专题04 解分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的八大题型（题型专练）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦分式、高次、根式及绝对值不等式，通过八大题型构建“类型-方法-变式”三维训练体系，提炼转化、穿根、平方等核心解法，强化数学思维与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式不等式|1典例+3变式|转化整式不等式，同解变形法则|从分式到整式的等价转化，强调分母不为0| |高次不等式|1典例+3变式|数轴穿根法，符号规律分析|基于因式分解，利用图像穿根确定解集| |根式不等式|1典例+3变式|分类讨论去根号，平方转化|结合定义域与平方运算，分情况求解| |绝对值不等式（公式法等5类）|每类1典例+3变式|公式法、平方法、去绝对值法、性质法、零点分段法|从单一到多个绝对值，方法随复杂度递进，培养推理意识|

专题04 解分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的八大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 解分式不等式 1 题型02 解高次不等式 3 题型03 解根式不等式 4 题型04 公式法解绝对值不等式 4 题型05 平方法解绝对值不等式 6 题型06 去绝对值法解绝对值不等式 7 题型07 绝对值性质法解绝对值不等式 8 题型08 零点分段讨论法解绝对值不等式 8 ▌题型01 解分式不等式 1.解分式不等式的思路 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 2.一般的分式不等式的同解变形法则 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 【典例1-1】（25-26高一·全国·专项练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 【典例1-2】（26-27高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式1-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【变式1-3】（25-26高二下·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 ▌题型02 解高次不等式 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】整理转化为，借助数轴穿根法求解即可. 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）不等式的解集为_____________. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为______. 【变式2-3】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ ▌题型03 解根式不等式 对于根式不等式，往往通过乘方法化去根号，但此时还需注意被开方数的限制条件. 【典例3】（2026·广西·模拟预测）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二下·全国·自主招生）不等式的解集是___________． 【变式3-3】（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． ▌题型04 公式法解绝对值不等式 若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解： （1）． （2）或. 【典例4】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知集合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解确定集合，再结合集合交集运算求解即可. 【详解】，解得， 又，即，解得， 又. 【变式4-3】(25-26高一上·山东济南·期中）含有绝对值的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先解含有绝对值的不等式，再写出不等式的解集． 【详解】不等式表示或，解得或， 不等式的解集为． ▌题型05 平方法解绝对值不等式 对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，即转化为求解. 【典例5】（2026高二·全国·课后作业）不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式转化为，平方即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即，整理得到，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A． 【变式5-1】不等式的解集为 ； 【变式5-2】（1）不等式的解集为______；（2）不等式的解集为______． 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是__________. ▌题型06 去绝对值法解绝对值不等式 对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解. 此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解: . 【典例6】解关于x的不等式：； 【详解】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 解法二：原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. 【变式6-1】（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24高一上·上海·阶段检测）不等式的解集是__________ 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). ▌题型07 绝对值性质法解绝对值不等式 对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式： ，从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解. 【典例7】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 【变式7-1】不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是(　　) A.[－5，7] 　 B.[－4，6] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D.(－∞，＋∞) 【变式7-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【变式7-3】（25-26高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . ▌题型08 零点分段讨论法解绝对值不等式 对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解 【典例8】（25-26高三上·辽宁·期末） 的解集为_____ 【答案】 【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解. 【详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 【变式8-1】（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为_____. 【变式8-2】（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【变式8-3】求下列不等式的解集： (1)； (2). 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的八大题型 （题型突破·举一反三） 题型01 解分式不等式 1 题型02 解高次不等式 3 题型03 解根式不等式 5 题型04 公式法解绝对值不等式 7 题型05 平方法解绝对值不等式 9 题型06 去绝对值法解绝对值不等式 10 题型07 绝对值性质法解绝对值不等式 12 题型08 零点分段讨论法解绝对值不等式 13 ▌题型01 解分式不等式 1.解分式不等式的思路 解分式不等式的思路——转化为整式不等式求解. 2.一般的分式不等式的同解变形法则 （1） （2） （3） （4） 【注意】当分式右侧不为0时，可过移项、通分合并的手段将右侧变为0；当分母符号确定时，可利用不等式的形式直接去分母. 【典例1-1】（25-26高一·全国·专项练习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 【典例1-2】（26-27高三·全国·一轮复习）不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 且，即，即， 不等式两边同时乘以，得， 解得，故解集为. 【变式1-1】（25-26高二下·湖南衡阳·期末）不等式的解集是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 【变式1-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 【变式1-3】（25-26高二下·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． ▌题型02 解高次不等式 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】整理转化为，借助数轴穿根法求解即可. 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）不等式的解集为_____________. 【答案】 【分析】化分式不等式为，令，再利用穿根法即可得到答案. 【详解】由，即， 令，解得或或， 利用穿根法得或， 则其解集为， 故答案为：. 【变式2-2】（25-26高一上·上海·阶段检测）关于的不等式的解集为______. 【答案】 【分析】利用“穿根法”解高次不等式. 【详解】因为 所以. 由图可知：    . 【变式2-3】（25-26高一上·天津和平·阶段检测）不等式的解集为______ 【答案】 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当或或时，， 故答案为：. ▌题型03 解根式不等式 对于根式不等式，往往通过乘方法化去根号，但此时还需注意被开方数的限制条件. 【典例3】（2026·广西·模拟预测）不等式的解集是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-1】（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 【变式3-2】（25-26高二下·全国·自主招生）不等式的解集是___________． 【答案】 【分析】对于原不等式，有，原不等式化为，两边平方化简为，结合高次不等式的解法并结合可得出原不等式的解集. 【详解】对于不等式，有，可得， 所以原不等式化为． 因为，必有，可得， 由可得， 即， 整理可得， 方程的两根分别为，，如下图所示： 不等式的解为或或， 又因为，故原不等式的解集为. 【变式3-3】（25-26高三上·湖南长沙·期末）已知全集为实数集，若集合，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以.故选：A ▌题型04 公式法解绝对值不等式 若一个绝对值不等式一边为含绝对值的代数式，另一边为正数，则一般可以类比以下绝对值不等式套用公式求解： （1）． （2）或. 【典例4】（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 【变式4-1】（2026高三·全国·专题练习）不等式的解集是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 【变式4-2】（25-26高二下·贵州贵阳·期末）已知集合，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的解确定集合，再结合集合交集运算求解即可. 【详解】，解得， 又，即，解得， 又. 【变式4-3】(25-26高一上·山东济南·期中）含有绝对值的不等式的解集是______． 【答案】 【分析】先解含有绝对值的不等式，再写出不等式的解集． 【详解】不等式表示或，解得或， 不等式的解集为． ▌题型05 平方法解绝对值不等式 对于绝对值不等式（其中A,B为含未知数的代数式），一般利用平方法求解，即转化为求解. 【典例5】（2026高二·全国·课后作业）不等式的解集为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把不等式转化为，平方即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即，整理得到，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A． 【变式5-1】不等式的解集为 ； 【答案】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【详解】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. 【变式5-2】（1）不等式的解集为______；（2）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，得，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，两边平方得，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 对于，对应方程的根的判别式， 对应函数的图象开口向上，所以解集为． 对于，因式分解得，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）由，得到，所以， 所以，即， 解得．即不等式的解集为, 故答案为：；. 【变式5-3】（25-26高一上·辽宁丹东·期中）设，若关于的不等式的解集中的整数恰有3个，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. ▌题型06 去绝对值法解绝对值不等式 对于形如|A|>B或|A|<B的不等式（其中A，B）中都含有未知数，常利用绝对值的意义对A与0的大小分类讨论，从而脱去绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解. 此外，这类不等式其解集具有规律性，最终也可总结成如下公式，利用公式法简解: . 【典例6】解关于x的不等式：； 【详解】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 解法二：原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. 【变式6-1】（25-26高三上·江苏苏州·期末）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 【变式6-2】（23-24高一上·上海·阶段检测）不等式的解集是__________ 【答案】/ 【分析】由题意知，利用不等式的可乘方性，两边同时平方，将绝对值不等式转化为关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】由题意可知， 将不等式两边同时平方可得， 整理可得，即. 解得. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式6-3】（2026高三·全国·专题练习）解下列不等式： (1)； (2)； (3). 【详解】（1）原不等式等价于. 所以，所以，所以原不等式的解集为. （2）由不等式，可得或，所以或. 所以原不等式的解集为. （3）原不等式等价于 由①得，或，所以或. 由②得，所以. 所以原不等式的解集为. ▌题型07 绝对值性质法解绝对值不等式 对于不少于2个绝对值的不等式，有时可利用以下性质能转化为不含绝对值的不等式： ，从而去掉了绝对值，转化为常见的不等式求解. 【典例7】不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 【变式7-1】不等式|x－5|＋|x＋3|≥1的解集是(　　) A.[－5，7] 　 B.[－4，6] C.(－∞，－5]∪[7，＋∞) 　 D.(－∞，＋∞) 【答案】D 【详解】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为R，故选D. 【变式7-2】（25-26高三上·上海·阶段练习）存在实数使得不等式成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 【变式7-3】（25-26高三上·上海·期中）若对于任意的实数，恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以，解得 ▌题型08 零点分段讨论法解绝对值不等式 对于不少于两个绝对值的不等式，可先求出使各绝对值等于0的x的值（简称为零点），再针对这些零点将x的范围分割成若干部分，通过分类讨论去掉绝对值，转化为不含绝对值的不等式求解 【典例8】（25-26高三上·辽宁·期末） 的解集为_____ 【答案】 【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解. 【详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 【变式8-1】（25-26高三上·上海·期中）不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】讨论去绝对值求解不等式. 【详解】当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 【变式8-2】（25-26高一上·上海嘉定·期末）对于任意实数x，不等式恒成立．若该不等式取等号，则实数x的取值范围是________． 【答案】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 【变式8-3】求下列不等式的解集： (1)； (2). 【详解】（1）由， 则解得：，即不等式的解集为； （2）由， 则当时，解得，当时，解得， 当时，解得， 所以不等式的解集为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 解分式不等式、高次不等式、根式不等式、绝对值不等式的八大题型 （题型突破·举一反三） ▌题型01 解分式不等式 【典例1-1】C 【详解】方法一：由，得， 化简得，即， 等价于，解得. 所以原不等式的解集为. 方法二：由，得或， 化简得或（舍去），所以， 所以原不等式的解集为. 【典例1-2】C 【详解】由题意得， 且，即，即， 不等式两边同时乘以，得， 解得，故解集为. 【变式1-1】C 【详解】不等式即，即，即， 等价于，解得或， 故不等式的解集是或. 【变式1-2】（25-26高一下·上海杨浦·期中）若关于的不等式的解集为空集，则的值为__________． 【答案】 【分析】先化简分式不等式，由解集为空集，可知与的根必须重合，否则不等式总能在两零点之间取到异号区间． 【详解】不等式，移项得， 解得，且， 若解集为空集，则与的根必须重合， 故，的根应为，于是解得 【变式1-3】（25-26高二下·天津南开·期末）已知，“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【分析】求解出不等式的解集，结合充分条件、必要条件判断即可. 【详解】解不等式，化简可得，即， 所以或， 所以或； 解不等式，得或， 而集合或真包含于集合或， 所以“”是“”的充分不必要条件． ▌题型02 解高次不等式 一般地f(x)＝(x－a)(x－b)(x－c)(a<b<c)的图象是一条连续不断的曲线，且f(x)的符号每顺次经过x轴的一个交点就会发生一次变化，从右到左在区间(c，＋∞)，(b，c)，(a，b)，(－∞，a)上f(x)的符号正负相间．如图． 故解不等式(x－a)(x－b)(x－c)>0(或<0)时，只需先在x轴上标出“针眼”(a,0)，(b,0)，(c,0)．再从点(c,0)右上方开始穿针引线依次穿过(c,0)，(b,0)，(a,0)，然后根据需要拣取相应区间，如解(x－a)(x－b)(x－c)>0.则拣取区间(a，b)∪(c，＋∞)，即为所求解集． 【典例2】（25-26高一上·江苏苏州·阶段检测）不等式的解集为_____． 【答案】 【分析】整理转化为，借助数轴穿根法求解即可. 【详解】由题意可得：， 即，即， 所以， 由数轴穿根法可得， 所以解集为或或． 【变式2-1】（25-26高一上·辽宁沈阳·阶段检测）不等式的解集为_____________. 【答案】 【分析】化分式不等式为，令，再利用穿根法即可得到答案. 【详解】由，即， 令，解得或或， 利用穿根法得或， 则其解集为， 故答案为：. 【变式2-2】 【分析】利用“穿根法”解高次不等式. 【详解】因为 所以. 由图可知：    . 【变式2-3】 【分析】运用“穿针引线法”画出函数的大致图象，结合图象即可得解. 【详解】由“穿针引线法，奇穿偶不穿”作出函数的大致图象如下： 由函数图象可知，当或或时，， 故答案为：. ▌题型03 解根式不等式 【典例3】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合不等式的解法，即可求解. 【详解】当，解得，此时不等式恒成立； 当时，即时，不等式，平方得， 即，即，解得，所以， 综上可得，不等式的解集为. 故选：B. 【变式3-1】B 【分析】解不等式化简集合，根据交集的概念求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：B. 【变式3-2】 【分析】对于原不等式，有，原不等式化为，两边平方化简为，结合高次不等式的解法并结合可得出原不等式的解集. 【详解】对于不等式，有，可得， 所以原不等式化为． 因为，必有，可得， 由可得， 即， 整理可得， 方程的两根分别为，，如下图所示： 不等式的解为或或， 又因为，故原不等式的解集为. 【变式3-3】A 【分析】解一元二次不等式求出集合，解根式不等式求出集合，再根据交集的定义计算可得. 【详解】由，即，解得， 所以， 由，可得，解得， 所以， 所以.故选：A ▌题型04 公式法解绝对值不等式 【典例4】C 【详解】∵ ，∴ ， 解得， 又， ∴ . ∵，即，解得， 又，∴ . ∴. 【变式4-1】D 【分析】应用分类讨论去绝对值符号，再应用一元二次不等式的解法求解集. 【详解】当时，，可得， 当时，，可得且， 所以不等式的解集为或. 故选：D 【变式4-2】C 【分析】根据不等式的解确定集合，再结合集合交集运算求解即可. 【详解】，解得， 又，即，解得， 又. 【变式4-3】 【分析】先解含有绝对值的不等式，再写出不等式的解集． 【详解】不等式表示或，解得或， 不等式的解集为． ▌题型05 平方法解绝对值不等式 【典例5】A 【分析】把不等式转化为，平方即可求解. 【详解】由不等式，可得， 即，整理得到，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A． 【变式5-1】 【分析】利用同时平方法求解绝对值不等式即可. 【详解】左右两侧同时平方得， 所以，故， 化简得，解得. 【变式5-2】（1）不等式的解集为______；（2）不等式的解集为______． 【答案】 【分析】（1）利用绝对值不等式的解法，得，再利用一元二次不等式的解法，即可求解；（2）根据条件，两边平方得，即可求解. 【详解】（1）由，得到，即， 对于，对应方程的根的判别式， 对应函数的图象开口向上，所以解集为． 对于，因式分解得，解得． 综上可知，不等式的解集为． （2）由，得到，所以， 所以，即， 解得．即不等式的解集为, 故答案为：；. 【变式5-3】 【分析】将不等式变形为的解集中的整数恰有3个，再由可得，不等式的解集为，考查解集端点的范围，解出的取值范围. 【详解】关于的不等式，两边平方整理得：， 因为，不等式的解集中的整数恰有3个，所以， 所以不等式的解集为，所以解集里的整数是三个， 故有，又因为，所以， 综上. ▌题型06 去绝对值法解绝对值不等式 【典例6】 【详解】解法一：由题意，当时，原不等式可化为，解得； 当时，原不等式可化为，解得， 所以不等式的解集为. 解法二：原不等式等价于， 解得， 所以原不等式的解集为. 【变式6-1】C 【分析】求出集合，利用交集的定义可求得集合. 【详解】因为，， 所以，. 故选：C. 【变式6-2】/ 【分析】由题意知，利用不等式的可乘方性，两边同时平方，将绝对值不等式转化为关于的一元二次不等式求解即可. 【详解】由题意可知， 将不等式两边同时平方可得， 整理可得，即. 解得. 所以原不等式的解集为. 故答案为： 【变式6-3】 【详解】（1）原不等式等价于. 所以，所以，所以原不等式的解集为. （2）由不等式，可得或，所以或. 所以原不等式的解集为. （3）原不等式等价于 由①得，或，所以或. 由②得，所以. 所以原不等式的解集为. ▌题型07 绝对值性质法解绝对值不等式 【典例7】 【答案】 【分析】根据绝对值三角不等式及题干可得，等式成立需要同号，列不等式求解即可得解. 【详解】因为，又， 所以，则. 【变式7-1】D 【详解】|x－5|＋|x＋3|≥|(x－5)－(x＋3)|＝8>1⇒原不等式的解集为R，故选D. 【变式7-2】 【分析】根据题意，将问题转化为，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题意可得 又， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 即实数的取值范围为. 【变式7-3】 【分析】根据绝对值三角不等式求得的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【解析】， 当且仅当时等号成立， 所以，解得 ▌题型08 零点分段讨论法解绝对值不等式 【典例8】 【分析】分类讨论绝对值内的数后即可求解. 【详解】原不等式等价于 当时，原不等式等价于，即得不成立，不等式无解； 当时，原不等式等价于，解得，不等式的解集为； 当时，原不等式等价于，即得，不等式的解集为； 综上所述，原不等式的解集为. 【变式8-1】 【分析】讨论去绝对值求解不等式. 【详解】当时，原不等式变为，得； 当时，原不等式变为，不等式无解； 当时，原不等式变为，得； 综上，不等式的解集为. 【变式8-2】 【分析】分段讨论，去掉绝对值求解即可. 【详解】当不等式取等号时，， 当时，即，解得； 当时，即，解得，不符合题意舍去； 当时，即，解得； 当时，即，解得. 综上可知，不等式取等号时，. 故答案为： 【变式8-3】 【详解】（1）由， 则解得：，即不等式的解集为； （2）由， 则当时，解得，当时，解得， 当时，解得， 所以不等式的解集为. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司zxxk.com 学科网（北京）股份有限公司 $