专题14.1 全等三角形及其性质（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦全等三角形及其性质核心知识点，从全等形概念过渡到全等三角形定义，系统梳理对应顶点、边、角的识别方法，规范全等符号“≌”的书写规则，构建从概念理解到性质应用（对应边、角相等及周长、面积等衍生性质）的学习支架。 资料通过“即学即练+题型分类+典例变式”分层设计，结合平移、翻折等图形变换培养几何直观，通过角度计算、线段推理强化推理意识，规范书写训练提升数学语言表达。课中助力教师突破对应元素识别难点，课后练习题帮助学生巩固知识，查漏补缺。

专题14.1 全等三角形及其性质 教学目标 1.理解全等图形、全等三角形的概念，能够完全重合的两个三角形为全等三角形，掌握全等三角形的本质特征，能准确识别生活与几何图形中的全等图形。 2.掌握全等三角形的规范表示方法，会使用全等符号“≌”书写全等三角形，理解书写时对应顶点必须有序对应的原则，养成规范书写的习惯。 3.理解对应顶点、对应边、对应角的概念，能在平移、翻折、旋转等变换图形中，准确找出全等三角形的对应元素，掌握找对应边、对应角的常用方法与规律。 4.熟练掌握全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，能用文字语言、符号语言完整表述性质内容。 5.能利用全等三角形的性质进行线段长度计算、角度求值、线段相等与角相等的简单推理证明，做到推理有据、步骤规范。 6.了解全等三角形的周长、面积对应相等的衍生性质，能结合三角形基本性质解决简单几何综合问题。 7.通过图形观察、对比分析、推理计算，培养几何直观能力与数形结合思想，初步建立几何图形变换与全等关系的认知。 教学重难点 1.重点 （1）理解全等三角形的定义与基本特征，掌握全等三角形的规范表示方法； （2）准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； （3）熟练掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的核心性质； （4）能运用全等三角形性质进行角度、线段的计算与基础几何说理。 2. 难点 （1）在经过平移、翻折、旋转后的复杂变式图形中，快速、准确找准全等三角形的对应元素； （2）理解全等书写“顶点对应有序”的原则，避免因对应混乱导致解题错误； （3）结合图形变换隐含条件，利用全等性质完成多步几何推理，构建简单逻辑链条； （4）区分全等三角形核心性质与衍生性质的使用场景，规范几何语言表达与推理步骤。 知识点01 全等三角形的概念 1.全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形。 2.全等三角形的概念：能够完全重合的两个 叫作全等三角形。 3.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的 ，如图（1）点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的 ，如图（1）AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的 ，如图（1）∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 4.全等三角形的表示方法：“全等”用符号“ ”表示，读作“全等于”．如图（1）中△ABC和△DEF全等，记作 。 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的 写在 的位置上。 【即学即练】 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 3．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指大小相同的两个三角形 C．全等三角形是指周长相等的两个三角形 D．全等三角形的形状、大小完全相同 知识点02 全等三角形的性质 1.全等三角形的性质：全等三角形的 ，全等三角形的 。 2.数学语言表示：∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴ AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：①全等三角形的周长 ；②面积 ；③对应边上的中线 ；④对应角的平分线 ；⑤对应边上的高 ；⑥但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。 【即学即练】 1．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是______ 3．如图，，，，求各内角的度数． 题型01 图形的全等与全等图形 【典例1】在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【变式2】下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 题型02 全等三角形的概念 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【变式1】如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【变式2】如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【变式3】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 题型03 利用全等三角形的性质求角度 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ） A． 或 B． C． D． 【典例2】如图，，点A和点B，点C和点D是对应顶点，，的延长线相交于点E．求，的度数． （1）核心性质：全等三角形对应角相等，非对应角无相等关系； （2）解题步骤：先根据全等式锁定对应角→代入已知角度→结合内角和、互余、外角性质求未知角。 【变式1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，已知， 若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期中），若，，则____． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， 与的延长线相交于点，若，则的度数为____________．（请用含的代数式表示） 【变式4】如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 题型04 利用全等三角形的性质求长度 【典例1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【典例2】如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． （1）核心性质：全等三角形对应边相等，是求线段长度的核心依据； （2）解题流程：根据全等书写对应边→替换已知线段长度→求解未知边长、线段和差； （3）线段和差技巧：公共边、重叠边、线段加减，利用对应边相等进行等量代换； （4）周长求解：全等三角形周长相等，可通过已知三角形周长直接求对应三角形周长。 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，若则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，．若，，则中边的长是______． 【变式3】如图，当时，则________． 【变式4】如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 题型05 利用全等三角形的性质求解其他问题 【典例1】如图，三点在同一条直线上， 的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【变式1】如图，已知，是的高，点在的延长线上，点在上，，和是对应边．求证：． 【变式2】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【变式3】如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点以的速度向点运动．设运动的时间为． (1)填空：________ ，________ ，________ ；（用含，的式子表示） (2)若，试求，的值． 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·广西百色·期末）下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 C．三角形三个内角的和等于 D．如果，，那么 4．下列各组中的两个图形，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 5．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 6．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 7．已知 ，则 的周长为______． 8．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 9．如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 10．已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 1．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为______ 度 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，若 ，则的长为______． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 7．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 8．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 9．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.1 全等三角形及其性质 教学目标 1.理解全等图形、全等三角形的概念，能够完全重合的两个三角形为全等三角形，掌握全等三角形的本质特征，能准确识别生活与几何图形中的全等图形。 2.掌握全等三角形的规范表示方法，会使用全等符号“≌”书写全等三角形，理解书写时对应顶点必须有序对应的原则，养成规范书写的习惯。 3.理解对应顶点、对应边、对应角的概念，能在平移、翻折、旋转等变换图形中，准确找出全等三角形的对应元素，掌握找对应边、对应角的常用方法与规律。 4.熟练掌握全等三角形的核心性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等，能用文字语言、符号语言完整表述性质内容。 5.能利用全等三角形的性质进行线段长度计算、角度求值、线段相等与角相等的简单推理证明，做到推理有据、步骤规范。 6.了解全等三角形的周长、面积对应相等的衍生性质，能结合三角形基本性质解决简单几何综合问题。 7.通过图形观察、对比分析、推理计算，培养几何直观能力与数形结合思想，初步建立几何图形变换与全等关系的认知。 教学重难点 1.重点 （1）理解全等三角形的定义与基本特征，掌握全等三角形的规范表示方法； （2）准确识别全等三角形的对应顶点、对应边、对应角； （3）熟练掌握全等三角形对应边相等、对应角相等的核心性质； （4）能运用全等三角形性质进行角度、线段的计算与基础几何说理。 2. 难点 （1）在经过平移、翻折、旋转后的复杂变式图形中，快速、准确找准全等三角形的对应元素； （2）理解全等书写“顶点对应有序”的原则，避免因对应混乱导致解题错误； （3）结合图形变换隐含条件，利用全等性质完成多步几何推理，构建简单逻辑链条； （4）区分全等三角形核心性质与衍生性质的使用场景，规范几何语言表达与推理步骤。 知识点01 全等三角形的概念 1.全等形的定义：能够完全重合的两个图形叫作全等形。 2.全等三角形的概念：能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形。 3.全等三角形的对应元素： ①对应顶点：全等三角形中，能够重合的顶点，如图（1）点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点； ②对应边：全等三角形中，能够重合的边，如图（1）AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边； ③对应角：全等三角形中，能够重合的角，如图（1）∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角。 4.全等三角形的表示方法：“全等”用符号“≌”表示，读作“全等于”．如图（1）中△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF。 注意：记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。 【即学即练】 1．下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 2．下列说法：①两个形状相同的图形称为全等图形；②边、角分别对应相等的两个多边形全等；③全等图形的形状、大小都相同；④面积相等的两个三角形全等．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】根据全等形的概念：能够完全重合的两个图形叫做全等形进行分析即可． 【详解】①两个形状相同的图形称为全等图形，说法错误； ②边、角分别对应相等的两个多边形全等，说法正确； ③全等图形的形状、大小都相同，说法正确； ④面积相等的两个三角形是全等图形，说法错误， 故答案为：D． 【点睛】此题主要考查了全等形，关键是掌握全等形的形状和大小完全相同． 3．下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指大小相同的两个三角形 C．全等三角形是指周长相等的两个三角形 D．全等三角形的形状、大小完全相同 【答案】D 【分析】根据全等三角形的概念，即能够完全重合的两个三角形，进行判断即可． 【详解】能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形，故全等三角形的形状和大小完全相同． A.全等三角形是指形状相同的两个三角形，错误； B.全等三角形是指大小相同的两个三角形，错误； C.周长相等的两个三角形不一定能完全重合，故错误； D.全等三角形一定能完全重合，则形状和大小完全相同，故正确． 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的概念，明确全等三角形的概念是解题的关键． 知识点02 全等三角形的性质 1.全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等。 2.数学语言表示：∵ △ABC≌△A'B'C'， ∴ AB=A'B'，AC=A'C'，BC=B'C'；∠A=∠A'，∠B=∠B'，∠C=∠C'． 3.全等三角形其他性质：①全等三角形的周长相等；②面积相等；③对应边上的中线相等；④对应角的平分线相等；⑤对应边上的高相等；⑥但是周长相等的三角形不一定全等，面积相等的三角形也不一定全等。 【即学即练】 1．如图，，则下列结论错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等，即可判断． 【详解】解：∵，与，与是对应角，与是对应边， ∴，，， 而与不是对应边， ∴与不一定相等． 2．（25-26七年级下·上海·期中）如图，两个三角形全等，则的度数是______ 【答案】/度 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理．利用三角形内角和定理求得边与边的夹角，再利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】解：在左侧三角形中，边与边的夹角为 两个三角形全等， 对应角相等． 由图可知，是边与边的夹角， 的度数是． 3．如图，，，，求各内角的度数． 【答案】，， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，由全等三角形的性质得到，．又因为，，故，，最后运用三角形内角和定理进行列式计算，即可作答． 【详解】解：， ，． ，， ，， ． 题型01 图形的全等与全等图形 【典例1】在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 【详解】 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 【变式1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个图形一定全等 B．两个长方形是全等图形 C．两个全等图形面积一定相等 D．两个正方形一定是全等图形 【答案】C 【分析】能够完全重合的两个图形是全等图形，根据概念逐一判断各选项即可得到正确答案． 【详解】解：A、形状相同的两个图形大小不一定相同，不一定能完全重合，因此不一定全等，本选项错误． B、两个长方形的长和宽不一定对应相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． C、两个全等图形能够完全重合，因此面积一定相等，本选项正确． D、两个正方形的边长不一定相等，不一定能完全重合，因此不一定是全等图形，本选项错误． 【变式2】下列新能源汽车标志中，不是由多个全等图形组成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等图形的识别、全等图形的基本性质，属于较容易的基础题．根据能够完全重合的两个图形叫做全等图形对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； B、组成图形的两个图形全等，故本选项不符合题意； C、组成图形的两个图形不全等，故本选项符合题意； D、组成图形的四个图形全等，故本选项不符合题意． 故选：C． 【变式3】（25-26八年级上·河北石家庄·期中）请观察图中的6组图案，其中是全等图形的是（   ） A．（1）（2）（3） B．（2）（3）（4） C．（3）（4）（5） D．（4）（5）（6） 【答案】D 【分析】根据全等的性质：能够完全重合的两个图形叫做全等形，结合所给图形进行判断即可． 本题考查了全等图形的知识，解答本题的关键是掌握全等图形的定义． 【详解】解：观察图（4）、（5）、（6）三组图形经过平移、旋转、对折后能够完全重合，是全等图形． 故选：D． 题型02 全等三角形的概念 【典例1】下列说法正确的是（   ） A．形状相同的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．完全重合的两个三角形全等 D．所有的等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的概念及定义，熟知三角形全等的定义是解题关键． 利用“能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形”解题即可． 【详解】解：A．形状相同的两个三角形不一定全等，例如两个不一样大小的两个等边三角形不全等，故本选项错误； B．面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C．完全重合的两个三角形全等，正确； D．两个边长不相等的等边三角形不全等，故本选项错误； 故选：C． 【变式1】如图，，C，B是对应点，下列结论错误的是（    ）    A．和是对应角 B．和是对应角 C．与是对应边 D．和是对应边 【答案】C 【分析】全等三角形中，能够重合的边是对应边，能够重合的角是对应角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴和是对应角，和是对应角，和是对应边； 故A，B，D不符合题意； 而与是对应边，故C符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是全等三角形的对应边与对应角的含义，理解对应边与对应角的概念是解本题的关键． 【变式2】如图，与全等，可以确定与_________是对应角，若与是对应边，则与_________是对应边． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的定义，根据全等三角形的定义求解即可． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， ∵与全等， ∴与是对应角， 又与是对应边， ∴与是对应边， 故答案为：，． 【变式3】已知在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：______ ． 【答案】 【详解】解：在和中，A与，B与是对应点，则和全等用符号语言表示为：． 题型03 利用全等三角形的性质求角度 【典例1】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知下图中的两个三角形全等，其中的字母表示三角形的边长，则 的度数是（   ） A． 或 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 观察两个三角形的对应情况，直接求解即可． 【详解】解：∵两个三角形全等， ∴， 故选：C． 【典例2】如图，，点A和点B，点C和点D是对应顶点，，的延长线相交于点E．求，的度数． 【答案】，． 【分析】本题考查了全等三角形的性质和三角形内角和定理，由三角形全等可得，，根据和三角形内角和等于即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ． （1）核心性质：全等三角形对应角相等，非对应角无相等关系； （2）解题步骤：先根据全等式锁定对应角→代入已知角度→结合内角和、互余、外角性质求未知角。 【变式1】（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期末）如图，已知， 若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的性质， 利用全等三角形的性质，对应角相等，即可求解． 【详解】解：， ， 又， ． 故选：A． 【变式2】（25-26八年级上·广东惠州·期中），若，，则____． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，根据三角形内角和定理可求出的度数，再根据全等三角形对应角相等可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，点A，B，C，D在同一条直线上， 与的延长线相交于点，若，则的度数为____________．（请用含的代数式表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【变式4】如图，已知，点E在上，与相交于点F，，． (1)的度数为________； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，解题的关键是： （1）根据全等三角形的性质求解即可； （2）根据全等三角形的性质求出的度数，根据三角形内角和定理求出的度数，然后根据角的和差关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， 又， ∴， 又， ∴． 题型04 利用全等三角形的性质求长度 【典例1】（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，点A，B，D，E在同一条直线上，，，；则的长是（   ） A．3 B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 先根据三角形全等得到，再求得的长度即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：C． 【典例2】如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵， ， ． （1）核心性质：全等三角形对应边相等，是求线段长度的核心依据； （2）解题流程：根据全等书写对应边→替换已知线段长度→求解未知边长、线段和差； （3）线段和差技巧：公共边、重叠边、线段加减，利用对应边相等进行等量代换； （4）周长求解：全等三角形周长相等，可通过已知三角形周长直接求对应三角形周长。 【变式1】（25-26八年级上·河南周口·期末）如图，若则的长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质， 根据全等三角形的对应边相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式2】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，．若，，则中边的长是______． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由可得，即得，进而即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴， 故答案为：． 【变式3】如图，当时，则________． 【答案】9 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据全等三角形的对应边相等，得到，进而求出的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：9． 【变式4】如图，，B、C、D在同一直线上，且，．求长． 【答案】8 【分析】本题考查了全等三角形的性质内容，全等三角形对应边相等，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据，得，，即可得的长． 【详解】解：因为，，． 所以，， 则． 题型05 利用全等三角形的性质求解其他问题 【典例1】如图，三点在同一条直线上， 的周长为． (1)求的长． (2)求梯形的面积． 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质以及梯形面积的计算，解题的关键是利用全等三角形的性质得出对应边相等，再结合勾股定理和梯形面积公式进行求解． （1）根据全等三角形的性质得到，因为的周长为30 ，进而得出的长； （2）先求出梯形的上底、下底和高，再利用梯形面积公式计算面积． 【详解】（1）解： ， ， 的周长为 ； （2）解： ， ， ， 答：梯形的面积为． 【变式1】如图，已知，是的高，点在的延长线上，点在上，，和是对应边．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，垂直的判定等知识；根据全等三角形的性质证明，即可得出结论． 【详解】证明：∵是的高， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴， 即． ∴． 【变式2】如图，，点A对应点D，点B对应点E，点B、F、C、E在同一条直线上． (1)求证：； (2)请你判断和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) 证明：∵， ∴， ∴， ∴． (2) 解：，理由如下： ∵， ∴， ∴． 【分析】本题考查了全等三角形的性质、线段的和差、平行线的判定定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由全等三角形的性质可得，再由线段的和差计算即可得证； （2）由全等三角形的性质可得，再由平行线的判定定理即可得证． 【详解】（1）略 （2）略 【变式3】如图，在中，，，点为的中点．如果点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上由点以的速度向点运动．设运动的时间为． (1)填空：________ ，________ ，________ ；（用含，的式子表示） (2)若，试求，的值． 【答案】(1)，，； (2)的值为4、的值为1． 【分析】本题考查了列代数式，全等三角形的性质． （1）根据速度与时间可得路程和，根据边长和中点定义可得和的长； （2）根据，结合全等三角形对应边相等列方程组可得结论． 【详解】（1）解：∵，点P在线段上以的速度由B点向C点运动． ∴①；②， ∵点Q在线段上由C点以的速度向A点运动， ∴③， 故答案为：，，； （2）解：，，，， ， 则， ， ． 即的值为4、的值为1． 1．（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，已知，，，则的长度为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，线段的和差运算，掌握好相关知识是关键． 根据全等三角形对应边相等的性质可得，作差求出的长． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点A、E、B、D在同一直线上，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了全等三角形的性质、三角形内角和定理等知识．根据全等三角形的性质得到，再根据三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：B 3．（25-26八年级上·广西百色·期末）下列命题中，是真命题的是（  ） A．如果两个角相等，那么它们是对顶角 B．如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 C．三角形三个内角的和等于 D．如果，，那么 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，涉及对顶角的定义、三角形全等的判定、三角形内角和定理、等式的性质等知识点．关键是逐一分析每个选项，结合相关定义和定理判断命题的真假． 【详解】解：对于选项A，相等的角不一定是对顶角，例如两直线平行时的同位角相等，但它们不是对顶角，故选项A是假命题； 对于选项B，两个三角形面积相等，只能说明它们的底与高的乘积相等，不一定满足全等三角形的判定条件，例如底为4、高为3的三角形和底为6、高为2的三角形面积均为，但它们不全等，故选项B是假命题； 对于选项C，根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和等于，故选项C是真命题； 对于选项D，若，，当时，，例如，，，，此时，故选项D是假命题． 故选：C． 4．下列各组中的两个图形，属于全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查全等图形的定义，熟练掌握全等图形的定义是解题的关键；因此此题可根据“两个图形通过平移、旋转或翻折后能够完全重合的叫做全等图形”进行排除选项即可． 【详解】解：符合全等图形的只有C选项，A、B、D都不符合题意； 故选C． 5．如图，七巧板中有个等腰直角三角形（），其中与三角形全等的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：与三角形全等的是． 则的度数是________． 【答案】/度 【分析】根据全等三角形对应角相等，即可得到的度数． 【详解】解：是和的夹角， ． 6．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合已知条件及对应点、对应角的关系，确定对应顶点，进而写出对应边和对应角． 【详解】解：∵，点、为对应点，， ∴对应顶点为：点与点，点与点，点与点， 这两个三角形的对应边是：与，与，与； 对应角是：与，与，与． 7．已知 ，则 的周长为______． 【答案】21 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键． 根据全等三角形的性质可得、，再求三角形的周长即可． 【详解】解：∵， ∴、， ∴的周长为． 故答案为：21． 8．如图，在中，点、分别在边、上，，，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质，解题关键是熟练掌握全等三角形的对应边相等． 根据全等三角形的性质推得，，则根据的周长即可得解． 【详解】解：， ，． ． 的周长． 答：的周长为． 9．如图，已知，，，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用全等三角形的性质得到，再利用三角形内角和运算求解即可． （2）利用全等三角形的性质得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∴． （2）解：∵， ， ， ， ． 10．已知如图，，，，． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】本题考查了全等三角形对应角相等，全等三角形对应边相等的性质，三角形的内角和定理，熟记性质并准确识图是解题的关键． （1）根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）根据全等三角形对应角相等可得，，再利用三角形的内角和等于列方程求解即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ，， ， ． 1．（25-26八年级上·新疆吐鲁番·期中）若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的表示方法，根据对应点的字母写在对应的位置进行解答即可求解，掌握全等三角形的表示方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴点和点是对应点，点和点是对应点， ∴的对应边是， 故选：． 2．（25-26七年级下·河南驻马店·期末）若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论： 情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去； 情况2：若为底，则两腰长相等， ∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系， ∵， ∴的边长与对应相等， ∴必有一条边等于或， 综上，必有一条边等于或，没有一条边等于， 故选项A符合题意． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期末）如图，已知，且，，交于点F．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理求解即可. 【详解】解： ，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ． 4．（25-26八年级上·江苏南京·期末）如图，，若，，则的度数为______ 度 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，关键是掌握全等三角形的对应角相等．由全等三角形的性质得到，因此，即可求出的度数． 【详解】解：≌， ， ， ， ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·北京·期中）如图，已知，若 ，则的长为______． 【答案】3 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段和差的计算，掌握全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的性质得出，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴． 故答案为：3． 6．（25-26七年级下·湖南衡阳·期末）如图，，，． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】（1）首先由全等三角形的性质得到，然后利用三角形外角的性质求解； （2）首先求出，然后由全等三角形的性质得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图．，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)4 (2) 【分析】（）根据全等三角形对应边相等求解即可； （）根据全等三角形对应角相等得，则可求，进而根据求解即可． 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：， ， 又， ， ． 8．如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96； (2)，理由见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：， ． 又， ． 又， ． ． （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 9．（25-26七年级下·河南南阳·期末）如图，在中，，，，点D为的中点，如果点P在线段上以每秒2个单位长度的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段上以每秒a个单位长度的速度由点C向点A运动，设运动时间为t（秒）． (1)用含t的代数式表示的长度：______； (2)若与全等（其中与为对应角），求a的值． 【答案】(1) (2)或2 【分析】（1）根据题意，可知，线段的和差关系表示出即可； （2）分和两种情况进行讨论求解即可. 【详解】（1）解：由题意，， ∴． （2）解：∵，点D为的中点， ∴． 由题意可知，，． 当与全等时，分以下两种情况： 当时，，， ∴，． 解得，． 当时，，， ∴，． 解得，． 综上所述，a的值为或2． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $