5.3.2 “盈不足”问题（课件）-2026-2027学年北师大版数学七年级上册

该初中数学课件聚焦“盈不足”问题，通过分物情境和《九章算术》古题导入，衔接一元一次方程基础，以表格分析为支架，引导学生从“盈”“亏”中抽象等量关系，构建方程模型。 其亮点是融合数学文化与生活实例，如古算“共买物”和现代物流分拣问题，培养数学眼光的抽象能力与创新意识，用表格梳理数量关系发展推理思维，以方程表达等量关系强化模型意识。学生提升建模能力，教师可直接用丰富题型与规范步骤提高教学效率。

北师大版数学7年级上册培优精做课件 授课教师： . 班 级： 7年级（ ）班 . 时 间： . 2026年5月19日 5.3.2 “盈不足”问题 第五章 一元一次方程 班级：________ 姓名：________ 得分：________ （时间：40分钟 满分：100分） 一、选择题（每题10分，共30分） 1. 把一批图书分给学生，若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本，设学生有x人，下列方程正确的是（ ） A. 3x + 20 = 4x - 25 B. 3x - 20 = 4x + 25 C. 3x + 20 = 4x + 25 D. 3x - 20 = 4x - 25 2. 某小组同学去植树，若每人种5棵，则剩14棵；若每人种7棵，则缺4棵，设该小组有x人，树苗有y棵，下列方程组（仅列方程，贴合七年级单方程要求）正确的是（ ） A. 5x + 14 = y，7x - 4 = y B. 5x - 14 = y，7x + 4 = y C. 5x + 14 = 7x - 4 D. 5x - 14 = 7x + 4 3. 一个商人购进一批商品，若按每件盈利5元出售，可卖出300件；若按每件盈利8元出售，可卖出200件，且两次卖出的总盈利相同，设每件商品的成本为x元，下列方程正确的是（ ） A. 300(x + 5) = 200(x + 8) B. 300×5 = 200×8 C. 300(x - 5) = 200(x - 8) D. 300×(x + 5) = 200×(x + 8) 二、填空题（每题10分，共30分） 1. 盈不足问题的核心是：抓住______不变（如总数量、总金额等），根据“盈”（剩余）和“不足”（缺少）的数量关系列一元一次方程。 2. 把一些苹果分给若干个小朋友，若每人分4个，则剩6个；若每人分6个，则缺2个，设小朋友有x人，可列方程为______，解得x = ______。 3. 某车间安排工人生产零件，若每人每天生产10个，则超额完成20个；若每人每天生产8个，则还差10个完成任务，设该车间有x名工人，任务总量为y个，可列方程为______。 三、解答题（每题20分，共40分） 1. 学校组织学生去春游，若租用45座客车若干辆，则有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余车辆恰好坐满，求租用客车的数量和学生总人数。 2. 某商店购进一批笔记本，若按每本10元出售，可卖出200本；若按每本12元出售，可卖出150本，且两次卖出的总利润相同，求每本笔记本的进价是多少元？（利润 = 售价 - 进价） 参考答案 一、选择题：1.A 2.C 3.A 二、填空题：1. 总数量（或总金额）；2. 4x + 6 = 6x - 2，4；3. 10x - 20 = 8x + 10（或y = 10x - 20，y = 8x + 10） 三、解答题： 1. 解：设租用客车x辆，根据学生总人数不变列方程。 由题意，得45x + 15 = 60(x - 1) 去括号，得45x + 15 = 60x - 60 移项，得45x - 60x = -60 - 15 合并同类项，得-15x = -75 解得x = 5 学生总人数：45×5 + 15 = 240（人） 答：租用客车5辆，学生总人数为240人。 2. 解：设每本笔记本的进价是x元，根据两次总利润相同列方程。 总利润 = 单本利润×卖出数量，由题意，得200(10 - x) = 150(12 - x) 去括号，得2000 - 200x = 1800 - 150x 移项，得-200x + 150x = 1800 - 2000 合并同类项，得-50x = -200 解得x = 4 答：每本笔记本的进价是4元。 （说明：本题围绕盈不足问题的核心等量关系，结合一元一次方程解决实际问题，侧重方程建模能力培养，涵盖分配类、利润类盈不足题型，难度贴合北师大版七年级“5.3.2盈不足问题”要求，步骤规范，贴合学情，总字数约800字。） 利用方程解决“盈不足”问题。（重点） 根据题意建立等量关系，列出方程。（难点） 借助表格分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题。 把一些书分给几名学生，如果每人分3本，那么多出8本；如果每人分5本，那么还少2本.共有多少本书？ 共有多少名学生？ 创设情境，导入新课 《九章算术》是中国古代的数学专著，是《算经十书》中最重要的一部。 《九章算术》第七章“盈不足”中有这样一个问题：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 你知道我国古人是如何解决这个 问题的吗？ “今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四。问人数、物价各几何？” 题目大意：几个人合伙买东西，若每人出 8 钱，则会多出 3 钱，若每人出 7 钱，则还少 4 钱。问合伙的人数和物品的价格分别是多少？ （1）问题中有哪些已知量和未知量？它们之间有怎样的等量关系？ 探究点：“盈不足”问题 【合作探究】 （2）设人数为 x，其他未知量能用含 x 的代数式表示吗？请完成下表。 有关量 每人出 8 钱 每人出 7 钱 人数 x 出钱总数 物价 8x 8x - 3 x 7x 7x + 4 探究点：“盈不足”问题 （3）根据等量关系，你能列出怎样的方程？ 方法总结：利用表格分析数量关系是一种有效方法。 设人数为 x。 根据等量关系，列出方程： 。 解这个方程，得 x = 。 因此，人数为 ，物价为 。 7 7 53 8x - 3 = 7x + 4 探究点：“盈不足”问题 思考：如果设物价为 y，你能列出怎样的方程？与同伴进行交流。 解得 y = 53。 你比较喜欢用哪种方式列方程呢？ 探究点：“盈不足”问题 例1 《九章算术》“盈不足”章第五题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百。问人数、金价各几何？ 题目大意：几个人合伙买金，每人出 400 钱，会多出 3400 钱；每人出 300 钱，会多出 100 钱。合伙人数、金价各是多少？ 探究点：“盈不足”问题 分析：设人数为 x，你能把下表补充完整吗？ 有关量 每人出400 钱 每人出300 钱 人数 x 出钱总数 物价 400x 400x - 3400 x 300x 300x - 100 探究点：“盈不足”问题 解：设合伙人数为 x，则金价可表示为 （400x - 3400）钱，还可表示为 （300x - 100）钱，根据等量关系，列出方程： 方程的两边就是金价的两种不同的表达式。 400x - 3400 = 300x - 100。 解这个方程，得 x = 33。 300×33 - 100 = 9800。 因此，人数为 33，金价为 9800 钱。 探究点：“盈不足”问题 针对训练 我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：我问开店李三公. 众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.该店有客房多少间？ 多少客人？ 解：设该店有客房x 间 则根据题意，得 7x+7＝9(x-1) 解得 x＝8 7×8+7=63 答：该店有客房8间，63名客人. 随堂练习 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有四人共车，一车空；三人共车，九人步，问：人与车各几何？ 译文为：今有若干人乘车，若每4人共乘一车，则最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，共有多少人？ 多少辆车？设共有x 人，可列方程( ) A. B.-9 C. D. A 随堂练习 我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知1匹大马能拉3片瓦，3匹小马能拉1片瓦，则有多少匹大马？ 多少匹小马？ 培优点　根据古代数学问题列方程 解：设有x匹大马，则有(100-x)匹小马 根据题意，得 3x+ (100-x)=100 解得 x=25 100-25=75 答：有25匹大马，75匹小马. 随堂练习 1.某物流中转站为提高工作效率，配置了快递自动化智能分拣设备，现对一批中转货物进行分拣. 若每套设备每小时分拣3.5万件，则经过1 h，剩下4万件未分拣；若每套设备每小时分拣4万件，则经过1h，剩下1万件未分拣. 该物流中转站配置了多少套这样的分拣设备？ 解：设该物流中转站配置了x套分拣设备 根据题意，得 3.5x+4＝4x+1 解得 x＝6 答：该物流中转站配置了6套分拣设备 【选自教材P155 习题5.3 第6题】 随堂练习 2.今有共买牛，七家共出一百九十，不足三百三十；九家共出二百七十，盈三十. 问：家数、牛价各几何？(选自《九章算术》) 题目大意：几家人合伙买牛，若每7家合伙出190钱，则差330钱；若每9家合伙出270钱，则多了30钱. 家数、牛价各是多少？ 解：设一共有x家，则牛价为()钱或()钱 根据题意列方程得= 解得 x=126 =3750(钱) 答：一共有126家，牛价为3750钱. 【选自教材P155 习题5.3 第7题】 随堂练习 知识点1 古算术中的盈余问题 1.我国古代著作《增删算法统宗》中记载了一首古算诗：“庭前孩童闹 如簇，不知人数不知梨，每人四梨多十二，每人六梨恰齐足。”其大意 为：“孩童们在庭院玩耍，不知有多少人和梨，每人分4个梨，多12个梨； 每人分6个梨，恰好分完。”设梨有 个，则可列方程为( ) B A. B. C. D. 返回 17 2.［2025西安铁一中月考改编］《九章算术》是中国古代重要的数学著 作，其中“盈不足术”记载：今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不 足十六。问人数鸡价各几何？译文：今有人合伙买鸡，每人出9钱，会 多出11钱；每人出6钱，又差16钱。问买鸡的人数、鸡的价格各是多少？ （1）设买鸡的人数为 ，请完成下表： 有关量 每人出9钱 每人出6钱 出钱总数 鸡的价格 _________ _________ （2）根据等量关系，列出方程为__________________。 返回 18 3. ［2025宝鸡期中］我国古代著作《孙子算经》中记载 了这样一个数学问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，五人步。 问车有几何？”意思是：每3人共乘一辆车，最终剩余2辆车；每2人共乘 一辆车，最终有5人无车可乘，则车有____辆。 11 返回 19 知识点2 一般盈余问题 4.五一劳动节时为感谢环卫工人对城市美好市容的辛苦付出，乐乐和丽 丽所在的活动小组计划做一批“感谢贺卡”。若每人做8张，则比计划多 了3张；若每人做5张，则比计划少了27张。则该活动小组共有多少人？ （1）设该活动小组共有 人，请完成表格： 有关量 每人做8张 每人做5张 实际做的卡片/张 ____ 计划做的卡片/张 _________ _______ （2）根据等量关系，列出方程为_________________。 返回 20 5.［教材P155“习题5.3”第6题变式］近年来，网购的蓬勃发展方便了人 们的生活。某快递分派站现有若干件包裹需快递员派送，若每名快递员 派送10件，还剩6件；若每名快递员派送12件，还差14件，则该快递分 派站现有快递员____名。 10 返回 21 6.（6分）爸爸买了一箱苹果回家，小芳想分给家里的每一个人，如果 每人分3个，剩下3个苹果分不完，如果每人分4个，还差2个苹果才够分， 问小芳家有几个人？爸爸买了多少个苹果？ 解：设小芳家有 个人。 根据题意，得 ， 解得，则 。 故小芳家有5个人，爸爸买了18个苹果。 返回 22 实际问题 盈亏不足问题 盈时的总量－盈时的数量＝亏时的总量＋____的数量 亏时 方法点拨：“盈不足”问题，往往都是根据同一个量的两种不同表示方式来列方程求解，一般有两种设未知数的方法。 课堂小结 $