专题14.2 三角形全等的判定（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦三角形全等的判定核心知识点，从“边角全部对应相等”推理简化至“部分边角对应相等”，系统讲解SSS、SAS、ASA、AAS及HL定理的条件与符号语言，区分SAS与SSA，结合尺规作图构建完整知识支架。 该资料通过探究过程培养几何直观与抽象能力，规范书写训练推理意识，实际问题建模提升应用意识。典例变式与即学即练结合，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，强化逻辑思维。

专题14.2 三角形全等的判定 教学目标 1.经历三角形全等判定条件的探究过程，了解从“边角全部对应相等”简化为“部分边角对应相等”的推理过程，理解三角形全等判定的合理性，体会几何推理的严谨性。 2.熟练掌握四种普通三角形全等判定定理：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），精准掌握各定理的条件、对应关系与文字、符号语言表述。 3.明确区分各类判定定理的结构差异，理解“两边夹角”与“两边对角”的本质区别，掌握SSA、AAA不能判定三角形全等的原因，规避常见判定误区。 4.掌握直角三角形专属全等判定定理斜边直角边（HL），理清HL定理的适用范围，区分普通三角形判定与直角三角形特殊判定的异同，能灵活选用判定方法。 5.能结合题干已知条件与图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行、垂直等），分析、筛选合适的全等判定方法，规范完成三角形全等的证明过程。 6.掌握几何全等证明的标准书写格式，遵循“准备条件—书写全等—得出结论”的完整步骤，做到推理步步有据、逻辑清晰、格式规范。 7.能利用三角形全等判定结合全等性质，完成线段相等、角相等、线段平行与垂直的证明，解决基础几何计算与简单综合题型，培养几何建模与逻辑推理素养。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种通用全等判定定理及HL直角三角形专属判定定理的内容与适用条件； （2）能根据题目已知条件和图形隐含条件，准确、灵活选择全等判定方法； （3）掌握几何全等证明的规范书写格式，步骤完整、依据准确、对应关系清晰； （4）能运用全等判定与性质，完成线段、角度等量关系的证明与基础计算。 2. 难点 （1）精准辨析各类全等判定定理的适用条件，严格区分SAS与SSA，理解SSA、AAA无法判定全等的本质原因； （2）在复杂图形、图形变换题型中，快速挖掘公共边、公共角、对顶角等隐藏条件，补齐全等判定所需条件； （3）根据不同题型灵活择优选用判定定理，区分普通三角形与直角三角形的最优判定思路； （4）构建完整的多步推理逻辑链，先推边角条件、再证全等、最后利用性质得出结论，突破单一步骤解题思维； （5）规范复杂题型的几何书写，杜绝对应错乱、条件缺失、推理跳步等问题。 知识点01 判定定理一：边角边（SAS） 1.判定定理一：两边及其夹角分别相等的两个三角形全等（简写成：边角边，或SAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SAS） 【即学即练】 1．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定 的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先利用等式的性质可得，然后添加利用证明，即可解答． 【详解】解：添加后能用“”判定， 理由：， ， ， 在和中，， ． 故选：A． 2．已知：，，与相交于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据两组对边分别相等以及夹角相等，得证，即可作答． 【详解】解：∵，，， ∴． 知识点02 判定定理二：角边角（ASA） 1.判定定理二：两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等（简写成：角边角，或ASA）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（ASA） 【即学即练】 1．如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形全等的判定，解题的关键是掌握判定三角形全等的方法有、、、、． 根据题意可得，即可根据证明． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A． 2．如图，已知，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴． 知识点03 判定定理三：边边边（SSS） 1.判定定理三：三边分别相等的两个三角形全等（简写成：边边边，或SSS）。 2. 标准符号语言： 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SSS） 3.三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 【即学即练】 1．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】A 【详解】解：根据题意可得，图中的几何原理为：三角形的稳定性． 知识点04 判定定理四：角角边（AAS） 1.判定定理四：两角分别相等且其中一组角的对边相等的两个三角形全等（简写成：角角边，或AAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（AAS） 【即学即练】 1．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是_______________．（写出一个即可） 【答案】（或、等） 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，； 故答案为：（或、等）． 2．如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据证明两个三角形全等即可． 【详解】证明：∵三点共线，三点共线， ∴与是对顶角， ∴． 在和中， ∴． 知识点05 直角三角形全等的判定定理 1.直角三角形全等的判定定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等（简写成：斜边、直角边，或HL）。 2.标准符号语言 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 【即学即练】 1．用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，则射线为的角平分线，这么做的原理是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟知定理满足的条件是解答的关键．根据“”定理证明，再利用全等三角形的对应角相等可得结论，进而可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，则射线为的角平分线， 故这么做的原理是定理， 故选：B． 2．如图，点在同一直线上，，，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 即． ∵， 则，在和中， ， ∴． 【分析】本题主要考查三角形全等的判定与性质，根据得到即，之后利用证明，掌握三角形全等的判定定理是解题的关键即可得到答案． 【详解】略 知识点06 尺规作图——作三角形 1.已知两边及夹角（边：角：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α； 步骤三：在射线AD上截取AC=； 步骤四：连接BC，△ABC 即为所求（如图1）。 2.已知两角及夹边（角：，边：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α，以B为顶点作∠EBA=β，AD与BE相较于点C，△ABC 即为所求（如图2）。 3.已知三边（），作三角形： 步骤一：作线段 AB=c； 步骤二：以点A为圆心，为半径作弧，以 B 为圆心，为半径作弧，两弧相交于点 C； 步骤三：连接 AC，BC，△ABC 即为所求。（如图3） 图1 图2 图3 4.已知Rt△ABC，∠C=90°，作Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ： 步骤一：作∠MCˊN=∠C=90°； 步骤二：在CˊM上截取CˊAˊ=CA； 步骤三：以点Aˊ为圆心，AB长为半径画弧，交CˊN于点Bˊ； 步骤四：连接AˊBˊ，Rt△AˊBˊCˊ即为所求（如图4）。 图4 【即学即练】 1．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 【答案】B 【分析】本题考查了基本尺规作图，全等三角形的判定．第一步作，第二步作，第三步作，判定的依据是，据此求解即可． 【详解】解：A、第一步作图是作，选项的作图步骤正确，故选项正确，不符合题意； B、根据作图可以发现，，，证明依据是，选项错误，符合题意； C、第二步作图是过点E作直线l的垂线，选项正确，不符合题意； D、小聪作图判定的依据是，选项正确，不符合题意； 故选：B． 2．如图，已知：线段a和． 求作：一个三角形，使一边，（不写作法，保留尺规作图痕迹）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了三角形的一些基本作法．复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：根据作一个角等于已知角，先作，再作，、交于点C， 三角形即为所求． 题型01 三角形全等的判定定理——SAS 【典例1】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】根据，得到，利用即可得证. 【详解】略 解题固定步骤：先证两组对应边相等 → 再证两边夹角相等 → 依据SAS判定全等，逻辑完整不跳步。 【变式1】如图，与全等吗？ 【答案】与全等 【分析】根据证明即可． 【详解】解：与全等， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴． 【变式2】如图，已知，，，问与全等吗？并说明理由． 【答案】全等，理由见解析 【详解】解：全等， 理由：， ∴，即， 在和中，   ， ． 题型02 三角形全等的判定定理——ASA 【典例1】如图所示，，相交于点E，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】利用得出，再利用“”证明即可． 【详解】略 角度条件充足、边条件单一的题型，优先使用ASA，无需多余线段推导。 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键． 先证出，再由证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，平行线的性质，由平行线的性质得到，再证明，则可利用证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型03 三角形全等的判定定理——SSS 【典例1】如图，在和中，，．与全等吗？为什么？ 【答案】，证明见详解 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定定理．利用证明即可解决问题． 【详解】解：，理由如下， 证明：在和中， ， ∴． 适用场景：题干无任何角度条件，仅给出线段相等、公共边、中点、线段和差关系的题型。 【变式1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【答案】 证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】略 【变式2】如图，全等吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据证明即可． 【详解】解：，理由如下： 在和中， ∴． 题型04 三角形全等的判定定理——AAS 【典例1】如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，．求证：． 【答案】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴． 【分析】首先根据平行线的性质得到，然后得到，，最后证明即可． 【详解】略 高频适配题型：含平行线、角平分线、三角形内外角推导、垂直余角的角度类几何题。【变式1】 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，． 求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，全等三角形的判定，首先由得到，然后利用证明即可． 【详解】证明：因为， 所以． 且，， 所以． 【变式3】（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，点A，C，D，F在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，平行线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 根据线段和差得出，再利用平行线的性质，得到，进而利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 又， ∴． 题型05 三角形全等的判定定理——HL 【典例1】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了直角三角形全等的判定，解题关键是由推出，利用进行判定． 【详解】证明：， ，即， ， ， 与都为直角三角形， 在和中， ． 解题标准步骤：先证三角形为直角三角形（垂直、直角符号、矩形内角等）→ 证斜边、直角边对应相等 → 判定全等。 【变式1】如图，是的中线，，于，于．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，先利用证明，得到，再利用即可证明，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵是的中线， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式2】如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．利用“”证明全等即可． 【详解】证明：、， 在和中， ， 题型06 添加条件使三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，再添加一个条件使，以下条件不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定全等三角形，根据全等三角形的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， A．当时，利用可以判定； B．当时，利用可以判定； C．当时，不可以判定； D．当时，利用可以判定； 故选：C． 【典例2】如图，已知，点、在线段上，且．请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____（只填一个）．添加条件后证明：． 【答案】（答案不唯一），证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定以及平行线的性质，由题意添加的条件是：，先推出，再由平行线的性质得，然后根据证明即可．掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加的条件是：． 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． 故答案为：（答案不唯一）． 根据题干已有边角条件，精准匹配SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大定理，补全最简缺失条件。 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定． 利用“”判定即可． 【详解】解：根据题意，当，时，，故选项A符合题意． 故选：A． 【变式2】如图，和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，解题的关键在于根据已知条件和全等三角形的判定方法来确定所需添加的条件． 已知公共边及一组对应角相等，可再添加一组对应边相等构成，如即可． 【详解】解：已知在和中，， 且两个三角形有公共边，即， 添加条件， 此时满足“边角边”（）判定定理， 即可以证明， 所以这个条件可以是(答案不唯一)． 故答案为：(答案不唯一)． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【答案】（或） 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键．根据已知推出，，则添加利用即可证明；或利用即可证明；或利用即可证明；选择一种即可． 【详解】解：，，， ， ， 若添加， 则； 若添加， 则； 若添加， 则； 故答案为：（或）． 【变式4】如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 【答案】(1)①③ (2) 选①时， 在和中， 所以； 选③时， 在和中， 所以． 【分析】本题考查添加条件证明三角形全等： （1）根据，，得到可以利用或使，据此添加条件即可； （2）利用或证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴当时，利用可以使； 当时，利用可以使； 故答案为：①③； （2）略 题型07 三角形稳定性 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）设计如图所示的手机支架，其数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形是具有稳定性的图形 【答案】D 【分析】本题重点考查了三角形的稳定性，如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个特征，叫做三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性及其应用是解题的关键．手机支架是利用了三角形的稳定性防止抖动． 【详解】解：A、手机支架设计依据的数学道理不是两点确定一条直线，A不正确； B、手机支架设计依据的数学道理不是垂线段最短，B不正确； C、手机支架设计依据的数学道理不是两点之间，线段最短，C不正确； D、手机支架采用了三角形结构，这样设计依据的数学原理是三角形具有稳定性，D正确． 故选：D． 【变式1】下列图形具有稳定性的是（ ） A．正六边形 B．正方形 C．等边三角形 D．梯形 【答案】C 【分析】本题考查图形的稳定性，三角形具有稳定性，而四边形、六边形等多边形不具有稳定性，进行判断即可． 【详解】解：∵ 三角形具有稳定性，等边三角形是三角形， ∴ 等边三角形具有稳定性； ∵ 正六边形、正方形、梯形均不是三角形， ∴ 它们不具有稳定性； 故选：C． 【变式2】（25-26七年级下·山西晋城·期末）年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 【答案】稳定性 【详解】解：生活中利用三角形构造支撑结构，应用了三角形具有稳定性的原理，因此该应用的数学原理是三角形具有稳定性． 题型08 尺规作图 【典例1】作一个，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查基本尺规作图，作一角等于已知角，运用基本作图知识来作复杂图形是解题的关键：先作一个角等于已知角，再在角的一边作一线段等于已知线段，最后作一个角等于已知角即可完成． 【详解】解：首先作； 其次，在射线上截取； 最后，以点B为顶点在的同侧作交于点C， 如图所示，作所即为所求． 【变式1】已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查作一个与已知三角形全等的三角形，先作线段，再分别以、为圆心，、为半径画弧交于点，此时，，则． 【详解】解：使得的如图所示： 【变式2】如图，已知两角和以及这两角的夹边． (1)用直尺和圆规作其中边所对的角为 （需重新作出） (2)令若内和的平分线交于点I，用含α的代数式表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理:三角形内角和是，也考查了角平分线的定义和平角的定义，解决本题的关键是熟记三角形的内角和定理． （1）先作线段，再分别以、为顶点，作与已知、相等的角，两角的射线交点为，即得； （2）根据三角形内角和定理得到，再根据角平分线定义得到，再利用三角形内角和定理得到． 【详解】（1）（1）作图如下； （2）在中，， ， 点为的内角平分线与的交点， ， ． 【变式3】如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作______； （2）以点______为圆心，以______的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点______为顶点作______，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【答案】 A a B 【分析】本题主要考查了尺规作三角形， 先作，在射线上截取，然后作，可得即为所求作. 【详解】解：（1）作； （2）以点A为圆心，以a的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点B为顶点作，交射线于点C，则即为所求作的三角形. 故答案为：. 【变式4】如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 【答案】(1)画图见解析 (2)理由见解析 【分析】本题考查了基本的作图方法及全等三角形的判定，熟练掌握基本的作图方法是解题关键． （1）根据题意先作，然后截取，以点D为圆心，长为半径截取，即可得出图形； （2）根据作图方法得出，，，即可证明全等． 【详解】（1）解：如图所示即为所求． ； （2）证明：根据作图得：，，， ∴． 题型09 全等三角形的性质与判定综合 【典例1】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（     ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【答案】D 【分析】在上截取，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得． 【详解】解：如图，在上截取，连接，    ， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴只需知道的长度即可求得的面积． 【典例2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)，理由如下： 因为点为中点， 所以． 在和中， ， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）根据全等三角形的判定与性质，进行解答即可； （2）根据全等三角形的判定与性质、垂直的定义，进行解答即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知，， 所以， 所以． 因为是的中点，， 所以， ． 又因为， 所以， 所以． （1）核心解题逻辑：先判定，后性质，必须先证三角形全等，再利用全等性质推边角相等； （2）两步万能解法：第一步整合隐藏条件（公共边角、平行、角平分线、垂直），证三角形全等；第二步用对应边、对应角相等，求解角度、长度或证明结论。 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图中，，，，，则_________ 【答案】 【分析】先计算出，再证 ，推出，最后根据三角形外角的性质可证． 【详解】解： 中，，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【变式2】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∵ ∴． (2) 【分析】（1）根据三角形的判定证明即可； （2）利用三角形内角和，全等三角形的性质，求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴． ∵，， ∴ 【变式3】如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【答案】(1)解：，理由如下： ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 又∵， ∴； (2)由（1）可得，， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，即． 【分析】（1）根据可得，再根据E为的中点可得，即可通过判定两个三角形全等； （2）由（1）可得，，，再根据可以得到，利用可以得到，即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的有关判定方法． 【变式4】（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 【答案】(1)10； (2)分别是边上的中点， 分别是的中线，． 如下图，连接， ，， ． ， ， ； (3)证明：连接， 是边上的中点， ， ， 平分四边形的面积， ， ， ． 是边上的中点， ， ， ， ． 在和中， ， ， ． 【分析】（1）先求出，根据三角形的面积公式可得答案； （2）由三角形面积和中线的性质，先证，再根据中线的性质，证，即可得答案； （3）由三角形面积、三角形的中线、平分四边形的面积，证明，再证，得，再证，得，即可得答案． 【详解】（1）解：是边上的中点， ； （2）略； （3）略． 题型10 全等三角形中辅助线问题 【典例1】已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定和性质，延长到E，使，再连接，再证明可得，然后再根据可得答案． 【详解】解：延长到点E，使得，连接，则， ∵点D是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴，即， 故选：B． 【变式1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【答案】B 【分析】将关于对称得到，从而可得的面积为15，再根据对称的性质可得，然后根据三角形全等的判定定理证出，从而可得，最后根据与的面积之和等于与的面积之和即可得． 【详解】解：如图，将关于AE对称得到， 则，， ， ， ， 在和中，， ， ， ，即是直角三角形， ， ， 即与的面积之和为21， 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、三角形全等的判定定理与性质等知识点，通过作辅助线，构造全等三角形和直角三角形是解题关键． 【变式2】如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根据三角形中线求长度、倍长中线模型以及三角形三边关系的应用，掌握相关结论即可； （1）由题意得，根据的周长，推出即可求解； （2）延长至点，使得，连接，证明，得出，；根据，即可求解； 【详解】（1）解：∵为的中线， ∴； ∵的周长； ∴； ∴的周长； （2）解：延长至点，使得，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴，； 在中，， ∴， ∴ 【变式3】如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：，， . 在和中， ， . ， ， 即. (2) 证明： ， . 又，， . 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型：垂线模型，熟悉模型的构成及相关结论是解题关键． （1）证即可求证； （2）由（1）可得，据此即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 题型11 全等三角形的实际问题 【典例1】如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 核心思想：实际问题几何建模，将测距、测高、测宽等无法直接测量的实际问题，转化为三角形全等模型。 【变式1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过证明得出对应边，，利用高度关系求解即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ， ，， 设点距离水平台的高度为， 点距离水平台的高度为， ， 点距离水平台的高度为． 【变式2】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．    【答案】甲、乙两同学的方案都可行 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学利用的是在直角三角形的证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所有方案可行． 本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲、乙两同学的方案都可行． 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：∵于点B， ∴，均为直角三角形． 在和中，， ∴， ∴． ∴甲、乙两同学的方案都可行． 【变式3】（25-26八年级上·广西钦州·期中）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【答案】(1)证明：方案一：在与中， ， ∴， ∴； 方案二：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴； (2)我会选择方案一， 理由如下：方案一仅需使用刻度尺测量长度，工具简单、操作便捷；而方案二除刻度尺外，还需使用测角仪测量角度，工具和操作相对复杂． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，构造全等三角形是解题的关键． （1）方案一：通过构造两边及其夹角对应相等的两个三角形证明，从而得到；方案二：通过构造两角及其夹边对应相等的两个三角形证明，从而得到； （2）对比两种方案的工具与操作难度，选择工具更简单、操作更方便的方案一即可． 【详解】（1）略 （2）略 【变式4】问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2）30；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，三角形的面积，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． （1）由平分得到，由得到，从而通过“”即可证明； （2）延长交于点E，同（1）可得，，得到，，然后求出，然后得到，然后根据的面积为90得到，进而求解即可； （3）延长与，它们的延长线相交于点F，证明，推出，再证明，进而完成解答． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴在和中， ， ∴． （2）延长交于点E， 同（1）可得，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3），证明如下： 延长与，它们的延长线相交于点F， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 题型12 全等三角形综合动点问题 【典例1】如图，已知中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)点Q的运动速度为，其它条件不变，当 时，与全等． 【答案】(1)全等，证明过程见解析 (2)或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及路程、速度、时间之间的关系，准确分析证明是解题的关键． （1）先根据路程速度时间分别计算出和的长度，再根据点是的中点，求出的长，利用线段的和差关系求出的长，最后，在和中，利用条件判断即可； （2）利用三角形全等可根据对应边相等分开讨论，分别讨论当和时，求的值即可； 【详解】（1），理由如下： 经过后，，，， 中，， ， 在和中， ， ． （2）设点Q的运动速度为，经过后，与全等，则可知，，， 当时，即且时，且， 解得：； 当时，即且时，且， 解得：； 故答案是：或． 【变式1】如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)______．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时， ？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】本题考查长方形的性质、全等三角形的判定与性质、行程问题中的数量关系和列方程求解速度和时间等知识和方法，第（3）题要分类讨论，且对结果进行必要的检验，以免丢解或得出不符合题意的值． （1）按照行程问题中的数量关系，用含t的式子表示的长即可； （2）由长方形的性质得，，则，列方程求出t的值即可； （3）与全等分为两种情况，即，或，，先根据点P的运动距离求出时间，再根据点Q的运动时间和距离求出点Q的运动速度v． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； 故答案为：； （2）∵四边形是长方形， ∴． 如图1，当时，， ∴， 解得； ∴当时，， （3）解：①如图2，当，时，， ∵， ∴， 由，得， ∴， 解得； ②如图3，当，时，， ∵， ∴， 解得； ∵， ∴， 解得． 综上所述，或． 【变式2】如图，已知中，，为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，求和的值． 【答案】(1)； (2)，或，． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，熟悉掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用动点的表达方法求解即可； （2）分类讨论全等的情况，再利用全等的性质列式运算即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵， ∴； （2）∵，为的中点， ∴， 由题意，得， 由题意知，需分两种情况讨论: 若，则，， ∴，， 解得，； 若，则，， ∴，， 解得，， 由，得， ∴或均符合题意， 综上所述，，或，． 【变式3】如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)，或，． 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、注意分类讨论思想的灵活运用是解题的关键． （1）利用定理证明，根据全等三角形的性质判断线段和线段的位置关系； （2）分，两种情况，根据全等三角形的性质列式计算． 【详解】（1）解：，理由如下： 当时，， 则， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． ， ； （2）当，或，时，与全等，理由如下： 若 ， 则，， ， 解得，， 则． 若 ， 则，， 则， 解得，， 则， 故当，或，时，与全等． 1．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵是的边上的高 ∴ ∵ ∴若添加条件， ∴，故A符合题意； 若添加条件，无法证明，故B不符合题意； 若添加条件，无法证明，故C不符合题意； 若添加条件，无法证明，故D不符合题意． 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 【答案】C 【分析】首先确定斜拉木条后木框形成的新的几何图形．因为钉斜拉木条的目的是防止木框变形，即提升结构的稳定性，所以对应寻找该几何图形的相关性质，匹配选项中对应的几何原理． 【详解】解：A选项、“两点之间线段最短”用于最短路径相关问题，不是该操作的依据． B选项、“两点确定一条直线”是画直线的原理，不是该操作的依据． C选项、原来的木框是四边形，四边形具有不稳定性，容易变形；钉上斜拉木条后，在木框中构造出了三角形，而三角形具有稳定性，因此可以防止木框变形． D选项、“三角形两边之和大于第三边”用于判断三边能否构成三角形，不是该操作的依据． 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 【答案】 【分析】根据条件，通过证明，得到，，之间的关系，再利用已知角度关系求解即可． 【详解】解：在和中， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 【答案】两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 【分析】本题考查了三角形全等的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． 根据全等三角形的判定定理即可得． 【详解】解：第③块不仅保留了原来三角形的两个角还保留了一边，则可以根据两角及其夹边分别相等的两个三角形全等来配一块一样的玻璃． 故答案为：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． (2)8 【分析】（1）先得出，再根据定理即可得证； （2）得出，，即可得的长． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）已证：， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 【答案】(1)，理由如下： ， ∴ ， ， ∴， 平分 ， ∴， ， ∴； (2)10 【分析】（1）先根据平行线的性质以及已知条件证明，再由证明即可； （2）利用全等三角形的性质把线段进行转换，即可得到结果． 【详解】（1）略 （2）解：， ∴， ， ∴， ， ∴的周长为． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 【答案】柳树的高度为 【分析】先证明，再证明，即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． ， ∴． ∴， 答：柳树的高度为． 8．已知：如图所示，，． (1)请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，说明． 【答案】(1)（答案不唯一） (2)说明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的判定定理添加条件即可； （2）根据全等三角形的判定定理证明即可． 【详解】（1）解：添加条件（答案不唯一）； （2）∵ ∴ ∴ ∵， ∴． 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵，， ∴添加，根据能判定，选项A不符合题意； 添加，根据能判定，选项B不符合题意； 添加，根据不能判定，选项C符合题意； 添加，则，根据能判定，选项D不符合题意． 2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用全等得出全等三角形的对应角相等，即可得出结果． 【详解】解：，，， ， ， ， ． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 【答案】 【分析】取格点、、、、，容易证明，则，结合可得，． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 4．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 【答案】(1)， (2)解：如图，即为所求 【分析】（1）结合全等三角形的判定定理填空即可； （2）先根据作一个角等于已知角的方法作，以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点B，再以点C为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点D，以点D为圆心，线段a的长为半径画弧，交射线于点A，连接即可． 【详解】（1）略 （2）略 5．（25-26七年级下·北京·期末）如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． (2)， 【分析】（1）先结合，得，又因为，，即可证明； （2）运用全等三角形的性质得，再结合对顶角相等，三角形内角和性质得，根据，故，最后运用三角形外角性质列式计算，即可作答． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴， ∴（三角形外角性质） 6．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 【答案】(1)稳定 (2)理由：是，的中点，， ，． 又， ， ． 【分析】（1）根据三角形的稳定性即可解答； （2）先证明，再根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）略 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 【答案】(1) 理由： ，， ． ． ， ． ． 在与中， ， ． (2) 理由： 在中，，， ． ，， ． 同理可得． 在与中， ， ． 【分析】（1）由同角的余角相等得出，再利用即可证明； （2）利用三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理证明出，同理可得，再利用证明即可． 【详解】（1）略； （2）略． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，或 【分析】（1）利用路程速度时间得到，再用等量关系求出； （2）长方形中、，依据全等条件令列式求出t； （3）因为，分和两种全等对应情况分别列方程算出t，再由求出x． 【详解】（1）解：由题意得运动秒，点运动， ，； （2）解：四边形是长方形， ，， 要使，则有，即，解得， 在和中， ， 当时，； （3）解：分以下两种情况： ①当时，，解得， ，， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，； ②当时，，解得， ， 要使与全等，则有， ， 在和中， ， 当时，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.2 三角形全等的判定 教学目标 1.经历三角形全等判定条件的探究过程，了解从“边角全部对应相等”简化为“部分边角对应相等”的推理过程，理解三角形全等判定的合理性，体会几何推理的严谨性。 2.熟练掌握四种普通三角形全等判定定理：边边边（SSS）、边角边（SAS）、角边角（ASA）、角角边（AAS），精准掌握各定理的条件、对应关系与文字、符号语言表述。 3.明确区分各类判定定理的结构差异，理解“两边夹角”与“两边对角”的本质区别，掌握SSA、AAA不能判定三角形全等的原因，规避常见判定误区。 4.掌握直角三角形专属全等判定定理斜边直角边（HL），理清HL定理的适用范围，区分普通三角形判定与直角三角形特殊判定的异同，能灵活选用判定方法。 5.能结合题干已知条件与图形隐含条件（公共边、公共角、对顶角、平行、垂直等），分析、筛选合适的全等判定方法，规范完成三角形全等的证明过程。 6.掌握几何全等证明的标准书写格式，遵循“准备条件—书写全等—得出结论”的完整步骤，做到推理步步有据、逻辑清晰、格式规范。 7.能利用三角形全等判定结合全等性质，完成线段相等、角相等、线段平行与垂直的证明，解决基础几何计算与简单综合题型，培养几何建模与逻辑推理素养。 教学重难点 1.重点 （1）熟练掌握SSS、SAS、ASA、AAS四种通用全等判定定理及HL直角三角形专属判定定理的内容与适用条件； （2）能根据题目已知条件和图形隐含条件，准确、灵活选择全等判定方法； （3）掌握几何全等证明的规范书写格式，步骤完整、依据准确、对应关系清晰； （4）能运用全等判定与性质，完成线段、角度等量关系的证明与基础计算。 2. 难点 （1）精准辨析各类全等判定定理的适用条件，严格区分SAS与SSA，理解SSA、AAA无法判定全等的本质原因； （2）在复杂图形、图形变换题型中，快速挖掘公共边、公共角、对顶角等隐藏条件，补齐全等判定所需条件； （3）根据不同题型灵活择优选用判定定理，区分普通三角形与直角三角形的最优判定思路； （4）构建完整的多步推理逻辑链，先推边角条件、再证全等、最后利用性质得出结论，突破单一步骤解题思维； （5）规范复杂题型的几何书写，杜绝对应错乱、条件缺失、推理跳步等问题。 知识点01 判定定理一：边角边（SAS） 1.判定定理一： 分别相等的两个三角形全等（简写成：边角边，或SAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SAS） 【即学即练】 1．如图，在和中，点E、F在上，，，添加下列一个条件后能用“”判定 的是（ ） A． B． C． D． 2．已知：，，与相交于点．求证：． 知识点02 判定定理二：角边角（ASA） 1.判定定理二： 分别相等的两个三角形全等（简写成：角边角，或ASA）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（ASA） 【即学即练】 1．如图，为了测量池塘两岸相对的A，B两点之间的距离，小明同学在池塘外取的垂线上两点C，D，，再画出的垂线，使点E与A，C在同一条直线上，可得，从而．你认为能判定的依据是（   ）． A． B． C． D． 2．如图，已知，，，求证：． 知识点03 判定定理三：边边边（SSS） 1.判定定理三： 分别相等的两个三角形全等（简写成：边边边，或SSS）。 2. 标准符号语言： 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（SSS） 3.三角形的稳定性：当三角形的三条边长确定时，三角形的形状、大小完全确定，这个性质叫作三角形的稳定性。 【即学即练】 1．如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）安装空调一般会采用如图的方法固定，其根据的几何原理是（     ） A．三角形的稳定性 B．两点之间线段最短 C．垂线段最短 D．两点确定一条直线 知识点04 判定定理四：角角边（AAS） 1.判定定理四：两角分别相等且其中一组角的对边相等的两个三角形全等（简写成：角角边，或AAS）。 2.标准符号语言 在△ABC和△DEF中 ∴ △ABC≌△DEF（AAS） 【即学即练】 1．如图，已知，要使，还需添加的一个条件是_______________．（写出一个即可） 2．如图，在和中，三点共线，三点共线，，．求证：． 知识点05 直角三角形全等的判定定理 1.直角三角形全等的判定定理： 和一条 分别相等的两个直角三角形全等（简写成：斜边、直角边，或HL）。 2.标准符号语言 在Rt△ABC和Rt△DEF中 ∴ Rt△ABC≌Rt△DEF（HL） 【即学即练】 1．用小尺可按下面方法画角平分线：在已知的的两边上，分别取，再分别过点M、N作的垂线，交点为P，则射线为的角平分线，这么做的原理是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点在同一直线上，，，．求证：． 知识点06 尺规作图——作三角形 1.已知两边及夹角（边：角：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α； 步骤三：在射线AD上截取AC=； 步骤四：连接BC，△ABC 即为所求（如图1）。 2.已知两角及夹边（角：，边：），作三角形： 步骤一：作线段 AB=； 步骤二：以A为顶点作∠DAB=α，以B为顶点作∠EBA=β，AD与BE相较于点C，△ABC 即为所求（如图2）。 3.已知三边（），作三角形： 步骤一：作线段 AB=c； 步骤二：以点A为圆心，为半径作弧，以 B 为圆心，为半径作弧，两弧相交于点 C； 步骤三：连接 AC，BC，△ABC 即为所求。（如图3） 图1 图2 图3 4.已知Rt△ABC，∠C=90°，作Rt△ABC≌Rt△AˊBˊCˊ： 步骤一：作∠MCˊN=∠C=90°； 步骤二：在CˊM上截取CˊAˊ=CA； 步骤三：以点Aˊ为圆心，AB长为半径画弧，交CˊN于点Bˊ； 步骤四：连接AˊBˊ，Rt△AˊBˊCˊ即为所求（如图4）。 图4 【即学即练】 1．如图①，已知，小聪想作一个，使得，其作图步骤如图②所示，下列说法错误的是 （　　） A．第一步作图：在直线l上取一点E，以点E为圆心，长为半径作弧，与直线l交于点F B．小聪作图判定的依据是 C．第二步作图是过点E作直线l的垂线 D．小聪作图判定的依据是 2．如图，已知：线段a和． 求作：一个三角形，使一边，（不写作法，保留尺规作图痕迹）． 题型01 三角形全等的判定定理——SAS 【典例1】已知：如图，A、C、F、D在同一直线上，，，．求证：． 解题固定步骤：先证两组对应边相等 → 再证两边夹角相等 → 依据SAS判定全等，逻辑完整不跳步。 【变式1】如图，与全等吗？ 【变式2】如图，已知，，，问与全等吗？并说明理由． 题型02 三角形全等的判定定理——ASA 【典例1】如图所示，，相交于点E，，，求证：． 角度条件充足、边条件单一的题型，优先使用ASA，无需多余线段推导。 【变式1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）如图，，，，求证：． 【变式2】（25-26八年级上·湖北鄂州·期末）如图，，，．求证：． 题型03 三角形全等的判定定理——SSS 【典例1】如图，在和中，，．与全等吗？为什么？ 适用场景：题干无任何角度条件，仅给出线段相等、公共边、中点、线段和差关系的题型。 【变式1】如图，点B、E、C、F在同一直线上，，，，求证：． 【变式2】如图，全等吗？为什么？ 题型04 三角形全等的判定定理——AAS 【典例1】如图，在四边形中，，点，在对角线上，，且，．求证：． 高频适配题型：含平行线、角平分线、三角形内外角推导、垂直余角的角度类几何题。【变式1】 【变式2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）已知：如图，点、、、在同一条直线上，，，． 求证：． 【变式3】（25-26八年级上·广东东莞·期末）如图，在和中，点A，C，D，F在同一条直线上，，，，求证：． 题型05 三角形全等的判定定理——HL 【典例1】如图，已知在线段上，与交于点，且，，求证：． 解题标准步骤：先证三角形为直角三角形（垂直、直角符号、矩形内角等）→ 证斜边、直角边对应相等 → 判定全等。 【变式1】如图，是的中线，，于，于．求证：． 【变式2】如图，分别是、上的点，分别是上的点，若、，求证：． 题型06 添加条件使三角形全等 【典例1】（25-26八年级上·山西吕梁·期末）如图，已知，再添加一个条件使，以下条件不成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】如图，已知，点、在线段上，且．请你添加一个条件，使得．你添加的条件是：_____（只填一个）．添加条件后证明：． 根据题干已有边角条件，精准匹配SSS、SAS、ASA、AAS、HL五大定理，补全最简缺失条件。 【变式1】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，能直接用“”判定的条件是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】如图，和中，．只需添加一个条件即可证明，这个条件可以是___________（写出一个即可）． 【变式3】（25-26八年级上·北京·期末）如图，点、、在同一直线上，，于，，要使，则只需添加一个适当的条件是_____．（只填一个即可） 【变式4】如下图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，下列条件：①；②；③；④．其中能使的有_______（填序号）； (2)根据（1）中添加的条件，分别说明． 题型07 三角形稳定性 【典例1】（25-26八年级上·云南昆明·期末）设计如图所示的手机支架，其数学原理是（   ） A．两点确定一条直线 B．垂线段最短 C．两点之间，线段最短 D．三角形是具有稳定性的图形 【变式1】下列图形具有稳定性的是（ ） A．正六边形 B．正方形 C．等边三角形 D．梯形 【变式2】（25-26七年级下·山西晋城·期末）年射击世界杯德国慕尼黑站，张常鸿获得男子10米气步枪冠军．在瞄准目标时，手、肘、肩构成托枪三角形，这样做应用的数学原理是三角形具有________________． 题型08 尺规作图 【典例1】作一个，使． 【变式1】已知（如图），请你用尺规作图的方法作，使得．（请保留适当的作图痕迹） 【变式2】如图，已知两角和以及这两角的夹边． (1)用直尺和圆规作其中边所对的角为 （需重新作出） (2)令若内和的平分线交于点I，用含α的代数式表示的度数． 【变式3】如图，已知线段a和，求作，使，根据作图痕迹补全作法． （1）作______； （2）以点______为圆心，以______的长为半径在射线上画弧，交于点B； （3）以点______为顶点作______，交射线于点C，则即为所求作的三角形． 【变式4】如图，已知，点D在边上． (1)求作，使，并满足点E在的延长线上，（请用尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)根据你的作图方法，说明的理由． 题型09 全等三角形的性质与判定综合 【典例1】（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，在中，，，点在内，且，若要求的面积，则只需知道（     ） A．的长度 B．的长度 C．的长度 D．的长度 【典例2】（25-26七年级下·河南平顶山·期末）如图所示，在中，为上一点，为中点，连接并延长至点，使得，连接． (1)你认为与相等吗？并说明理由； (2)若，，，求的长． （1）核心解题逻辑：先判定，后性质，必须先证三角形全等，再利用全等性质推边角相等； （2）两步万能解法：第一步整合隐藏条件（公共边角、平行、角平分线、垂直），证三角形全等；第二步用对应边、对应角相等，求解角度、长度或证明结论。 【变式1】（25-26七年级上·山东烟台·期中）如图中，，，，，则_________ 【变式2】（25-26七年级下·陕西渭南·期末）如图，已知点，，，在一条直线上，，，． (1)请说明； (2)若，，求的度数． 【变式3】如图，在四边形ABCD中，，E为的中点，连接，延长交的延长线于点F． (1)和全等吗？请说明理由． (2)若，试说明： 【变式4】（25-26七年级下·福建漳州·期末）如图，在中，，分别是，边上的中点，与交于点． (1)若，求； (2)求证：； (3)点在线段上（点不与点，点重合），连接并延长到点，连接，若平分四边形的面积．求证：． 题型10 全等三角形中辅助线问题 【典例1】已知的边长为4，边长为8，则边上的中线的长度的取值范围（   ） A． B． C． D． 【变式1】如图，在中，，，D、E是斜边上两点，且，若，，，则与的面积之和为（    ） A．36 B．21 C．30 D．22 【变式2】如图，已知为的中线，，的周长为，则 (1)的周长为多少？ (2)的取值范围是多少？（直接写出答案） 【变式3】如图，在中，，直线经过顶点，过，两点分别作的垂线，，，为垂足，且．求证： (1)； (2)． 题型11 全等三角形的实际问题 【典例1】如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 核心思想：实际问题几何建模，将测距、测高、测宽等无法直接测量的实际问题，转化为三角形全等模型。 【变式1】（25-26七年级下·浙江宁波·期末）如图，钟摆的摆长固定，悬挂点为，钟摆静止时在最低点处，与钟面底部的水平台垂直．钟摆到达位置处，距离水平台的高度为；然后到达位置处，测得、两点到的水平距离、分别为和，且、则钟摆到达处时距离水平台的高度为（） A． B． C． D． 【变式2】为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．    【变式3】（25-26八年级上·广西钦州·期中）为测量公园里古塔底座，两点间的距离（其中，两点均在地面上），数学兴趣小组利用本学期所学的数学知识，分别设计出了如下两种方案： 方案一：如图1，在平地上取一个可以直接到达点，的点，连接并延长到点，连接并延长到点，使，，连接，测出的长即可得线段的长． 方案二：如图2，先确定直线，过点作，在点处用测角仪确定，射线交直线于点，最后测量的长，即可得线段的长．解答下列问题： (1)请用所学知识证明以上两种方案的合理性； (2)如果让你参与测量，你会选择哪一种方案？请说明理由． 【变式4】问题情境 （1）如图，在中，平分交于点D，于点E，延长交于点F，求证：； 实际应用 （2）如图是一块肥沃的三角形土地，其中边与灌渠相邻，唐叔叔想在这块地中划出一块直角三角形土地进行水稻试验，故进行如下操作：①取的平分线；②过点A作于点D，已知，，的面积为90，请求出的面积； 拓展延伸 （3）如图，在中，，，平分交于点D，交延长线于点E，试探究和之间的数量关系，并证明你的结论． 题型12 全等三角形综合动点问题 【典例1】如图，已知中，，，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． (1)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，与是否全等，请说明理由； (2)点Q的运动速度为，其它条件不变，当 时，与全等． 【变式1】如图，在长方形中，，，点P从点B出发，以/秒的速度沿向点C运动，设点P的运动时间为t秒： (1)______．（用t的代数式表示） (2)当t为何值时， ？ (3)当点P从点B开始运动，同时，点Q从点C出发，以/秒的速度沿向点D运动，是否存在这样v的值，使得与全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由． 【变式2】如图，已知中，，为的中点．点在线段上以每秒个单位长度的速度由点向点运动，同时点在线段上由点向点以每秒个单位长度的速度运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)若以，，为顶点的三角形和以，，为顶点的三角形全等，且和是对应角，求和的值． 【变式3】如图（1），，，，点P在线段上以的速度由点A向点B运动，同时，点在线段上由点B向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，判断此时线段和线段的位置关系，并证明； (2)如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、的值；若不存在，说明理由． 1．如图，已知是的边上的高，下列能使的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建宁德·期末）为了防止木框变形，经常如图所示钉上一条斜拉的木条，这样做的依据是（     ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．三角形的稳定性 D．三角形两边之和大于第三边 3．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，点B、C、E三点在同一直线上，且，若，则的度数为____． 4．（25-26八年级上·湖南娄底·期末）如图，小明不小心把一块三角形玻璃打碎成三块，他要到玻璃店重新配成一块一样的，只需带③号碎片去的理由是：______． 5．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，点在线段上，已知，，． (1)求证： (2)若，，求的长． 6．（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，点在边上，且，平分交于点，交于点． (1)与全等吗？请说明理由； (2)若，，，求的周长． 7．（25-26七年级下·陕西西安·期中）在学校组织的徒步春光活动中，七年级某小组学生想测量灞河河岸边一棵古柳的高度，他们设计了如下方案：首先找来一根长度大于树高的直杆，先将其斜靠在树干上，顶端与树梢重合，此时直杆与地面的夹角为（即）；接着让直杆沿树干竖直下滑至位置，此时直杆与地面的夹角变为（即），此时测得杆脚到树根的水平距离为（即）．已知树干与地面垂直（即），点A，C，M在同一条直线上，点M，B，D在同一条直线上，所有点在同一平面内，求这棵柳树的高度． 8．已知：如图所示，，． (1)请你只加一个条件，使，你添加的条件是______． (2)根据你添加的条件，说明． 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，在和中，已知，添加下列一个条件后，仍不能判定的是（   ）    A． B． C． D． 2．我国传统工艺中，油纸伞制作非常巧妙，其中蕴含着数学知识．如图是油纸伞的张开示意图，其中，，若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川成都·期末）如图，在的方格纸中_____． 4．【课本回顾】你还记得怎样用尺规作一个角等于已知角吗？你能说明其中的道理吗？小明回顾了作图过程，并进行了如下思考： 如图1，由尺规作图可知，，__________， 所以（__________），（填全等判定依据） (1)完成上述小明思考过程中的填空； (2)【操作应用】 如图2，已知线段和，请用尺规作一个，使；（保留作图痕迹，标明字母，不写作法） 5．（25-26七年级下·北京·期末）如图，点，分别在的，边上，，依次为延长线上两点，，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数，并直接写出当_____时，． 6．（25-26七年级下·陕西汉中·期末）2025年9月3日，某校组织全体师生集中收看纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会阅兵仪式，进行爱国主义教育．该校为师生配备如图1所示的折叠坐凳便于集中观看． (1)这种折叠凳坐着舒适、稳定，这种设计所运用的数学原理是三角形的_________性； (2)图2是折叠凳撑开后的示意图（材料宽度忽略不计），其中凳腿和的长相等，O是它们的中点．为使折叠凳坐着舒适，厂家将撑开后的折叠凳宽度设计为，则由以上信息可推得的长度也为，请说明的理由． 7．（25-26七年级下·广东深圳·期末）在不同情境下探究三角形的关系． (1)如图（a），，射线在这个角的内部，点，分别在的边，上，且，，垂足为，，垂足为，与全等吗？请说明理由； (2)如图（b），点，分别在的边，上，点，都在内部的射线上．已知，且，与全等吗？请说明理由． 8．（25-26七年级下·宁夏银川·期末）如图，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动（到点停止运动），设点的运动时间为秒： (1) ； ．（用含有的代数式表示） (2)当为何值时，？ (3)当点从点开始运动，同时，点从点出发（到点停止运动），以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得与全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $