专题15.1 轴对称图形（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义系统梳理轴对称图形的定义、对称轴、两个图形成轴对称的概念及性质，涵盖作图方法、坐标对称规律、常见图形特征及应用，构建从基础定义到性质应用的递进学习支架。 通过“即学即练”“典例+变式”设计，结合生活实例培养几何直观，折叠问题强化推理意识，跨学科应用体现数学语言表达，课中助力分层教学，课后辅助查漏补缺。

专题15.1 轴对称图形 教学目标 1.理解轴对称图形的定义，准确把握轴对称图形的核心特征，能够识别生活中、几何图形中的轴对称图形，能准确找出轴对称图形的对称轴。 2.理解两个图形关于某直线对称（图形成轴对称）的概念，能够清晰区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的联系与区别，避免概念混淆。 3.掌握轴对称的基本性质，理解对称轴垂直平分对应点的连线，明确轴对称图形中对应线段相等、对应角相等，能熟练用几何语言表述轴对称性质。 4.掌握作轴对称图形的基本方法，能够根据已知图形和对称轴，准确找到对应点，规范作出一个图形关于已知直线的轴对称图形，熟练掌握作图步骤与要求。 5.了解常见基本几何图形的轴对称性，掌握线段、角、等腰三角形、长方形、正方形、圆等图形的对称轴数量与位置，熟记常见轴对称图形特征。 6.能利用轴对称的性质进行简单线段、角度的计算与证明，能结合图形折叠问题分析边角关系，初步掌握折叠题型的解题思路。 7.通过观察图形、动手操作、作图探究等活动，感受图形变换的数学思想，培养几何直观、动手操作能力与数形结合的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）理解轴对称图形与图形成轴对称的概念，能准确判断轴对称图形、找出图形对称轴； （2）熟练掌握轴对称的核心性质，理解对应点、对应线段、对应角之间的关系； （3）掌握轴对称图形的作图方法，能规范作出图形关于直线的对称图形； （4）熟记常见几何图形的轴对称特征，能利用轴对称性质进行简单计算与说理。 2. 难点 （1）精准区分“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”的概念，理清二者的从属关系与本质差异； （2）深刻理解“对称轴垂直平分对应点连线”的性质，能运用该性质解决对应点、对称轴相关问题； （3）在折叠、组合复杂图形中挖掘轴对称隐含条件，利用轴对称性质转化边角关系，完成推理计算； （4）规范轴对称作图流程，精准定位对称点，避免作图偏差，养成严谨的作图习惯。 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够 ，这个图形就叫作轴对称图形。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.元素：这条直线就是它的 。折叠后重合的点是对应点，叫作 （也叫对称点）。 注意： ①对称轴是一条 ，而不是射线或线段； ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条； ③轴对称图形是对于 个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江西抚州·期末）下列绿色、节水、节能、植树造林四个标志中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 知识点02 轴对称 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成 ，也称这两个图形关于这条直线 。 2.成轴对称的两个图形 。 3.轴对称和轴对称图形的区别与联系： 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即学即练】 1．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.垂直平分线的定义：经过线段 且 于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线成 ，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的 ；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 3.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的 。 4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段） ，对应角（对折后重合的角） 。 5.成轴对称的两个图形 ；轴对称图形被对称轴分成的两部分也 ，但全等的两个图形 是轴对称图形。 【即学即练】 1．如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 知识点04 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的 ，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形。 2.具体步骤：①找图形的 ： ②过关键点作对称轴的 并延长，使延长部分的长度等于关键点到 的长度，从而得到关键点的 ； ③按照 连接各对应点。 3.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法： ① —写出对称点的坐标； ② —根据对称点的坐标描点； ③ —按原图形对应连接所描各点得到所求的图形。 【即学即练】 1．分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，． (1)请你在图中画出关于轴对称的； (2)在（1）的条件下，请直接写出、、的坐标． 知识点05 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为 ； 2.点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为 ； 3.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 ； 4.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 。 【即学即练】 1．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．点关于轴对称的点的坐标为_____． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为______． 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形中，不属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 快速判定方法：假想沿中间直线对折，两边形状、大小、图案完全重合即为轴对称图形。 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】如图是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形是（     ） A．中国工商银行 B． 中国人民银行 C． 中国农业银行 D．中国建设银行 【变式3】甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 题型02 求对称轴的条数 【典例1】下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 能使图形折叠重合的每一条直线都是对称轴，逐条列举、不重不漏。 【变式1】下列图形对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 【变式2】下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 【变式3】如图，该轴对称图形的对称轴有______条． 题型03 成轴对称图形的识别 【典例1】下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【变式1】下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【变式2】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 题型04 利用轴对称图形的性质求解 【典例1】如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【典例2】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为______． 【变式1】如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【变式2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】如图所示的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积之和是___________． 【变式4】如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【变式5】如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 题型05 轴对称的实际应用 【典例1】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 将实际图案转化为轴对称几何模型，利用对称性质还原原图、求解边长角度。 【变式1】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【变式2】某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【变式3】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【变式4】电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 题型06 作轴对称图形 【典例1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，写出点、的坐标． 标准作图步骤：找点（图形关键点）→ 作垂线（过点作对称轴垂线）→ 倍长取对称点 → 顺次连接对应点。 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点、的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； (2)在（1）的条件下，写出点、的坐标． 【变式3】如图，在的网格纸中，建立平面直角坐标系，已知的三个顶点坐标分别为．请按要求画图，并回答问题． (1)请在图中画出． (2)以y轴为对称轴，在图中作的轴对称图形，并写出点C的对应点F的坐标：F___________． 题型07 折叠问题 【典例1】如图，将折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【典例2】如图，将的沿折叠，使点和点重合，连接，已知的周长为，则的周长是__________． （1）折叠本质：折叠前后图形关于折痕轴对称，完全全等； （2）核心等量：折叠前后对应边相等、对应角相等、重叠角相等、重叠边相等； （3）解题套路：标注所有等角等边 → 结合内角和、互余、平角180°列方程求解。 【变式1】如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式2】如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为___________． 【变式3】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，与所在的直线重合，，则______． 【变式4】如图是个直角三角形纸片，且：：：：，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．    (1)若，求的面积． (2)若，求的值． 【变式5】如图所示，和是由分别沿着边所在直线翻折形成的，若，求的度数． 题型08 坐标系中的轴对称 【典例1】如果P点的坐标为，那么它关于y轴的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【典例2】已知点与点关于轴对称，则________． （1）点对称公式：点(x，y)关于x轴对称(x，-y)；关于y轴对称(-x，y)； （2）识图技巧：x轴上下翻转、y轴左右翻转，结合象限符号快速判定坐标。 【变式1】已知点和点 关于x轴对称，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【变式2】已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【变式3】在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，点关于轴对称． (1)已知，求出点的坐标； (2)已知，的面积为，求点的坐标． 题型09 轴对称综合 【典例1】如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【变式1】在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于轴的对称图形； (2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的； (3)连接， 则轴与的关系是 ； (4)求出四边形的面积． 【变式2】如图，的三个顶点的坐标分别为点，，． (1)请在图中画出关于轴对称的（点的对应点分别为，，），并写出点的坐标． (2)的面积是________． (3)连接，，请写出，，之间的数量关系，并给予证明． 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的图形； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 【变式4】如图1，已知平行四边形，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是平行四边形边上的一个动点． (1)求直线的解析式． (2)若点为上一点，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标． 题型10 轴对称中最值问题 【典例1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． （1）核心模型：将军饮马模型（轴对称必考最值），直线同侧两定点，求直线上一动点使线段和最小； （2）解题原理：利用轴对称转化线段，两点之间，线段最短； （3）标准步骤：作其中一个定点关于直线的对称点 → 连接对称点与另一定点 → 与直线交点即为最值点。 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上取一点，使最短，请画出点并直接写出点的坐标． 【变式2】（25-26八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，各顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在y轴上求作一点P，使得点P到点A、B的距离之和最小． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， (1)在图中作出关于x轴的对称图形， (2)写出点C关于y轴的对称点的坐标________； (3)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请直接写出P点坐标 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产。下面四个选项是小明收集“晋”字的演变过程：甲骨文→金文→小篆→楷书，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）以下四款常用软件图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 4．（2026·广西梧州·二模）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 6．（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 7．（25-26八年级下·上海·期中）已知点关于轴对称，则___________． 8．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 9．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 10．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． (1)将向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的图形； (2)画出关于轴的对称图形； 11．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 1．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．16 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．（2026·山东泰安·三模）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，将长方形纸片沿，折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数为__________． 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． (1)请在图中画出关于直线对称的图形； (2)求的面积； (3)请在直线上确定一点，使得最短． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，与关于直线l对称，与的交点F在直线l上．若，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 11．（25-26七年级下·河南南阳·期末）一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.1 轴对称图形 教学目标 1.理解轴对称图形的定义，准确把握轴对称图形的核心特征，能够识别生活中、几何图形中的轴对称图形，能准确找出轴对称图形的对称轴。 2.理解两个图形关于某直线对称（图形成轴对称）的概念，能够清晰区分“轴对称图形”与“两个图形成轴对称”的联系与区别，避免概念混淆。 3.掌握轴对称的基本性质，理解对称轴垂直平分对应点的连线，明确轴对称图形中对应线段相等、对应角相等，能熟练用几何语言表述轴对称性质。 4.掌握作轴对称图形的基本方法，能够根据已知图形和对称轴，准确找到对应点，规范作出一个图形关于已知直线的轴对称图形，熟练掌握作图步骤与要求。 5.了解常见基本几何图形的轴对称性，掌握线段、角、等腰三角形、长方形、正方形、圆等图形的对称轴数量与位置，熟记常见轴对称图形特征。 6.能利用轴对称的性质进行简单线段、角度的计算与证明，能结合图形折叠问题分析边角关系，初步掌握折叠题型的解题思路。 7.通过观察图形、动手操作、作图探究等活动，感受图形变换的数学思想，培养几何直观、动手操作能力与数形结合的数学素养。 教学重难点 1.重点 （1）理解轴对称图形与图形成轴对称的概念，能准确判断轴对称图形、找出图形对称轴； （2）熟练掌握轴对称的核心性质，理解对应点、对应线段、对应角之间的关系； （3）掌握轴对称图形的作图方法，能规范作出图形关于直线的对称图形； （4）熟记常见几何图形的轴对称特征，能利用轴对称性质进行简单计算与说理。 2. 难点 （1）精准区分“轴对称图形”和“两个图形成轴对称”的概念，理清二者的从属关系与本质差异； （2）深刻理解“对称轴垂直平分对应点连线”的性质，能运用该性质解决对应点、对称轴相关问题； （3）在折叠、组合复杂图形中挖掘轴对称隐含条件，利用轴对称性质转化边角关系，完成推理计算； （4）规范轴对称作图流程，精准定位对称点，避免作图偏差，养成严谨的作图习惯。 知识点01 轴对称图形与对称轴 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫作轴对称图形。这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称。 2.元素：这条直线就是它的对称轴。折叠后重合的点是对应点，叫作对应点（也叫对称点）。 注意： ①对称轴是一条直线，而不是射线或线段； ②一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条； ③轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形。 【即学即练】 1．（25-26七年级下·江西抚州·期末）下列绿色、节水、节能、植树造林四个标志中，属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的概念判断即可． 【详解】解：选项A、B、D都不是轴对称图形，只有选项C中的图形沿着某直线折叠后，两旁的部分能够重合，因而是轴对称图形． 2．如图，给出的虚线是图形的对称轴的是（    ） A．①③⑤ B．②④⑥ C．①②④ D．②⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形的的定义，如果把一个图形沿着一条直线折起来，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫轴对称图形，这条直线叫对称轴，据此解答即可求解，掌握轴对称图形的的定义是解题的关键． 【详解】解：由图可得，图形的对称轴是②④⑥， 故选：． 知识点02 轴对称 1.轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，也称这两个图形关于这条直线对称。 2.成轴对称的两个图形全等。 3.轴对称和轴对称图形的区别与联系： 关系 名称 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【即学即练】 1．观察下面A，B，C，D四幅图，其中与下图成轴对称的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、不成轴对称，故不符合题意； B、不成轴对称，故不符合题意； C、成轴对称，故符合题意； D、不成轴对称，故不符合题意． 知识点03 两个图形成轴对称和轴对称图形的性质 1.垂直平分线的定义：经过线段中点且垂直于这条线段的直线，叫作这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）。 2.两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；成轴对称的两个图形中，对应点的连线被对称轴垂直平分。 3.轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。 4.轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等。 5.成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形。 【即学即练】 1．如图，与关于直线l对称，，，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据轴对称性质可得，从而，再利用三角形内角和，即可求出 ． 【详解】解：∵与关于直线对称， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴． 2．如图，直线是四边形的对称轴，P是直线上的点，下列判断错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质，根据直线是四边形的对称轴，得到点A与点B对应，根据轴对称的性质即可得到结论． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴， ∴点A与点B对应， ∴，，， ∵点P是直线上的点， ∴，， ∴A，C，D正确，B错误， 故选：B． 知识点04 作轴对称图形 1.画法：几何图形都可以看作由点组成。对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形。 2.具体步骤：①找图形的关键点： ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的对应点； ③按照原图形连接各对应点。 3.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法： ①写出坐标—写出对称点的坐标； ②描点—根据对称点的坐标描点； ③连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形。 【即学即练】 1．分别以直线m，n为对称轴画出各图的另一半． 【答案】 【分析】根据轴对称图形的定义解题． 【详解】略． 2．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，平面直角坐标系中，顶点坐标分别为，，． (1)请你在图中画出关于轴对称的； (2)在（1）的条件下，请直接写出、、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)，， 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可知，，，． 知识点05 关于坐标轴对称的点的坐标的特点 1.点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y) ； 2.点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y) ； 3.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 ； 4.点(x，y)关于直线对称的点的坐标为 。 【即学即练】 1．点关于轴对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称的性质，解题的关键是掌握坐标关于轴对称的变化规律，即关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数，据此求解即可． 【详解】解：∵关于轴对称点的坐标是横坐标不变纵坐标变为原来的相反数， ∴点关于轴对称的点的坐标为． 故选：B． 2．点关于轴对称的点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题考查坐标系中的对称． 根据关于轴对称的点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标为， 故答案为：． 3．（25-26八年级上·四川绵阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，点是原点，已知点，，，如果与关于轴对称，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称，由题意可知点和点关于轴对称，再根据关于轴对称的点纵坐标相同，横坐标互为相反数即可求解，掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解题的关键． 【详解】解：由题意可知，点和点关于轴对称， ∵， ∴点的坐标为， 故答案为：． 题型01 轴对称图形的识别 【典例1】（25-26七年级下·河南周口·期末）下列图形中，不属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把图形沿直线折叠，直线两旁的部分可以完全重合，则该图形是轴对称图形，根据轴对称图形的定义进行判断即可． 【详解】解：A选项：把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故A选项不符合题意； B选项：把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故B选项不符合题意； C选项：把该图形沿任何一条直线折叠，直线两旁的部分都不能重合， 该图形不是轴对称图形，故C选项符合题意； D选项：把图形沿虚线折叠，直线两旁的部分可以完全重合， 该图形是轴对称图形，故D选项不符合题意． 快速判定方法：假想沿中间直线对折，两边形状、大小、图案完全重合即为轴对称图形。 【变式1】（25-26七年级下·河南驻马店·期末）下列图形中，不是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的定义即可求解． 【详解】解：不是轴对称图形的是． 【变式2】如图是我国几家银行的标志，其中不是轴对称图形是（     ） A．中国工商银行 B． 中国人民银行 C． 中国农业银行 D．中国建设银行 【答案】D 【分析】轴对称图形是指平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，逐项判断即可． 【详解】解：对于选项A：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项B：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项C：左右对称，是轴对称图形，不符合题意； 对于选项D：不是轴对称图形，符合题意． 【变式3】甲骨文是我国的一种古代文字，下列甲骨文中，不属于轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的定义“一个图形沿某条直线进行折叠，直线两旁部分能够完全重合的图形”进行排除选项即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故符合题意； B、是轴对称图形，故不符合题意； C、是轴对称图形，故不符合题意； D、是轴对称图形，故不符合题意． 题型02 求对称轴的条数 【典例1】下面各图的对称轴数量最多的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据轴对称图形的概念分别确定出各选项图形的对称轴的条数，然后选择即可． 【详解】解：选项A有四条对称轴，选项B有四条对称轴，选项C有三条对称轴，选项D有无数条对称轴， ∴对称轴数量最多的是选项D． 故选：D． 能使图形折叠重合的每一条直线都是对称轴，逐条列举、不重不漏。 【变式1】下列图形对称轴最多的是（    ） A．正方形 B．等边三角形 C．圆 D．正五边形 【答案】C 【分析】根据轴对称图形的定义，分别确定各选项图形的对称轴条数，比较后即可得到结果． 【详解】解：∵ 正方形有4条对称轴． 等边三角形有3条对称轴． 圆过圆心的直线都是它的对称轴，因此圆有无数条对称轴． 正五边形有5条对称轴． ∴ 对比可知，圆的对称轴数量最多． 【变式2】下列平面图形中，是轴对称图形且只有一条对称轴的图形是（   ） A．正方形 B．平行四边形 C．矩形 D．等腰三角形 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形的定义，理解定义，结合图形找出对称轴是关键． 根据轴对称图形的定义“指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴”，结合图形分析即可． 【详解】解：A、正方形有4条对称轴，不符合题意； B、平行四边形没有对称轴，不符合题意； C、矩形有2条对称轴，不符合题意； D、等腰三角形只有1条对称轴，符合题意； 故选：D ． 【变式3】如图，该轴对称图形的对称轴有______条． 【答案】 3 【分析】根据题意可知过圆心，且经过三角形的顶点的直线即为对称轴，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，对称轴有3条． 题型03 成轴对称图形的识别 【典例1】下列的图形中，左边图形与右边图形成轴对称的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查轴对称的定义，根据轴对称的定义（如果两个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这两个图形成轴对称）进行逐一判断即可： 【详解】解：根据轴对称的概念，A、B、C都不成轴对称，不符合题意； 只有D成轴对称，符合题意． 故选：D． 【变式1】下列各组图形中，两个图案是轴对称的有（    ） A．①③④ B．①③ C．①②③ D．①②③④ 【答案】B 【分析】此题考查轴对称的定义：两个图形，沿着一条直线翻折后，去其中的一个图形与另一个图形完全重合，则这两个图形关于这条直线成轴对称，根据定义依次判断即可． 【详解】解：①③是轴对称，②④不是轴对称， 故选：B． 【变式2】下图中各组图形，成轴对称的为_____（只写序号①，②等）． 【答案】①②④ 【分析】把一个图形沿某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称． 【详解】解：①②④中的图形沿着一条直线对折能够重合，因此成轴对称，③中的伞柄不对称， 综上，成轴对称的为①②④． 题型04 利用轴对称图形的性质求解 【典例1】如图，和关于直线l对称，直线l与相交于点O，若，，，则五边形的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】B 【分析】利用轴对称的性质得出五边形每条边的长度，再用周长公式计算即可． 【详解】解：根据轴对称的性质可知，，， ∵，，， ∴，，， ∴五边形的周长为：． 【典例2】如图，是一个轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点．若，，则的度数为______． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，根据轴对称图形的性质求解即可． 【详解】解：该图形为轴对称图形，点A和点D，点B和点E是对应点， ，， ， 故答案为：． 【变式1】如图，如果直线m是多边形的对称轴，其中，那么的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，直接根据轴对称的性质，得出即可．熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． 【详解】解：由轴对称性质可知：． 故选：D． 【变式2】如图，若与关于直线对称，交于点，则下列说法中不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质得到，则，即可作出判断． 【详解】解：∵与关于直线对称，交于点， ∴， ∴ 故A，B，D正确， 故选：C． 【变式3】如图所示的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，如果最大圆的半径为2，那么阴影部分面积之和是___________． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称图形的概念，圆的面积，根据题目中的图案是一个轴对称图形，则阴影部分面积之和是最大圆的面积的一半，又因为最大圆的半径为2，故结合圆面积公式列式计算，即可作答． 【详解】解：∵题目中的图案是一个轴对称图形，过圆心的直线是它的一条对称轴，且最大圆的半径为2， ∴阴影部分面积之和是， 故答案为：． 【变式4】如图，与关于直线对称，与的交点F在直线上．若． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与关于直线对称，确定对称点，从而确定对称线段，利用轴对称的性质即可解决问题； （2）根据与关于直线对称，确定对称角和对称三角形，利用轴对称的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：与关于直线对称， ， ， ． （2）与关于直线对称，， ， ， ． 【点睛】本题考查轴对称的性质，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式5】如图，点在的内部，点和点关于直线对称，点关于直线的对称点是点，连接交于点，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，的周长为_________． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题考查轴对称的性质与运用，熟知轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质，可知，，可以求出； （2）根据轴对称的性质，可知，，根据周长定义可以求出的周长． 【详解】（1）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ∵， ； （2）解：点和点关于对称， ， 点关于对称点是， ， ， ， ， 即的周长为4． 故答案为：4 题型05 轴对称的实际应用 【典例1】如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 将实际图案转化为轴对称几何模型，利用对称性质还原原图、求解边长角度。 【变式1】如图，一束光贴着正方形网格背景布射向平面镜，由物理学知识可知，入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角，则其反射光线为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了判断反射光线． 根据入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角判断即可． 【详解】∵入射光线与平面镜的夹角等于反射光线与平面镜的夹角， ∴其反射光线为， 故选：C． 【变式2】某串数字，在镜子里显示为，则实际数字为______． 【答案】 【分析】本题考查镜面对称，认真观察，注意技巧是解题的关键． 利用镜面对称的性质，大小和形状保持不变，方向相反，求解即可． 【详解】解：根据镜面对称的性质，将“18502”按轴对称左右颠倒，即可得“50281”， 故答案为： ． 【变式3】某公路急转弯处设立了一面圆形大镜子，车内乘客从圆形大镜子中看到汽车前车牌的部分号码如图所示，则该车牌照的部分号码为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质，利用镜面对称的性质求解，镜面对称的性质：在平面镜中的像与现实中的事物恰好顺序颠倒，且关于镜面对称，掌握镜面对称的性质是解题的关键． 【详解】解：根据镜面对称的性质，则该车牌照的部分号码为， 故答案为：． 【变式4】电子钟示数“”在平面镜中的像为__________． 【答案】 【分析】本题考查了镜面对称的性质．平面镜成像左右颠倒，数字本身也左右翻转；数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变；左右位置互换，因此平面镜中的像为． 【详解】解：电子钟显示“”，在平面镜中左右颠倒，数字翻转：数字1对称，翻转后仍为1；数字2翻转后像5；冒号对称，不变； 左右位置互换，实际右边分钟22翻转后为55移到左边，实际左边小时11翻转后为11移到右边，故平面镜中的像为“”． 故答案为． 题型06 作轴对称图形 【典例1】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为、、； (2)在（1）的条件下，写出点、的坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)点、的坐标分别为， 【分析】本题考查的是画关于y轴对称的图形，坐标与图形，熟记轴对称的性质并进行画图是解本题的关键． （1）分别确定A、B、C关于y轴的对称点、、，再顺次连接即可； （2）根据点、的位置写出坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所作； （2）解：由图可得，点、的坐标分别为，． 标准作图步骤：找点（图形关键点）→ 作垂线（过点作对称轴垂线）→ 倍长取对称点 → 顺次连接对应点。 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为：，，． (1)在图中作，使和关于轴对称； (2)写出点、的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查作图-轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）直接利用关于x轴对称点的性质，进而得出答案； （2）直接利用（1）中所画图形得出各点坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：由图可得，，． 【变式2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为、、． (1)画出关于轴对称的图形，点、、的对应点分别为点、、； (2)在（1）的条件下，写出点、的坐标． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2)、 【分析】本题考查了坐标系中的轴对称变换，关于轴对称的点的坐标特征是：横坐标相反，纵坐标不变． （1）在坐标系中分别找到点、、的对应点分别为点、、，再顺次连接即可； （2）根据坐标系即可写出点、的坐标． 【详解】（1）略 （2）由（1）可知，、． 【变式3】如图，在的网格纸中，建立平面直角坐标系，已知的三个顶点坐标分别为．请按要求画图，并回答问题． (1)请在图中画出． (2)以y轴为对称轴，在图中作的轴对称图形，并写出点C的对应点F的坐标：F___________． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析， 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，坐标与图形，熟知关于y轴对称的点的坐标特点是解题的关键． （1）根据点的坐标，先描点，再连线画出对应的图形即可； （2）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点D、E、F的坐标，描出点D、E、F，并顺次连接点D、E、F即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求，点F的坐标为． 题型07 折叠问题 【典例1】如图，将折叠，使点落在边上的点处，折痕交边于点，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查折叠的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据折叠的性质，得到，即可解答． 【详解】解：由折叠，得． 故选：B． 【典例2】如图，将的沿折叠，使点和点重合，连接，已知的周长为，则的周长是__________． 【答案】 【分析】根据折叠性质得出，，再结合的周长，推导出的周长．本题主要考查了折叠的性质，熟练掌握折叠前后对应线段相等是解题的关键． 【详解】解：∵ 将的沿折叠，使点和点重合， ∴ ，． ∵ 的周长为，即，， ∴ ． ∵ 的周长为，且， ∴ ． 故答案为：． （1）折叠本质：折叠前后图形关于折痕轴对称，完全全等； （2）核心等量：折叠前后对应边相等、对应角相等、重叠角相等、重叠边相等； （3）解题套路：标注所有等角等边 → 结合内角和、互余、平角180°列方程求解。 【变式1】如图，把沿直线对折，点恰好落在点处，若，，则的周长是（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了翻折的性质，轴对称的性质，解题的关键是掌握以上性质． 利用翻折的性质进行求解即可． 【详解】解：根据翻折的性质得，， ∴的周长为：， 故选：C． 【变式2】如图，将三角形纸片沿折叠，使点落在点处，连接，平分，平分，若，则的度数为___________． 【答案】/100度 【分析】此题考查了折叠的性质、与三角形内角和有关的角平分线问题等知识．根据三角形内角和定理得到，由折叠的性质进一步求出 即可． 【详解】解：， ， 平分，平分， ，， ， ， ， 由折叠的性质可知，，， ， ，， ， 故答案为： 【变式3】将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，，为折痕，与所在的直线重合，，则______． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质，由折叠的性质得，，即可求解． 【详解】解：由折叠得 ， ， ， ， ， 解得， 故答案为：． 【变式4】如图是个直角三角形纸片，且：：：：，按如图的两种方法分别将其折叠，使折痕（图中虚线）过其中的一个顶点，且使该顶点所在角的两边重合，记折叠后不重叠部分面积分别为．    (1)若，求的面积． (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，则，依据，即可得到的值，即可求解； （2）根据（1）的结论，根据即可求解． 【详解】（1）解：：：：：，， ，， 由折叠可得，，，， 设，则， ∵， ，即， 解得， ∴ （2）∵，, ∴ 【点睛】本题主要考查了折叠图形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握直角三角形的性质和折叠图形的性质是解答此题的关键． 【变式5】如图所示，和是由分别沿着边所在直线翻折形成的，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，全等三角形的性质，三角形内角和定理，先由折叠的性质得到，则由全等三角形的性质得到，，再由周角的定义求出，则由三角形内角和定理可得． 【详解】解：如图所示，设交于点M． 和是由分别沿着，边所在直线翻折得到的， ． ， ， 在与中，，（对顶角相等）， ． 题型08 坐标系中的轴对称 【典例1】如果P点的坐标为，那么它关于y轴的对称点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查点关于坐标轴对称的坐标变换规律，特别是关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标保持不变． 依据关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变进行分析即可． 【详解】解：∵点关于轴对称， ∴对称点的横坐标为，纵坐标为， ∴对称点坐标为． 故选：C． 【典例2】已知点与点关于轴对称，则________． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律：关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，求出，的值，代入代数式计算即可． 【详解】解：点与点关于轴对称， ，， ． （1）点对称公式：点(x，y)关于x轴对称(x，-y)；关于y轴对称(-x，y)； （2）识图技巧：x轴上下翻转、y轴左右翻转，结合象限符号快速判定坐标。 【变式1】已知点和点 关于x轴对称，则n的值为（    ） A． B．3 C． D．2 【答案】A 【分析】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，利用横纵坐标的关系得出参数的值是解题关键． 根据关于x轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数即可得出答案． 【详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴． 故选：A． 【变式2】已知：平面直角坐标系中，点的坐标是且点与点关于轴对称，则点关于轴对称的点的坐标是_______． 【答案】 【分析】根据关于轴对称的点的坐标规律得到点的坐标，再根据关于轴对称的点的坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点的坐标是，点与点关于轴对称， ∴点的坐标为， ∴点关于轴对称的点的坐标是． 【变式3】在平面直角坐标系中，点在第一象限，点，点关于轴对称． (1)已知，求出点的坐标； (2)已知，的面积为，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数可得点的坐标； （2）根据点坐标和的面积，可得的值，进而得点的坐标． 本题主要考查了坐标系中的对称和轴对称的性质，熟练掌握坐标系中点的对称是解题的关键． 【详解】（1）解：（1）∵点，关于轴对称， ∴的坐标． （2）∵点在第一象限，点，关于轴对称， ∴的坐标， ∴， ∵的面积为， ∴，（舍去）， ∴的坐标． 题型09 轴对称综合 【典例1】如图所示． (1)作出关于y轴对称的图形，并写出点的坐标． (2)求的面积． 【答案】(1)图见解析，点的坐标为 (2)4 【分析】此题考查了轴对称作图，利用割补法求网格中三角形的面积，正确理解轴对称的性质是解题的关键． （1）分别作出点A、B、C关于y轴对称的点，然后顺次连接；根据图示以及直角坐标系的特点写出点的坐标； （2）利用割补法求三角形的面积． 【详解】（1）如图所示：    ∴点的坐标为； （2）由图可知，． 【变式1】在平面直角坐标系中，的顶点坐标，， (1)作关于轴的对称图形； (2)将向下平移4个单位长度，作出平移后的； (3)连接， 则轴与的关系是 ； (4)求出四边形的面积． 【答案】(1) 如图，即为所求； (2) 如图，即为所求； (3)轴垂直平分 (4) 【分析】本题主要考查了网格画图，轴对称的性质，平移的性质，求网格图形的面积等知识点，解题的关键是熟练掌握相关性质． （1）利用轴对称的性质即可画出图形； （2）利用平移的性质即可画出图形； （3）利用轴对称的性质即可判定位置关系； （4）通过点的坐标和平移的性质求出边的长度，根据梯形的面积公式即可求得面积． 【详解】（1）解：根据轴对称的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可． （2）解：根据平移的性质，找出点、、的对称点、、，连接三个点即可． （3）解：连接，根据轴对称的性质可知，对称轴垂直平分对称点连接的线段， ∴轴垂直平分线段． （4）解：∵ ， ， ∴向下平移4个单位长度后对应点的坐标分别为， ， ∴，，， 四边形是直角梯形， ∴四边形的面积为． 【变式2】如图，的三个顶点的坐标分别为点，，． (1)请在图中画出关于轴对称的（点的对应点分别为，，），并写出点的坐标． (2)的面积是________． (3)连接，，请写出，，之间的数量关系，并给予证明． 【答案】(1) 如图所示: 点； (2) (3) 解：如图所示，连接，，过点作， ∴根据图形对称的特点可得，， ∴，， ∵， ∴． 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中图形的变换，轴对称，平行线的性质等知识的综合，掌握轴对称图形的画法及性质，平行线的性质是解题的关键． （1）根据点关于轴对称的特点，描出点，，，连接各点即可； （2）运用“割补法”求不规则图形的面积即可； （3）根据图形对称的特点，平行线的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：根据题意得， （3）略 【变式3】如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为． (1)作出与关于轴对称的图形； (2)已知点，直线轴，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画轴对称图形，坐标与图形，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出； （2）根据轴，可得点P的纵坐标为，根据题意列出方程，求得，即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解： ，点与点关于y轴对称， ． ，轴， 点的纵坐标为， ， ， ， 点的坐标为． 【变式4】如图1，已知平行四边形，轴，，点的坐标为，点的坐标为，点在第四象限，点是平行四边形边上的一个动点． (1)求直线的解析式． (2)若点为上一点，点关于坐标轴对称的点落在直线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法即可求得直线的解析式． （2）分两种情形①当点在边上时，②当点在边上时，假设点坐标，在每种情况中再分情况讨论，分别求出点关于轴和轴的对称点，代入直线解析式列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 将点的坐标为，点的坐标为代入上式， 即，解得：， ∴直线的解析式为． （2）①当点在边上时， ∵，， ∴直线的解析式为， 设，且， ∴点关于轴的对称点为， ∵在直线上， ∴， 解得， 此时． ∵点关于轴的对称点为，且在直线上时， ∴， 解得， 此时； ②当点在边上时，设，且， ∵关于轴的对称点为，且在直线上， ∴， 解得， 此时， ∵点关于轴的对称点为，且在直线上， ∴， 解得， 此时， 综上所述，点的坐标为或或或． 题型10 轴对称中最值问题 【典例1】（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点． (1)在图中画出关于轴对称的； (2)直接写出的面积是___________； (3)在轴上找一点，连接使最小，请在图中标出点位置． 【答案】(1)见解析 (2) (3)见解析 【分析】本题考查了轴对称作图，求网格三角形的面积，最短路径问题，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． （1）分别作出点关于轴对称的点，再顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可； （3）连接与轴交点即为点，根据轴对称的性质可得，则由两点之间线段最短可得，故此时最小． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：的面积， 故答案为：； （3）解：点即为所求： （1）核心模型：将军饮马模型（轴对称必考最值），直线同侧两定点，求直线上一动点使线段和最小； （2）解题原理：利用轴对称转化线段，两点之间，线段最短； （3）标准步骤：作其中一个定点关于直线的对称点 → 连接对称点与另一定点 → 与直线交点即为最值点。 【变式1】（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，已知的三个顶点坐标分别为． (1)作出关于轴对称的，并写出点的坐标； (2)在轴上取一点，使最短，请画出点并直接写出点的坐标． 【答案】(1)见解析，，， (2)见解析， 【分析】本题考查了作图轴对称变换，轴对称性质，掌握点关于坐标轴对称的规律是解题关键． （1）找到A、B、C关于x轴的对称点，然后顺次连接即可； （2）连接交x轴于点P即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； ∴，，； （2）解：如图所示，点P即为所求； 由对称得， ∴ ∴如图，当点，，B三点共线时，最短，即的长度 ∴． 【变式2】（25-26八年级上·新疆昌吉·期末）如图，在平面直角坐标系中，图中的小方格都是边长为1的正方形，各顶点坐标分别为． (1)画出关于y轴的对称图形，并写出点的坐标； (2)在y轴上求作一点P，使得点P到点A、B的距离之和最小． 【答案】(1)图见解析， (2)见解析 【分析】本题考查了坐标与图形变化—轴对称、轴对称—最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解答本题的关键． （1）关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得点的坐标，描出点，并顺次连接点即可； （2）连接交y轴于点P，则点P即为所求，根据轴对称的性质可得，则，则三点共线时有最小值． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求，则‘’ （2）解：如图所示，点P即为所求． 【变式3】（25-26八年级上·山东济南·期末）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是，， (1)在图中作出关于x轴的对称图形， (2)写出点C关于y轴的对称点的坐标________； (3)点P为y轴上一动点，且使得周长最小，请直接写出P点坐标 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图—轴对称变换，轴对称—最短路线问题，写出直角坐标系中点的坐标，待定系数法求解函数解析式，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）根据轴对称的性质即可作出关于x轴的对称图形； （2）根据轴对称的性质即可写出点C关于y轴的对称点的坐标； （3）连接交y轴于点P，连接，根据两点之间线段最短即可判断此时周长最小，利用待定系数法求得直线的解析式，然后求得时y的值，即可求出最后结果． 【详解】（1）解：如图，即为所求， （2）如图，点C关于y轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）如图，连接交y轴于点P，连接， 此时周长为，为最小值， 则点P即为所求， 设直线的解析式为， ，解得：， 直线的解析式为， 令，， ． 1．（25-26七年级下·陕西西安·期末）甲骨文是汉字的早期形式，目前甲骨文已被列入世界文化遗产。下面四个选项是小明收集“晋”字的演变过程：甲骨文→金文→小篆→楷书，每种字体都有着各自鲜明的艺术特征．下面汉字是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， 选项C能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 2．（25-26七年级下·山东青岛·期末）以下四款常用软件图标中是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、不是轴对称图形； B、不是轴对称图形； C、不是轴对称图形； D、是轴对称图形． 3．（25-26八年级下·湖南娄底·期末）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用关于轴对称的点的坐标规律解题，规律为：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数． 【详解】因为关于轴对称的两个点，横坐标不变，纵坐标互为相反数， 点的坐标为 ， 所以所求点的横坐标为，纵坐标为， 即所求点的坐标为. 4．（2026·广西梧州·二模）如图，将长方形纸片沿折叠，使点D落在边上的点处，点C落在处．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据邻补角可得，再由折叠可得． 【详解】∵， ∴， 由折叠可得． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）如图，直线是四边形的对称轴，．若，则的度数为__________． 【答案】 【分析】先得出，再根据两直线平行，同旁内角互补求解即可． 【详解】解：∵直线是四边形的对称轴，且， ∴， ∵， ∴． 6．（25-26七年级下·河南开封·期末）【跨学科·物理】如图，凸透镜的主光轴与平静的水面重合，点光源S发出一束光，光线在水面E处发生反射后的反射光线以及其经凸透镜后的光线如图所示（注：入射光线与水平面的夹角等于反射光线与水平面的夹角，图中的光线经凸透镜折射后与水平面平行），若，则的度数为______． 【答案】 【分析】利用光的反射规律和平行线的性质求解即可． 【详解】解：如图， 根据光的反射规律可得， ∵， ∴． 7．（25-26八年级下·上海·期中）已知点关于轴对称，则___________． 【答案】9 【分析】关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，据此求出和的值，再计算即可． 【详解】解：点关于轴对称， ，， 解得， ． 8．（25-26七年级下·陕西宝鸡·期末）请在如图①②③的正方形网格中画出一个与已知三角形全等的三角形，使它与已知三角形组成一个轴对称图形，并用虚线画出其对称轴． 【答案】如图： 【分析】利用轴对称图形性质从左右对称，上下对称出发可画出题目所要求的图形． 【详解】略． 9．（25-26七年级下·江苏淮安·期中）如图，网格中每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上． (1)作关于直线l对称的图形； (2)求的面积． 【答案】(1)如图，即为所求： (2) 【分析】（1）根据轴对称性质得到对应点，然后顺次连接可得图形； （2）根据网格特点，利用割补法求解的面积即可． 【详解】（1）略 （2）解：的面积为． 10．（25-26八年级下·湖南岳阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，． (1)将向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度，画出平移后的图形； (2)画出关于轴的对称图形； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）分别将三点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，然后依次连接即可； （2）先找到三点关于轴对称的，然后依次连接即可． 【详解】（1）解：下图即为所求； （2）解：下图即为所求． 11．（25-26七年级下·四川达州·期中）如图，将一张长方形纸片折叠，重叠部分是一个三角形，为折痕，已知，求的度数． 【答案】 【分析】由折叠性质可知，，又，则，设，然后根据平角定义求出的值即可． 【详解】解：由折叠性质可知，， ∵， ∴， 设， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴. 1．《哪吒之魔童闹海》电影爆火后，哪吒惟妙惟肖的表情令人印象深刻，下列选项中两个图形成轴对称的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可． 本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；熟练掌握对称点与对称轴垂直等距是解题的关键． 【详解】解：A是轴对称图形，故本选项符合题意； B.不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C.不是轴对称图形，故本选项不合题意； D.不是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：A． 2．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，已知，点M、N分别是边、上的定点，点P、Q分别是边、上的动点，记，，当最小时，（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小，易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【详解】解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小， ，， ， ， ． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将长方形纸片分别沿，折叠，使，在同一直线上．若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平角的定义求出的度数，再由折叠的性质和平角的定义求出的度数，进而可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ∵，， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，所在直线是的对称轴，点，是上的两点，若，，则图中阴影部分的面积是（     ） A．7.5 B．8 C．15 D．16 【答案】A 【分析】得出的面积，，由此即可得． 【详解】解：∵所在直线是的对称轴， ∴， ∵，， ∴， 又∵所在直线是的对称轴， ∴点与点关于直线对称， ∴与关于直线对称， ∴， ∴图中阴影部分的面积是． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期末）平面镜反射光线的规律是：射到平面镜上的光线和被反射出的光线与平面镜所夹的锐角相等，如图，一束光线先后经平面镜、反射后，反射光线与平行，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反射规律得出，利用平角定义求出，再根据平行线性质求出，最后利用平角定义及反射规律求出． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，得， ∵， ∴， ∴． 6．（2026·山东泰安·三模）木雕是中国传统民间工艺的重要分支，其历史可追溯至新石器时代．如图，这是工匠雕刻的木雕作品，蝴蝶的左右两侧关于直线对称，点在直线上，点和点为对称点，点和点为对称点，若，，则的度数为_______． 【答案】 /60度 【分析】根据成轴对称的两个对应点与对称轴上点的连线和对称轴的夹角相等这一性质，所以直线是和的角平分线，可分别求出和的度数，利用，代入上述两个角的度数即可得到结果． 【详解】解：如图所示， ∵和关于直线对称， ∴，， ∵，， ∴，， ∴． 7．（2026·山西吕梁·二模）如图，平面镜与水平线成角放置，入射光线与水平线成角射到平面镜的点，则反射光线与入射光线的夹角（即）的度数为______． 【答案】/度 【分析】根据题意以及三角形的外角的性质求得，结合平角的定义，即可求解． 【详解】解：如图， 依题意，， ∴． 8．（25-26七年级下·黑龙江大庆·期中）如图，将长方形纸片沿，折叠，使点，分别落在点，处，若，则的度数为__________． 【答案】#105度 【分析】根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是和的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点A落在点处，点D落在点处， ∴平分，平分， ∴， ∴。 9．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长为，每个小正方形的顶点叫作格点，的三个顶点都在格点上． (1)请在图中画出关于直线对称的图形； (2)求的面积； (3)请在直线上确定一点，使得最短． 【答案】(1)如图所示，即为所求， (2) (3)如图所示，点即为所求， 【分析】（1）分别找到点关于直线对称的点，并依次连接，即可得到关于直线的轴对称图形. （2）利用割补法在网格中计算出的面积即可． （3）依据将军饮马模型（轴对称最短路径）：利用“两点之间线段最短”求线段和最小值．取点关于直线的对称点，连接，线段与直线产生的交点就是所求的点，由轴对称可得，则，根据两点之间线段最短可得此时取得最小值． 【详解】（1）略； （2）解：∵在的正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴． ∴的面积为． （3）略． 10．（25-26七年级下·山东青岛·期末）如图，与关于直线l对称，与的交点F在直线l上．若，，，． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据轴对称的性质求出的长即可得到答案； （2）根据轴对称的性质求出的度数即可得到答案． 【详解】（1）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵与关于直线l对称， ∴， ∵， ∴． 11．（25-26七年级下·河南南阳·期末）一张直角三角形纸片，，其中，点，分别在边，上．将沿折叠，点的对应点为点．记为，记为，我们来探究和的数量关系． 先从特殊情况探究： (1)如图1，若，则_______，_______，由此可得：_______； 再探究一般情况： (2)如图2，若点落在直角三角形纸片内，请你猜想与的数量关系，并说明理由； (3)如图3，若点落在直角三角形纸片外，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)，， (2)，理由如下： 如图，延长交于点F， ∵，， 由折叠知， ∴， ∴． (3) 【分析】（1）由折叠得，结合，利用同旁内角互补求得，．对顶角相等得，在中，故，最终． （2）延长交于点，由三角形外角性质得，且．由折叠知，代入得，故． （3）由折叠得，，．根据平角定义得，，结合，得．将两式相加整理得． 【详解】（1）解：如图， 由题意可得，，， 由折叠可得，， ， ， ，， ， ， ， ． （2）略 （3）解：如图， 由折叠的性质可得，，， 由题意知， ①， ②， , ， ， ①+②整理得，， ． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $