2025年高三数学秋季开学摸底考03（全国通用）

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】由得， 则在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 2．若，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 3．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题意：， ， 所以. 故选：D 4．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，则， 根据对数函数的性质知，则. 故选：B 5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或与相交 【答案】D 【详解】对于A，若，则，又，则或，故A错误； 对于B，由，可知可能平行或相交，故B错误； 对于C，若，则有可能是，也可能，故C错误； 对于D，由，可知可能平行或相交，故D正确. 故选：D. 6．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（ ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】先角化边得出，在结合余弦定理求分别求出，，的值，最后在中用余弦定理即可求出的值. 【详解】利用正弦定理结合条件可知：，即， 由余弦定理即，故，， 在中由余弦定理可知：， 在中由余弦定理可知：， 整理得：即. 故选：D 7．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由得， 所以圆心为，又圆关于直线对称， 则直线过圆心，即， 所以， 又， 当且仅当时，等号成立， 所以， 故选：C. 8．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过对函数求导，满足，然后分类讨论利用导数法研究的符号，根据极小值点的概念判断即可. 【详解】对函数求导得：， 又由是函数的极小值点，所以， 还需分析在附近的符号变化，令， 则，， 当时，，即在附近单调递增，又， 所以当时，，当时，，满足0是的极小值点； 当时，，， 当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以， 所以单调递增，此时无极小值点； 当时，，即在附近单调递减， 又，所以当时，，当时，， 此时0是的极大值点，不符合题意； 综上所述：a的取值范围为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 【答案】AD 【详解】对于A，由，可得，解得，故A正确； 对于B，当时，，故，故B错误； 对于C，，由，可得，解得，故C错误； 对于D，当时，，此时在方向上的投影向量的坐标为 ，故D正确． 故选：AD． 10．下列选项正确的是（ ） A．若随机变量，且，则 B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 【答案】ACD 【详解】 对于A，若随机变量，且，又， 所以，故A正确； 对于选项B：第50百分位数（中位数）为：.故选项B错误. 对于C，若样本数据的方差，则数据的方差，故C正确； 对于D，样本中心为代入回归方程，得，解得，则， 当时，，故样本点处的残差为，故D正确； 11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．离心率 D．若，则 【答案】ABD 【详解】 如图，∵，∴，， ∵点F到两条渐近线的距离相等，∴，故A正确； ∵AB⊥OA，，∴，，，，故B正确； 由B知，一条渐近线的斜率，则，故C不正确； 由C知，，所以，，，∴，∴，，，故D正确， 故选：ABD． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则____________． 【答案】2 【详解】由题意知，所以， 由及抛物线定义，得，解得． 故答案为：2． 13．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 【答案】 【详解】设圆锥底面半径为，母线长为，则，解得，， 易知半径最大的球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示， 其中，，且点为边上的中点， 设内切圆的圆心为，由于， 故， 设内切圆半径为，则， 解得，其表面积为. 故答案为：. 14．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则____________________. 【答案】/ 【分析】求出，根据在上有且仅有3个极值点证明，求出，即可求解. 【详解】，， ， 或， 或. 当，时， 在上有且仅有3个极值点， ， 即，， ，. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 不超过35周岁 30 20 50 超过35周岁 15 35 50 合计 45 55 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？ (2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值； (3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】(1)答案见解析 (2)，. (3)分布列见解析， 【分析】（1）计算的值，根据独立性检验判断即可； （2）根据条件概率及古典概型求解即可； （3）根据分层抽样求出看过和没看过《哪吒之魔童降世2》的人数，进而可知的所有可能取值，求出相应的概率即可得到分布列，进而可求数学期望. 【详解】（1）零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联， 根据表中数据，计算得， 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联. （2）， . （3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 可得的所有可能取值为1，2，3， 此时，，， 则的分布列为： 1 2 3 所以. 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先由线段关系证，结合面面垂直的性质判定线线垂直，利用线线垂直证线面垂直； （2）建立合适的空间直角坐标系，利用空间向量计算面面角即可. 【详解】（1）由题意，则， 因为，所以， 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面， 因为平面，所以， 且平面，所以平面， 又平面，所以平面平面； （2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则， 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得， 设平面的法向量， 则，令，得， 设平面与平面的夹角为，则， 所以平面与平面夹角的正弦值为． 17．（15分）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，记数列的前n项和为，证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由的关系求解即可； （2）由题意，利用错位相减法和等比数列求和公式即可求解； （3）由题意得，由裂项相消法即可证明. 【详解】（1）因为， 所以，解得， 又， 所以，即， 所以，即， 因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以，即． （2）因为， 所以，① ，② ①－②得， 所以． （3）因为， 所以， 易知是增函数，所以， 所以． 18．（17分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）1. 【分析】（1）根据椭圆对称性，用待定系数法求解椭圆方程；（2）（i）设直线方程，根据韦达定理表示三角形面积，进而进行判断；（ii）由可知直线的倾斜角互补，用距离公式表示并作比值求解. 【详解】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以， 所以，C的方程为. （2）设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，则或.， 面积 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为. （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以. 于是， ，.所以， 于是，因为， 所以.所以的值1. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若． 求证：． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）首先求函数的导数，并判断导数的单调性以及零点，即可判断函数的单调性，即可求函数的最小值； （2）①利用导数判断导函数的单调性，再根据零点存在性定理，即可证明； ②根据①的结果，得，再将不等式转化为，再利用导数，逐层判断函数的单调性，分和，利用最值证明不等式. 【详解】（1）由，得， 设， 当时，，， 令，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值是； （2）①由（1）知：， 因为，所以在上单调递增，即在上单调递增， 又，， 所以， 所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点； ②由①知，有且仅有一个极值点，且， 当时，，， 由①知，， 要证明， 只需证明， 而，那么，， 所以， 令，则， 令，则， 当时， 因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增，又， 所以， 所以在上单调递增，所以， 当时，， ， 综上所述，当时，. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$ 数学 第 1 页（共 6 页） 数学 第 2 页（共 6 页） 数学 第 3 页（共 6 页） 学 校 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 班 级 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 密 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 封 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 线 ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ ﹍ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025 年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答题卡 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分，共 18 分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题 5 分，共 15 分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 四、解答题（共 77 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13 分） 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；非选择题必须用 0.5mm 黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 16．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第 4 页（共 6 页） 数学 第 5 页（共 6 页） 数学 第 6 页（共 6 页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17 分） 19．（17 分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C A D B D D C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AD ACD ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．___2_____；13．__________；14．______/____ 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】（1）零假设：假设市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》无关联， 根据表中数据，计算得，…………3分 根据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，因此可以认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联. …………4分 （2），…………6分 .…………8分 （3）按照分层抽样，抽取的5人中看过《哪吒之魔童降世2》的有3人，没看过《哪吒之魔童降世2》的有2人， 可得的所有可能取值为1，2，3， 此时，，，…………11分 则的分布列为： 1 2 3 所以.…………13分 16．（15分） 【答案】（1）由题意，则， 因为，所以，…………1分 因为平面平面，平面平面， 且平面， 所以平面，…………3分 因为平面，所以， 且平面，所以平面，…………5分 又平面，所以平面平面；…………6分 （2）如图，以A为原点，分别为轴，轴正方向，在平面内过点A作平面ABC的垂线为z轴， 建立空间直角坐标系， 则，…………7分 所以，， 设平面的一个法向量， 则，令，得，…………10分 设平面的法向量， 则，令，得，…………13分 设平面与平面的夹角为，则，…………14分 所以平面与平面夹角的正弦值为．…………15分 17．（15分） 【答案（1）因为， 所以，解得，…………1分 又， 所以，即， 所以，即， 因为，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，…………3分 所以，即．…………4分 （2）因为， 所以，① ，②…………5分 1 －②得，…………8分 所以．…………9分 （3）因为，…………11分 所以，…………13分 易知是增函数，所以，…………14分 所以．…………15分 18．（17分） 【答案】（1）由对称性知，和在椭圆C上，所以，…………2分 所以，C的方程为.…………4分 （2）设直线的方程为，点，， 由消去得：， 则，…………6分 则或.，…………8分 面积…………9分 令，则，， 当且，即时，面积的最大值为.…………11分 （ii）因为，所以直线的倾斜角互补，所以， 所以点在线段的垂直平分线上，所以.…………12分 于是， ，. 所以，…………14分 于是， 因为， 所以. 所以的值1. …………17分 19．（17分） 【答案】（1）由，得，…………1分 设， 当时，，， 令，则， 所以函数在上单调递增，又， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以的最小值是；…………5分 （2）①由（1）知：， 因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，…………7分 又，， 所以，…………9分 所以存在唯一的变号零点，即有且仅有一个极值点；…………10分 ②由①知，有且仅有一个极值点，且， 当时，，， 由①知，， 要证明， 只需证明， 而，那么，，…………11分 所以， 令，则， 令，则，…………12分 当时， 因为，所以在上单调递增，即在上单调递增，又， 所以， 所以在上单调递增，即在上单调递增，又， 所以， 所以在上单调递增，所以，…………14分 当时，， ，…………16分 综上所述，当时，.…………17分 ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 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B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 10．下列选项正确的是（ ） A．若随机变量，且，则 B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．离心率 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则__________． 13．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为________． 14．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则______________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 不超过35周岁 30 20 50 超过35周岁 15 35 50 合计 45 55 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？ (2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值； (3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 17．（15分）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，记数列的前n项和为，证明：． 18．（17分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若． 求证：． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年秋季高三开学摸底考试模拟卷 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：高考全部内容 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知复数满足，则在复平面内所对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若，则（ ） A． B． C． D． 3．已知是定义在R上且周期为2的函数，当时，，则（ ） A． B． C． D． 4．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 5．设是两个平面，是两条直线，则下列命题为真命题的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则或与相交 6．已知的内角，，的对边分别为，，，若，，，是中点，则（ ） A．2 B． C． D． 7．若圆关于直线对称，其中，，则的最小值为（ ） A．2 B． C．4 D． 8．已知，若0是的极小值点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知向量，则（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则在方向上的投影向量的坐标为 10．下列选项正确的是（ ） A．若随机变量，且，则 B．一组数据88，90，90，91，92，93，95，96，98，99的第50百分位数为92 C．若样本数据，，…，的方差为2，则数据，，…，的方差为8 D．已知回归直线方程为，若样本中心为，则样本点处残差为 11．已知是双曲线C：（，）的右焦点，过点F向C的一条渐近线引垂线，垂足为A，交另一条渐近线于点B，若，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．离心率 D．若，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知为抛物线的焦点，为上一点，若，则____________． 13．将一个圆心角为、面积为的扇形卷成一个圆锥，则此圆锥内半径最大的球的表面积为_________． 14．已知函数，若，且在上有且仅有三个极值点，则____________________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）2025年春节期间，电影《哪吒之魔童降世2》票房破百亿，整个电影界都为之欢腾，这是中国动画电影的一大步，也是世界电影史上的一次壮丽篇章.某调查小组随机抽取100位市民，将市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》的样本观测数据整理如下： 看过 没看过 合计 不超过35周岁 30 20 50 超过35周岁 15 35 50 合计 45 55 100 (1)依据小概率值的独立性检验，能否认为市民的年龄和是否看过电影《哪吒之魔童降世2》有关联？ (2)根据列联表的信息，表示“选到的市民没看过《哪吒之魔童降世2》”，表示“选到的市民超过35周岁”，求和的值； (3)现从参与调查的不超过35周岁的市民中，按是否看过用分层抽样的方法选出5人组成一个小组，从抽取的5人中再抽取3人赠送《哪吒之魔童降世2》的电影票，求这3人中，看过《哪吒之魔童降世2》的人数的概率分布和数学期望. 附：，其中. 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，在四棱锥中，平面平面，且． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的正弦值． 17．（15分）已知数列的前n项和为，且，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和； (3)设，记数列的前n项和为，证明：． 18．（17分）已知椭圆，四点，，，中恰有三点在椭圆C上. (1)求椭圆C的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与椭圆C相交于两点. （i）若为原点，求面积的最大值； （ii）点，设点是线段上异于的一点，直线的斜率分别为，且，求的值. 19．（17分）已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)①求证：有且仅有一个极值点； ②当时，设的极值点为，若． 求证：． 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$