专题02 不等式恒成立、有解问题大题（35题）（举一反三专项训练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦不等式恒成立与有解问题，通过35道大题构建从基本不等式到一元二次不等式的递进训练体系，强化数学思维的逻辑性与严谨性。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基本不等式恒成立|7题|正数条件下最值求解及参数范围确定|从基本不等式应用到恒成立参数转化| |一元二次不等式（实数集）|7题|含参二次函数恒成立及解集问题|二次函数性质与不等式解集的逻辑推导| |一元二次不等式（区间）|7题|指定区间内恒成立的参数讨论|函数定义域限制与最值分析的结合| |一元二次不等式（有解）|7题|存在性问题的参数范围求解|从恒成立到有解的逻辑转换| |综合应用|7题|恒成立与有解的交叉问题|知识模块的综合运用与方法迁移|

专题02 不等式恒成立、有解问题大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)9 (2)． 【解题思路】（1）应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，并确定取值条件. （2）将问题化为恒成立，利用基本不等式求右侧的最小值，即可得参数范围. 【解答过程】（1）， 当且仅当即时取等号，此时的最小值为9． （2）解法一：由题意知的最小值． 因为，，所以 ， 当且仅当，即，时，等号成立． 所以． 解法二：由，得，又恒成立， 所以的最小值，因为 ， 当且仅当，且，即，时等号成立．所以． 2．（25-26高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2） ． 【解题思路】（1）法1：应用作差法比较大小即可证；法2：将不等式左侧展开并结合基本不等式证明结论即可； （2）问题化为，应用“1”的代换及基本不等式求左式最小值，可得，再解不等式求参数范围. 【解答过程】（1）方法1： ， ∴； 方法2：∵，，， ∴ ，当且仅当时，等号成立， 故. （2）由恒成立，知， ∵，，， ∴ ， 当且仅当，即时，等号成立，即， ∴，解得或， 故m的取值范围为. 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)25 (2) 【解题思路】（1）由已知等量关系化简代数值并转化“1”，然后利用基本不等式解得最小值； （2）不等式恒成立等价于求最值问题，先利用等量代换和基本不等式求出左边最小值，再解不等式即可得出范围. 【解答过程】（1）∵， ∴，，， ∴， 当且仅当，即，时取“=”， 所以的最小值为25. （2）∵，∴， ∴， ∵且，∴， ∴，当且仅当，即时取“=”， ∴， ∴恒成立，即，解得， 所以实数的取值范围为. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）将函数解析式化为，利用基本不等式可求得该函数的最大值； （2）将函数解析式变形为，利用基本不等式可求得该函数的最小值； （3）由已知条件可得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，由此可得出关于实数的不等式，解之即可. 【解答过程】（1）当时， ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数的最大值为. （2）当时，， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故函数的最小值为. （3）因为，且，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立，即的最小值为， 因为恒成立，则，即，解得. 因此，实数的取值范围是. 5．（25-26高二上·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）；（2）16；（3） 【解题思路】（1）两数之和与两数乘积的关系问题，借助基本不等式可以直接求解. （2）利用，再利用基本不等式求解. （3）直接利用基本不等式，解关于的不等式. 【解答过程】（1）因为，，， 所以， 当且仅当，即，时，取到最大值. （2）因为， 所以， 又因为，，所以， 当且仅当，即时，等号成立. 由得即当时，取得最小值16. （3）因为，， 所以恒成立等价于恒成立. 又，所以，当且仅当时等号成立， 从而，解得（舍去）或， 所以. 6．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）利用基本不等式即可证明； （2）根据给定条件，利用基本不等式及“1”的妙用求出最值即可； （3）不等式可化为恒成立，求出最小值，再借助恒成立求解即得. 【解答过程】（1）因为，，所以， 则，故， 当且仅当，即，时取等号. （2）因为，所以，则， 则 ， 当且仅当，即时取得等号， 故的最小值为. （3）因为，，所以， 则可化为恒成立， 又，当且仅当时取得等号， 所以， 则， 故的取值范围为. 7．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 【答案】(1)证明见解析 (2)2或3 (3) 【解题思路】（1）由关系，结合基本不等式证明，再证明结论， （2）不等式可变形为，结合（1）求的最小值，由此可得的值， （3）不等式可变形为，利用基本不等式求的最小值，由此可得. 【解答过程】（1）证明：因为，所以，，， 所以 ， 当且仅当，即，即时等号成立， 所以， 所以. （2）可变形为 ， 由（1）知的最小值为4，所以. 又，且，所以或3. （3）类似（2），不等式恒成立， 即恒成立， 而 ， 当且仅当， 即时等号成立， 所以，即， 即. 所以当自然数，，满足时，不等式对任意，，恒成立. 题型二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 8．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 【答案】(1)； (2) 当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 【解题思路】（1）利用一元二次不等式恒成立列式求出范围. （2）根据给定条件，按分类求解含参数的不等式. 【解答过程】（1），不等式恒成立，则，解得， 所以实数的取值范围是. （2）不等式， 当时，，解得或； 当时，，解得或， 所以当时，原不等式的解集为或； 当时，原不等式的解集为或. 9．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解题思路】（1）要使恒成立，可将其转化为关于的一元二次不等式恒成立问题，利用判别式求解的取值范围. （2）先将不等式转化为一元二次不等式，再通过因式分解求解不等式. 【解答过程】（1）对，恒成立，即恒成立， 所以，整理得，解得， 所以实数的取值范围是. （2），即， 即，即， 当，即时，原不等式即为，解得； 当，即时，解原不等式得或； 当，即时，解原不等式得或. 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 10．（25-26高一上·云南迪庆·期末）已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【解题思路】（1）由，得，求解.再由的最小值为建立关于的方程并求解即可； （2）根据题意得对一切实数都成立，再利用判别式求解. 【解答过程】（1）因为， 所以，解得. 又因为的最小值为 所以，代入得，解得， 故. （2）当时，对一切实数都成立 即对一切实数都成立， 则，解得. 所以实数的取值范围为. 11．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据不等式的解集与方程根的关系可求两个未知数； （2）根据恒成立可从开口方向和判别式得出限制条件，从而可求答案. 【解答过程】（1）因为的解集为， 所以， 解得，经检验知符合题意. （2）当时，显然不合题意； 当时，因为对一切实数恒成立， 所以， 解得. 12．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设函数，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集和韦达定理求出参数； （2）先对不等式进行化简，然后根据二次函数的性质计算即可. 【解答过程】（1）依题意，且函数的两个零点分别是2和3， 所以，， 所以； （2）不等式恒成立，即恒成立. 当时不等式成立； 当时，不等式不可能恒成立； 当时，需，解得或，所以. 综合得的取值范围为. 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据给定条件，利用不等式的解集，结合一元二次方程根与系数的关系列式求出，再代入求解不等式. （2）求出的关系，再由表示并利用一元二次不等式恒成立列式求解. 【解答过程】（1）不等式，由不等式的解集为， 得且的两根为，则，解得， 不等式为，即，即， 解得，所以不等式的解集为. （2）由，得，将代入， 得对任意的恒成立， （i）当，即时，不等式变为恒成立，满足题意； （ii）当，即时，则，解得； 综上所述，实数的取值范围. 14．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 【答案】(1) (2) 当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. (3) 【解题思路】（1）由一元二次不等式的求法即可求解； （2）通过，，，，分类讨论即可； （3）通过和两类情况讨论求解即可. 【解答过程】（1）当时，可得， 即， 解得或， 即解集为； （2）由不等式 若，不等式即为，解得； 若，不等式可化为， 此时方程的两根分别为， 当时，即，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 当时，，不等式的解集为； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）恒成立， 当时，不等式为，得，不符合题意； 当时，恒成立，需满足： 解得：， 综上的值为. 题型三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 15．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2) 【解题思路】（1）由三个二次的关系将题设等价于的两根为和，且，再根据韦达定理求解； （2）对恒成立 对恒成立，由一次函数的性质即可求解； 【解答过程】（1）由题意可知，且的两根为和， ∴由根与系数的关系得，解得， 此时不等式即为符合题意，所以； （2）当时，. 所以对恒成立 对恒成立， 因为当时，，所以对恒成立， ∴由一次函数性质得，解得. 故的取值范围为. 16．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先因式分解得到，再根据关于的不等式的解集为，由求解. （2）将不等式对任意恒成立，根据，转化为求解. 【解答过程】（1）， 因为关于的不等式的解集为， 所以， 解得 （2）因为不等式对任意恒成立， 所以对任意恒成立， 因为， 所以 所以，对任意恒成立， 而，当且仅当 ，即 时，取等号， 所以 ， 所以的取值范围. 17．（25-26高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）通过两种情况讨论即可； （2）法一：结合二次函数最值即可求解，法二：通过参变分离求最值即可求解. 【解答过程】（1）要使恒成立， 若，显然． 若 需满足 综上：． （2）解法一：要使在上恒成立， 就要使在上恒成立． 令． 当时，在上随的增大而增大， 当时，； 当时，恒成立； 当时，在上随的增大而减小， 当时，得， ． 综上所述：． 解法二：当时，恒成立， 即当时，恒成立． ， 又，． 函数在1上的最小值为， ． 18．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）代入得到二次函数，解一元二次不等式（分析开口方向、判别式）； （2）整理不等式为，分、、讨论（结合因式分解、根的大小比较）； （3）分离参数，再通过化简，利用基本不等式求取值范围. 【解答过程】（1）由函数， 若，可得， 又由，即不等式，即， 因为，且函数对应的抛物线开口向上， 所以不等式的解集为，即的解集为． （2）依题意，等价于， 当时，不等式可化为，所以不等式的解集为． 当时，不等式可化为，此时，所以不等式的解集为． 当时，不等式化为， ①当时，，不等式的解集为； ②当时，，不等式的解集为； ③当时，，不等式的解集为； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （3）由对一切实数恒成立， 即对恒成立， 当时，，所以， ∵，∴， 当且仅当时，即时等号成立，∴． 19．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）由题意可得，解出即可. （2）当时，不等式变为一次不等式，当时，对分解因式，讨论根的大小即可得答案. （3）由题意可得，，利用换元法结合函数单调性可得答案. 【解答过程】（1）当时，则， 即，因式分解可得：， 所以，则不等式的解集为. （2）当时，则为，即， 当时，则， 因式分解可得：， 当时，有，则此时不等式解集为， 当时，等价于， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为， 若，即时，不等式解集为空集， 综上所述，当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为， 当时，解集为. （3）因为， 所以， 因为， 则，则题目等价于，， 令，因为，所以， 则， 由基本不等式，当且仅当时取等号， 因此的最大值为，即， 所以实数a的取值范围为. 20．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； (2) (3) 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解法，对参数进行分类讨论，进而求出结果； （2）根据二次不等式恒成立的条件，进行参变分离，进而求出参数的取值范围； （3）根据任意恒成立的条件，对函数进行变形，对新参数进行讨论，求出函数最小值，列出不等式，进而求出结果. 【解答过程】（1）由题意可知，当时，，解得； 当时，令，即，解得或. 当时，，则，解得； 当时，，则，无解； 当时，即，则，解得， 综上，当时，解集为； 当时，解集为； 当时，无解； 当时，解集为； （2）由题意得，即， 当时，可知，可得， 因为，所以， 即，不等式恒成立，等价于，恒成立； 可知时，，所以，即实数的取值范围为； （3）由题意得，即，化简得， 可知，不等式恒成立，等价于，不等式恒成立； 当时，不等式不成立，不符合题意； 当时，，不等式恒成立， 令，则在上单调递减， 即得恒成立，解得， 当时，，不等式恒成立， 在上单调递增，即，解得， 综上所述，实数的取值范围为. 21．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当，不等式的解集为. (3) 【解题思路】（1）根据题意，得到不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解； （2）根据题意，转化为，结合含参数的一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解； （3）根据题意，转化为函数在上的最小值大于在上的最大值，结合二次函数与一次函数的性质，列出不等式，即可求解. 【解答过程】（1）当时，不等式，即为， 由方程，可得， 可得方程有两个不同的实数根，分别为， 即不等式为，解得， 即不等式的解集为. （2）由不等式，即为， 整理得， 当时，不等式可化为，解得； 当时，不等式可化为 ①当时，不等式即为，因为，解得； ②当时，不等式即为， （i）若，即，解得或； （ii）若，即，不等式化为，解得； （iii）若，即，解得或； 综上可得：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为 当，不等式的解集为. （3）当时，对，，不等式恒成立， 等价于求解函数在上的最小值大于在上的最大值， 当时，函数的图像开口向上，对称轴为， 所以， 因为函数在区间上为单调递减函数， 所以， 所以，解得， 所以实数的取值范围为. 题型四 一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数； (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）由一元二次不等式的解集及根系关系求参数. （2）将问题转化为存在，使得成立，结合基本不等式求范围，注意等号成立条件，进而求的范围. 【解答过程】（1）由题意知：1和是的两根， 故，，即，. （2）存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，当且仅当时取等号， 故，可得． 即实数的取值范围为. 23．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． (2) 【解题思路】（1）先把二次不等式化为，再分类讨论解不等式即可； （2）参变分离，把能成立问题转化为的最大值问题，换元后利用基本不等式求解即可． 【解答过程】（1）， 化简得，即， 若，即，上式可化为：，即，解得； 若，即，上式可化为：，解得； 若，即，上式可化为：， ， ， ， 或， 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为． （2）不等式，即， ， 恒成立， ， 问题转化为：存在，使得成立， ， 设，令，则， （当且仅当，即时取等号）， ，当且仅当时取等号， 综上，的取值范围为． 24．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 【答案】(1) (2)答案见解析 【解题思路】（1）先求出时，函数的最小值，再利用已知命题得出大于等于函数的最小值，进而求出的取值范围； （2）先对原不等式化简，再对进行分类讨论解不等式求出不等式的解集． 【解答过程】（1）当时，，函数图象开口向上，对称轴为， 函数最小值， ，使得，则， 的取值范围为． （2）， ， 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，解不等式得 ，解集为； 当时，，不等式化为，解得或，故解集为； 当时，不等式化为，解得，解集为； 当时，，不等式化为，解得或， 故解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为． 25．（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）解一元二次不等式求得正确答案. （2）由分离参数，结合基本不等式求得的取值范围. 【解答过程】（1），，. ，. 不等式的解集为； （2）由题意，，使不等式成立 即时，能成立. 所以大于的最小值 由基本不等式得 当且仅当时，等号成立， 所以实数的取值范围为. 26．（24-25高一上·海南·阶段检测）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【解题思路】（1）不等式化为，讨论和，从而求出不等式的解集； （2）不等式化为，讨论和，从而求出的取值范围即可. 【解答过程】（1）不等式即为，可化为， 由，得； 若，则不等式为，解得； 若，则，解不等式得或； 若，则，解不等式得或； 综上，时，不等式的解集为； 时，不等式的解集为或； 时，不等式的解集为或. （2）不等式可化为； 时，不等式为，不成立； 时，不等式必有实数解； 时，应满足，解得或，即； 综上，实数的取值范围是． 27．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)． 【解题思路】（1）把代入，结合二次不等式的求法即可求解； （2）结合二次不等式的求法对的范围进行分类讨论即可求解； （3）结合存在性问题与最值关系的转化及基本不等式即可求解． 【解答过程】（1）当时，， 解得，故不等式的解集为； （2）由可得，，， 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； 当时，，所以解集为； （3）若在上有解， 则在上有解， 故，即在上有解， 由，得， 故， 令，则， ， 当且仅当时取等号，所以． 28．（24-25高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【解题思路】（1）分为，以及讨论，根据解集列出不等式组，求解即可得出答案； （2）原不等式可化为．先求解的解集，进而解出时，得出的解集．然后分为与，结合的范围得出两根的大小关系，进而得出答案； （3）不等式转化为，分离参数得出，换元，整理得出，进而根据基本不等式，得出，即可得出范围． 【解答过程】（1）①当，即时，原不等式化为，解集为，不合题意； ②当，即时， 的解集为R，即的解集为R， 则应有， 即，解得． 综上，的取值范围是． （2）由已知可得， 即，即． 当时，即时，不等式化为，解得； 当时，有， 解方程，可得或． ①当，又可得时，即时，有， 则解不等式可得，或； ②当，即时有， 解不等式可得，． 综上所述，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． （3）不等式，即， 即． 由恒成立，则在时有解， 设，时有， ， ，当且仅当，即时等号成立， ，当且仅当时等号成立， 所以，实数的取值范围为. 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题综合 29．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由恒成立可知在上恒成立，即可得； （2）依题意可知需满足成立即可，由基本不等式计算可得. 【解答过程】（1）对任意实数，恒成立， 即，恒成立， 即可得，所以 （2）存在，使得成立，即， 只需成立，即需成立， 因为，所以（当且仅当时等号成立）， 则，所以， 综上得实数的取值范围是. 30．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【解题思路】（1）由题意可得是方程的两根，结合韦达定理求解即可； （2）由（1）可知，求出在上的最小值，即可得答案； （3）结合（2）求出在上的最大值，即可得答案 【解答过程】（1）由题意可得是方程的两根， 由韦达定理可得， 解得; （2）因为， 所以， 当时，则的最小值为， 所以， 所以实数的取值范围为； （3）由（2）可知当时，则的最大值为， 所以实数的取值范围为. 31．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）分、、三种情况讨论，结合二次函数的性质求出参数的取值范围； （2）参变分离可得存在使得成立，结合的范围求出的最大值，即可求出参数的取值范围. 【解答过程】（1）因为对任意恒成立，即对任意恒成立， 令，则对任意恒成立， ①当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ②当时，函数的图象为抛物线，开口向上， 所以对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③当时，函数的图象为抛物线，开口向下， 要使得对任意恒成立，则，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （2）不等式，即， 因为，所以， 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 32．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】（1）代入函数解析式，解不等式即可；     （2）分类讨论解决不等式恒成立问题； （3）问题等价于存在使得成立，求在时的最大值即可得实数的取值范围. 【解答过程】（1）若，不等式，即，解得， 所以不等式解集为. （2）对任意恒成立，即对任意恒成立， ① 当， 则对任意恒成立，即满足题意；                 ② 当时，函数的图像抛物线开口向上， 对任意不恒成立，所以不满足题意；                             ③ 当，函数的图像抛物线开口向下， 要使得对任意恒成立，即，解得.                      综上由①②③可得的取值范围为. （3）不等式，即， 因为， 故存在使得成立， 当时，，得， 当时，有最大值，则有， 即实数的取值范围为. 33．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【解题思路】（1）讨论和两类情况即可； （2）将不等式化为，通过换元，借助基本不等式即可求解； （3）将不等式化为，借助一次函数单调性即可求解. 【解答过程】（1）当时，不等式为，可得，不符合题意； 将不等式化为：，由于，不等式恒成立， 所以解得：， 所以的取值范围是. （2）因为，使不等式能成立， 也即，使得成立， 令，则， 则 ， 当时取等号，所以 （3）可化为， 若不等式对恒成立，因为， 所以也即，无解 故不存在. 34．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，或，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)或 (3) 【解题思路】（1）由即可求解； （2）由即可求解； （3）通过三种情况讨论即可. 【解答过程】（1）由题意可得恒成立， 则， 即， 解得. 故实数的取值范围为. （2），成立， 则， 即， 解得或. 故实数的取值范围为或. （3）①当时，由，解得或， 故当时，恒成立， 故只需当时，. 因为，所以，故实数的取值范围为； ②当时，由，解得或， 故当时，恒成立， 故只需当时，，解得. 故实数的取值范围为； ③当时，，，符合题意. 故实数的取值范围为. 由①②③可知，的取值范围是. 35．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 【答案】(1)不存在实数，理由见解析 (2) (3) 【解题思路】将转化为， （1）讨论和时的情况； （2），显然该函数单调，所以只需即可. （3）讨论当时，当时，当时，如何对有解，其中，，均为一元二次不等式，结合一元二次函数图象求解即可. 【解答过程】（1）原不等式等价于， 当时，，即，不恒成立； 当时，若不等式对于任意实数恒成立， 则且，无解； 综上，不存在实数，使不等式恒成立. （2）设， 当时，恒成立， 当且仅当，即， 解得即， 所以的取值范围是. （3）若不等式对有解， 等价于时，有解. 令， 当时，即，此时显然在有解； 当时，时，结合一元二次函数图象，显然有解； 当时，对称轴为，， 时，有解， 结合一元二次函数图象，易得：或， 解得或（无解）， 又∵， ; 综上所述，的取值范围为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 不等式恒成立、有解问题大题（35题）（举一反三专项训练） 【人教A版】 姓名：___________班级：___________考号：___________ 题型一 基本不等式的恒成立问题 1．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 2．（25-26高一上·四川南充·期末）（1）已知a，b，c，d都是正实数，证明：； （2）已知x，y是正实数，，若恒成立，求实数m的取值范围． 3．（25-26高一上·四川达州·阶段检测）已知正数，满足. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求实数的取值范围. 4．（25-26高一上·甘肃兰州·期中）求解下列各题： (1)求的最大值. (2)求的最小值. (3)已知，且，若恒成立，求实数的取值范围. 5．（25-26高二上·广东阳江·开学考试）（1）已知，，且，求的最大值； （2）已知，，，求的最小值； （3）已知，若对任意正数，，不等式恒成立，求实数的最小值. 6．（25-26高一上·辽宁·阶段检测）已知，. (1)若，证明：； (2)若，求的最小值； (3)若恒成立，求x的取值范围. 7．（25-26高一上·湖南株洲·阶段检测）已知实数，，满足. (1)求证：. (2)将上述不等式加以推广，把的分子1改为另一个大于1的自然数，使得对任意的，，恒成立，求的值. (3)继续推广，自然数，，满足什么条件时，不等式对任意，，恒成立？ 题型二 一元二次不等式在实数集上恒成立问题 8．（25-26高一上·安徽马鞍山·期末）已知函数． (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式． 9．（25-26高一上·湖南常德·期末）已知函数. (1)若对，恒成立，求实数的取值范围； (2)解关于的不等式：. 10．（25-26高一上·云南迪庆·期末）已知函数． (1)若函数满足且的最小值为，求的解析式； (2)当时，对一切实数都成立，求实数的取值范围． 11．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)若的解集为，求实数，的值； (2)若对一切实数恒成立，求实数的取值范围. 12．（25-26高一上·湖北十堰·期末）设函数，. (1)若关于x的不等式的解集为，求a的值； (2)若不等式对恒成立，求a的取值范围. 13．（25-26高一上·广东深圳·期末）已知函数. (1)若的解集为，求不等式的解集； (2)若且在上恒成立，求实数的取值范围. 14．（25-26高一上·山西大同·期中）已知函数． (1)当时，解不等式； (2)解不等式； (3)若恒成立，求的值． 题型三 一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 15．（25-26高一上·黑龙江佳木斯·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的值； (2)当时，对任意的恒成立，求实数的取值范围. 16．（25-26高一上·辽宁大连·期中）已知定义在上的函数（其中）． (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式对任意恒成立，求的取值范围． 17．（25-26高一上·全国·课前预习）设函数． (1)若对于一切实数恒成立，求的取值范围． (2)对于恒成立，求的取值范围． 18．（25-26高一上·安徽马鞍山·阶段检测）设函数． (1)若，求的解集； (2)解关于的不等式：． (3)若不等式对一切实数恒成立，求的取值范围； 19．（25-26高一上·山东德州·期末）已知关于x不等式． (1)若时，求不等式的解集； (2)若，解这个关于的不等式； (3)，恒成立，求实数a的取值范围 20．（25-26高一上·湖北武汉·期中）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)，不等式恒成立，求实数的取值范围； (3)，不等式恒成立，求实数的取值范围． 21．（25-26高一上·天津滨海新区·阶段检测）已知函数. (1)若，求不等式的解集； (2)解关于x的不等式； (3)当时，若，对，，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围. 题型四 一元二次不等式在某区间上有解问题 22．（25-26高二下·江苏南京·期末）已知函数； (1)若关于的不等式的解集为，求实数的值； (2)存在，使得成立，求实数的取值范围． 23．（25-26高一上·广西南宁·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围． 24．（25-26高一上·江苏无锡·期中）设． (1)当时，，使得，求实数a的取值范围； (2)解关于x的不等式． 25．（25-26高一上·湖北·期中）设函数. (1)当时，求不等式的解集； (2)若，使不等式成立，求实数的取值范围. 26．（24-25高一上·海南·阶段检测）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若，关于的不等式有实数解，求实数的取值范围． 27．（24-25高一上·福建福州·阶段检测）已知函数． (1)当时，解关于的不等式； (2)若，解关于的不等式； (3)若不等式在上有解，求实数的取值范围． 28．（24-25高一上·吉林长春·阶段检测）已知函数. (1)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (2)当时，解关于的不等式； (3)当时，不等式有解，求实数的取值范围. 题型五 一元二次不等式恒成立、有解问题综合 29．（25-26高一上·江西吉安·阶段检测）设二次函数. (1)若对任意实数，恒成立，求实数的取值范围； (2)若存在，使得函数值成立，求实数的取值范围. 30．（25-26高三上·贵州贵阳·阶段检测）已知关于的不等式的解集为． (1)求实数的值； (2)，都有，求实数的取值范围 (3)若存在实数，使不等式成立，求实数的取值范围． 31．（25-26高一上·河北保定·期中）已知函数 (1)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (2)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 32．（25-26高一上·海南省直辖县级单位·阶段检测）已知函数 (1)若，求的解集； (2)若对任意恒成立，求实数的取值范围. (3)若存在，使得成立，求此时实数的取值范围. 33．（25-26高一上·山东青岛·阶段检测）已知不等式． (1)若，使不等式恒成立，求的取值范围； (2)若，使不等式能成立，求的取值范围； (3)是否存在实数，使不等式对恒成立．若存在，求出取值范围；若不存在，请说明理由． 34．（25-26高一上·全国·课后作业）已知函数，，. (1)若，，求实数的取值范围； (2)若，，求实数的取值范围； (3)若，或，求实数的取值范围. 35．（25-26高一上·山东潍坊·阶段检测）已知关于的不等式. (1)是否存在实数，使不等式对任意恒成立，并说明理由； (2)若不等式对于恒成立，求实数的取值范围； (3)若不等式对有解，求的取值范围. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $