专题08 不等式大题四类常考题型（压轴题专项训练）数学苏教版2019高一必修第一册

专题08 不等式大题四类常考题型 目录 典例详解 类型一、含参不等式与不等式恒成立和有解问题的融合 类型二、一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 类型三、不等式新定义问题 类型四、不等式探索性问题 压轴专练 类型一、含参不等式与不等式恒成立和有解问题的融合 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 不等式恒成立和有解问题常用处理方法： 1.分离参数法： 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 2.法解决一元二次不等式恒成立 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 注：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. 3.转化为函数的最值： 1 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 例1．已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 变式1-1．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)在（2）的条件下，解关于x的不等式. 变式1-2．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 变式1-3．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 类型二、一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤： 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 例2．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 变式2-1．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 变式2-2．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 变式2-3．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 类型三、不等式新定义问题 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 例3．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 变式3-1．定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 变式3-2．法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 类型四、不等式探索性问题 探索性问题的解题策略： 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时要分类讨论． （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 例4．已知关于的不等式的解集为，其中. (1)当时，求集合； (2)求上述不等式的解集； (3)是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数?若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由. 变式4-1．已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且. （1）求和的解析式； （2）设关于的不等式的解集为. ①若，求实数的取值范围； ②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 变式4-2．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 1.已知二次函数，一次函数，其中. （1）若且. ①证明：函数必有两个不同的零点； ②设函数的图象与的图象有两个交点，且交点横坐标分别为，求的取值范围； （2）若恒成立，求当取最大值时，不等式的解集. 2.某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上. （1）若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ （2）为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 3.某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 4.已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 5.已知函数的图象为C． （1）若图象C恒在直线下方（不包括直线），求m的取值范围； （2）求图象C在直线上以及直线上方的点的横坐标x的取值范围（用m表示）； （3）当自变量x满足时，函数值恒成立，求m的取值范围． 6.已知二次函数（，为实数） （1）若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； （3）对，时，恒成立，求的最小值. 7.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 8.设函数． （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）当时，求不等式的解集； （3）当，时，记不等式的解集为，集合．若对于任意正数，，求的最大值． 9.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 10.已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． (3)，解关于的不等式. 11.已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 12.设实数，若满足，则称比更接近. (1)设比更接近0，求的取值范围； (2)判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； (3)设且，，试判断与哪一个更接近. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 不等式大题四类常考题型 目录 典例详解 类型一、含参不等式与不等式恒成立和有解问题的融合 类型二、一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 类型三、不等式新定义问题 类型四、不等式探索性问题 压轴专练 类型一、含参不等式与不等式恒成立和有解问题的融合 解含参数的一元二次不等式的一般步骤： ①若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0进行讨论； ②若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式Δ进行讨论； ③若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论． 不等式恒成立和有解问题常用处理方法： 1.分离参数法： 通过代数变形,将参数与变量分离开来,转化为“参数与关于变量的函数的不等关系”,再通过分析函数的最值或取值范围,间接求出参数的取值范围. 2.法解决一元二次不等式恒成立 ①ax2＋bx＋c＞0（a≠0）恒成立的充要条件是 ②ax2＋bx＋c＜0（a≠0）恒成立的充要条件是 注：当不等式未说明为一元二次不等式时,要对a是否为0进行讨论. 3.转化为函数的最值： 1 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． ② 对任意的，恒成立⇒； 若存在，有解⇒； 若对任意，无解⇒． 例1．已知，关于的不等式的解集为或. (1)求的值； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）根据方程的根的概念，可求的值. （2）对的值分类讨论，结合一元二次不等式解集的形式，可解关于的不等式. （3）分离参数，转化为恒成立问题，通过求函数的值域得的取值范围. 【解析】（1）由题意：1，（）是方程的两根. 由；由或（舍去）. 故：，. （2）原不等式可化为：. 若，则，解得：； 若，则，解得：或； 若，则， 当，即时，解得：； 当，即时，解得：； 当，即时，解得：. 综上可知：当时，不等式的解集为：或； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：； 当时，不等式的解集为：. （3）问题转化为：对恒成立. 所以：. 因为恒成立，所以，. 因为. 设，则，， 且. 因为，当且仅当时取“”. 所以，所以，所以. 所以. 所以的取值范围是：. 变式1-1．已知关于的不等式. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式恒成立，求实数的取值范围. (3)在（2）的条件下，解关于x的不等式. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由题意可得，且和时关于的方程的两个实数根，从而可求出的值； （2）由题意得或，从而可求出的取值范围； （3）根据（2）中的取值范围可得到不等式对应方程的根的大小，即可求得结果. 【解析】（1）因为关于的不等式的解集为， 所以，且和时关于的方程的两个实数根， 则，解得； （2）因为关于的不等式恒成立， 当时，原不等式为成立； 当时， ，即； 综上的取值范围为； （3）不等式可化简为， 则的两个根为， 因为， 所以，即， 所以解集为. 变式1-2．已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数a的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)，使得不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3) 【分析】（1）利用一元二次不等式恒成立的解法求解即可； （2）因式分解得到，根据的不同取值范围分类讨论即可； （3）将问题转化为一元二次方程在给定区间内有解，根据的不同取值范围分类讨论即可. 【解析】（1）不等式的解集为，即恒成立， 当时，的解集不为； 当时，恒成立，则，解得， 所以实数a的取值范围为. （2）由题意得， 当时，解得； 当时，是开口向上的抛物线，两根分别为和， 当，即时，的解为或， 当，即时，的解为， 当，即时，的解为或； 当时，是开口向下的抛物线，两根分别为和，且， 此时的解为； 综上，当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为，当时，的解集为， 当时，的解集为. （3）由题意整理得，使得不等式有解， 当时，解得，故使得不等式有解， 当时，是开口向上的抛物线，只需在上即可， 因为的对称轴为，此时对称轴， 所以当，即时，， 整理得，结合可得此时； 当，即时，，结合可得此时； 当时，是开口向下的抛物线， 当时,所以当时，，使得不等式有解， 综上的取值范围为. 变式1-3．已知函数． (1)若不等式的解集为，求的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若不等式对一切恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)；(2)当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为； (3) 【分析】（1）通过分类讨论的值即可解出不等式； （2）通过分类讨论的范围即可解出不等式； （3）利用分参法，设 ，即可求出的取值范围. 【解析】（1）由题意， 当, 即 时, , 解集不为 , 不合题意; 当, 即 时, 的解集为 , ，即 故 时, . 综上，. （2）由题意得, 在, 即 , 当 , 即 时, 解集为 ; 当 , 即 时, , 即 解集为 ； 当 , 即 时, , 解集为 . 综上，当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为 ; 当 时, 解集为. （3）由题意， , 即 , 恒成立, ∴, 设 , 则 , , 当且仅当 时取等号, , 当且仅当 时取等号, 当 时, , ， ∴的取值范围为. 类型二、一元二次不等式以及基本不等式的实际应用 利用基本不等式解决实际问题的步骤： 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值. (4)正确写出答案. 例2．如图，互相垂直的两条小路AM，AN旁有一长方形花坛ABCD，其中.现欲经过点修一条直路l，l交小路AM，AN分别为点P，Q.计划准备将长方形花坛ABCD扩建成一个更大的三角形花坛APQ.要求AP的长不小于40m且不大于90m.记三角形花园APQ的面积为 (1)设，试用表示AP，并求的取值范围； (2)当DQ的长度是多少时，取最小值？最小值是多少？ 【答案】(1)；(2)m时，取得最小值1200. 【分析】（1）利用三角形相似表示出，再由不等关系即可解得的取值范围； （2）求得面积的表达式，再利用基本不等式可求得当m时，取得最小值1200. 【解析】（1）依题意可得， 所以，即，可得； 因此， 又要求AP的长不小于40m且不大于90m，即， 解得， 即； （2）易知， 所以 由基本不等式可得； 当且仅当时，即时，等号成立， 此时取得最小值1200； 因此m时，取得最小值，最小值为1200. 变式2-1．某厂家拟2024年举行某产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产量）万件与年促销费用万元满足(为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是2万件.已知生产该产品的固定投入为8万元，每生产一万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（此处每件产品年平均成本按元来计算）. (1)求的值； (2)将2024年该产品的利润万元表示为年促销费用万元的函数； (3)该厂家2024年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 【答案】(1)；(2)；(3)3万元 【分析】（1）由时，代入即可求解； （2）由销售综合减去促销费用、成本即可求解； （3）由（2）结合基本不等式即可求解. 【解析】（1）由题意知，当时，（万件）， 则，解得； （2）由（1）可得. 所以每件产品的销售价格为（元）， 2024年的利润. （3）当时，， ，当且仅当时等号成立. ， 当且仅当，即万元时，（万元）. 故该厂家2024年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为29万元. 变式2-2．数字经济是以数据资源为关键要素，以现代信息网络为主要载体，通过信息通信技术的融合应用推动全要素数字化转型的新经济形态，在技术层面，包括大数据、云计算、物联网、区块链、人工智能、5G通信等新兴技术；在应用层面，包括“新零售”、“新制造”、工业互联网、元宇宙、无人驾驶等.现有一人工智能企业生产制造人形机器人，每月的成本t（单位：万元）由两部分构成：①固定成本：1000万元；②材料成本：万元，x为每月生产人形机器人的个数. (1)该企业每月的产量为多少时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为多少万元？ (2)若每个人形机器人的售价为万元，假设生产出来的每个人形机器人都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润不低于400万元？附：利润＝售价×销量－成本. 【答案】(1)每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元 (2)每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元 【解析】（1）设平均每个人形机器人的成本为万元，根据题意有 ， 当且仅当，即时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个人形机器人的成本最低，最低为30万元. （2）设月利润为万元，则有， 由题知，整理得，解得. 所以该企业每月生产不小于70个人形机器人，才能确保每月的利润不低于400万元. 变式2-3．为了加强自主独立性，全国各个半导体领域企业都计划响应国家号召，加大对芯片研发部的投入据了解，某企业研发部原有200名技术人员，年人均投入万元（），现把原有技术人员分成两部分：技术人员和研发人员，其中技术人员名（且），调整后研发人员的年人均投入增加，技术人员的年人均投入调整为万元. (1)要使这名研发人员的年总投入不低于调整前200名技术人员的年总投入，求调整后的技术人员的人数最多多少人？ (2)为了激励芯片研发人员的热情和保持各技术人员的工作积极性，在资金投入方面需要同时满足以下两个条件：①技术人员的年人均投入始终不减少；②研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入.是否存在这样的实数，使得技术人员在已知范围内调整后，满足以上两个条件，若存在，求出的范围；若不存在，说明理由. 【答案】(1)最多150人；(2)存在， 【分析】（1）根据已知条件列不等式，解一元二次不等式求得的取值范围，从而求得调整后的技术人员的人数的最大值. （2）根据条件①②列不等式，化简得，结合基本不等式求得的范围. 【解析】（1）依题意可得调整后研发人员的年人均投入为万元， 则， ，， ，解得， ∵且，所以调整后的技术人员的人数最多150人； （2）①由技术人员年人均投入不减少有，解得. ②由研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入有 ， 两边同除以得， 整理得， 故有， 因为，当且仅当时等号成立，所以， 又因为，当时，取得最大值7，所以， ∴，即存在这样的m满足条件，使得其范围为 类型三、不等式新定义问题 题型特点 “新定义”题型内容新颖，题目中常常伴随有“定义”、“规定”等字眼，题目一般都是用抽象的语言给出新的定义、运算或符号，没有过多的解析说明，要求考生自己仔细揣摩、体会和理解定义的含义，在阅读新定义后要求马上运用它解决相关问题，考查考生的理解与运算、信息迁移的能力。 解题策略 求解“新定义”题目，主要分如下几步： （1） 对新定义进行信息提取，明确新定义的名称和符号； （2） 对新定义所提取的信息进行加工，探求解决方法和相近的知识点，明确它们的相同点和相似点； 对定义中提取的知识进行转换、提取和转换，这是解题的关键，如果题目是新定义的运算、法则，直接按照法则计算即可；若新定义的性质，一般要判断性质的适用性，能否利用定义的外延，可用特质排除，注意新定义题目一般在高考试卷的压轴位置，往往设置三问，第一问的难度并不大，所以对于基础差的考生也不要轻易放弃。 例3．若，，，则不等式，当且仅当时，等号成立.这个不等式叫做权方和不等式，称为该不等式的权，它的特点是分子的幂指数比分母的幂指数高1次.权方和不等式是数学中一个重要的不等式. (1)若，证明二维形式的权方和不等式：. (2)已知，，求的最小值. (3)某同学运用权方和不等式解决下列问题，指出这种解法是否正确，并说明理由. 已知正数，满足，求的最大值. 解：由权方和不等式得， 所以的最大值是5. 【答案】(1)证明见解析； (2)60； (3)解法不正确，理由见解析. 【分析】（1）将证明转化为证明，可以通过利用基本不等式来证明； （2）将变形成，利用权方和不等式结合已知条件，即可求解； （3）利用.权方和不等式求最值，需注意等号成立的条件是否能满足. 【解析】（1）证明： ，当且仅当时，等号成立. 因为，所以. （2） ， 当且仅当时，等号成立. 所以的最小值为.. （3）这种解法不正确. 原因如下：这种解法当且仅当，即时等号成立. 由，消去得，因为，所以本方程无实数解， 所以，的最大值不是5. 变式3-1．定义为个实数，，…，中的最小数，为个实数，，…，中的最大数． （1）设，都是正实数，且，求； （2）解不等式：； （3）设，都是正实数，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【分析】（1）由基本不等式即可求解； （2）分段讨论得出，然后解不等式即可； （3）设出后由基本不等式进行求解. 【解析】（1）由题意得，即，当且仅当时等号成立， 故； （2）令，得， 当时，当时， 而即恒成立， 故， 可化为或或， 解得，故原不等式的解集为； （3）设，由题意得， 则， 当且仅当即时等号同时成立， 故的最小值为． 变式3-2．法国数学家佛郎索瓦・韦达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间的这种关系，人们把这个关系称为韦达定理，它的内容为：“对于一元二次方程，它的两根、有如下关系：．” 韦达定理还有逆定理，它的内容为：“如果两数和满足如下关系：，那么这两个数和是方程的根．”通过韦达定理的逆定理，我们就可以利用两数的和与积的关系构造一元二次方程 例如：，那么和是方程的两根．请应用上述材料解决以下问题： (1)已知、是两个不相等的实数，且满足，，求的值； (2)已知实数、满足，，求的值； (3)已知，是二次函数的两个零点，且，求使的值为整数的所有的值． 【答案】(1)； (2)或； (3) 【分析】（1）利用两个等式特征，可将可看作方程的两个异实数根，由韦达定理即可求出所求式的值； （2）由题设等式，可将可看作方程的两个实数根，求出两根，分情况讨论求解即得； （3）由题意，使，求得，利用韦达定理求得，将所求式整理化简得，结合题设条件，即可求得的所有取值. 【解析】（1）由，，， 可将可看作方程的两个不相等的实数根， 由韦达定理，， 所以； （2）由，， 可将可看作方程的两个实数根， 由解得或， 则有或， ① 当时，； ② 当时，． 所以的值为22或37． （3）由题意和韦达定理，可得，， 且，解得， 故 因，又，故必为的因数， 则的值可能为， 则实数k的值可能为，又， 故k的所有取值为． 类型四、不等式探索性问题 探索性问题的解题策略： 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． （1）当条件和结论不唯一时要分类讨论． （2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 例4．已知关于的不等式的解集为，其中. (1)当时，求集合； (2)求上述不等式的解集； (3)是否存在实数，使得上述不等式的解集中只有有限个整数?若存在，求出使得中整数个数最少的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)答案见解析 (3)存在时，A中整数的个数为有限个， 当时，A中整数的个数最少． 【分析】（1）代入，可得，即可求解； （2）设原不等式的解集为，分类讨论，结合一元二次不等式分析运算； （3）根据（2）中求出的不等式的解集，得到当小于0时，中的整数解个数有限个，利用基本不等式求出的最大值，进而求出此时k的值． 【解析】（1）当时，可得：， 即，解得：， 所以 （2）（ⅰ）当时，则不等式为，解得， 所以不等式的解集为； （ⅱ）当时，令，解得或， ①当且时，原不等式化为， 因为，解得或， 所以不等式的解集为； ②当时，原不等式化为，解得， 所以不等式的解集为； ③当时，原不等式化为， 因为，解得， 所以不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当且时，不等式的解集为或； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）存在，理由如下： 由（2）知：当时，中整数的个数为无限个； 当时，中整数的个数为有限个， 因为，当且仅当，即时，等号成立， 可得，所以当时，中整数的个数最少； 综上所述：当时，中整数的个数为有限个， 当时，中整数的个数最少 变式4-1．已知一次函数和二次函数的图像都过点和，且. （1）求和的解析式； （2）设关于的不等式的解集为. ①若，求实数的取值范围； ②是否存在实数，满足：“对于任意正整数，都有；对于任意负整数，都有”，若存在，求出的值，若不存在，说明理由． 【答案】（1）； （2）① ；②存在； 【分析】（1）利用待定系数法可求函数解析式； （2）① 就的不同取值分类讨论后结合判别式的正负可求其范围；②就二次项系数是否为零分类讨论后可求参数的值. 【解析】（1）设，由得，所以； 由题意设 由 得； 又因为，所以，得； 所以，所以； （2）①原不等式化为恒成立. （ⅰ）当时，解得，或， 当时，不等式化为，时，解集为； 当时，不等式化为，对任意实数不等式不成立； （ⅱ）当时，则； 综上所述，实数k的取值范围为． ②根据题意，得出解集，， 当时，解得，或， 时，不等式的解集为，满足条件， 时，恒成立，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 当时，此时对应的一元二次不等式的解集形式不是的形式，不满足条件， 综上，存在满足条件的的值为． 变式4-2．高斯，著名的数学家、物理学家、天文学家、是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”之称．函数成为高斯函数，其中表示不超过实数的最大整数，如． (1)求的解集和的解集． (2)若恒成立，求取值范围． (3)若的解集为，求的范围． 【答案】(1)，；(2)； (3) 【分析】（1）根据题意得，然后解不等式即可； （2）将恒成立转化为，恒成立，然后利用基本不等式求最值即可； （3）分，，三种情况讨论即可. 【解析】（1）由题意得，且， 由，即，所以， 故的解集为； 由，即， ∴，则，所以． 所以的解集为． （2）恒成立，此时 即，恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立． 故的最小值为4， 所以要使恒成立，则． 故的取值范围为． （3）不等式，即， 由方程可得或． ①若，不等式为， 即，所以，显然不符合题意； ②若， 由，解得， 因为不等式的解集为， 所以，解得 ③若， 由，解得， 因为不等式解集为， 所以，解得． 综上所述，或． 故的范围为． 1.已知二次函数，一次函数，其中. （1）若且. ①证明：函数必有两个不同的零点； ②设函数的图象与的图象有两个交点，且交点横坐标分别为，求的取值范围； （2）若恒成立，求当取最大值时，不等式的解集. 【答案】（1）①证明见解析；② （2）或 【分析】（1）①由且，则，然后由判别式证明即可； ②由韦达定理将两个零点转化为的关系，化为完全平方式求解即可； （2）由恒成立，转化为恒成立，由表示出和，当取最大值时，解出，得到，然后求解即可. 【解析】（1）若且，则， ①， 函数必有两个不同的零点. ②因为函数的图象与的图象有两个交点，交点横坐标分别为， 所以，即为二次函数的两个零点， 所以， 由，得，由， 由，解得， ， 所以. （2）不等式恒成立，即恒成立， 令，则，所以， 因对任意恒成立， 所以恒成立， 所以 ， 所以，此时， 所以，当时取等号， 此时， 成立，即成立， 此时， 从而不等式，即， 即，从而不等式的解集为或. 2.某学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划.如图，墙角线OA和OB互相垂直，学校欲建一条直线型走廊AB，其中AB的两个端点分别在这两墙角线上. （1）若欲建一条长为10米的走廊，当长度为多少时，的面积最大？ （2）为了使围成区域更加美观并合理利用土地，准备在围成区域内建造一个矩形花围，要求点在上，点在上，且过点，其中米，米，要使围成区域的面积大于18平方米，则的长应在什么范围内？ 【答案】（1）长度为米 （2）的长的范围是（单位：米） 【分析】（1）设长度为米，求出，可得的面积的表达式，然后由基本不等式求解即可； （2）设的长为米，由，得，求得，得的面积的表达式，由题意列不等式，求解即可． 【解析】 （1）由题意，设长度为米，， ∵，∴， ∴的面积为， 由基本不等式， 当且仅当，即时等号成立， ∴当长度为米时, 的面积最大，最大值为平方米. （2）设的长为米，则为米，其中， ∵为矩形，， ∴，∴，则， 故，整理得， 又，则或， 故的长的范围是（单位：米）． 3.某天数学课上，你突然惊醒，发现黑板上有如下内容：例：求函数的最小值.解：利用基本不等式，，可得，于是，当且仅当时，取得最小值. 提示：基本不等式， (1)老师请你模仿例题，研究函数的最小值； (2)求函数的最小值； (3)当时，求函数的最小值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）根据新定义可得，求解即可； （2）根据新定义可得，求解即可； （3）根据新定义可得，求解即可． 【解析】（1），， 知，当且仅当时，取到最小值 ； （2）由，， 知，当且仅当时，取到最小值6 ； （3）由，， 知； 当且仅当时，取到最小值. 4.已知二次函数. （1）设的解集为，若存在实数，使得不等式成立，求实数的取值集合； （2）设的解集为，且，求不等式的解集； （3）若对任意恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2）R （3） 【分析】（1）根据已知条件，利用“三个二次”的关系，得到的根为1和2，且，进而求得a，b，c的关系，化简不等式后，求解即得； （2）根据不等式的解，利用两根式及多项式相等得到，进而求解不等式即可； （3）令，可得，根据恒成立，可以得到，进而得到，然后利用基本不等式求得ab的最大值，并检验取到最大值时的条件使得不等式的另一边恒成立． 【解析】（1）因为的解集， 所以的根为1和2，且． 所以，故， 所以，即， 因为存在实数，使得不等式成立， 所以，解得或， 又，所以， 所以实数的取值集合为． （2）因为的解集为，且， 所以且， 所以，故， 若，则，不合题意； 若，则，此时满足题意， 综上，， 所以不等式，即为 由，知：不等式的解集为. （3）令，则，所以， 对任意恒成立， 所以恒成立， 所以且， 所以，此时， 所以， 当且仅当时取等号， 此时成立； 故的最大值为． 5.已知函数的图象为C． （1）若图象C恒在直线下方（不包括直线），求m的取值范围； （2）求图象C在直线上以及直线上方的点的横坐标x的取值范围（用m表示）； （3）当自变量x满足时，函数值恒成立，求m的取值范围． 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【分析】（1）依题意有恒成立，分类讨论判断不等式的解，求m的取值范围； （2）分类讨论解不等式即可； （3）问题转化为在时恒成立，通过换元，利用基本不等式求的最大值，即可得m的取值范围. 【解析】（1）当，即时，函数，图象为一条直线，不合题意； 当，即时，依题意有恒成立， 即不等式解集为R， 则有，解得 所以m的取值范围为. （2）由，得， 即， 当，即时，原不等式的解集为； 当，即时，不等式为， 因为，所以原不等式的解集为； 当，即时，不等式为， 因为，所以原不等式的解集为； 综上所述 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； （3），即， 由恒成立，得， 在时，设，则，， ， 由，当且仅当时等号成立，则，当且仅当时等号成立， 所以当时，，则有. 所以m的取值范围为. 6.已知二次函数（，为实数） （1）若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； （2）若函数图象过点，对，恒成立，求实数的取值范围； （3）对，时，恒成立，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）1. 【分析】（1）由已知可得，由，恒成立列出不等式求解即得. （2）由对恒成立，结合一次函数的性质求出答案即可. （3）由已知可得，再利用不等式性质，结合基本不等式求解即得. 【解析】（1）依题意，，即，由，恒成立，得， 即，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （2）由（1）知，，由，得，即， 依题意，对恒成立，令， 则对，恒成立，于是，解得， 所以实数的取值范围是． （3）由对时，恒成立，得，则，而， 因此，当且仅当时取等号， 显然，当且仅当，即时取等号，由且，得， 所以当时，取得最小值． 7.某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元． （1）设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； （2）问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 【答案】（1） （2），118000元 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可； （2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果. 【解析】（1）由题意可得，，且，则， 则 （2）由（1）可知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当米时，元. 8.设函数． （1）若，且集合中有且只有一个元素，求实数的取值集合； （2）当时，求不等式的解集； （3）当，时，记不等式的解集为，集合．若对于任意正数，，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）． 【分析】（1）分类讨论方程的解可得；（2）解一元二次不等式可得； （3）由已知得，从而得，然后由不等式的性质得出，令，换元后结合基本不等式可得最小值． 【解析】（1）由已知即为，意时，方程只有一解，满足题意，否则 ，解得或，因此实数的取值集合是； （2）由已知不等式为，即，，，则，所以或，解集为； （3）由题意，所以，，又，所以，则， 令，此时，则，当且仅当，即时等号成立，所以的最大值是． 9.近年来，某企业每年消耗电费36万元.为了节能减排，决定安装一个可使用20年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网.安装这种供电设备的费用（单位：万元）与太阳能电池板的面积（单位：）成正比，比例系数约为.为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式.设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费（单位：万元）与安装的这种太阳能电池板的面积（单位：）之间的函数关系是（为常数）.记该企业安装这种太阳能供电设备的费用与20年所消耗的电费之和为（单位：万元）. (1)解释的实际意义，并写出关于的函数关系式； (2)当为何值时，最小？求出的最小值； (3)要使不超过安装太阳能供电设备前消耗电费的，求的取值范围. 【答案】(1)实际意义是未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费，；(2)当时，的最小值为；(3) 【分析】（1）代入即可求出，从而得到其函数关系，再根据题意得到实际意义； （2）变形得，再利用基本不等式即可； （3）由题意得到不等式，解出即可. 【解析】（1）表示太阳能电池板的面积为0时，该企业每年消耗的电费． 即未安装太阳能设备时，该企业每年消耗的电费． 当时，该企业每年消耗的电费36万元，代入可得： ，则， . （2）， ， 当且仅当，即等号成立，的最小值为. （3）由题可知． 即，解得， 即的取值范围为 10.已知函数 (1)若的解集为，求实数的值； (2)当时，若关于的不等式恒成立，求实数a取值范围． (3)，解关于的不等式. 【答案】(1)，； (2) (3)答案见解析； 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数关系代入方程可解得，； （2）将不等式整理可得，利用基本不等式计算可得即可； （3）对参数的取值进行分类讨论，利用一元二次不等式解法即可得出对应解集. 【解析】（1）由y的解集为可得3是方程的一个实数根， 因此，解得； 所以的另一实数根为1，可得； 即实数的值为，； （2）由y可得，即； 又因为，可得恒成立； 易知当时, , 当且仅当，即时，等号成立，此时取得最小值， 所以 （3）不等式可化为； 整理可得； 当时，不等式为，易知其解集为； 当时，不等式可分解为，其方程对应的两根分别为； 若，不等式等价为，此时不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 若，不等式解集为； 综上可知，当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. 11.已知函数． (1)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围． 【答案】(1)；(2)答案见解析；(3) 【分析】（1）分与讨论，当时结合二次函数图像，列出不等式，代入计算，即可求解； （2）先因式分解，然后对两根的大小进行讨论，即可求解； （3）先令，由可得，将问题转化为有四个不同的实根，结合韦达定理代入计算，即可求解. 【解析】（1）由题意，对一切实数恒成立， 当时，不等式可化为，不满足题意； 当时，则有解得． 故实数的取值范围是． （2）不等式等价于， 即， 当时，不等式可化为，解集为； 当时，与不等式对应的一元二次方程的两根为，． 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或； 当时，，此时不等式解集为； 当时，，此时不等式解集为或． 综上所述， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为或； 当时，解集为； 当时，解集为或． （3）当时，因为， 令，当且仅当时，等号成立； 则关于的方程可化为， 关于的方程有四个不等实根， 即有两个不同正根，则 由②③式可得， 由①知：存在，使不等式成立，故， 即，解得（舍）或． 综上，实数的取值范围是． 12.设实数，若满足，则称比更接近. (1)设比更接近0，求的取值范围； (2)判断“”是“比更接近”的什么条件？并说明理由； (3)设且，，试判断与哪一个更接近. 【答案】(1)； (2)充分不必要条件，理由见解析； (3)更接近 【分析】（1）由题得，解不等式可得解； （2）利于不等式的性质和充分条件，必要条件的应用即可求解； （3）利于已知比较与的大小，即可求解. 【解析】（1）由题意，得，即 整理得，解得 所以的取值范围是 （2）“比更接近”，等价于 所以“”是“比更接近”的充分不必要条件 （3）， ①当时，， 此时： ，即， 即，此时更接近； ②当时，， 此时：， ，， 即，即更接近； 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $