； (3)记，，，请说明． 【答案】(1)2，2，4 (2) (3)，，， ，，， ， ， ， ． 【分析】（1）根据定义直接求指数． （2）利用运算性质，将两个同底数的运算相加转化为指数相加． （3）根据新定义，得出，，，进而得出，即可说明． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ； （2）设，，则，， ， ，即； （3）略 考点2 幂的乘方 知识点2 幂的乘方 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【题型3 幂的乘方】 【例3】（25-26七年级下·河北唐山·期中）已知（且），则_____． 【答案】 【分析】本题考查幂的乘方运算，根据幂的乘方法则化简等式左边，对比等式两边得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】解： 因为， 所以， 所以 解得 【变式3-1】（25-26七年级下·湖南·期中）计算：_____． 【答案】 【分析】按照幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘进行计算，注意保留原式的负号即可． 【详解】． 【变式3-2】（25-26八年级上·河南新乡·期末）若，则的值为____． 【答案】3 【分析】本题考查了同底数幂相乘、幂的乘方，应用指数运算法则简化方程，通过指数相等建立方程求解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（25-26七年级下·江苏南京·期中）若，，则_____（此处填写x的指数）． 【答案】 【分析】根据幂的乘方及同底数幂的乘法运算法则进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 【题型4 幂的乘方的逆用】 【例4】（25-26七年级下·江苏南京·期中）比较大小：______（填“”“”或“”号）． 【答案】 【分析】将两个数变形为底数相同的幂，再根据幂的性质比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·安徽黄山·期末）已知，．若用只含有的代数式表示，则________． 【答案】 【分析】本题主要考查了幂的运算，涉及幂的乘方运算和逆运算，由可得 ，再将变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-2】（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）若，则m与n满足的数量关系为________． 【答案】 【分析】本题考查了幂的乘方及其逆运算，将9和27分别表示为3的幂，然后利用同底数幂相等的性质，得到指数关系． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 由得：， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（25-26七年级下·浙江杭州·期末）已知，则n的值为_____ ． 【答案】 【详解】 ， 解得：． 考点3 积的乘方 知识点3 积的乘方 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【题型5 积的乘方】 【例5】（25-26七年级下·山东烟台·期末）_______． 【答案】 【分析】先根据幂的运算法则计算，再根据单项式乘单项式运算法则和同底数幂的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式5-1】（25-26七年级下·河北沧州·期末）若，则_____． 【答案】24 【分析】利用积的乘方运算，逆用积的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】根据积的乘方法则可得：． 【变式5-2】（25-26七年级下·江苏扬州·期中）已知实数、、存在数量关系、，则________． 【答案】 12 【分析】利用积的乘方与幂的乘方运算法则，将变形，转化为含和的形式，再代入已知条件计算. 【详解】解：， 【变式5-3】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）若且为整数，能整除的有________个． 【答案】/四 【分析】本题考查了本题考查幂的乘方与积的乘方，解题的关键是正确推理计算．首先将表达式分解质因数，然后找出中能整除的整数即可． 【详解】解：∵， ∴； ∵， ∴； ∴． 故 ； ∵且为整数， 故的值可以为、、、、、、、； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； ，故能整除； 综上，符合条件的为、、、，共个． 故答案为：． 【题型6 积的乘方的逆用】 【例6】（25-26七年级下·北京顺义·期中）计算：_________． 【答案】 【详解】解： ． 【变式6-1】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知，，n为正整数，则________． 【答案】25 【分析】根据幂的乘方、积的乘方逆运用将所求代数式化为，再代入求值即可； 【详解】解：∵，，是偶数， ∴ ． 【变式6-2】（25-26七年级下·山东青岛·开学考试）若，，试用含，的代数式表示 　 ． 【答案】 【详解】解：． 【变式6-3】若x，y均为正数，，则与之间的数量关系为__________． 【答案】 【分析】本题考查幂的运算，根据已知条件得到，进而得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【题型7 利用幂的运算比较大小】 【例7】已知，，，试比较a，b，c的大小并用“”把它们连接起来：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数比较大小，幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，先根据幂的乘方和幂的乘方的逆运算法则得到，，据此可得答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式7-1】比较大小：___________（ 填“＜”或“>”或“=”） 【答案】＞ 【分析】先利用幂的乘方运算的逆运算对两个式子进行变形，再进行比较． 【详解】解：∵，， 又∵， ∴， 故答案为：＞． 【点睛】本题考查了幂的乘方运算的逆运算，解题关键是正确运用公式进行变形． 【变式7-2】在比较和的大小时，老师给出了如下的方法： ， ， 因为，，所以． 请你仿照上面的方法比较和的大小关系为(    ) A． B． C． D．无法比较 【答案】B 【分析】本题主要考查了幂的乘方运算和同底数幂乘法运算，有理数大小的比较，解题的关键是熟练掌握乘方运算法则，准确计算． 【详解】解：， ∵ ∴， 故选：B． 【变式7-3】（25-26八年级上·江西南昌·阶段检测）计算与比较： (1)若，求x的值． (2)若，，比较M和N的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先利用幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法得到，然后比较求解即可； （2）利用作差法比较即可． 【详解】（1）解： ∴ 解得； （2）解： ∴． 【题型8 利用幂的运算求参数】 【例8】（2025八年级上·全国·专题练习）明朝徐光启在翻译《几何原本》时，用“自乘之数曰幂”来解释幂．若，则的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方的逆运算，根据，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故选：B． 【变式8-1】（25-26七年级上·陕西安康·期末）已知，则m的值为（   ） A．3 B．6 C．8 D．16 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，准确的计算是解决本题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，即可求解． 【详解】解：∵， 又∵， ∴， ∴． 故选B． 【变式8-2】（25-26七年级下·江苏盐城·期中）已知，则x的值为________． 【答案】9 【分析】先将等式左边的利用幂的乘方运算法则化为以为底的幂，再利用同底数幂的乘法法则整理左边，根据底数相同的幂相等时指数相等列方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ， 移项得， 解得． 【变式8-3】（2026七年级下·江苏·专题练习）若，则x的值是_______． 【答案】1 【分析】本题考查了积的乘方的逆用，幂的乘方． 逆用积的乘方得到，根据幂的乘方得到，进而根据列方程求解即可． 【详解】解：，， ∵， ∴， 解得 ． 故答案为：1． 【题型9 利用幂的运算求代数式的值】 【例9】（25-26七年级上·河南郑州·期中）已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查积的乘方和同底数幂的乘法运算，根据，，得到，进而得到，推出，得到，即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式9-1】（25-26七年级下·四川成都·期中）已知，则的值为_________． 【答案】 【分析】将等式两边化为同底数幂，利用底数相同的相等幂的指数相等求解． 【详解】解：， ， 由幂的乘方法则，得， 底数相同的两个幂相等，则指数相等， ， 移项得． 【变式9-2】（25-26七年级下·广东佛山·期中）已知，则的值为_____________． 【答案】 【分析】利用同底数幂的乘法法则，将已知两式相乘，得到的值，将结果化为同底数幂后，根据指数相等求出的值． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴． 【变式9-3】（25-26七年级下·江苏泰州·期中）已知a，b，c满足，，，则代数式的值为________． 【答案】1 【分析】利用同底数幂的运算法则找出的关系，，，再代入求解即可； 【详解】解：∵，，， ∴，， 则， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【题型10 利用幂的运算求幂的值】 【例10】（25-26七年级下·浙江台州·期末）若，，则的值为__________． 【答案】 【分析】先由已知得，，再根据同底数幂的乘法的逆运算将所求式子变形为，代入即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴ ． 【变式10-1】（25-26七年级下·江苏苏州·期末）已知，则的值为________． 【答案】 【分析】由已知等式可得，将所求式子中各幂统一化为以为底的幂，利用幂的运算法则变形后，代入已知条件计算即可． 【详解】解：， ， ∴ ． 【变式10-2】（25-26八年级上·江西南昌·期末）已知，，则的值是________． 【答案】 75 【分析】本题主要考查了求代数式的值．熟练掌握幂的乘方法则逆用，同底数幂的乘法法则逆用，是解题的关键．利用指数运算法则，将 分解为 ，再代入已知值计算 【详解】解：由已知 ，， 根据指数运算法则，．其中 ， 代入得 ． 故答案为：75． 【变式10-3】（25-26八年级上·福建福州·期中）若，则的值为_______． 【答案】4 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，根据题意可得，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方的运算法则将式子变形为，再整体代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：4． 【题型11 利用幂的运算确定字母之间的关系】 【例11】已知，，，则a，b，c之间满足的等量关系是______． 【答案】 【分析】根据，把各数代入即可求解． 【详解】∵4×9=62，，， ∴ 故 ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查幂的运算，解题的关键是熟知幂的运算法则． 【变式11-1】（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）若a，b是正整数，且满足，则下列a与b的关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查同底数幂的乘法运算和整式加法运算，将等式左右两边化简为同底数幂的形式，利用同底数幂相等则指数相等的性质推导a与b的关系即可． 【详解】解：∵ 又∵ 由题可知等式左右两边相等， ∴ ， 可得 ， 整理得 ． 【变式11-2】（24-25七年级下·江苏无锡·期中）已知，，，那么a、b、c之间满足的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查同底数幂的乘法，熟练掌握它们的运算法则及性质是解题的关键． 根据可得，再根据同底数幂的乘法可得出结论． 【详解】解：，，， ， 即：， ， ， ， ， 故选：A． 【变式11-3】若，试探究代数式与之间关系． 【答案】 【分析】由条件可得可得，而，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查的是同底数幂的乘法运算，积的乘方的逆运算，掌握“利用幂的运算与逆运算进行变形”是解本题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $