专题5.2 线段平直平分线与角平分线（高效培优讲义）数学沪科版2024八年级上册

专题5.2 线段平直平分线与角平分线 教学目标 1.理解线段垂直平分线、角平分线的概念，掌握两者的性质定理与判定定理。 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，能证明作图的正确性。 3.能运用定理解决线段相等、角相等的证明或计算问题，发展几何推理能力。 教学重难点 一、教学重点 1.线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等、角平分线上的点到角两边距离相等，以及两者的逆定理。 2.准确掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图步骤与方法。 3.运用定理解决简单的几何证明和实际问题，明确定理适用条件。 二、教学难点 1.区分并灵活运用性质定理与判定定理，厘清文字命题的题设与结论。 2.理解尺规作图的原理，能证明作图过程的正确性。 3.在复杂几何图形中整合两个知识点，解决综合性证明或计算问题。 知识点01 线段垂直平分线的性质定理 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，其垂直平分线就是它的一条对称轴 . 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 . 条件：点在线段的垂直平分线上 . 结论：这个点到线段两端的距离相等 . 几何语言：如图， ∵AD⊥BC于D，BD＝CD，∴ AB＝AC. 【即学即练】如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长是24．求的长． 知识点02 线段垂直平分线的判定定理 1. 判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言：如图， ∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 【即学即练】如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分． 知识点03 作已知线段的平直平分线 1. 作线段的垂直平分线的常用方法 (1)过中点画垂线：先用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线，所得的垂线即为线段的垂直平分线. (2)折纸：在半透明纸上画一条线段AA′，折纸，使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线. (3)尺规作图：保留作图痕迹，并指出结论： 2.尺规作图步骤与图示 已知：线段AB，如图 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：①如图，分别以点A，B为圆心，大于1/2AB长为半径画弧交于点C，D. ②过点C，D作直线. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 【即学即练】 如图，在中，，用不带刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）在边上求作点，使得． 知识点04 作已知角的平分线 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 . 2. 角的平分线的作法 (1)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线. (2)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线. (3)尺规作图法(保留作图痕迹，并指出结论)： 3.尺规作图步骤与图示 已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：①以点O为圆心，适当长为 半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. ③画射线OC. 射线OC即为所求(如图). 【即学即练】如图，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站P，使得驿站P到公路、、的距离相等，请你确定驿站P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 知识点05 过一点作已知直线的垂线 1. 过直线上一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线l上一点A， 求作：直线AB，使AB⊥l于点A. 作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于点M，N； ② 分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点B； ③作直线AB. 直线AB就是所求作的垂线. 2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 求作：直线AB，使AB⊥l于点B. 作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交直线l于点M，N； ③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P； ④作直线AP交直线l于点B.直线AB即为所求作的垂线. 知识点06 角平分线的性质定理 1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的性质的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度. 2. 几何语言：如图， ∵ OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴ PD＝PE. 【即学即练】已知：如图，在直角三角形中，，是的平分线，于点E．求证：． 知识点07 角平分线的判定定理 1. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图， ∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 【即学即练】如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 知识点08 三角形的角平分线的性质 1. 性质定理：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 2. 几何语言：如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线， AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF. 题型01 线段垂直平分线的性质应用 【例1-1】（利用线段垂直平分线的性质求周长或边长） （23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【例1-2】（利用线段垂直平分线的性质解决角度问题） （24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【例1-3】（利用线段垂直平分线的性质判断线段的关系） （24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点． (1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时． ①请写出，，之间的数量关系并证明； ②若，，求的长． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于G，，周长是13，则的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若的周长为16，，则的周长为（    ） A．26 B．24 C．20 D．4 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【变式1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：P，Q为线段垂直平分线上的两点． (1)如图（1），当点P，Q在线段的两侧时，你认为和相等吗？为什么？ (2)如图（2），当点P，Q在线段的同侧时，你认为和相等吗？为什么？ 【变式1-5】（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折： ①如图1，沿着的平分线翻折，得到，设的周长为． ②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为． 求线段的长度（用含，的代数式表示）． 题型02 利用线段垂直平分线的性质解决实际问题 【例2】如图，已知一块草地，现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点B的距离和凉亭到点C的距离相等．请你利用尺规作图法在边上找出凉亭P所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）． 【变式2-1】如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处．该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由． 【变式2-2】如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等．那么，怎样才能找到这个市场的位置呢？请画出示意图，并说明理由． 题型03 线段垂直平分线的性质定理与判定定理综合应用 【例3】已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点在内，，分别垂直平分，，求证：点在边的垂直平分线上． 【变式3-3】已知：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线． 题型04 角平分线尺规作图及应用 【例4】如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【变式4-1】如图，△ABC的面积为12cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接DB，则△DAB的面积是 cm2． 【变式4-2】如图所示，在中，是角平分线． (1)利用尺规作出的角平分线、的角平分线，两条角平分线交于点O（保留作图痕迹） (2)若，求的度数． 题型05 角平分线的实际应用题 【例5-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【例5-2】太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【变式5-1】在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=6、AC=8、AB=10，则点D到AB的距离为 ． 【变式5-2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    【变式5-3】）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求： ①到两工厂的距离相等； ②在内，且到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法） 题型06 与角平分线有关的综合题 【例6】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． (1)如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； (2)如图2，连接，求的度数，并说明理由； 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． (1)如图1，求证： (2)如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)求出两点的坐标； (2)如图1，为轴上两动点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，点在轴的正半轴上，点关于轴的对称点为点，点分别是边和上的动点，且满足，连接的垂直平分线交轴于点，连接，试判断和之间的关系，并给出证明． 题型07 拓展创新题 【例7】（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【变式7】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是（ ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 3．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，边上的高与交于点E，点F是线段的中点，点P为线段上一动点，连接，，则下列关于周长的说法正确的是（    ） A．点P与点M重合时，的周长最小 B．点P与点N重合时，的周长最小 C．点P与点E重合时，的周长最小 D．点P与点F重合时，的周长最小 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 7．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，的面积为10，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，M为上任意一点，点D为的中点，连接，，则长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 二、填空题 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D，E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若，，则的周长是 ． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是 ． 13．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点，过点作交的延长线于点，连接，点为中点． 给出下列结论：①； ②； ③； ④其中正确的是 ．（填序号） 14．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，为的中点，，，过点作交于点，作交的延长线于点，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 三、解答题 16．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，求的周长． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，的周长为13． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 18．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）作图题： (1)尺规作图，保留作图痕迹．如图1，有两条高速公路和，两个城镇，准备建立一个燃气中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出然气中心站的位置； (2)如图2，河的一旁有两个村子，，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图，以直线表示一条河，求作一点，使点到，的距离之和最短，作出点，并用几何语言叙述你的理由 19．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)任意选择两个网格点画出线段的垂直平分线，并写出点M、N坐标（点M、N为线段的垂直平分线经过的网格点）． 20．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 21．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为外角的角平分线上的一点，且满足．过点作于交的延长线于．求证： (1)． (2) 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.2 线段平直平分线与角平分线 教学目标 1.理解线段垂直平分线、角平分线的概念，掌握两者的性质定理与判定定理。 2.会用尺规作已知线段的垂直平分线和已知角的平分线，能证明作图的正确性。 3.能运用定理解决线段相等、角相等的证明或计算问题，发展几何推理能力。 教学重难点 一、教学重点 1.线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等、角平分线上的点到角两边距离相等，以及两者的逆定理。 2.准确掌握线段垂直平分线和角平分线的尺规作图步骤与方法。 3.运用定理解决简单的几何证明和实际问题，明确定理适用条件。 二、教学难点 1.区分并灵活运用性质定理与判定定理，厘清文字命题的题设与结论。 2.理解尺规作图的原理，能证明作图过程的正确性。 3.在复杂几何图形中整合两个知识点，解决综合性证明或计算问题。 知识点01 线段垂直平分线的性质定理 1. 线段的轴对称性：线段是轴对称图形，其垂直平分线就是它的一条对称轴 . 2.性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 . 条件：点在线段的垂直平分线上 . 结论：这个点到线段两端的距离相等 . 几何语言：如图， ∵AD⊥BC于D，BD＝CD，∴ AB＝AC. 【即学即练】如图，在中，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，，的周长是24．求的长． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，将的周长转化为与的和． 由线段垂直平分线的性质得；结合的周长公式，将替换为，得到周长等于；代入已知数值求解． 【详解】解：是的垂直平分线， ． 的周长为， ． ， ． 又， ． 答：的长为． 知识点02 线段垂直平分线的判定定理 1. 判定定理：到线段两个端点距离相等的点在线段的垂直平分线上. 条件：点到线段两个端点距离相等. 结论：点在线段的垂直平分线上. 2. 几何语言：如图， ∵ AB＝AC，∴点A在线段BC的垂直平分线上. 3. 三角形三边的垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等. 【即学即练】如图，四边形的对角线与相交于点，，．求证：；垂直平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质以及线段垂直平分线的判定. 根据证明，可得，，即可得证垂直平分． 【详解】解：在和中， ， ∴； ∴，， ∴点、在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分． 知识点03 作已知线段的平直平分线 1. 作线段的垂直平分线的常用方法 (1)过中点画垂线：先用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线，所得的垂线即为线段的垂直平分线. (2)折纸：在半透明纸上画一条线段AA′，折纸，使A与A′重合，得到的折痕l是线段AA′的垂直平分线. (3)尺规作图：保留作图痕迹，并指出结论： 2.尺规作图步骤与图示 已知：线段AB，如图 求作：线段AB的垂直平分线. 作法：①如图，分别以点A，B为圆心，大于1/2AB长为半径画弧交于点C，D. ②过点C，D作直线. 则直线CD就是线段AB的垂直平分线. 【即学即练】 如图，在中，，用不带刻度的直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）在边上求作点，使得． 【分析】本题考查尺规作图——作线段的垂直平分线，根据作垂直平分线的方法即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作的垂直平分线交于点，所以点即为所求． 知识点04 作已知角的平分线 1. 角的轴对称性：角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 . 2. 角的平分线的作法 (1)度量法：用量角器度量已知角的度数，并除以2，再用量角器画出这个角的平分线. (2)折叠法：将已知角折叠，使角的两边重合，折痕就是角的平分线所在的直线. (3)尺规作图法(保留作图痕迹，并指出结论)： 3.尺规作图步骤与图示 已知∠AOB. 求作：∠AOB的平分线. 作法：①以点O为圆心，适当长为 半径画弧，交OA于点M，交OB于点N. ②分别以点M，N为圆心，以大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C. ③画射线OC. 射线OC即为所求(如图). 【即学即练】如图，为了方便环卫工人，某社区服务中心要修建一处爱心驿站P，使得驿站P到公路、、的距离相等，请你确定驿站P的位置．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【分析】本题考查了角平分线的作法及其原理，以及如何利用角平分线解决实际问题．要使爱心驿站到公路、、的距离相等，通过作、的平分线，三条角平分线的交点即为点P． 【详解】解：如图所示，点P即为所求． 知识点05 过一点作已知直线的垂线 1. 过直线上一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线l上一点A， 求作：直线AB，使AB⊥l于点A. 作法：①以点A为圆心，任意长为半径画弧，交直线l于点M，N； ② 分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点B； ③作直线AB. 直线AB就是所求作的垂线. 2. 过直线外一点作已知直线的垂线 已知：直线l与直线外一点A， 求作：直线AB，使AB⊥l于点B. 作法：① 任意取一点K，使K和A在直线l的两旁； ②以点A为圆心，AK长为半径画弧，交直线l于点M，N； ③分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P； ④作直线AP交直线l于点B.直线AB即为所求作的垂线. 知识点06 角平分线的性质定理 1. 性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等. 角平分线的性质的两个必要条件： (1)点在角平分线上； (2)这个点到角两边的距离即点到角的两边垂线段的长度. 2. 几何语言：如图， ∵ OC平分∠AOB，P为OC上一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，∴ PD＝PE. 【即学即练】已知：如图，在直角三角形中，，是的平分线，于点E．求证：． 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得证． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的平分线，，， ∴． 知识点07 角平分线的判定定理 1. 判定定理：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上. 2. 几何语言：如图， ∵ 点P为∠AOB内一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D，E，且PD＝PE， ∴点P在∠AOB的平分线OC上. 【即学即练】如图，的边上有一点，，分别是和的高，连接，且．求证：是的角平分线． 【分析】本题考查直角三角形全等的判定与角平分线的判定定理．解题关键是通过证明直角三角形全等得到对应边相等，再利用角平分线判定定理完成证明． 【详解】证明：∵，分别是和的高， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是的角平分线． 知识点08 三角形的角平分线的性质 1. 性质定理：三角形三条内角平分线相交于一点，这点到三角形三边的距离相等. 2. 几何语言：如图，在△ABC中，AD，BM，CN 分别是∠BAC，∠ABC，∠ACB的平分线， AD，BM，CN交于一点O，且点O到三边BC，AB，AC的距离(OE，OG，OF的长)相等，即OE＝OG＝OF. 题型01 线段垂直平分线的性质应用 【例1-1】（利用线段垂直平分线的性质求周长或边长） （23-24八年级上·安徽马鞍山·期中）如图，在中，直线为线段的垂直平分线，交于点，连接．若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的点到线段两个端点的距离相等，熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴ ∵直线为线段的垂直平分线， ∴ 故选：B 【例1-2】（利用线段垂直平分线的性质解决角度问题） （24-25八年级下·安徽宿州·期中）如图，在中，是的角平分线，点E、F分别是、上的动点，若，当的值最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，如图： ∵是的角平分线，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵两点之间线段最短，且垂线段最短， ∴当点E在点处时，最小， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即当的值最小时，的度数为． 故选：C． 【例1-3】（利用线段垂直平分线的性质判断线段的关系） （24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点． (1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时． ①请写出，，之间的数量关系并证明； ②若，，求的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵垂直平分 ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，理由如下： 证明：∵垂直平分，   ∴， 同理可证明：， ∴ ， ∵ ， ∴； ②∵垂直平分 ， ∴， ， 又， ∴ ， ∴  ， ∴， ∴ ， 又∵ ∴． 【变式1-1】（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，，的垂直平分线交于G，，周长是13，则的长是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，理解并掌握垂直平分线的性质是解题关键．首先根据“线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等”可得，结合周长是13，可解得，即，然后结合即可获得答案． 【详解】解：∵的垂直平分线交于G， ∴， ∵周长是13， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴． 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点、，作直线交于点，连接．若的周长为16，，则的周长为（    ） A．26 B．24 C．20 D．4 【答案】A 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键．由作法可知，垂直平分，得到，再结合的周长，得到，即可求出的周长． 【详解】解：由作法可知，垂直平分， ， 的周长为16， ， ， ， ，即的周长为26， 故选：A． 【变式1-3】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，直线垂直平分，是直线上的一动点．若，，，则周长的最小值是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质、求最短距离问题等知识点，掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 由垂直平分线的性质可得，进而得到周长的最小值是，最后代入数据求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵直线m是中边的垂直平分线，是直线上的一个动点． ∴， ∴， ∴最小为， ∵，， ∴周长的最小值是． 故选：B． 【变式1-4】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知：P，Q为线段垂直平分线上的两点． (1)如图（1），当点P，Q在线段的两侧时，你认为和相等吗？为什么？ (2)如图（2），当点P，Q在线段的同侧时，你认为和相等吗？为什么？ 【答案】(1)相等，原因见解析 (2)相等，原因见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，证明三角形全等以推导角的关系． （1）利用线段垂直平分线的性质得，，结合公共边，证，得； （2）同理得，，证，从而． 【详解】（1）解：． 在线段的垂直平分线上， ，． 又， ， ． （2）解：． 在线段的垂直平分线上， ，． 又， ， ． 【变式1-5】（24-25八年级上·安徽六安·期末）已知：纸片，将纸片分别按以下两种方法翻折： ①如图1，沿着的平分线翻折，得到，设的周长为． ②如图2，沿着的垂直平分线翻折，得到，设的周长为． 求线段的长度（用含，的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题主要考查了图形的折叠问题，全等三角形的性质，熟练掌握图形的折叠性质，全等三角形的性质是解题的关键． 本题需要先分别计算得到的周长和的周长，然后作差即可求解； 【详解】解：∵沿着的平分线翻折，得到， ∴，， ∴的周长，① ∵沿着的垂直平分线翻折，得到， ∴， ∴的周长，② ∴②-①得：， ∴， ∴． 题型02 利用线段垂直平分线的性质解决实际问题 【例2】如图，已知一块草地，现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点B的距离和凉亭到点C的距离相等．请你利用尺规作图法在边上找出凉亭P所在的位置．（保留作图痕迹，不写作法）． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，根据现要在边上修建一处凉亭，使凉亭到点B的距离和凉亭到点C的距离相等，即作出的垂直平分线，与的交点，为点P，故，即可作答． 【详解】解：如图，点即为凉亭的位置． 【变式2-1】如图，要在河边l上修建一个抽水站，将河水送到A，B两点处．该站建在河边l的什么地方，可使铺设的两条直管道的长度相等？试在图中确定该点，并说明理由． 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，作已知线段的垂直平分线等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 连结，用尺规作出的垂直平分交l于点D即可． 【详解】解：如图，垂直平分， 则， 故点D即为所求作． 【变式2-2】如图，三条路围成一个三角地带，要在它的中间建一个市场，并且使市场到三个交叉路口的距离相等．那么，怎样才能找到这个市场的位置呢？请画出示意图，并说明理由． 【分析】此题主要考查了线段垂直平分线的性质，作，的垂直平分线，它们的交点即是市场的位置． 【详解】解∶作，的垂直平分线，它们的交点即是市场的位置．如下图： 理由如下： 连接，和， ∵，的垂直平分线交与点， ∴，， ∴． 题型03 线段垂直平分线的性质定理与判定定理综合应用 【例3】已知：如图，内部一点P在的垂直平分线上，且．求证：点P在的垂直平分线上． 【分析】本题考查垂直平分线的性质及判定，解题的关键是熟练掌握垂直平分线上的点到线段两个端点距离相等及到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上．根据到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到答案； 【详解】证明：连接， ∵点P在的垂直平分线上， ∴， ∵， ∴， ∴点P在的垂直平分线上． 【变式3-1】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，，，点E是线段上任意一点，连接，．求证：． 【分析】本题考查线段垂直平分线的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与判定是解题的关键． 连接，证得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质证得即可． 【详解】证明：连接， ，， 在线段的垂直平分线上，B在线段的垂直平分线上， 即是线段的垂直平分线， 在上， ． 【变式3-2】（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，点在内，，分别垂直平分，，求证：点在边的垂直平分线上． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的判定等知识点，掌握到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上是解题的关键． 先根据垂直平分线的性质可得、，即，从而证明结论． 【详解】证明：垂直平分， ． 垂直平分， ， ， 点在的垂直平分线上． 【变式3-3】已知：如图，在中，，线段的垂直平分线交于点D，交于点E，于点F．求证：是线段的垂直平分线． 【分析】本题主要考查垂直平分线的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟悉垂直平分线的判定．连接，根据题意可知和，即可利用证明，有，进一步利用证明，有，结合垂直的性质即可证明结论． 【详解】证明：如图，连接， ∵线段的垂直平分线交于点D， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 则是线段的垂直平分线． 题型04 角平分线尺规作图及应用 【例4】如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【变式4-1】如图，△ABC的面积为12cm2，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP，过点C作CD⊥AP于点D，连接DB，则△DAB的面积是 cm2． 【答案】6． 【分析】延长CD交AB于E，依据△ACD≌△AED，即可得到CD＝ED，进而得到S△BCD＝S△BED，S△ACD＝S△AED，据此可得S△ABD＝S△AED＋S△BED＝S△ABC． 【详解】解：如图所示，延长CD交AB于E， 由题可得，AP平分∠BAC， ∴∠CAD＝∠EAD， 又∵CD⊥AP， ∴∠ADC＝∠ADE＝90°， 又∵AD＝AD， ∴△ACD≌△AED（ASA）， ∴CD＝ED， ∴S△BCD＝S△BED，S△ACD＝S△AED， ∴S△ABD＝S△AED+S△BED＝S△ABC＝×12＝6（cm2）， 故答案为：6． 【变式4-2】如图所示，在中，是角平分线． (1)利用尺规作出的角平分线、的角平分线，两条角平分线交于点O（保留作图痕迹） (2)若，求的度数． 【详解】（1）解：作图如下： （2）解：∵， ∴， ∵是和的角平分线， ∴， ∴． 题型05 角平分线的实际应用题 【例5-1】（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在的正方形网格中，到两边距离相等的点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查角平分线性质．根据题意可知到角两边距离相等的点在角的角平分线上，通过网格特点，大致确定的平分线，进而可知本题答案． 【详解】解：∵A选项，点M在的角平分线上，根据角平分线的性质，点M到两边的距离相等； B选项，点N不在的角平分线上，所以点N到两边的距离不相等； C选项，点P不在的角平分线上，所以点P到两边的距离不相等； D选项，点Q不在的角平分线上，所以点Q到两边的距离不相等， 故选：A． 【例5-2】太和中学校园内有一块直角三角形(RtABC)空地，如图所示，园艺师傅以角平分线AD为界，在其两侧分别种上了不同的花草，在ABD区域内种植了月季花，在△ACD区域内种植了牡丹花，并量得两直角边AB＝10m，AC＝6m，分别求月季花与牡丹花两种花草的种植面积． 【答案】， 【分析】过点分别作，是垂足，根据角平分线的性质可得，进而根据求得，进而根据三角形面积公式求解可． 【详解】解：过点分别作，是垂足． 由，得，， 是的平分线， ． 【变式5-1】在△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，BC=6、AC=8、AB=10，则点D到AB的距离为 ． 【答案】 【分析】作DE⊥AB于E，如图，先根据勾股定理计算出BC=8，再利用角平分线的性质得到DE=DC，设DE=DC=x，利用面积法得到10x=6（8-x），然后解方程即可． 【详解】解：作DE⊥AB于E，如图， ∵AD是△ABC的一条角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DE=DC， 设DE=DC=x， S△ABD=DE•AB=AC•BD， 即10x=8（6-x），解得x=， 即点D到AB边的距离为． 故答案为：． 【变式5-2】（23-24八年级上·安徽阜阳·期中）如图，两两相交的三条公路中央有一深水湖泊，要在陆地建一个加油站P到三条公路距离相等，这样的位置有 处．    【答案】三 【分析】此题考查了三角形角平分线的性质，分别作外角的角平分线，交点分别为，即为所求的点，解题的关键是熟练掌握三角形角平分线的性质及其应用． 【详解】解：如图所示，，即为所求的点，    故答案为：三． 【变式5-3】）如图，已知甲工厂靠近公路a，乙工厂靠近公路b，为了发展经济，甲、乙两工厂准备合建一个仓库，经协商，仓库必须满足以下两个要求： ①到两工厂的距离相等； ②在内，且到两条公路的距离相等． 你能帮忙确定仓库的位置吗？（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】连接，作线段的垂直平分线，作角的平分线，则与的交点F就是仓库的位置． 【详解】解：如图，点F为仓库的位置． 题型06 与角平分线有关的综合题 【例6】（25-26八年级上·安徽淮南·期中）如图所示，直线交轴于点，交轴于点，且、满足．在线段上取一点，连接交于点，且． (1)如图1，若的坐标为，则点的坐标为__________； (2)如图2，连接，求的度数，并说明理由； 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了坐标与平面，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定等知识点，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． （1）先根据绝对值和平方式的非负性求出，，然后证明，则，即可求出点的坐标； （2）过分别作于点，作于点，证明  ，则，然后根据角平分线的判定证明平分，即可求解． 【详解】（1）解：，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵的坐标为， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：，理由如下： 过分别作于点，作于点，如图： 由（1）知，， ，， ， ， ， 在与中， ，    ， ，， 平分， ． 【变式6-1】（25-26八年级上·安徽安庆·期中）在中，，点在边的延长线上，点在边的延长线上．连接，使． (1)如图1，求证： (2)如图2，、的延长线交于点，作的角平分线交于点，求证： (3)如图3，在（2）的条件下，连接交于点，若，，上有一点，连接，，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理以及垂直的判定，角平分线的性质、三角形外角性质以及直角三角形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是通过角度之间的等量代换证明角度关系． （1）根据角度相等，求解由此可证明垂直； （2）由垂直可得，再由角平分线可得，根据角度的等量代换证明即可； （3）根据与，可得，由此可得，由（2）中结论可得． 【详解】（1）证明：∵，， ∵， ∴， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∴，且， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， 又， ∴． 【变式6-2】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知：中，分别是和的平分线，交于点． (1)如图1，求； (2)如图2，过点作，交于点，求证：； (3)如图3，过点作，交于点，连接，过点作于点，延长交于点，若与面积之和为5，则_______． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可求解； （2）如图所示，延长交于点，证明，，再证明，，由此即可求解； （3）延长，过点作于点，作，由判定，，结合全等三角形的性质及三角形的面积得，设，则，可得，，作交于，结合角平分线的性质及 可判定，（），由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵分别是和的平分线， ∴， ∴， ； （2）解：如图所示，延长交于点， ∵是角平分线， ∴， ∵， ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴，且， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，延长，过点作于点，作， ∵， ∴， ∴，且， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴，且， ∴， ， ∴， ， ， ∵与面积之和为5， ， ， ， 设，则， ， ， 如图，作交于， ∵是角平分线， ，， ， 平分， ， ， （）， ， ， ，， （）， ， ， 解得， ． 故答案为：． 【变式6-3】（24-25八年级上·安徽淮南·期末）在平面直角坐标系中，已知，且满足． (1)求出两点的坐标； (2)如图1，为轴上两动点，且始终满足，过点作的垂线交的延长线于点，连接，求证：； (3)如图2，点在轴的正半轴上，点关于轴的对称点为点，点分别是边和上的动点，且满足，连接的垂直平分线交轴于点，连接，试判断和之间的关系，并给出证明． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为 (2)证明见解析 (3)，证明见解析 【分析】（1）利用因式分解的知识将变形为，再利用完全平方的非负性求出的值，即可解答； （2）过点作轴交的延长线于点，利用判定推出，得到，进而利用判定推出，再利用全等三角形对应边相等的性质和线段和差关系即可得证； （3）在上截取，则，连接、，过点分别作，，垂足分别为，利用角平分线的性质得到，利用垂直平分线的性质得到，推出，得到，再利用角的和差关系即可解答． 【详解】（1）解：， ， ， ， 解得：， 点的坐标为，点的坐标为； （2）证明：如图1，过点作轴交的延长线于点，则． 由（1）得：， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图2，在上截取，则，连接、，过点分别作，，垂足分别为． 点关于轴的对称点为点， ， ． 又， ． ， ． 又， ． 点在的垂直平分线上， ． 在Rt和Rt中， ， ， ， ， ． ， ， ． ， ， ， 即． 题型07 拓展创新题 【例7】（24-25八年级上·安徽池州·期末）【问题提出】 数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 【问题探究】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）试说明：． 解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵， ∴（__________）． （2）探究得出的取值范围是__________； 【问题解决】 （3）如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等；；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形三边关系以及等腰直角三角形的性质，解题的关键是通过“倍长中线”法构造全等三角形，将分散的线段和角的关系集中，进而解决问题． （1）根据中点定义得到，结合对顶角相等的性质，利用判定定理证明； （2）由全等三角形性质得，再根据三角形三边关系求出的取值范围，进而得到的取值范围； （3）延长交延长线于F，利用证明，得出、，结合得，最后计算长度即得的长． 【详解】（1）解：延长到点E，使， ∵D是的中点（已知）， ∴（中点定义）， 在和中， ∵，（对顶角相等） ∴； 故答案为：对顶角相等；． （2）由题意可得：， ∵， 即， ∴． 故答案为：． （3）延长交的延长线于点F，如图： ∵，， ∴ 在和中． ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分 ∴， ∴． 【变式7】八年级一班数学兴趣小组在一次活动中进行了探究试验活动，请你和他们一起活动吧． (1)如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围．小聪同学是这样思考的；延长至，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等用到的判定方法是： ；中线的取值范围是 ． (2)如图2，在中，，点是的中点，点在边上，点在边上，若．试猜想线段、、三者之间的数量关系，并证明你的结论． (3)如图3，在中，点是的中点，，，其中，连接，探索与的关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，证明见解析 (3)，，理由见解析 【分析】本题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质等知识，解题的关键是通过作辅助线证明三角形全等． （1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得，由全等三角形的性质得出，，，求出，得到，由线段垂直平分线的性质得出，等量代换即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，则．延长交于点，根据同角的余角相等即可证明． 【详解】（1）解：是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ， 故答案为：，； （2），证明如下： 延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）可证：， ，，， ∵ ∴ ∴，即 ∴ ，， 是线段的垂直平分线， ， ； （3），，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示： 同（1）得：， ，， ， ，即， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 延长交于点， ， ， ， ， ， 即，． 一、单选题 1．（25-26八年级上·安徽阜阳·月考）如图，点是的平分线上一点，于点．已知，则点到的距离是（ ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质，根据是的平分线，，，则，即可作答． 【详解】解：如图，过点作于， ∵是的平分线，， ∴， 即点到的距离是． 故选． 2．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线的性质即可得出． 【详解】解：∵平分，，， ∴， 故选A 3．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，的三边、、的长分别为、、，三角形的三条角平分线将分为三个三角形，若的面积为，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质，三角形面积，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题关键．过点作、、的垂线，垂足分别为、、，由角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点作、、的垂线，垂足分别为、、， 、、是的三条角平分线， ， ，的面积为， ， ， 的面积 ， 故选：D 4．（24-25八年级上·安徽黄山·期末）如图，已知，是线段的垂直平分线，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查垂直平分线的性质，掌握垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题关键． 根据是线段的垂直平分线得出，将周长转化为即可． 【详解】∵是线段的垂直平分线， ∴ ∴的周长为： 故选：B 5．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，的垂直平分线分别交，于点M，N，边上的高与交于点E，点F是线段的中点，点P为线段上一动点，连接，，则下列关于周长的说法正确的是（    ） A．点P与点M重合时，的周长最小 B．点P与点N重合时，的周长最小 C．点P与点E重合时，的周长最小 D．点P与点F重合时，的周长最小 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、最短路径问题等知识点，将求三角形周长的最小值转化为求得最小值成为解题的关键．如图：连接，由垂直平分线的性质可得，再根据三角形的周长公式可得；由于为定值，则要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可；又，即当A、P、C三点共线时，有最小值，据此即可解答． 【详解】解：如图：连接， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∵的周长为，为定值， ∴要求的周长的最小值，只需求得的最小值即可， ∵， ∴当A、P、C三点共线时，有最小值，即点与点重合时的周长最小． 故选A． 6．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，是的角平分线，，若，，，则的长是（   ） A．9 B．8 C．6 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，三角形的高；根据角平分线的性质定理得到，再根据进行计算即可． 【详解】解：过点D作于点F， ∵是的角平分线，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：D． 7．（25-26八年级上·安徽·期中）如图，已知点在第一象限角平分线上，若是直角顶点，点P在上，角两边与x轴y轴分别交于A点，B点，则等于（   ） A．1 B．2 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了坐标与图形的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握以上知识点是关键．根据角平分线的性质定理可得关于的方程，解方程即可求得点的坐标，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，证明即可． 【详解】解：过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为、，如图所示： ∵点在第一象限角平分线上，， ∴， ∴， 解得：， 则点的坐标为， ∵， ， ∵， ， 由点的坐标知，， ∴， ， ． 故选：C． 8．（25-26八年级上·安徽合肥·期中）如图，的面积为10，，，分别以点A、B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F两点，作直线，M为上任意一点，点D为的中点，连接，，则长度的最小值为（　　） A． B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】此题考查了垂直平分线的性质，轴对称最值问题，解题的关键是得到当点M与点N重合时，长度最小． 连接，交直线于点N，设交于点G，得到直线为线段的垂直平分线，判断出当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长，然后利用三角形面积求解即可． 【详解】解：连接，交直线于点N，设交于点G， 由题意得，直线为线段的垂直平分线， ，， 当点M与点N重合时，长度最小，最小值即为的长． ，D为的中点， ， ，面积为10， ， 解得， 的最小值为． 故选：D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在中，的垂直平分线分别与、交于点D，E，的垂直平分线分别与、交于点F、G，，，则的周长是 【答案】9 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．先根据线段的垂直平分线的性质得到、，根据三角形的周长，代入数据计算即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 是的垂直平分线， ， ，， 的周长 故答案为：． 10．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，垂直平分，垂足为E，交于点D，若，，则的周长是 ． 【答案】10 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，再根据三角形周长公式计算即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵，， ∴的周长， 故答案为：10． 11．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在中，，分别是边，的垂直平分线，分别交于E，G两点，连接，，若，则的周长为_____． 【答案】8 【分析】本题考查了垂直平分线的性质和三角形周长求法，掌握垂直平分线性质是解决本题的关键． 根据垂直平分线性质得，将的周长转化成长度即可． 【详解】解：，分别是边，的垂直平分线， ， ， 又， 的周长为8． 故答案为：8． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，已知的面积为8，平分，且于，则的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形角平分线的性质、三角形面积的计算，掌握以上知识是解题的关键．延长交于点，可求得，则可得， 则，，可得出，从而可得答案． 【详解】解：如图，延长交于点， 平分，且于， ，， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 13．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，，的外角平分线与内角平分线的延长线交于点，过点作交的延长线于点，连接，点为中点． 给出下列结论：①； ②； ③； ④其中正确的是 ．（填序号） 【答案】②③④ 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，掌握以上知识，合理作出辅助线是关键． 根据三角形三边数量关系判定①；根据角平分线的定义，三角形外角的性质可判定②；证明，可判定③；根据三角形面积的计算，线段的数量关系，等量代换即可判定④． 【详解】解：∵点为中点， ∴， ∵， ∴，故①错误； ∵是的外角， ∴， ∴， ∵的外角平分线与内角平分线的延长线交于点， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴，故②正确； 如图所示，过点作， ∵是的角平分线，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故答案为：②③④ ． 14．（25-26八年级上·安徽黄山·期中）如图，在中，点在边上，连接，且，，直线是边的垂直平分线，若点在直线上运动，连接、，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，最短线段问题，将求周长的最小值转化为求线段的最小值是解题关键．连接，由垂直平分线的性质可知，则的周长，当点、、三点共线时，有最小值为的长，即周长的最小值为，即可得解． 【详解】解：如图，连接， 直线是边的垂直平分线，点在直线上运动， ， 的周长， 当点、、三点共线时，有最小值为的长， 周长的最小值为， 故答案为：． 15．（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，为的中点，，，过点作交于点，作交的延长线于点，连接． （1）若，则的度数为 ； （2）若，，则的长为 ． 【答案】 /65度 10 【分析】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是熟练掌握以上性质并设出未知数建立等式． （1）由已知与平角为，可得，由此可得，再结合角平分线的性质即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，再由角平分线的性质可得，由此可证明，即可得，再证明，由此可得，设出未知数即可求解． 【详解】解：（1），， ， ， ，， ， ； （2）为的中点，， 垂直平分， ， 由（1）知， ，， ，， 在和中， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 设，则， ，， ， ， ，即． 三、解答题 16．（24-25八年级下·安徽宿州·阶段练习）如图，在中，边的垂直平分线分别交、于、，，的周长为18，求的周长． 【答案】26 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到，，根据三角形的周长公式计算得到答案． 【详解】解：是线段的垂直平分线，， ，， △的周长为18， ， ， 的周长． 17．（25-26八年级上·安徽宿州·期中）如图，的周长为13． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，若，求的周长． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：为线段的垂直平分线， ，， ， 的周长为， ， ∴， 的周长． 18．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）作图题： (1)尺规作图，保留作图痕迹．如图1，有两条高速公路和，两个城镇，准备建立一个燃气中心站，使中心站到两条公路距离相等，并且到两个城镇距离相等，请你画出然气中心站的位置； (2)如图2，河的一旁有两个村子，，要在河边建一水泵站引水到村里．一村民画了一张图，以直线表示一条河，求作一点，使点到，的距离之和最短，作出点，并用几何语言叙述你的理由 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）到两条公路的距离相等，则要画两条公路的夹角的角平分线，到，两点的距离相等又要画线段的垂直平分线，两线的交点就是点的位置； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求，在直线上任取一点，连接，，，根据轴对称的性质，三角形三边关系定理判定线段的大小． 【详解】（1）解：如图，点即为所求作的点． （2）如图，点即为所求作的点． 作点关于直线的对称点，连接交直线于点，点即为所求， 理由： 在直线上任取一点，连接，，． ，两点关于直线轴对称， ，， ， 又在中，由三角形三边关系定理，得， 即， ． 19．（24-25八年级上·安徽淮北·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上，坐标分别为，，． (1)画出关于x轴对称的； (2)任意选择两个网格点画出线段的垂直平分线，并写出点M、N坐标（点M、N为线段的垂直平分线经过的网格点）． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析，， 【分析】（1）先找到，，三点关于x轴的对称点，，，依次连接即可； （2）先画出的垂直平分线，然后在垂直平分线上找到两个网格点，直接读出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，先找到，，三点关于x轴的对称点，，，依次连接， 则即为所求作： （2）解：如图，先画出的垂直平分线，然后在垂直平分线上找到两个网格点，， 由图可知：，． 20．（24-25八年级上·安徽淮南·期中）如图，与中，，，，过作垂足为，交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)若，，则的长______． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）先过点作于，判定，得出，再根据角平分线的判定定理，得出答案即可； （2）先判定，得出，再根据，求得的面积为，进而得到的长． 【详解】（1）证明：过点作于，如图所示： ∵与中，， ∴， ∴， 又∵， 即， ∴， ∵， ∴点A在的角平分线上， ∴平分； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ， ∵，， ∴， ∴的面积为， ∵， ∴， 解得：． 21．（25-26八年级上·安徽芜湖·期中）如图，为外角的角平分线上的一点，且满足．过点作于交的延长线于．求证： (1)． (2) 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质． （1）由角平分线的性质得，证明； （2）证，得，再由线段的和差即可证明． 【详解】（1）证明：为的角平分线，，． ，． 又， ． （2）证明：由（1）可得， ， ， ． ， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $