专题01 第3章 不等式（思维导图+知识清单+六大易错点总结）（举一反三专项训练）高一数学苏教版必修第一册

**基本信息** 以思维导图、知识清单、易错点总结构建不等式专项体系，融合作差作商比较法、基本不等式“一正二定三相等”等方法，突出概念生成-性质推导-应用拓展逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |不等式性质|3知识点+1典例+4训练|作差法/作商法比较大小；性质应用条件分析|从不等关系概念到性质推导，建立与等式性质的关联| |基本不等式|2知识点+1典例+4训练|直接/配凑/常数代换/消元法求最值；“一正二定三相等”条件|由重要不等式推导基本不等式，构建最值求解模型| |一元二次不等式|5知识点+1典例+4训练|三个“二次”关系应用；含参不等式分类讨论；分式/高次不等式转化|从函数零点切入，建立方程、函数、不等式的逻辑关联| |易错点突破|6易错点+6典例+24训练|性质应用条件验证；等号成立一致性判断；二次项系数分类讨论|针对性质应用、最值求解、不等式转化中的高频错误，强化推理严谨性|

专题01 第3章 不等式（思维导图+知识清单+六大易错点总结） 【苏教版】 3.1 不等式的基本性质 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 3.2 基本不等式 【知识点1 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识点2 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 【知识点1 从函数观点看一元二次方程】 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 【知识点2 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点3 分式、高次、绝对值不等式的解法】 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识点4 三个“二次”的关系】 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点5 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【易错点1 忽略不等式成立的条件】 易错点分析：不等式的计算在遇到乘法或除法运算时，如果忽略不等式成立的条件是比较容易出错的，因此我们需要熟记一些不等式的性质. 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】根据不等式的性质，即可判断选项. 【解答过程】若，即，则，A错误； 若，时，则，B错误； 若，则，则，C错误； 若，则，即，D正确． 故选：D. 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质及特例逐项判断即可. 【解答过程】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误. 故选：C. 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【解题思路】取特例判断A，根据作差法判断BC，利用不等式性质判断D. 【解答过程】对于A，当时，满足，但不成立，故A错误； 对于B，因为，所以，即，故B正确； 对于C，因为，所以，即，故C正确； 对于D，因为，所以，所以， 又，所以，故D正确. 故选：A. 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【解答过程】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【答案】C 【解题思路】由不等式的性质结合举例说明，逐项判断即可. 【解答过程】对于A，取，满足，， 此时，故A错误； 对于B，取，满足，此时，故B错误； 对于C，因为，所以，又， 所以，所以，又， 所以，故C正确， 对于D，取，满足， 此时，故D错误， 故选：C. 【易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围】 易错点分析：在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围.为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【注】：解题思路：一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 【典例2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由即可求解. 【解答过程】设， 所以解得，所以. 因为， 所以， 即的取值范围是. 故选：D. 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意设求得的值，利用题设条件和不等式的性质即可求得. 【解答过程】设 ， 则，解得，所以； 又，， 所以 ， 所以. 故选：B. 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式的基本性质，计算选项中各表达式的取值范围，进而判断选项正误． 【解答过程】选项A：，，即，故A错误； 选项B：，，又， ，即，故B错误； 选项C：，， ，异号，， ，故C正确； 选项D：，，，又，， ，异号，， ，故D错误． 故选：C． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·青海海东·期中）已知，，则的取值范围为__________. 【答案】 【解题思路】由不等式的基本性质可求得的取值范围. 【解答过程】因为，，则，， 由不等式的基本性质可得， 因此，的取值范围为. 故答案为：. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）由不等式的性质求解，即可得出答案； （2）利用待定系数法用与将表示出来，然后利用不等式的性质求解即可. 【解答过程】（1）由，， 则，所以， 所以，即， 即实数的取值范围为． 因为， 由， 所以，所以， 所以， ∴， 即实数的取值范围为． （2）设， 则，解得， ∴， ∵，． ∴，， ∴， 即的取值范围为． 【易错点3 忽略基本不等式成立的条件】 易错点分析：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 【典例3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【答案】D 【解题思路】由题设转化得，再由基本不等式“1”的妙用方法即可计算求解. 【解答过程】由题可得，又， 则 ， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为. 故选：D. 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用基本不等式求出，即，即可得到答案. 【解答过程】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以， 所以，当且仅当时等号成立， 故的最大值为. 故选：C. 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件得出，于是得出，结合基本不等式可求其最小值. 【解答过程】由可得，由于，，则，可得， 所以，故， 当且仅当时，即当时，此时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【答案】(1) (2)5 【解题思路】（1）直接利用基本不等式求解最值； （2）利用基本不等式“1”的代换技巧求解最值即可. 【解答过程】（1），，且， 所以，所以， 即，，当且仅当，时取等号，的最大值为； （2），所以，且， ， 当且仅当时等号成立，即， 又因为，可求得，. 所以的最小值为5. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·吉林·期中）求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 【答案】(1)12 (2)5 (3)25 【解题思路】（1）利用基本不等式求和的最小值； （2）利用基本不等式求和的最小值； （3）由，得，则有，展开后利用基本不等式求和的最小值. 【解答过程】（1）已知，，且满足， ，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为12. （2）已知，有， 则， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为5. （3）已知，，且满足，则有， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为25. 【易错点4 多次使用基本不等式时，忽略等号成立条件是否一致】 易错点分析：多次使用基本不等式求最值时，要注意各个基本不等式取等号时的条件是否一致，只有等号成立条件一致时，才能求出最值；如果不能同时取等号，则连续使用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 【典例4】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【解题思路】首先可得，则，从而得到，再由基本不等式求出的最大值，最后利用基本不等式计算可得. 【解答过程】因为，所以， 又，，为正数， 所以，所以； 所以，由， 当且仅当，即时取等号， 则，当且仅当时，取等号， 可得：，当且仅当，即，时，取等号， 所以，当且仅当，，时，取等号， 所以的最小值为， 故选：D. 【跟踪训练4.1】（25-26高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【解题思路】根据基本不等式可得，再次利用基本不等式即可求解. 【解答过程】由于，故， ，当且仅当时，取等号， 则 ，当且仅当时，等号成立， 则的最小值为， 故选：D. 【跟踪训练4.2】（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合条件可得，展开等式右侧，结合基本不等式求其最小值即可. 【解答过程】因为，所以， 所以 所以， 又，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，当且仅当，，时等号成立， 所以的最小值为， 故选：A. 【跟踪训练4.3】（25-26高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为__________. 【答案】5 【解题思路】由基本不等式得，再结合已知利用基本不等式求出的最小值可得解. 【解答过程】①， 当且仅当时取等号， ， 即②，当且仅当时，即，时取等号， 将②式代入①式得，， 当且仅当，，时取等号. 故答案为：5. 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）利用，对进行变形，再根据基本不等式求证即可； （2）先求的展开式，再利用进行变形，并根据基本不等式求得的取值范围，从而证得. 【解答过程】（1），且， 所以. 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以得证. （2），且， . 因为，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立； ，当且仅当时，等号成立. 所以，当且仅当时，等号成立. 所以，即，当且仅当时，等号成立. 所以得证. 【易错点5 忽略方程、不等式的二次项系数为0】 易错点分析：求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论，同时要注意三个二次的关系的运用. 【典例5】（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】考虑和两种情况，当时将不等式变形为，根据根的大小关系得到，，三种情况，解不等式对比选项即可. 【解答过程】当时，不等式，即，， 故不等式的解集为，故A可能； 当时，，即， 当时，的解集为，故D可能； 当时，不等式无解； 当时，的解集为，故B可能. 故选：C. 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）若关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对参数的取值进行分类讨论，根据只有一个整数解建立不等关系解不等式即可求得结果. 【解答过程】依题意不等式等价为，即， 当时，不等式为，可得，有无数个整数解，显然不满足题意； 当时，由不等式只有一个整数解可知， 不等式的解为， 因此需满足，解得； 若，不等式解为或，有无数个整数解，不合题意； 综上可知，实数的取值范围. 故选：B. 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【解答过程】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B. 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】A 【解题思路】根据题意，分和两种情况讨论，即可求出的取值范围． 【解答过程】当时，不等式化为恒成立， 当时，不等式不能恒成立， 当时，要使不等式恒成立，需， 解得， 综上所述，不等式对任意恒成立，的取值范围是， 故选：A. 【跟踪训练5.4】（25-26高二下·河北保定·阶段检测）设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【解题思路】（1）分、两种情况，结合一元二次函数的性质可求； （2）因式分解，根据、、以及根的大小进行分类，结合一元二次函数图象求. 【解答过程】（1）不等式对于一切实数恒成立等价于对于一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，，解得； 综上，实数的取值范围为. （2）不等式等价于，即， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为，此时， 所以不等式的解集为； 当时，不等式可化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为或； ③当时，，不等式的解集为. 综上可得：当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为， 当时，不等式的解集为或， 当时，不等式的解集为. 【易错点6 分式不等式等价转化不当】 易错点分析：求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式，此时要注意：转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【典例6】（25-26高一上·安徽六安·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分式不等式转化为，再解不等式组可得. 【解答过程】由，则， 即，等价于，解得， 所以不等式的解集是. 故选：B. 【跟踪训练6.1】（25-26高一上·广东深圳·期中）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【解题思路】将分式不等式转化为一元二次不等式，进而求解即可. 【解答过程】因为等价于， 化简得，则， 解得，即原不等式解集为. 故选：D. 【跟踪训练6.2】（25-26高一上·辽宁锦州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【解题思路】将分式不等式移项化简后转化为，求解即可. 【解答过程】不等式转化为，即， 可转化为，可得，所以不等式解集为. 故选：A. 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【解题思路】将分式不等式转化为整式不等式组，利用一元二次不等式的解法求不等式组的解再求并集即可. 【解答过程】将分式不等式转化为整式不等式组或； 不等式组的解集为或 ， 不等式组的解集为， 所以不等式的解集是或 . 故选：B. 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为___________． 【答案】 【解题思路】移项，将分式不等式转化为一元二次不等式求解. 【解答过程】，得，即， 则且，得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 第3章 不等式（思维导图+知识清单+六大易错点总结） 【苏教版】 3.1 不等式的基本性质 【知识点1 不等关系】 1．不等式的概念 用数学符号“≠”“>”“<”“≥”“≤”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等式关系，含有这些不等式号的式子，叫做不等式. 2．常见文字语言与符号语言之间的对应关系 文字语言 大于、高于、超过 小于、低于、少于 大于或等于、 至少、不低于 小于或等于、至多、 不多于、不超过 符号语言 > < ≥ ≤ 3．不等关系的建立 在用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时，先通过审题，设出未知量，找出其中的不等关系，再将不等关系用不等式表示出来，即得不等式或不等式组． 【知识点2 比较大小】 1．两个实数大小的比较 如果a-b是正数，那么a>b；如果a-b等于零，那么a＝b；如果a-b是负数，那么a<b.反过来也对．这个基本事实可以表示为：a>b⇔a-b>0，a＝b⇔a-b＝0，a<b⇔a-b<0. 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的差与0的大小． 2．比较大小的基本方法 关系 方法 作差法 与0比较 作商法 与1比较 或 或 【知识点3 等式的基本性质】 1．等式的基本性质 性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a； 性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　可加（减）性：如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么. 【知识点4 不等式的性质】 1．不等式的性质 (1)对称性：如果a>b，那么b<a；如果b<a，那么a>b.即a>b⇔b<a. (2)传递性：如果a>b，b>c，那么a>c.即a>b，b>c⇒a>c. (3)可加性：如果a>b，那么a＋c>b＋c. (4)可乘性：如果a>b，c>0，那么ac>bc；如果a>b，c<0，那么ac<bc. (5)同向可加性：如果a>b，c>d，那么a＋c>b＋d. (6)同向同正可乘性：如果a>b>0，c>d>0，那么ac>bd. (7)同正可乘方性：如果a>b>0，那么an>bn(n∈N，n≥2)． 2．不等式的两类常用性质 (1)倒数性质 ①a>b，ab>0⇒； ②a<b<0⇒； ③a>b>0，0<c<d⇒； ④0<a<x<b或a<x<b<0⇒． (2)有关分数的性质 若a>b>0，m>0，则 ①真分数的性质 ； ②假分数的性质 . 3.2 基本不等式 【知识点1 基本不等式的证明】 1. 两个不等式 不等式 内容 等号成立条件 重要不等式 a2+b2≥2ab(a,b∈R) 当且仅当“a=b”时取“=” 基本不等式 (a>0,b>0) 当且仅当“a=b”时取“=” 叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 温馨提示：“当且仅当a＝b时，等号成立”是指若a≠b，则a2＋b2≠2ab，，即只能有a2＋b2>2ab，. 2. 基本不等式的常见变形 (1). (2). 【知识点2 基本不等式的应用】 1．基本不等式与最值 已知x，y都是正数， (1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值； (2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值. 温馨提示：从上面可以看出，利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 2．利用基本不等式求最值的几种常见方法 (1)直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系，可直接利用基本不等式来求最值． (2)配凑法：利用配凑法求最值，主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式. (3)常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求的最值”的问题，先将转化为，再用基本不等式求最值. (4)消元法：当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值. 3.3 从函数观点看一元二次方程和一元二次不等式 【知识点1 从函数观点看一元二次方程】 1．二次函数的零点 一般地，一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的根就是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)当函数值取零时自变量x的值，即二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点的横坐标，也称为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点. 【注】：(1)二次函数的零点不是点，是二次函数与x轴交点的横坐标． (2)一元二次方程的根就是相应二次函数的零点． 2．二次函数与一元二次方程的根的对应关系 当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c=0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如表所示： 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的零点 有两个零点 有一个零点 无零点 【知识点2 一元二次不等式】 1．一元二次不等式 一般地，我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．一元二次不等式的一般形式是ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常数，a≠0. 2．一元二次不等式的解法 (1)解不含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①通过对不等式变形，使二次项系数大于零； ②计算对应方程的判别式； ③求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； ④根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集． (2)解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 【知识点3 分式、高次、绝对值不等式的解法】 1．分式不等式的解法 解分式不等式的一般步骤： (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解． 2．高次不等式的解法 (1)高次不等式的解法：如果将分式不等式转化为正式不等式后，未知数的次数大于2，一般采用“穿针引线法”. (2)解高次不等式的一般步骤：①标准化；②分解因式；③求根；④穿线；⑤得解集. 3．绝对值不等式的解法 解绝对值不等式的一般步骤：对于绝对值不等式，可以分类讨论然后去括号求解；还可以借助数轴来求解. 【知识点4 三个“二次”的关系】 1．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 判别式∆=b2-4ac ∆>0 ∆=0 ∆<0 方程 ax2+bx+ c=0(a>0)的根 有两个相异的实数根 x1,x2（x1<x2） 有两个相等的实数根 没有实数根 二次函数y=ax2+bx+ c(a>0)的图象 ax2+bx+ c>0(a>0)的解集 R ax2+bx+ c<0(a>0)的解集 （x1，x2） 【注】：(1)对于一元二次不等式的二次项系数为正且存在两个根的情况下，其解集的常用口诀是：大于取两边，小于取中间． (2)对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，可以先把二次项系数化为正数，再对照上述情况求解． 【知识点5 一元二次不等式恒成立、存在性问题】 1．一元二次不等式恒成立、存在性问题 不等式对任意实数x恒成立，就是不等式的解集为R，对于一元二次不等式ax2＋bx＋c>0，它的解集为R的条件． 一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0，它的解集为R的条件为． 一元二次不等式ax2＋bx＋c>0的解集为∅的条件为． 【易错点1 忽略不等式成立的条件】 易错点分析：不等式的计算在遇到乘法或除法运算时，如果忽略不等式成立的条件是比较容易出错的，因此我们需要熟记一些不等式的性质. 【注】：应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 【典例1】（2026高一·全国·专题练习）下列不等关系正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练1.1】（25-26高一上·浙江杭州·期中）已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【跟踪训练1.2】（25-26高一上·湖北十堰·阶段检测）下列几种说法中，不正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练1.3】（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【跟踪训练1.4】（25-26高一上·江苏无锡·阶段检测）下列命题为真命题的是（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，，，则 D．若，则 【易错点2 多次运用不等式性质，扩大了代数式的取值范围】 易错点分析：在多次运用不等式性质进行运算时，其取等的条件可能不同，造成多次累积误差，结果扩大了所求代数式的取值范围.为了避免这类错误，必须要注意两点：①检查每次使用不等式性质时取等的条件是否相同；②尽量多使用等式，避免造成误差. 【注】：解题思路：一般先用整体法建立所求代数式与已知代数式的等量关系，再通过不等式的性质求得. 【典例2】（25-26高一上·辽宁·期中）已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.1】（25-26高一上·广东肇庆·期中）已知实数满足，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练2.2】（25-26高一上·辽宁沈阳·期中）已知，则（　　） A． B． C． D． 【跟踪训练2.3】（25-26高一上·青海海东·期中）已知，，则的取值范围为__________. 【跟踪训练2.4】（25-26高一上·江西上饶·期中）实数、满足，. (1)求实数、的取值范围； (2)求的取值范围． 【易错点3 忽略基本不等式成立的条件】 易错点分析：利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”． 【典例3】（25-26高一上·贵州遵义·期末）已知，且，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 【跟踪训练3.1】（25-26高一上·江苏徐州·期末）若，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.2】（25-26高一上·福建泉州·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练3.3】（25-26高一上·河南·期中）已知，，且. (1)求的最大值； (2)求的最小值. 【跟踪训练3.4】（25-26高一上·吉林·期中）求最值： (1)已知，，且满足，求的最小值； (2)已知，求的最小值； (3)已知，，且满足，求的最小值. 【易错点4 多次使用基本不等式时，忽略等号成立条件是否一致】 易错点分析：多次使用基本不等式求最值时，要注意各个基本不等式取等号时的条件是否一致，只有等号成立条件一致时，才能求出最值；如果不能同时取等号，则连续使用基本不等式是求不出最值的，此时要对原式进行适当的拆分或合并，直到取等号的条件成立. 【典例4】（25-26高一上·山东青岛·期中）已知正数，，满足，则的最小值为（    ） A．1 B．4 C．8 D．16 【跟踪训练4.1】（25-26高二下·重庆·期末）已知，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C．1 D． 【跟踪训练4.2】（2026·四川德阳·模拟预测）已知，，，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练4.3】（25-26高一上·浙江·期中）已知a，b，，，则的最小值为__________. 【跟踪训练4.4】（25-26高一上·江西赣州·阶段检测）已知，且.求证： (1)； (2). 【易错点5 忽略方程、不等式的二次项系数为0】 易错点分析：求解形如ax2+bx+c=0类型的方程和ax2+bx+c>0类型的不等式时，首先要判断二次项系数与0的大小，否则要进行分类讨论，同时要注意三个二次的关系的运用. 【典例5】（25-26高一上·陕西渭南·阶段检测）关于的不等式，其中，则该不等式的解集不可能是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.1】（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）若关于的不等式只有一个整数解，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【跟踪训练5.2】（25-26高一上·陕西·阶段检测）关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（    ） A． B．或 C．或 D．或 【跟踪训练5.3】（25-26高一上·天津南开·阶段检测）已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【跟踪训练5.4】（25-26高二下·河北保定·阶段检测）设. (1)若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式. 【易错点6 分式不等式等价转化不当】 易错点分析：求解分式不等式时，首先要移项通分，把分式不等式等价转化为整式不等式，此时要注意：转化为整式不等式后需要确保分母对应的因式不能为0，根式不等式要注意保证根号有意义等隐含条件，否则分式不等式等价转化不当，会导致结果错误. 【典例6】（25-26高一上·安徽六安·期中）不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练6.1】（25-26高一上·广东深圳·期中）不等式的解集为（ ） A． B．或 C． D． 【跟踪训练6.2】（25-26高一上·辽宁锦州·期中）不等式的解集为（   ） A． B． C．或 D． 【跟踪训练6.3】（25-26高一上·重庆·期中）不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【跟踪训练6.4】（25-26高一上·上海·期中）不等式的解集为___________． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $