5.3.2+“盈不足”问题 课件 2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦七年级上册“一元一次方程的应用——盈余不足问题”，通过分书情境和《九章算术》古题导入，衔接方程解法前备知识，以表格为支架梳理数量关系，引导学生从实际问题抽象数学模型。 其亮点是古今数学问题融合，引入《九章算术》《算法统宗》等经典算题，培养数学眼光。通过表格分析与多设元方法，发展数学思维，小结提炼核心等式与方法，助力学生建立模型意识，教师可借结构化资源提升教学效率。

3 一元一次方程的应用 第五章 一元一次方程 七年级上册数学（北师版） 第2课时 “盈余不足”问题 教学目标 1. 借助表格分析复杂问题中的数量关系,从而建立方程解决实际问题。 2. 体会一元一次方程的应用价值。 重点：利用方程解决“盈余不足”问题。 难点：根据题意建立等量关系,用不同的代数式表示相同的量，列出方程。 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 创设情境，导入新课 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 你知道我国古人是如何解决这个 问题的吗？ 探究新知 “盈不足”问题 1 《九章算术》盈不足第一题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？ 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ （2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x - 3 x 7x 7x + 4 变化的量：每人出钱数 不变的量：物价不变 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 知识总结 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。 设人数为 x。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得 x = 。 因此，人数为 ，物价为 。 7 7 53 8x - 3 = 7x + 4 知识总结 如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 解得 y = 53。 你比较喜欢用哪种方式列方程呢？ 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？ 探究点：“盈不足”问题 分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？ 有关量 每人出400 钱 每人出300 钱 人数 x 出钱总数 物价 400x 400x - 3400 x 300x 300x - 100 探究点：“盈不足”问题 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程： 方程的两边就是金价的两种不同的表达式。 400x - 3400 = 300x - 100。 解这个方程，得 x = 33。 300×33 - 100 = 9800。 因此，人数为 33，金价为 9800 钱。 思考交流 （1）对于例 1，如果设金价为 y，能列出怎样的 方程？ 解得 y = 9800。 （2）《九章算术》给出了一种算法： 人数 = 两次剩余钱数之差÷两次每人所出钱数之差； 物价 = 每人出的较多钱数×人数 - 剩余钱数。 你能理解这种解法吗？与方程的求解过程相比，有什么不同？与同伴进行交流。 针对训练 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？ 解：设该店有客房x 间 则根据题意，得 7x+7＝9(x-1) 解得 x＝8 7×8+7=63 答：该店有客房8间，63名客人. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？ 译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？ 多少辆车？设共有x 人，可列方程( ) A. B.-9 C. D. A 练一练 1. (盐城·期末)《九章算术》记载了这样一道题：“以绳测井，若将绳三折测之,绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺。问绳长、井深各几何? ”题意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，那么每等份井外余绳四尺；如果将绳子折成四等份，那么每等份井外余绳一尺。问绳长和井深各多少尺？假设井深为 x 尺，则符合题意的方程应为 ( ) A.13x - 4 = 14x - 1 B.3x + 4 = 4x + 1 C. 13x + 4 = 14x + 1 D.3(x + 4) = 4(x + 1) D 学习变异系数不仅需要记忆公式，更需要掌握规范化的技巧。韦达定理揭示了二次方程根与系数之间的关系：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。在三角形内心的学习过程中，代数化是最具挑战性的环节之一。数形结合思想在解绝对值不等式|x-2|<5时，可以通过数轴直观理解解集。特殊直角三角形的教学重点应该放在如何模拟化上。三视图包括主视图、俯视图和左视图，能完整描述一个立体图形的形状。教师讲解投影视图时，通常会强调外化的重要性。 2.(广东)《九章算术》是我国古代的数学专著，几名学生要凑钱购买1本．若每人出8元，则多了3元；若每人出7元，则少了4元．问学生人数和该书单价各是多少元？ 解：设学生有 x人． 根据题意，得 8x－3＝7x＋4. 解得 x＝7. 7×8－3＝53(元)． 答：学生有 7 人，该书单价是 53 元． 随堂练习 3. 隔墙听得可分银，不知人数不知银，七两分之多四两，九两分之少半斤。问：人、银各几何？（选自《算法统宗》） 题目大意：几个人分银子，若每人分7两，则剩余4两；若每人 分9两，则差8两。有多少个人？多少两银子？ 解：设人数为x,依据题意得： 7x+4=9x-8 解得：x=6 银子有6×7+4=46两 答：人数有6人，银子有46两。 等量关系：银子总数不变 即：人数×7+四两=人数×9-8两 4.《九章算术》今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十，九家共出二百七十，盈三十。问：家数、牛价各几何？ 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱．问家数和牛价各是多少？ 解：设家数有 x家． 根据题意，得 ×190+330= ×270-30 . 解得 x＝126. 126÷7×190+330=3750（钱）． 答：家数有 7126人，牛价是 3750钱． 5.［教材P155“习题5.3”第6题变式］近年来，网购的蓬勃发展方便了人 们的生活。某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递员 派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件，则该快递分 派站现有快递员____名。 10 返回 20 6.（6分）爸爸买了一箱苹果回家，小芳想分给家里的每一个人，如果 每人分3个，剩下3个苹果分不完，如果每人分4个，还差2个苹果才够分， 问小芳家有几个人？爸爸买了多少个苹果？ 解：设小芳家有 个人。 根据题意，得 ， 解得，则 。 故小芳家有5个人，爸爸买了18个苹果。 返回 21 当堂小结 实际问题 盈亏不足问题 盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量 亏时 方法点拨：“盈余不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。 作业布置： 练习册104--105页： 一、必做题：1--7题 二、选做题：8--10题 谢谢大家 $