专题13.2 命题与证明（高效培优讲义）数学新教材沪科版八年级上册

本讲义聚焦“命题与证明”核心知识点，系统梳理命题的概念、结构、真假判断及逆命题，衔接定理与证明的公理、演绎推理，延伸至直角三角形两锐角互余及三角形外角性质，构建从基础概念到几何应用的学习支架。 资料通过即学即练与典例变式结合，培养学生推理意识，规范证明书写提升数学语言表达，复杂图形角度计算发展几何直观，课中辅助教师系统授课，课后助力学生查漏补缺，强化逻辑思维与应用能力。

专题13.2 命题与证明 教学目标 1.理解命题的概念，能准确判断一句话是否为命题，掌握命题的组成结构，明确命题由条件（题设）和结论两部分组成，能将命题改写成“如果……那么……”的标准形式。 2.理解真命题、假命题的定义，能结合几何知识与生活常识判断命题的真假，掌握通过举反例的方法证明一个命题是假命题的基本方法。 3.理解原命题、逆命题的概念，掌握写出一个命题逆命题的方法，明确原命题为真，逆命题不一定为真，能辨析原命题与逆命题的真假关系。 4.了解公理、定理、证明的基本概念，区分公理与定理的区别，知晓公理是不需要证明的基本事实，定理是经过推理证明的真命题。 5.通过命题辨析、几何证明训练，培养严谨的逻辑思维、演绎推理能力，养成规范、严谨的几何书写与推理习惯。 6.掌握三角形内角和定理的常用推论，能利用推论快速判定直角三角形角度关系。 7.理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角，区分外角与内角的位置关系。 8.熟练掌握三角形外角两大核心性质：外角等于不相邻两内角和、外角大于任意一个不相邻内角，能规范运用性质推理。 教学重难点 1.重点 （1）掌握命题的概念与结构，能准确区分命题的题设与结论，熟练改写命题标准形式； （2）掌握逆命题的写法，能正确写出任意命题的逆命题并判断真假； （3）掌握三角形内角和推论，能判定直角三角形、求解角度； （4）理解三角形外角定义，熟练掌握外角的核心性质； （5）运用内角和、外角性质进行角度计算与简单几何说理。 2. 难点 （1）在复杂图形中挖掘隐藏内外角关系，完成多步角度递推； （2）灵活结合内角和、外角性质综合解题，构建完整推理逻辑； （3）理解反证法的推理逻辑与思维本质，掌握反证法假设、归谬、结论的完整步骤，初步运用反证法解题。 知识点01 命题 1. 定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义。 2.命题：可以判断正确或不正确的陈述语句叫作命题。 3.真命题：正确的命题叫作真命题。 4.假命题：错误的命题叫作假命题。 5.条件与结论：命题由条件和结论两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式，如果后面是命题的条件，那么后面是命题的结论。 6.互逆命题：将命题“如果，那么”中的条件与结论互换，便得到一个新命题“如果，那么”，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题。 7.反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 【即学即练】 1．下列是命题的是（   ） A．直线AB和CD垂直吗 B．过线段AB的中点C画AB的垂线 C．内错角不相等，两直线不平行 D．连接A，B两点 【答案】C 【分析】本题考查了命题的定义这一知识点，掌握“判断一件事情的语句叫做命题，命题由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，命题通常可以写成 “如果…… 那么……” 的形式”是解题的关键． 判断一个语句是否为命题，核心就是看它是否对某件事情作出了判断，疑问句、祈使句、没有明确的题设和结论的语句都不是命题． 【详解】解：A、“直线和垂直吗” 是疑问句，未对 “直线和是否垂直” 作出判断，不是命题，不符合题意； B、“过线段AB的中点画的垂线”是祈使句，未对某件事情作出判断，不是命题，不符合题意； C、对内错角与两直线的关系作出判断，题设：内错角不相等，结论：两直线不平行，是命题，符合题意； D、“连接A，B两点”是祈使句，未对某件事情作出判断，不是命题，不符合题意． 故选：C． 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．如果直线，，那么 【答案】B 【详解】解：对于选项A，取反例，，满足，但，因此A是假命题； 对于选项B，设两个相等的角为，它们的补角分别为和，， ，即等角的补角相等，因此B是真命题； 对于选项C，只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，命题缺少前提条件，因此C是假命题； 对于选项D，若，，则，不是，因此D是假命题． 3．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 【答案】 两个角是同一个角的余角 这两个角相等 【分析】找出原命题的题设与结论，明确“如果”后接题设，“那么”后接结论即可完成改写． 【详解】解：原命题“同角的余角相等”中，题设为两个角是同一个角的余角，结论为这两个角相等， 因此可得：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等． 知识点02 定理与证明 1．定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法推断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的真命题叫作定理。 2.公理：经过人类长期实践、反复验证，不需要再证明，被大家公认正确，并作为推理、证明其他命题依据的基本事实叫作公理。 3.演绎推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这样的方法称为演绎推理（或演绎法）。 4.证明：演绎推理的过程，就是演绎证明。 5.符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”，证明中括号里的为推理依据。 6.辅助线：证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线，辅助线通常画成虚线。 7.推论：由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论。 【即学即练】 1.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 【答案】(1)在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； (2)证明见解析． 【分析】（）根据命题是由两部分组成的， 如果后边跟的是条件， 那么后边跟的是结论，在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，这个命题的条件是“两条直线都和同一条直线垂直”，结论是“这两条直线平行”； （）先把原命题用几何语言表达出来，再根据同位角相等两直线平行进行证明即可； 本题主要考查了命题的定义的理解、平行线的判定，解题的关键是掌握知识点的应用． 【详解】（1）解：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行， 故答案为：在同一平面内，如果两条直线都和同一条直线垂直，那么这两条直线互相平行； （2）已知：如图，，， 求证：； 证明：∵，， ∴，， ∴， ∴． 知识03 直角三角形的两锐角互余 推论1：直角三角形的两锐角互余。 推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形。 【即学即练】 1．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余即可计算出的度数． 【详解】解：∵在中，是直角， ∴，， 又∵， ∴． 2．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 知识点04 三角形的外角 1.三角形的外角：由三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫作三角形的外角。 2.三角形外角等于与它不相邻的两个内角的和。 3.三角形的外角大于与它不相邻的任何一个内角。 4.三角形的外角和为360°。 【即学即练】 1．如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的外角性质，根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角和进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵，且， ∴． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的外角，若，，则_______ 【答案】 【详解】解：∵是的外角，，， ∴， ∴. 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质证明即可； （2）根据得到，结合三角形的外角的性质计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴． 题型01 命题与定义的判断 【典例1】下列语句中，是命题的是（　　） A．三角形具有稳定性吗？ B．两点之间线段最短 C．在射线上任取一点A D．作线段的垂直平分线 【答案】B 【详解】解：A、是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故选项不符合题意； B、对两点之间线段的性质作出了明确判断，是命题，故选项符合题意； C、是作图操作指令，没有对事情作出判断，不是命题，故选项不符合题意； D、是作图操作指令，没有对事情作出判断，不是命题，故选项不符合题意. 【典例2】下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 【答案】D 【详解】解：选项A、两点确定一条直线，不是定义，不符合题意； 选项B、对顶角相等，不是定义，不符合题意； 选项C、垂线段最短吗，不是定义，不符合题意； 选项D、含有未知数的等式叫做方程，是定义，符合题意． 快速判定三要素：语句为陈述句、有判断语气、能明确分出真假。 【变式1】下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【答案】C 【详解】解：A、两点之间，线段最短，是性质不是定义，不符合题意； B、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是性质不是定义，且原说法错误，不符合题意； C、在正数前加上符号“”的数叫做负数，是定义，符合题意； D、今天的天气很好，不是定义，不符合题意． 【变式2】下列语句是命题的是（    ） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接，两点 D．是一个负数 【答案】D 【分析】根据命题的定义，判断一件事情的语句叫做命题，只需判断各选项语句是否对一件事情作出明确判断即可得到结果。 【详解】解：∵命题的定义是：判断一件事情的语句叫做命题。 A选项作一个角等于已知角是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题； B选项负数小于正数吗？是疑问句，没有对一件事情作出判断，不是命题； C选项连接，两点是作图指令，没有对一件事情作出判断，不是命题； D选项是一个负数对的属性作出了明确判断，符合命题的定义． 【变式3】下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 【答案】B 【分析】命题是判断一件事情的语句，解题只需根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，C，D都对对应事件作出了明确判断，都属于命题； 而选项B连接两点只是作图操作指令，没有对任何事件作出判断，不属于命题． 题型02 真假命题的判断 【典例1】（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．互余的两个角不一定相等 B．内错角相等 C．两点之间，线段最短 D．对顶角相等 【答案】B 【分析】根据余角的定义、平行线的性质、线段的基本性质、对顶角的性质逐一判断即可得到结果． 【详解】A、 互余的两个角和为，既可以是和（不相等），也可以是和（相等），因此互余的两个角不一定相等，是真命题，不符合题意； B、 只有当两直线平行时，内错角才相等，该命题未给出两直线平行的前提，内错角不一定相等，是假命题，符合题意； C 、两点之间，线段最短是几何基本事实，是真命题，不符合题意； D 、对顶角相等是定理，是真命题，不符合题意． 【变式1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等； B．相等的角是对顶角； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【答案】D 【分析】需结合对顶角定义，平行线的性质，平行公理等知识点，逐个分析各选项即可得到结果． 【详解】解：A、只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题是假命题，故该选项不符合题意； B、相等的角不一定是对顶角，如角平分线分出的两个角相等但不是对顶角，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C、在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线才互相平行，原命题是假命题，故该选项不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行是平行公理，原命题是真命题，故该选项符合题意． 【变式2】下列命题为真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．两直线平行，同位角相等 D．三角形的外角等于两个内角的和 【答案】C 【详解】解：选项A、相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等但不是对顶角，故A是假命题，不符合题意.； 选项B、只有两直线平行时，同旁内角才互补，该命题缺少前提条件，故B是假命题，不符合题意； 选项C、两直线平行，同位角相等，是平行线的基本性质定理，故C是真命题，符合题意； 选项D、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，不是任意两个内角的和，故D是假命题，不符合题意． 【变式3】下列命题中，是假命题的是（     ） A．两点之间，线段最短 B．同位角相等 C．两点确定一条直线 D．等角的余角相等 【答案】B 【分析】本题考查基本几何命题的真假判断，只需根据各知识点的成立条件逐一判断即可． 【详解】、“两点之间，线段最短”是基本几何公理， ∴A是真命题； 、同位角相等的成立条件是“两直线平行”，命题中未给出该前提， ∴B是假命题； 、∵C选项“两点确定一条直线”是基本几何公理， ∴C是真命题； 、若两个相等的角为，它们的余角都为， ∴等角的余角相等，D是真命题 题型03 写出命题的题设与结论 【典例1】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查命题的组成，命题由题设和结论两部分构成，题设是命题中的已知条件，结论是由已知条件推出的结果，掌握命题题设与结论的区分方法是解题关键． 【详解】解：命题“同位角相等，两直线平行”可改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”． ∴该命题的题设是“同位角相等”． 【典例2】将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． 【答案】 两个角是对顶角 这两个角相等 【分析】把命题改写成“如果……那么……”形式时，“如果”的部分接命题的条件，“那么”的部分接命题的结论；原命题“对顶角相等”中，条件是两个角为对顶角，结论是这两个角相等，按要求拆分填写即可． 【详解】解：如果两个角为对顶角，那么两个角相等． （1）改写技巧：简写命题先补全语句，再拆分，保证语句通顺、逻辑不变； （2）书写规范：题设、结论必须完整成句，不残缺、不省略关键条件。 【变式1】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【答案】D 【分析】本题考查了命题的条件与结论，命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，题设写在如果的后面，把结论写在那么的后面． 命题的题设与结论部分，一个命题可以写成“如果…那么…”形式，如果的后面是条件，那么的后面是题设． 【详解】解：命题“度数之和为的两个角互为余角” 写成：如果两个角的度数之和等于，那么这两个角互为余角， ∴命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是度数之和为的两个角． 故选：D． 【变式2】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）把命题“邻补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______． 【答案】如果两个角是邻补角，那么这两个角相等 【详解】解：命题“邻补角相等”的题设为两个角是邻补角，结论为这两个角相等， 因此改写成“如果…那么…”的形式为：如果两个角是邻补角，那么这两个角相等. 【变式3】把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 【答案】如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数 【详解】解：把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式为：如果一个数是负数，那么这个数的绝对值是正数． 题型04 互逆命题 【典例1】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【答案】C 【分析】本题考查逆命题，根据条件和结论互换的两个命题互为逆命题，进行判断即可． 【详解】解：“同旁内角互补，两直线平行”的逆定理是“两直线平行，同旁内角互补”， 故选C． 【变式1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【答案】A 【分析】根据逆命题，逆定理，公理，假命题的定义，分别对每一项进行分析即可． 【详解】“直角都相等”的条件是“两个角是直角”，结论是“这两个角相等” “相等的角是直角” 的条件是“两个角相等”，结论是“这两个角是直角” 条件和结论互换，所以是互为逆命题． 定理：“直角都相等”的逆命题是“相等的角是直角”明显这个定理的逆命题是假命题， 所以“直角都相等”与“相等的角是直角”不是互逆定理． 故选：A． 【点睛】本题考查了互为逆命题的知识，熟记互为逆命题的定义是解题关键． 【变式2】已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”是______命题（填“真”或“假”）．写出它的逆命题______，该命题是______命题（填“真”或“假”）． 【答案】 真 如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等 假 【分析】原命题根据全等三角形的性质判断真假；逆命题通过交换原命题的条件和结论得到，并根据三角形面积与全等的关系判断真假． 【详解】解：原命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等”是真命题，因为全等三角形的对应边和角都相等，所以面积一定相等． 逆命题是“如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等”，该命题是假命题，因为面积相等的三角形不一定全等，例如底和高的乘积相等但形状不同的三角形． 故答案为：真；如果两个三角形的面积相等，那么这两个三角形全等；假． 【变式3】命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【答案】真 【分析】本题考查了逆命题的定义的理解及运用，解题的关键是分清原命题的题设和结论，原命题条件与结论互换就是逆命题． 【详解】解：逆命题：如果，那么， 是真命题， 故答案为：真 ． 【变式4】命题“两个锐角的和一定是锐角”的逆命题是_________________． 【答案】如果两个角的和是锐角，那么这两个角都是锐角 【分析】本题考查的是逆命题的概念，掌握命题的题设和结论是解题关键． 把命题的题设和结论对调即可得到逆命题． 【详解】解：命题“两个锐角的和一定是锐角”的逆命题是如果两个角的和是锐角，那么这两个角都是锐角． 故答案为：如果两个角的和是锐角，那么这两个角都是锐角． 题型05 举反例 【典例1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． ， D． ， 【答案】C 【分析】本题考查了举反例． 反例需满足命题条件（两角互补）但不满足结论（两角相等），即两角之和为但两角不相等． 【详解】解：反例需与互补，且． 选项A：且，满足结论，不是反例； 选项B：，不满足条件，不是反例； 选项C：，但，满足条件但不满足结论，是反例； 选项D：，不满足条件，不是反例； 故选：C． 【典例2】对于命题“若 则”举出能说明这个命题是假命题的一组，的值，则___， ___． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】考查了命题与定理的知识，判断一个命题是假命题的时候可以举出反例．根据举反例的方法找到a，b满足，但是不满足即可． 【详解】解：当，时，，但是， 故答案为：，（答案不唯一）． （1）反例核心：满足题设条件，但不满足结论的例子，即可推翻假命题； （2）举反例三步：符合题设→代入验证→结论不成立，逻辑完整。 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查的是命题的真假判断，要证明命题“若，则”为假，需找到反例，即成立但不成立，逐一验证各选项即可解答． 【详解】解：选项A：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项B：，，成立，，结论成立，不符合反例； 选项C：，，成立，结论不成立，符合反例； 选项D：，，不成立，不符合反例条件． 故选：C． 【变式2】能举反例说明命题“若，则”是假命题的例子是_________． 【答案】 【分析】本题考查命题的判断，以及不等式的性质，要使得成立，则，因此举反例可列举的数字即可． 【详解】解：由题意，，，则， 当时，满足，但不满足， 故答案为：． 【变式3】要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是________（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了不等式的性质，要说明命题是假命题，那么根据不等式的性质可得不等式两边同时乘以a后，不等号的方向发生改变，据此可得答案． 【详解】解：∵命题“若，则”是假命题， ∴， ∴反例的值可以是（答案不唯一）， 故答案为：（答案不唯一）． 题型06 定理与公理的识别 【典例1】下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 【答案】B 【分析】本题考查基本事实与定理的概念辨析，关键是明确两者的定义与区别：基本事实是经过长期实践检验、公认为正确的真命题，无需证明；定理是经过演绎推理证明为正确的真命题，二者都可作为推理论证的依据． 【详解】解：A选项：基本事实是公认的真命题，定理是经过严格演绎推理证明的真命题，因此两者都是真命题，该选项说法正确； B选项：基本事实是无需证明的公认的真命题，定理是需要经过演绎推理证明的真命题，二者概念不同，该选项说法错误； C选项：在数学推理论证过程中，基本事实和已被证明的定理都可以作为推理的依据，该选项说法正确； D选项：基本事实的正确性是通过长期的实践检验得以确认的，定理的正确性是通过演绎推理的方式证明得到的，该选项说法正确． 故选：B． 公理、定理均为真命题；普通真命题不一定是定理。 【变式1】下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【答案】D 【分析】此题考查了公理，公理是不需要证明的基本命题，在初中数学中，“同位角相等，两直线平行”通常作为平行线的判定公理，而其他选项均为定理，可由公理推导． 【详解】解：公理是数学体系中公认的基本事实，无需证明； 选项A“对顶角相等”可通过等角的补角相等证明，是定理； 选项B“同角的余角相等”可通过角的定义和等量代换证明，是定理； 选项C“三角形两边之和大于第三边”可由“两点之间线段最短”公理证明，是定理； 选项D“同位角相等，两直线平行”在初中教材中作为平行线的判定公理使用，是公理． 故选：D． 【变式2】下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 【答案】D 【分析】本题考查定理的判断，掌握定理、命题的定义是关键． 根据定理的概念，逐一进行判定即可． 【详解】解：A、在直线AB上取一点E，不是命题，故不是定理，不符合题意； B、如果两个角相等，那么这两个角是对顶角，原命题是假命题，故不是定理，不符合题意； C、选项中“内错角相等”缺少“两直线平行”的前提条件，是假命题，故不是定理，不符合题意； D、同角的补角相等，是定理，符合题意． 故选：D． 题型07 推理与论证 【典例1】小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（   ） A．小东 B．小雨 C．小丽 【答案】C 【分析】本题主要考查逻辑推理，关键是从二人的语言中找到名称的排列关系；即可求解. 【详解】解：根据题意，小丽说：我不是最后一名，那么小丽是第一名或第二名； 小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好，那么小雨是第二名，小丽是第一名， 故选：C. 【变式1】小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 【答案】C 【分析】本题考查逻辑推理，根据①得到小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书，根据②得到小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读，进行判断即可． 【详解】解：因为小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书， 所以小康在甲校读书，小军在乙校读书，小龙在丙校读书， 因为在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书， 所以小康爱好唱歌，小军爱好绘画，小龙爱好阅读， 故选C． 【变式2】六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了推理与论证的问题，能够通过已知条件找出突破口，从而通过推理得出结论．从A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过这个已知条件入手，进而可一步一步推得每个人分别与那几个人下了几局，最后即可得出F最终下了几局． 【详解】解：由于A、B各参加了3局比赛，C、D各参加了4局比赛，E参加了2局比赛，且A与C没有比赛过，B与D也没有比赛过， 所以与D赛过的是A、C、E、F四人； 与C赛过的是B、D、E、F四人； 又因为E只赛了两局，A与B各赛了3局， 所以与A赛过的是D、B、F； 而与B赛过的是A、C、F； 所以F共赛了4局． 故选：D． 题型08 证明 【典例1】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由平行线的性质得到，，然后等量代换证明即可； （2）由平行线的性质得到，，，，等量代换得到，然后结合平角的定义证明即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴； （2）解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴ ∴． （1）证明格式规范：先写已知、求证，再写证明过程，步步标注依据； （2）解题思路：逆向推导（从结论倒推所需条件）+正向书写（从条件顺写过程）； （3）核心要求：逻辑严密、步骤有序、不重复、不遗漏，结论唯一确定。 【变式1】求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【答案】见解析 【分析】本题考查了命题中的证明举例，熟练掌握知识点是解题的关键． 先写出已知，求证，再证明即可． 【详解】解：已知：是两个连续的自然数． 求证：是偶数． 证明：当n是奇数时，就是偶数，所以是偶数． 当n是偶数时，是偶数． 综上所述，是偶数． 即两个连续自然数的积是偶数． 【变式2】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查命题的证明，根据命题的定义，选择条件和结论，根据平行线的判定和性质，进行证明即可． 【详解】从题干中选出其中的两个作为条件，第三个作为结论，可以构造出3个命题，分别为：①②⇒③；②③⇒①；①③⇒②．以上3个命题都是真命题， ①②⇒③， ， ， ， ， ， ； ②③⇒①， ， ， ， ， ， ； ①③⇒②， ， ， ， ， ， ． 题型09 直角三角形的判断 【典例1】满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理以及直角三角形的判定逐项判断，即可得到结论． 【详解】解：A、∵，， ∴， ∴， ∴， ∴不是直角三角形． B、∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． C、∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形． D、∵， ∴是直角三角形． 遇角度和、角度差、互余条件，优先判定直角三角形。 【变式1】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，根据条件结合三角形内角和计算各角度数，判断三角形是否存在角即可求解． 【详解】解：在中，． A、∵，∴，代入内角和得，即，是直角三角形，本选项不符合题意． B、∵，∴，是直角三角形，本选项不符合题意． C、∵，设，，，则，解得，，是直角三角形，本选项不符合题意． D、∵，设，则，∴，解得，最大角，不存在90°角，不是直角三角形，本选项符合题意． 【变式2】在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 由三角形的内角和定理，结合已知可得，即可求解． 【详解】解：∵在中，， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴是直角三角形． 故选：B． 【变式3】若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 【答案】B 【分析】本题考查直角三角形的判定． 设中，，则，由三角形的内角和定理，即可判断三角形的形状． 【详解】解：不妨设中，，则， 又∵， ∴， ∴， ∴ 三角形为直角三角形． 故选：B． 题型10 直角三角形的两锐角互余 【典例1】若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【答案】 【详解】解：直角三角形的一个锐角为， 另一个锐角的度数为：． 【典例2】如图，相交于点．求的大小． 【答案】 【分析】利用题目已知角度和三角形内角和，计算和的度数，再用即可求解． 【详解】解：， ， ． 【变式1】在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质，即可计算出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点是射线上一动点．的平分线与交于点，当为直角三角形时，______． 【答案】或 【分析】本题考查了角的和差，直角三角形两锐角互余；当时，当时，即可求解． 【详解】解：如图，当时， ， 的平分线与交于点， ， ； 如图，当时， ； 综上所述： 或， 故答案为：或． 【变式3】如图，将三角尺的边延长且使固定，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，延长，与就是一组对顶角．已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角相等的性质，直角三角形的两个锐角互余，掌握以上知识点是解题的关键． 两直线相交，对顶角相等，即，然后根据三角尺的特点和已知条件来求的度数即可． 【详解】解：由题意，得， ． ， ． 【变式4】如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，垂直的定义，余角的计算，熟知三角形的相关知识是解题的关键． （1）根据三角形的定义进行求解即可； （2）根据等角的余角相等即可得出结论； （3）根据余角的定义即可求出，进而得到，由（2）知，根据对顶角相等得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：由（1）知是直角三角形， ， ． （3）解：∵， ， ， ． 题型11 三角形外角的定义及外角和定理 【典例1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的一个外角， ∴． 【变式1】如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【变式2】如图，在中，，，则等于______度． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，熟练掌握其性质是做题的关键．直接利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解： 是的外角， ． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质．根据角平分线的定义可得的度数，再根据三角形外角的性质解答即可． 【详解】解：是的角平分线，， ， ，是的外角， ． 题型12 三角形内角和定理与外角和定理综合 【典例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，交于点D，是的角平分线，求，的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质及角平分线的定义，属于基础问题． 由，得，由是的角平分线，则可求得的度数，由及三角形内角和可求得的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，为边上的高，平分，与交于点E，与交于点F，若，，求和的大小． 【答案】， 【分析】本题主要考查了角平分线的定义以及三角形内角和定理，三角形外角的性质，掌握角平分线的定义是解答本题的关键．由，结合平分，可求；再结合三角形内角和可求． 【详解】解：∵，，是的外角， ∴， ∵平分， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 【变式2】（25-26八年级上·广西贵港·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【答案】(1)的度数是 (2)的长为8 【分析】本题考查了三角形外角的性质，三角形内角和定理，三角形的中线等知识．熟练掌握三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由题意知，根据，计算求解即可； （2）由为的中线，可得，由的周长比的周长大3，可得，进而可得，计算求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， 的度数是； （2）解：为的中线， ， ∵的周长比的周长大3， ∴，即， ，即， 解得：， 即的长为8． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，分别求和的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查了三角形内角和性质，三角形外角性质，角平分线的定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合三角形内角和性质以及，得，根据，则，运用三角形外角性质，进行列式计算，即可作答． （2）结合平分，得出，运用三角形外角性质，得，，进行整理，即可作答． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ， ． 平分， ， ； （2）解：，，之间的数量关系为； 理由：平分， ， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 1．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 【答案】B 【分析】命题是对一件事情作出判断的语句，根据定义逐一判断各选项即可． 【详解】解：A选项、“作的平分线”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； B选项、“内错角不相等”对内错角的大小关系作出了明确判断，是命题，故此选项符合题意； C选项、“直角都相等吗”是疑问句，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意； D选项、“画一条线段”是描述动作，没有对事情作出判断，不是命题，故此选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．两直线平行，内错角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】根据对顶角性质、平行线性质和平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A、对顶角相等，是真命题，本选项符合题意； B、只有两直线平行时，同旁内角才互补，命题未给出两直线平行的前提，故本选项的命题是假命题，不符合题意； C、根据平行线的性质，两直线平行，内错角相等，不是互补，故本选项的命题是假命题，不符合题意； D、只有过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，不存在这样的平行线，命题表述错误，是假命题，本选项不符合题意． 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角尺的特征得出相关角的度数，利用平行线的性质将角进行转化，最后根据三角形外角性质计算即可． 【详解】解：如图， ∵两个三角尺的竖直直角边在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】要说明原命题为假命题，只需找到满足命题条件，但不满足命题结论即可． 【详解】解：反例需要满足条件，不满足结论， 对选项B，，，满足，即，而，，可得，即，不满足原命题结论， 选项B符合题意； 其余选项均满足，也满足，不符合题意． 5．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用直角三角形两锐角互余的性质即可计算求解． 【详解】解：∵在中， ∴直角三角形两锐角和为，即 又∵ ∴ ． 6．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 【答案】 对应边相等的两个三角形全等 【分析】本题考查逆命题的概念，找出原命题的条件和结论，将条件和结论互换，即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：原命题“全等三角形对应边相等”中，条件为“两个三角形全等”，结论为“两个三角形对应边相等”，将条件和结论互换，得到逆命题为：对应边相等的两个三角形全等. 故答案为对应边相等的两个三角形全等． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期末）举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】要说明该命题是假命题，只需找到满足条件“能被整除”，但不满足结论“的末位数字是”的即可，根据能被整除的数的特征，选取末位为的符合要求的数即可 【详解】解：根据能被整除的整数的特征可知：能被整除的整数，末位数字为或， 取， 因为，所以能被整除， 的末位数字为，不是，满足题设条件不满足结论，可说明原命题是假命题， 故答案为（答案不唯一） 8．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是_______三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 9．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的判定及性质． 根据，推出，得到，由此可得结论． 【详解】证明：是的一个外角（已知）， （三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和）. （已知）， （等量代换）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）， （已知）， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）． 10．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 【答案】(1) (2)三角形内角和为； (3)见解析 【分析】题目主要考查证明三角形内角和定理及平行线的性质，理解题意是解题关键． （1）根据图形直接写出结果即可； （2）根据（1）写出猜想即可； （3）根据题意，延长，过点C作，然后利用平行线的性质即可证明． 【详解】（1）解：通过、、的拼接，发现； （2）猜想：三角形内角和为； （3）延长，过点C作，如图所示：    ∴， ∵， ∴． 11．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，是的高，是的角平分线，平分，与相交于点F，已知，，求和的度数． 【答案】， 【分析】本题考查三角形的内角和定理，三角形外角的性质，角平分线、高线及直角三角形两锐角互余，解题的关键是掌握以上知识点． 先根据角平分线的定义得到，然后根据三角形外角的性质得到，求出，然后利用三角形内角和定理求出；利用直角三角形两锐角互余求出，进而求解即可． 【详解】解：∵，是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵于点D， ∴， ∴． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，相交于点，，．求的大小． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握直角三角形两锐角互余． 根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． 1．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】本题主要考查的知识点有:定理的概念:定理是经过逻辑证明为真的陈述，是具有普遍意义、经过严格证明的结论．包括平均数的计算、能被和整除的数的特征、方程的根的验证、三角形内角和定理、等式的基本性质等相关数学概念和性质，通过对这些内容的考查，判断哪些命题符合定理的定义． 【详解】解：命题①平均数的计算是，所以“与的平均数是”是错误的，不是定理； 命题②能被整除的数不一定能被整除，例如能被整除，但不能被整除，所以该命题错误，不是定理； 命题③“将 代入方程，左边，右边，左边右 边，所以该命题是错误的，不是定理； 命题④“三角形的内角和是”，这是经过严格的几何证明(如通过平行线性质、拼图等方法证明)，具有普遍适用性的结论，是定理； 命题⑤“等式两边加上同一个数，等式仍成立”，这是等式的基本性质之一，是经过数学定义和推导确定的、具有普遍意义的结论，是定理； 综上，命题④和命题⑤是定理，共个． 故选：A． 2．（25-26七年级下·重庆万州·期末）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B． 若，则 C．若，则 D．若关于的不等式的解集为，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质，通过举反例排除错误选项，再结合不等式的性质判断正确选项即可． 【详解】对于选项A：取反例，，满足，但，∴A错误； 对于选项B：当时，，此时，不满足，∴B错误； 对于选项C：取反例，满足，此时，，得，与命题结论矛盾，∴C错误； 对于选项D：原不等式整理为， ∵解集为，不等号方向改变，由不等式性质可知，不等号两边同时除以负数时方向改变， ∴，即， ∴D正确． 3．（2026·福建三明·二模）工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由两直线平行，内错角相等可得，求出邻补角的定义，再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 【答案】②（或③，取其一即可） 【分析】要说明小红的观点错误，只需找到一个原命题为真命题，交换题设与结论得到的逆命题为假命题的命题即可，依次判断四个命题即可得解． 【详解】解：①原命题“两直线平行，内错角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“内错角相等，两直线平行”，逆命题是真命题，不符合要求； ②原命题“对顶角相等”是真命题，交换题设与结论得逆命题“相等的角是对顶角”，相等的角不一定是对顶角，逆命题是假命题，符合反例要求； ③原命题“邻补角互补”是真命题，交换后逆命题“互补的角是邻补角”为假命题，也符合要求，题目要求选择一个即可； ④原命题“若，则”是假命题，当，时，满足但，原命题不是真命题，不符合要求． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E是平面内一点， 连接，， 的平分线与的平分线交于点F． 若， 则的度数为_____________． 【答案】/50度 【分析】根据平行线的性质得出，设，，利用角平分线的定义表示出和，结合三角形内角和定理与三角形外角的性质建立关于的方程求解即可； 【详解】解：设与交于点， ， ， 设，，则， 平分，平分， ，， 在中，， ，即， 延长交于点， 是的外角， ， 是的外角， ， ， ， ，即， ， 解得：． 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． (1)若，求的度数； (2)判断与的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)， 证明：设， ∴， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴， ∴ ∴． 【分析】（1）根据角平分线可知，进而由三角形的外角即可求解； （2）设，根据角平分线以及三角形的内角关系即可求解． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵ ∴ ∴ （2）略 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 【答案】(1)解：是直角三角形，理由如下： ∵在中，是高， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； (2)； (3)证明：∵是的角平分线， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴． 【分析】根据题意可以求得，从而得到是直角三角形； 由直角三角形的性质可得，又是的角平分线，所以，最后通过三角形内角和定理即可求解； 根据是的角平分线，则，然后通过，三角形的外角性质即可得出结论成立． 【详解】（1）略； （2）解：在中，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， 在中， ； （3）略． 8．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 【答案】(1)； (2)3 【分析】（1）根据直角三角形的锐角互余得出，根据三角形的角平分线的定义得出，进而根据三角形外角得出； （2）根据三角形的中线的定义得出，进而结合题意，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴， ∴与的周长之差为3． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)是， 证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴平分； (2) 【分析】（1）根据得到，，结合，得到即可． （2）先求得，结合，三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 10．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∴． 【分析】（1）根据角平分线得出，，则，根据，即可求解． （2）根据角平分线得出，，则，结合（1）中，即可求解． （3）根据角平分线得出，，则，结合，，即可解答． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵平分，平分， ∴，， ∴， ∵由（1）知， ∴． （3）略 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.2 命题与证明 教学目标 1.理解命题的概念，能准确判断一句话是否为命题，掌握命题的组成结构，明确命题由条件（题设）和结论两部分组成，能将命题改写成“如果……那么……”的标准形式。 2.理解真命题、假命题的定义，能结合几何知识与生活常识判断命题的真假，掌握通过举反例的方法证明一个命题是假命题的基本方法。 3.理解原命题、逆命题的概念，掌握写出一个命题逆命题的方法，明确原命题为真，逆命题不一定为真，能辨析原命题与逆命题的真假关系。 4.了解公理、定理、证明的基本概念，区分公理与定理的区别，知晓公理是不需要证明的基本事实，定理是经过推理证明的真命题。 5.通过命题辨析、几何证明训练，培养严谨的逻辑思维、演绎推理能力，养成规范、严谨的几何书写与推理习惯。 6.掌握三角形内角和定理的常用推论，能利用推论快速判定直角三角形角度关系。 7.理解三角形外角的定义，能准确识别三角形的外角，区分外角与内角的位置关系。 8.熟练掌握三角形外角两大核心性质：外角等于不相邻两内角和、外角大于任意一个不相邻内角，能规范运用性质推理。 教学重难点 1.重点 （1）掌握命题的概念与结构，能准确区分命题的题设与结论，熟练改写命题标准形式； （2）掌握逆命题的写法，能正确写出任意命题的逆命题并判断真假； （3）掌握三角形内角和推论，能判定直角三角形、求解角度； （4）理解三角形外角定义，熟练掌握外角的核心性质； （5）运用内角和、外角性质进行角度计算与简单几何说理。 2. 难点 （1）在复杂图形中挖掘隐藏内外角关系，完成多步角度递推； （2）灵活结合内角和、外角性质综合解题，构建完整推理逻辑； （3）理解反证法的推理逻辑与思维本质，掌握反证法假设、归谬、结论的完整步骤，初步运用反证法解题。 知识点01 命题 1. 定义：能明确界定某个对象含义的语句叫作定义。 2.命题：可以 正确或不正确的陈述语句叫作命题。 3.真命题： 的命题叫作真命题。 4.假命题： 的命题叫作假命题。 5.条件与结论：命题由 和 两部分组成，常写成“如果……那么……”的形式，如果后面是命题的条件，那么后面是命题的结论。 6.互逆命题：将命题“如果，那么”中的条件与结论 ，便得到一个新命题“如果，那么”，把这样的两个命题称为互逆命题，其中一个叫作原命题，另一个就叫作原命题的逆命题。 7.反例：符合命题条件，但不满足命题结论的例子，称为反例。要说明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可。 【即学即练】 1．下列是命题的是（   ） A．直线AB和CD垂直吗 B．过线段AB的中点C画AB的垂线 C．内错角不相等，两直线不平行 D．连接A，B两点 2．（25-26七年级下·广东广州·期中）下列命题是真命题的是（     ） A．若，则 B．等角的补角相等 C．同旁内角互补 D．如果直线，，那么 3．“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式，如果___________，那么___________． 知识点02 定理与证明 1．定理：从基本事实或其他真命题出发，用推理方法推断为正确的，并被选作判断命题真假的依据，这样的 叫作定理。 2.公理：经过人类长期实践、反复验证，不需要再证明，被大家公认正确，并作为推理、证明其他命题依据的 叫作公理。 3.演绎推理：从已知条件出发，依据定义、基本事实、定理，并按照逻辑规则，推导出结论，这样的方法称为演绎推理（或演绎法）。 4.证明：演绎推理的 ，就是演绎证明。 5.符号“∵”读作“因为”，符号“∴”读作“所以”，证明中括号里的为 。 6.辅助线：证明过程中，为了证明的需要，在原来图形上添画的线叫作辅助线，辅助线通常画成 。 7.推论：由基本事实、定理直接得出的真命题叫作推论。 【即学即练】 1.命题：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行． (1)请将此命题改写成“如果，那么”的形式：________； (2)请写出“已知”和“求证”，并证明过程． 知识03 直角三角形的两锐角互余 推论1：直角三角形的两锐角 。 推论2：有两个角互余的三角形是 三角形。 【即学即练】 1．在中，若是直角，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 知识点04 三角形的外角 1.三角形的外角：由三角形的一边与另一边的 组成的角叫作三角形的外角。 2.三角形外角 与它不相邻的两个内角的和。 3.三角形的外角 与它不相邻的任何一个内角。 4.三角形的外角和为 。 【即学即练】 1．如图，在中，，点D为边上一点，连接．若，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏泰州·期末）如图，是的外角，若，，则_______ 3．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，已知，． (1)求证：； (2)如图，点E是线段上一点，若，且，求的度数． 题型01 命题与定义的判断 【典例1】下列语句中，是命题的是（　　） A．三角形具有稳定性吗？ B．两点之间线段最短 C．在射线上任取一点A D．作线段的垂直平分线 【典例2】下列描述属于定义的是（    ） A．两点确定一条直线 B．对顶角相等 C．垂线段最短吗 D．含有未知数的等式叫做方程 快速判定三要素：语句为陈述句、有判断语气、能明确分出真假。 【变式1】下面各个命题中，定义为（ ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．在正数前加上符号“”的数叫做负数 D．今天的天气很好 【变式2】下列语句是命题的是（    ） A．作一个角等于已知角 B．负数小于正数吗？ C．连接，两点 D．是一个负数 【变式3】下列语句，不是命题的是（    ） A．两点之间线段最短 B．连接两点 C．任何一个三角形一定有直角 D．等角的补角相等 题型02 真假命题的判断 【典例1】（25-26七年级下·福建福州·期末）下列命题中，是假命题的是（     ） A．互余的两个角不一定相等 B．内错角相等 C．两点之间，线段最短 D．对顶角相等 【变式1】（25-26七年级下·湖北武汉·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等； B．相等的角是对顶角； C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式2】下列命题为真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．两直线平行，同位角相等 D．三角形的外角等于两个内角的和 【变式3】下列命题中，是假命题的是（     ） A．两点之间，线段最短 B．同位角相等 C．两点确定一条直线 D．等角的余角相等 题型03 写出命题的题设与结论 【典例1】命题“同位角相等，两直线平行”的题设是（   ） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线平行，同位角相等 D．同位角相等，两直线平行 【典例2】将命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式：如果______，那么________． （1）改写技巧：简写命题先补全语句，再拆分，保证语句通顺、逻辑不变； （2）书写规范：题设、结论必须完整成句，不残缺、不省略关键条件。 【变式1】命题“度数之和为的两个角互为余角”的条件是（    ） A． B．两个角 C．度数之和为 D．度数之和为的两个角 【变式2】（25-26七年级下·贵州遵义·期中）把命题“邻补角相等”改写成“如果…那么…”的形式：______． 【变式3】把命题“负数的绝对值是正数”写成“如果……，那么……”的形式：_____． 题型04 互逆命题 【典例1】下列命题中，与“同旁内角互补，两直线平行”成为互逆定理的是（　　） A．同旁内角不互补，两直线平行 B．同旁内角不互补，两直线不平行 C．两直线平行，同旁内角互补 D．两直线不平行，同旁内角不互补 【变式1】“直角都相等”与“相等的角是直角”是（    ） A．互为逆命题 B．互逆定理 C．公理 D．假命题 【变式2】已知命题“如果两个三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．”是______命题（填“真”或“假”）．写出它的逆命题______，该命题是______命题（填“真”或“假”）． 【变式3】命题“如果，那么”的逆命题是______命题（填“真”或“假”） 【变式4】命题“两个锐角的和一定是锐角”的逆命题是_________________． 题型05 举反例 【典例1】（25-26八年级上·浙江温州·期中）对于命题“如果与互补，那么”，能说明这个命题是假命题的反例是（    ） A． B． C． ， D． ， 【典例2】对于命题“若 则”举出能说明这个命题是假命题的一组，的值，则___， ___． （1）反例核心：满足题设条件，但不满足结论的例子，即可推翻假命题； （2）举反例三步：符合题设→代入验证→结论不成立，逻辑完整。 【变式1】（25-26八年级上·浙江杭州·期中）下列选项中的a、b的值，可以作为命题“若，则”是假命题的反例是（   ） A．， B．， C．， D．， 【变式2】能举反例说明命题“若，则”是假命题的例子是_________． 【变式3】要说明命题“若，则”是假命题，反例的值可以是________（写出一个即可）． 题型06 定理与公理的识别 【典例1】下面关于基本事实和定理的说法不正确的是（  ） A．基本事实和定理都是真命题 B．基本事实就是定理，定理就是基本事实 C．基本事实和定理都可以作为推理论证的依据 D．基本事实的正确性需要经过实践检验，定理的正确性需要经过演绎推理 公理、定理均为真命题；普通真命题不一定是定理。 【变式1】下列所学过的真命题中，是公理的是（   ） A．对顶角相等 B．同角的余角相等 C．三角形两边之和大于第三边 D．同位角相等，两直线平行 【变式2】下列语句中，属于定理的是（    ） A．在直线AB上取一点E B．如果两个角相等，那么这两个角是对顶角 C．内错角相等 D．同角的补角相等 题型07 推理与论证 【典例1】小东、小雨和小丽三人进行跳绳比赛．小丽说：我不是最后一名．小雨说：我也不是最后一名，但是小丽的成绩比我好．第一名是（   ） A．小东 B．小雨 C．小丽 【变式1】小龙、小军和小康三人在甲、乙、丙三所不同的学校读书，唱歌、阅读、绘画是三人的不同爱好． 并且知道：①小龙不在甲校读书，小军不在甲校读书，也不在丙校读书；②在甲校读书的同学爱好唱歌，爱好绘画的同学不在丙校读书． 根据以上信息，下列选项中正确的是（    ） A．小龙在乙校读书，爱好阅读 B．小龙在丙校读书，爱好绘画 C．小军在乙校读书，爱好绘画 D．小康在甲校读书，爱好阅读 【变式2】六名运动员A，B，C，D，E，F比赛中国象棋，每两人赛一局．第一天A与B各赛了3局，D与C各赛了4局，E赛了2局，而且D和B，A和C之间都还没赛过，那么F已赛了多少局（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型08 证明 【典例1】著名哲学家泰勒斯（，公元前6世纪）最早从拼图实践中发现了“三角形内角和等于”，但这种发现完全是经验性的，泰勒斯并没有给出严格的证明．之后古希腊数学家毕达哥拉斯、欧几里得、普罗克洛斯等相继给出了基于平行线性质的不同的证明． (1)如图是欧几里得利用辅助平行线和延长线，通过一组同位角和内错角证明了该定理．请你根据欧几里得的思想写出证明过程； (2)聪明的小明想到了一个方法，下面是他的思路：如图，在的边上任取一点E，过点E作交AB于点D，作交于点F．求证：． （1）证明格式规范：先写已知、求证，再写证明过程，步步标注依据； （2）解题思路：逆向推导（从结论倒推所需条件）+正向书写（从条件顺写过程）； （3）核心要求：逻辑严密、步骤有序、不重复、不遗漏，结论唯一确定。 【变式1】求证：两个连续自然数（0除外）的积是偶数． 【变式2】如图，直线a，b，c被直线m，n所截，有下列命题： ①；②；③． 从①②③中选出两个作为条件，第三个作为结论，写出一个真命题，并说明理由． 题型09 直角三角形的判断 【典例1】满足下列条件的不是直角三角形的是（） A． B． C． D． 遇角度和、角度差、互余条件，优先判定直角三角形。 【变式1】具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】在中，，则是（   ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【变式3】若一个三角形的一个内角等于另外两个内角的差，则这个三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定 题型10 直角三角形的两锐角互余 【典例1】若某个直角三角形的一个锐角是，则它的另一个锐角的度数为______． 【典例2】如图，相交于点．求的大小． 【变式1】在中，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·河南新乡·期末）如图，已知，点是射线上一动点．的平分线与交于点，当为直角三角形时，______． 【变式3】如图，将三角尺的边延长且使固定，三角尺的直角顶点与三角尺的直角顶点重合，延长，与就是一组对顶角．已知，求的度数． 【变式4】如图，于点于点与相交于点． (1)写出图中所有的直角三角形． (2)猜想和有什么关系？并说明理由． (3)若，求和的度数． 题型11 三角形外角的定义及外角和定理 【典例1】（25-26八年级下·山西晋中·期中）如图，是的一个外角，，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式2】如图，在中，，，则等于______度． 【变式3】（25-26八年级上·四川泸州·期中）如图，在中，，，是的角平分线，求的度数． 题型12 三角形内角和定理与外角和定理综合 【典例1】（25-26八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，，，，交于点D，是的角平分线，求，的度数． 【变式1】（25-26八年级上·天津西青·期中）如图，在中，为边上的高，平分，与交于点E，与交于点F，若，，求和的大小． 【变式2】（25-26八年级上·广西贵港·期中）如图，在中，点D在边上． (1)若，，求的度数； (2)若为的中线，的周长比的周长大3，，求的长． 【变式3】（25-26八年级上·河北保定·期中）如图，是的外角的平分线，且交的延长线于点． (1)若，，分别求和的度数； (2)试判断，，之间的数量关系，并说明理由． 1．（25-26七年级下·湖北宜昌·期末）下列语句表示命题的是（     ） A．作的平分线 B．内错角不相等 C．直角都相等吗 D．画一条线段 2．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）下列命题是真命题的是（     ） A．对顶角相等 B．同旁内角互补 C．两直线平行，内错角互补 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 3．（25-26七年级下·河南周口·期末）如图，将一副三角尺叠在一起，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·福建厦门·期末）能说明命题“如果，那么”为假命题的反例是（     ） A．， B．， C．， D．， 5．（25-26八年级下·广东佛山·期中）在中，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 6．已知命题：“全等三角形对应边相等”，则它的逆命题为__________． 7．（25-26七年级下·江苏南京·期末）举一个反例：______，说明“若能被5整除，则的末位数字是5”是假命题． 8．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是_______三角形． 9．如图，在中，，，分别是边上的点（不与端点重合），与相交于点，连接．若，．求证：． 10．（25-26九年级上·四川攀枝花·期末）我们在解决“三角形内角和”问题时，将三角形的三个内角顺次标上、、，如图1，再将、剪下，将它们与拼在一起，如图2． (1)在图2中，通过、、的拼接，你发现了什么？ (2)通过图2中的发现，你能得出什么猜想？ (3)通过图2的拼接过程，找到一种作辅助线的方法来证明你的猜想． 11．（25-26八年级上·天津西青·期末）如图，是的高，是的角平分线，平分，与相交于点F，已知，，求和的度数． 12．（25-26八年级上·湖北襄阳·期末）如图，，，相交于点，，．求的大小． 1．下列命题可以称为定理的有（   ） ①与的平均数是；②能被整除的数也能被整除；③是方程的根；④三角形的内角和是；⑤等式两边加上同一个数，等式仍成立． A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·重庆万州·期末）下列命题正确的是（     ） A．若，则 B． 若，则 C．若，则 D．若关于的不等式的解集为，则 3．（2026·福建三明·二模）工地手推车主要用于短程运输砖头、沙土、砂浆、混凝土等建筑材料，是建筑工地常用的一种搬运设备，又叫斗车．如图，这是一款工地手推车的平面示意图，其中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·湖北襄阳·期末）小红同学在学习完《相交线和平行线》这一章后认为：一个真命题，交换其题设与结论后得到的新命题也是真命题．请你在下面命题中选择一个，作为反例说明小红同学的观点是错误的：________（填序号）． ①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③邻补角互补；④若，则． 5．（25-26七年级下·四川广元·期末）如图，，E是平面内一点， 连接，， 的平分线与的平分线交于点F． 若， 则的度数为_____________． 6．（25-26八年级下·山东潍坊·期末）如图，在中，、、是三个内角的平分线，交于点． (1)若，求的度数； (2)判断与的数量关系并说明理由． 7．（25-26七年级下·湖南长沙·期末）已知，如图，是的高，是的角平分线，、相交于点，且． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)若，求的度数； (3)求证：． 8．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，的高、角平分线、中线相交于点O． (1)若，，求的度数； (2)若，求与的周长之差． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，中，为边上一点，过作，交于，为边上一点，连接并延长，交的延长线于，且． (1)平分吗？若是，请证明；若不是，请说明理由； (2)若，，求的度数． 10．（25-26七年级下·四川内江·期末）如图，在中，的平分线与的外角平分线相交于点E． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，在（1）的条件下，延长至点F，的平分线与平分线的反向延长线相交于点G，求的度数； (3)如图3，若点P为的延长线上一动点（不与点A重合），连接，和的平分线相交于点Q．试探究：在点P运动的过程中，与是否存在固定的数量关系？若存在，写出关系并证明；若不存在，请说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $