第2章 一元二次函数、方程和不等式（高效培优单元测试·提升卷）数学湘教版2019必修第一册

学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 高一上学期 第2章 一元二次函数、方程和不等式 (高效培优单元测试·提升卷) 答题卡 姓名： 注 意 事 项 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 缺考标记 贴条形码区 准考证号 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 一、单选题（共8小题，每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、多选题（共3小题，每小题6分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11[A] [B] [C] [D] 三、填空题（共3小题，每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $■■■ ■■■■ ■■■■ 高一上学期第2章一元二次函数、方程和不等式 (高效培优单元测试提升卷)答题卡 姓名： 贴条形码区 1.答题前，考生先将自己的姓名、准 考证号填写清楚，并认真检查监考 员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选 准考证号 择题必须用0.5mm黑色签字笔答 题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字 n 意事 体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域 1 1 内作答，超出区域书写的答案无 2 123 23 1234 123456789 23 效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4 4 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄 5 破。 5.正确填涂 6789 6789 6789 5678q 456789 123456789 123456789 123456789 0123456789 缺考标记 一、 单选题（共8小题， 每小题5分，共40分) 1 [A][B][C][D] 5 [A][B][C][D] 2[AJ[B][C][D] 6[A][BJ[C][D] 艾棉 3 [A][B][C][D] 7 [A][B][C][D] 4[AJ[B][C][D] 8[A][B][C][D] 二、 多选题（共3小题，每小题6分， 共18分) 9[A][B][C][D] 10[AJ[B][C][D] 11[A][B1[C][D] 三、填空题（共3小题， 每小题5分，共15分) 12 13 14 器 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过 程或演算步骤) 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第5页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页）命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高一上学期第2章一元二次函数、方程和不等式 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名 班级 考号 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的， 1.(23-24高一上湖南长沙期末)若x>0,则x+的最小值为() A.-2 B.-22 C. D.2 【答案】D【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】直接根据基本不等式求解即可。 【详解】若x>0,则x+之2=2，当且仅当x片，即x=1时取等号，所以最小值为2.故选：0， x V x 2.(25-26高三上北京顺义·阶段练习)已知a>b>c>d,则下列不等式中一定成立的是() A.a+b>c B.ac2>bc2 C.a+c>b+d D.ac>bd 【答案】C【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可。 【详解】A:若a=-1>b=-2>c=-3,则a+b=c,错： B:若c=0时，ac2=bc2,错： C:由a>b,c>d,同向相加，不等式符号方向不变知a+c>b+d,对： D:若a>0>b>c>d,则ac<0<bd,错.故选：C 325-26高一上内蒙古巴彦淖尔阶段练习)不等式≤1的解集为( ) B.{0<x c.{ D.{xx>0} 【答案】B【难度】0.85【知识点】分式不等式【分析】根据分式不等式的解法，求解即可. 【详解】不等式可化为3-10，即s0,等价于2x00 x(2x-1≤0 x 解得0<x≤子则解集为0<x≤故选：B, 第1页共10页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(25-26高一上·全国单元测试)若关于x,y的方程组 -X-m-0有唯一的一组解，则实数m的值是() x2+y2-1=0 A. B.-√2 c.±√2 D.1 【答案】C【难度】0.85【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】将方程组消去y,得到关于x的一元二次方程，根据解的个数有△=0求参数值. 【详解】 y-E-m=0消去y,得22+2m+m-1=0, x2+y2-1=0 因为方程组只有一组解，所以2x2+2x+m2-1=0只有一个解， 所以△=4m2-4×2×(m2-1)=0,解得m=±√2.故选：C 5.25-26高三上湖北武汉开学考试)已知a>0,b>0,且b-4b+1=0,则上+9b的最小值是() L A.4 B.6 C.8 D.9 【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式“1"的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意+=4，利用乘1”法求解基本不等式问题即可 【解1因为a-6+1=0,所以a-方4，所以6必a司10 又a>0,b>0,所以b>0,所以1+9ab≥2， 1 9ab=6,当且仅当1=9ab, ab ab ab 即a=1,6-时等号成立，所以日必0+6)-=4，即日必的成小值是4，故选：A 6.(25-26高三上陕西西安·开学考试)下列说法正确的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 C.若a<b<0,则a2>ab>b2 D.若a<b,则1} a b 【答案】C【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数（式）大小 【分析】对于A,取c=0判断A:对于B,D取特殊值进行验证判断BD:对于C,利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A,若a>b>0,当c=0时，c2=0,此时ac2=bc2=0,故A错误； 对于B,若a>b,取a=-1,b=-2,此时2=1，b2=4,则d2<b2,故B错误： 对于C,若a<b<0,不等式两边同时乘以a,则a2>ab>0, 对a<b<0,不等式两边同时乘以b,则ab>b2>0,所以a2>b>b2,故C正确： 对于D,若a<b,取a=-16-1,此时}-1片1，则2<故D错误，故选：C a b 724-25高一下湖南衡阳阶段练习)已知x,y(0,+m),则(K-)+2y+1-x+4的最小值为) A.1 B.2 C.3 D.4 第2页共10页 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】D【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、基本（均值）不等式的应用 【分析】将原式化为K-y-少+x+4之x+4,再利用基本不等式求解即可。 【i详解】解：因为K-少+2y+1-x+4《-2-20x-功+1+x+4=(x-y-1)+x+4之x+4 1 1 当且仅当x-y-1=0,即y=x-1时，等号成立， 因为442对水44，当组仅当即2时，等男成 综上，(K-)2+2y+1-x+4的最小值为4，此时x=2,y=1故选：D. 【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为x-y-1)2+x+4 8.(24-25高二下.重庆期末)已知函数f(x)=x+-a,a>0,若对x∈[-a,1],不等式-2a≤f(f(x)≤1恒 成立，则实数a的取值范围为) A.(0,] B.(0,2] [137 D. 【答案】B【难度】0.15 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用换元法，令t=∫(x),求出t的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可 【详解】如图，)的对称轴为x=一分，在（口受上单调递减，在（受，D上单调递增： x)=x+ax-a 4 a x十2 并且f0)=f0=-a,f0=f1-a=1,f-受=- 4a<0: 因为e[-a,令1=f,则e 不等式-2a≤j(fx)≤1恒成立等价于-2a≤f)s1在[号al恒成立 单调递减：当：[受别，了0单调递增，显然0=1满足条件， 故有fd=-2a,即-年-a2-2a,解得0≤a≤4： 且有f至小后，如（至小a,即号小，则年aea-1 第3页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解得-2≤a≤2： -a≥-2a,则(a2+4)(a2-4a-4)≤0， 解得2-22≤a≤2+2W2,故-2≤a≤2： 综上，由a>0,0<a≤2：故选：B. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.(24-25高一上湖南娄底·期末)下列命题为真命题的是() A.若a>b,c>d,则a+d>b+c B.若a>0>b,则1} a b C.若a<b<0,则ac2>bc2 D.若a<b<0,则d>b2 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数（式）大小、作差法比较代数式的大小 【分析】A.取特殊值判断：B.利用不等式性质判断：C取特殊值判断：D.利用作差法判断. 【详解】A.当a=3>b=2,c=5>d=3时，a+d=6<b+c=7,故错误： B.因为a>0>b,所以2>0>，故正确： b C.当c=0时，ac2=bc2，故错误； D.若a<b<0,则a+b<0,a-b<0,故a2-b2=(a+b)(a-b)>0,所以ad>b2,故正确；故选：BD 10.(25-26高一上广东·期中（多选）己知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则下列选 项中正确的是() A.a<0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 D.不等式c-:+a<0的解架为x<或x分》 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】：关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},.a>0,故A错误： 对于B、C选项，已知-2和3是关于x的方程x2+bx+c=0的两根， -2+3=-2 由根与系数的关系得{ 22c“，则b=-a,c=-6a, a 不等式bx+c>0,即-ax-6a>0,又a>0,解得x<-6,B正确： 且a+b+c=-6a<0,C错误： 对于D选项，不等式-b+a<0,即-6ar+a+a<0,即6x2--1>0,解得x<或x>号， 故不等式cx2-x+a<0的解集为1x<或x>,D正确故选：BD, 11.(24-25高一下·四川眉山·期末)下列说法中正确的为() 第4页共10页 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.已知a,b∈R,则“a-3b=0"是"2=3"的必要不充分条件 b B.若x∈R,则r+2+1 的最小值为2 2+2 C.若正实数x,y,满足x+y+y=3,则x+2y的最小值为4W2-3 。芳心号兮且品30，州时的最大道为7 1 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、判断命题的必要不充分条件、基本不等式“1” 的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】对于A,根据必要不充分判定可判断： 对于B,根据基本不等式可判断，取“=”，但此时x无解，可判断： 对于C,将x+2y转化为已知条件，根据基本不等式即可判断： 对于0，设品>0，>0，解出号将+子用1表示，再利用蒂本不等式即可判断。 【详解】对于A选项，a=3中，b≠0，a-3动=0中b∈R,所以4=3可以推出a-3b=0, b 但a-3动=0不能推出分-3，所以a-动=0~是分-3”的必要不充分条件，放A正确： 对于8选项，+2+，≥2，当且仅当+2=1 Vx2+2 +2时取”，但此时x无解，故B错误： 对于C选项，因为x+y+xy=3,所以(x+1)(y+1)=4 则x+2y=(x+1)+2(y+1)-3≥2V2(x+1)(y+1)-3=4W2-3, 当且仅当x+1=2(y+1)时，即x=22-1,y=√2-1时，取“=”，故C正确： 对时0意现00，时品音且1=动， 共中+++训+品+品-名 当且仅当5=91=1时，等号成立，故+2≤8-6x二7，故D正确，故选：ACD x y 6 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 124-25商-上湖南邵阳期末已知-子<a<胥及B<云，则a+2P的取伯范国为 3’2 3 【答案】（侵钙【难度】0,85【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据不等式的性质计算可得.。 第5页共10页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【详解】因为-亚<a<,元<p<2 3’2 3 所以π<2B< 3 所以号<a+2B<径，即a+20的取值范国为 π5π π5π 3 2’3 故答案为： 23 13.(23-24高一上福建莆田阶段练习)已知命题P:“3x∈R,关于x的一元二次方程x2-2√3x+m=0有实数根” 是真命题，则实数的取值范围是 【答案】m≤3【难度】0.65【知识点】根据特称（存在性）命题的真假求参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解 【详解】因为3x∈R,关于x的一元二次方程x2-2√3x+m=0有实数根， 所以△=(-2√3)2-4m≥0，解得m≤3，故答案为：m≤3 424-25高-下四泸州期末若a>0,b>0,且3a+2b=b,则2+23的最小值是 【答案】9【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由3a+2山=变形为a-26-)=6,化品。品+吾应用基本不等式可求最小值。 【详解】因为a>0,b>0满足3a+2b=ab,所以ab-3a-2b=0,即ab-3a-2b+6=6, 即(a-2b-3)=6,所以，1=a-2 b-36 所u品品g品行25+ )122a+1519 ≥22a+112212 南以当取当品，即a号6号时取一 7 所心品+二显小植为}号故管案为：昌 19 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分)25-26高一上湖北武汉·阶段练习)求下列关于x的不等式或不等式组的解集. ax-1<02 l2x-1<5 x+2 x-1≥0 【答案】(1){x-2<x<2){x1≤x<3}【难度】0.85【知识点】平方法解绝对值不等式、分式不等式 【分析】(1)将分式不等式转化为一元二次不等式求解： (2)将含一个绝对值的不等式平方后转化为一元二次不等式求解，再取两个不等式的解集的交集即可. 详解四不等式对2之0等价于(c-x+2)<0,……3分 得-21， …5分 故不等式的解集为x|-2<x<1}: …6分 第6页共10页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (2)不等式2x-1<5等价于(2x-1)2<25, …10分 即x2-x-6<0,得-2<x<3, …11分 x-1≥0得x≥1， …12分 则不等式组的解集为{x1≤x<3} ……13分 16.15分)(24-25高一上江苏南通期末)设集合A -3<0,B={-2a+d-1>g x-1 (1)若a=3,求AUB;(2)若“x∈A"是“x∈B"的充分条件，求实数a的取值范围. 【答案】(1){xx<3或x>4:2)a≥4或a≤0【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】(1)求解二次不等式，得到集合A,B,根据集合并集运算法则计算即可： (2)由题可知A二B，,列出不等式进行计算即可. 【详解】(1)当a=3时，B={xr2-6x+8>0}=|k-2)6-4)>0}={x<2或x>4}；…3分 4=04=-08-3叶k<3}. …6分 ∴AUB={x|x<3或x>4: …7分 (2),“x∈A"是“x∈B"的充分条件，.A三B, …9分 :x2-2a+a2-1>0,即[x-(a-1][x-(a+1)]>0, .x<a-1或x>a+1,∴.B={x|x<a-1或x>a+1}, …11分 而A={x1<x<3, ……12分 要使得A三B,需有a-1≥3或a+1≤1，∴.a≥4或a≤0. …15分 17.15分)23-24高一上·上海阶段练习)仔细阅读以下材料： 【已知a=0+o),a+b=1,求y。云份装小位 解：女号日引a+)-2号+33+25，当且仅当名，即a=反-1b=2万时取得等号. 则y=1+2的最小值为3+22. a b 另解：y=+名-+20-名兰+3≥3+25，当且仅当8经，即a=反-1,6=2-万时取得等号， a b a b a b 则y=1+2的最小值为3+2N2.】:参考上述解法，求解下列问题 a b a已知a众c0+时，a4b+c=-l,求+甘的最小值：aE知引求-品的最小值： 1 8已知a、be0+,a+2边=1，求P=b奶的说小值 第7页共10页 可学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【答案】(1)9：(218：(33+2 .【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 5 【分析】(123)应用"1”的代换整理目标代数式，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】(1)由a,b,c>0,a+b+c=1, +8 则y=++_a+b+c+a+h+c+a+b+c=3+卢+S+ a b c Q b b a ≥3+2 c a c b a+2√。+2。 =9, …4分 当且仅当a=b=c=时等号成立，枚y=++最小值为9： …5分 3 a b c 1 2)油0<x<2则= 1+,8=20-2x+2+81-2x+20）=10+2-1-2）+82x x 1-2x 2x 1-2x 2x 1-2x ≥10+2 2-0-2x0.8-2x=18, …8分 2x1-2x 当且仅当2029=82，即x=之时等号成立， 2x1-2x 6 赦t=上+，8最小值为18： x'1-2x …10分 3)抽a,b>0,a+2b=1,则a=1-2b>0,即0<b< 1 1 11 11 2 以p-a+0a+边3a+6励-2边a+26+b3-2b4b3-262+26显然3-262+2b>0 所以p写8+24wG5263d-片号 2+2b2(320 3-2b2+2b 2+2b23-201=3+22, 2[3+23-262+20 …13分 5 当且仅当2+2028-2 3-2b2+2b 2,即b-8-55,则a=52-7时等号成立， 2 1+1最小值为3+25 所以p=3a+4ba+3b …15分 5 18.17分24-25高一上上海阶段练习)四个正数x,y,,”,如果<三，那么称(x)是(5m)的“下位序列 3y1 (1)对于2,3,7,11，试问(2,7)是否为(3,11)的“下位序列”，请说明理由： 2设红，bc,d均为正数，且(a,)是（亿，d)的下位序列，试判断：子，名号之间的大小关系，并说明理由： (3)已知正整数n满足条件：对集合{m0<<2022,m∈N}内的每个元素m,总存在正整数k,使得(m,2022) 是(k,n)的“下位序列”，且(k,m)是(m+1,2023)的“下位序列”，求n的最小值. 【答案】a不是，理由见解析：导公行会星由见解折()4045【库度】04 第8页共10页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【知识点】集合新定义、作差法比较代数式的大小 【分析】(1)根据新定义，代入计算判断即可；(2)根据新定义得到ad<bc,再利用不等式的性质利用作差法 判断即可：(3)由题意得到m<2022k,(m+1)n>2023k,进而得到n≥ 4045 -,从而求出最小值 2022- 详解山由于子>不满足下位序列的概念，所以不是下位序列……5分 2)abc,d均为正数，由(ab)是(Cd的“下位序列，得分<，即ad<bc,…7分 c atc be+od-ad-cdbc-ad0atc 则db+d d(b+d) d(b+d) d b+d a atc abtad-ab-bead-be<aea b bid b(b+c)b(b+c) b+d b …10分 所以9>a+ca dbid"b …11分 3)油(m202)是(k,川的“下位序列，得、”<k 2022n 即wm<2022k,则n+1≤2022k, …13分 由(k,川是(m+12023)的“下位序列，得冬<m+1 n2023 即(m+1)n>2023k,则wm+n-1≥2023k, 所以2022(mw1+n-1)≥2022.2023k≥2023(m+1), …15分 4045 则n之 -,又对集合{|0<l<2022}内的每个m∈N均成立， 2022- 4045 则n22022-2021 =4045,所以正整数n的最小值为4045. …17分 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式 的性质求解， 19.17分)23-24高一上·黑龙江哈尔滨阶段练习)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(4b,c∈R) (1)若f(0)=2,f(1)=1,对x∈(2,5)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. (2)若a=1,f(x)≤0的解集为A,ff(x)]≤3的解集为B,且A=B≠0，求实数b的取值范围. 【答案】(1)「3-22，+0)22V3,6:【难度】0.15【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等 式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】(1)根据题意易得c=2,b=-1-a,再分离参数，结合基本不等式即可得解： (2)令t=(x),根据题意可得∫(t)≤3得解集为(-o,0]的子集，则有t=0时方程f(t)=3的一个解，从而可 求出C,再根据ff(x)≤3和A=B≠O即可得出答案， 第9页共10页 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 [c=2 c=2 【详解】(1)由f(0)=2,f(1)=1, a+b+c=1'则 b=-a-1' 则f(x)=ax2+(-a-1)x+2, …2分 因为对x∈(2,5)，f(x)20恒成立，即对Hx∈(2,5)，ax2+(-a-1)x+2≥0恒成立， 即对x∈(2,5)，（x2-x)a≥x-2恒成立， 因为x∈(25)，所以r-x>2-2>2,所以a≥-2 2x2-x …4分 x-21 1 1 -≤ =3-2√5 因为--222-223 x-2 x-2 23 当且仅当-2己2即=2+2时取等号 …6分 所以 =3-2W2,所以a≥3-2W2 max 即实数a的取值范围为[3-22，+∞)： ……8分 (2)若a=1,则f(x)=x2+bx+c, …9分 令t=∫(x),因为f(x)≤0的解集为A,ff(x)门s3的解集为B,且A=B≠②， 所以f(t)≤3的解集为(-o,0]的子集， …10分 所以t=0时方程f(t)=3的一个解，所以c=3, …11分 f(x)=x2+bx+3,f(t)=12+bt+3, …12分 由ff(x)]≤3，得t+bt+3≤3，即t+bt≤0， …13分 因为t∈(-o,0],所以t+b≥0恒成立，即x2+bx+3+b≥0恒成立， 则△=b2-4(3+b)≤0，解得-2≤b≤6， …14分 由A=B≠O,得不等式f(x)=x2+bx+3≤0有解， 则△=b2-4x3≥0，解得b≥2W3或b≤-23， ……16分 综上所述，实数b的取值范围为25,6] …17分 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： (1)keD,m≤f(x)台m≤f(y)m:(2)xeD,m≥f(x)一m≥f(r)ms: 3)3xeD,m≤f(x)台m≤f(x)nx:(4)axeD,m≥f(r)一n≥f(r)a 第10页共10页 高一上学期 第2章 一元二次函数、方程和不等式 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一上·湖南长沙·期末)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D．2 2.(25-26高三上·北京顺义·阶段练习)已知，则下列不等式中一定成立的是(   ) A． B． C． D． 3.(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)不等式的解集为( ) A． B． C． D． 4.(25-26高一上·全国·单元测试)若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是(    ) A． B． C． D．1 5.(25-26高三上·湖北武汉·开学考试)已知，，且，则的最小值是(   ) A．4 B．6 C．8 D．9 6.(25-26高三上·陕西西安·开学考试)下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7.(24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习)已知，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 8.(24-25高二下·重庆·期末)已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一上·湖南娄底·期末)下列命题为真命题的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10.(25-26高一上·广东·期中)(多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是(    ) A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 11.(24-25高一下·四川眉山·期末)下列说法中正确的为(    ) A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一上·湖南邵阳·期末)已知，则的取值范围为 ． 13.(23-24高一上·福建莆田·阶段练习)已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是 . 14.(24-25高一下·四川泸州·期末)若，，且，则的最小值是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(25-26高一上·湖北武汉·阶段练习)求下列关于x的不等式或不等式组的解集. (1)(2) 16．(15分) (24-25高一上·江苏南通·期末)设集合． (1)若，求；(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 17．(15分)(23-24高一上·上海·阶段练习)仔细阅读以下材料： 【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号， 则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号， 则的最小值为.】；参考上述解法，求解下列问题. (1)已知a、b、，，求的最小值；(2)已知，求的最小值； (3)已知a、，，求的最小值. 18．(17分)(24-25高一上·上海·阶段练习)四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 19．(17分)(23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知二次函数() (1)若，，对，恒成立，求实数a的取值范围． (2)若，的解集为A，的解集为B，且，求实数b的取值范围． 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 高一上学期第2章一元二次函数、方程和不等式 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名」 班级 考号」 注意事项： 1.本试卷分第「卷（选择题）和第川卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填 写在答题卡上。 2.回答第〡卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 皮擦千净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第1卷（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的. 1.(23-24高一上湖南长沙期末)若x>0,则x+的最小值为() A.-2 B.-2√2 C. D.2 2.(25-26高三上·北京顺义·阶段练习)已知a>b>c>d,则下列不等式中一定成立的是() A.a+b>c B.ac2>bc2 C.a+c>b+d D.ac>bd 3.25-26高一上内蒙古巴彦淖尔阶段练习)不等式3x11的解集为 B.{0<s c.{引 D.{xr>0} 4.(25-26高一上全国·单元测试)若关于x,y的方程组 --m=0有唯一的一组解，则实数m的值是() x2+y2-1=0 A.2 B.-√2 C.±V2 D.1 5.25-26高三上湖北武汉开学考试已知a>0,b>0,且b-4b+1=0,则上+9b的最小值是() Q A.4 B.6 C.8 D.9 6.(25-26高三上·陕西西安·开学考试)下列说法正确的是() A.若a>b>0,则ac2>bc2 B.若a>b,则a2>b2 第1页共6页 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.若a<b<0,则a2>ab>b2 D.若a<b,则1} a b 7.24-25高一下湖南衡阳-阶段练习)已知x,ye(0,+0),则(K-)2+2y+1-x+4的最小值为) A.1 B.2 C.3 D.4 8.(24-25高二下·重庆·期末)已知函数f(x)=2+ar-a,a>0,若对x∈[-a,1],不等式-2a≤f(f(x)s1恒 成立，则实数a的取值范围为)】 A.(0,] B.(0,2] c[引 o.62 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.(24-25高一上湖南娄底·期末)下列命题为真命题的是() A.若a>b,c>d,则a+d>b+c 8.若a>0>b,则} a b C.若a<b<0,则ac2>bc2 D.若a<b<0,则d>b2 10.(25-26高一上广东，期中)（多选）已知关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为{x|x<-2或x>3},则下列选 项中正确的是() A.a<0 B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6} C.a+b+c>0 0.不等式cx-+a<0的解集为x<或x> 3 11.(24-25高一下·四川眉山·期末)下列说法中正确的为) A.己知a,b∈R,则“a-3b=0"是"g=3"的必要不充分条件 h B.若xeR,则Vx2+2+1 的最小值为2 Vx2+2 C.若正实数x,y,满足x+y+y=3,则x+2y的最小值为4W2-3 0苏宁片且3”，则时的最大渔为7 3 1 x y 第川卷（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 第2页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 12.24-25高一上湖南邵阳期末已知-亚<a<亚亚<B< 2 3’2 号，则a+2B的取值范围为 13.(23-24高一上福建莆田阶段练习)已知命题P:“3x∈R,关于x的一元二次方程x2-2√5x+m=0有实数根” 是真命题，则实数的取值范围是 142425奇一下四川沙州期未利若a>0,6>0.且3如+2功-，则品+高3的最小值是一 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)25-26高一上·湖北武汉·阶段练习)求下列关于x的不等式或不等式组的解集. 号o 。02x-1<5 x-1≥0 16a5分24z5商-上江苏南通期未刺)设米合在了0-2狐+d-1。 (1)若a=3,求AUB;(2)若“x∈A"是“x∈B"的充分条件，求实数a的取值范围. 第3页共6页 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 17.(15分)23-24高一上·上海-阶段练习)仔细阅读以下材料： 【已知a,b∈(0，+)，a+b=1,求y=+2的最小值 a b 解：后-很引e+-433425,当n仪当-a万162反时得等号， 则立后的辰小值为25 另解：y=+名-4也+2中9》-名品3≥3+25，当且仅当会号，即a=万-1,6=2-5时取得等号， a b a b a b 则y=+2的最小值为3+25】：参考上述解法，求解下列问题 a b a已知ac∈(0+，a+b+c=1,求-+分的最小值：2已知x∈0》求1-的最小值： 已矩ab:(0*,a+2b=1,求如b+的最小值 第4页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 8.17分24-25高一上上海阶段练习)四个正数X,水2，"，如果<，那么称($y)是(5的“下位序列 (1)对于2,3,7,11，试问(2,7)是否为(3,11)的“下位序列”，请说明理由： 2设abc,d均为正数，且(ab)是(cd小的"下位序列，试判断：台·号之间的大小关系，并说明理由： (3)已知正整数n满足条件：对集合{m0<<2022,m∈N内的每个元素m,总存在正整数k,使得(m,2022) 是(k,n)的“下位序列"，且(k,n)是(m+1,2023)的“下位序列"，求的最小值. 第5页共6页 丽学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 19.17分)23-24高一上·黑龙江哈尔滨阶段练习)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(4b,c∈R) (1)若f(0)=2,f(1)=1,对x∈(2,5)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围 (2)若a=1,f(x)≤0的解集为A,ff(x)≤3的解集为B,且A=B≠O,求实数b的取值范围. 第6页共6页 高一上学期 第2章 一元二次函数、方程和不等式 (高效培优单元测试·提升卷) (试卷满分150分，考试用时120分钟) 姓名___________ 班级_________ 考号_______________________ 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号填写在答题卡上。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 第Ⅰ卷(选择题 共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1.(23-24高一上·湖南长沙·期末)若，则的最小值为(    ) A． B． C． D．2 【答案】D【难度】0.94【知识点】基本不等式求和的最小值【分析】直接根据基本不等式求解即可. 【详解】若，则，当且仅当，即时取等号，所以最小值为.故选：D. 2.(25-26高三上·北京顺义·阶段练习)已知，则下列不等式中一定成立的是(   ) A． B． C． D． 【答案】C【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】根据不等式的性质依次判断各项的正误即可. 【详解】A：若，则，错； B：若时，，错； C：由，，同向相加，不等式符号方向不变知，对； D：若，则，错.故选：C 3.(25-26高一上·内蒙古巴彦淖尔·阶段练习)不等式的解集为( ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.85【知识点】分式不等式【分析】根据分式不等式的解法，求解即可. 【详解】不等式可化为，即，等价于， 解得，则解集为.故选：B. 4.(25-26高一上·全国·单元测试)若关于的方程组有唯一的一组解，则实数的值是(    ) A． B． C． D．1 【答案】C【难度】0.85【知识点】一元二次不等式与二次函数、一元二次方程的关系 【分析】将方程组消去，得到关于的一元二次方程，根据解的个数有求参数值. 【详解】，消去，得， 因为方程组只有一组解，所以只有一个解， 所以，解得．故选：C 5.(25-26高三上·湖北武汉·开学考试)已知，，且，则的最小值是(   ) A．4 B．6 C．8 D．9 【答案】A【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由题意，利用乘“1”法求解基本不等式问题即可. 【详解】因为，所以，所以， 又，，所以，所以，当且仅当， 即，时等号成立，所以，即的最小值是4．故选：A． 6.(25-26高三上·陕西西安·开学考试)下列说法正确的是(    ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C【难度】0.65【知识点】由已知条件判断所给不等式是否正确、由不等式的性质比较数(式)大小 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误，故选：C. 7.(24-25高一下·湖南衡阳·阶段练习)已知，则的最小值为(    ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、基本(均值)不等式的应用 【分析】将原式化为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】解：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 综上，的最小值为4，此时.故选：D. 【点睛】关键点睛：解答的本题的关键是将原式化为. 8.(24-25高二下·重庆·期末)已知函数，，若对，不等式恒成立，则实数的取值范围为(    ) A． B． C． D． 【答案】B【难度】0.15 【知识点】与二次函数相关的复合函数问题、函数不等式恒成立问题、根据二次函数的最值或值域求参数 【分析】利用换元法，令，求出的范围，然后由函数单调性求解最大值与最小值，解不等式即可. 【详解】如图，的对称轴为，在上单调递减，在上单调递增； 并且，，； 因为，令，则； 不等式恒成立等价于在恒成立； 当，单调递减；当，单调递增，显然满足条件， 故有，即，解得； 且有，，即，则， 解得；，则， 解得，故； 综上，由，；故选：B. 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9.(24-25高一上·湖南娄底·期末)下列命题为真命题的是(   ) A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由不等式的性质比较数(式)大小、作差法比较代数式的大小 【分析】A.取特殊值判断；B.利用不等式性质判断；C.取特殊值判断；D.利用作差法判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，所以，故正确； C.当时，，故错误； D.若，则，故，所以，故正确；故选：BD 10.(25-26高一上·广东·期中)(多选)已知关于的不等式的解集为或，则下列选项中正确的是(    ) A． B．不等式的解集是 C． D．不等式的解集为或 【答案】BD【难度】0.85【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解含有参数的一元二次不等式 【分析】利用三个二次关系，待定系数可确定参数之间的关系及符号一一判定选项即可. 【详解】关于的不等式的解集为或，，故A错误； 对于B、C选项，已知和3是关于的方程的两根， 由根与系数的关系得，则，， 不等式，即，又，解得，B正确； 且，C错误； 对于D选项，不等式，即，即，解得或， 故不等式的解集为或，D正确.故选：BD. 11.(24-25高一下·四川眉山·期末)下列说法中正确的为(    ) A．已知，则“”是“”的必要不充分条件 B．若，则的最小值为2 C．若正实数满足，则的最小值为 D．若，且，则的最大值为7 【答案】ACD【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值、判断命题的必要不充分条件、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】对于A，根据必要不充分判定可判断； 对于B，根据基本不等式可判断，取“=”，但此时无解，可判断； 对于C，将转化为已知条件，根据基本不等式即可判断； 对于D，设，，解出，将用表示，再利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A选项，中，，中，所以可以推出， 但不能推出，所以“”是“”的必要不充分条件，故A正确； 对于B选项，，当且仅当时取“=”，但此时无解，故B错误； 对于C选项，因为，所以 则， 当且仅当时，即时，取“=”，故C正确； 对于D选项，设，，则，且， 则， 其中， 当且仅当时，等号成立，故，故D正确.故选：ACD. 第Ⅱ卷(非选择题 共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12.(24-25高一上·湖南邵阳·期末)已知，则的取值范围为 ． 【答案】【难度】0.85【知识点】利用不等式求值或取值范围【分析】根据不等式的性质计算可得. 【详解】因为，所以， 所以，即的取值范围为.故答案为： 13.(23-24高一上·福建莆田·阶段练习)已知命题“，关于的一元二次方程有实数根”是真命题，则实数的取值范围是 . 【答案】【难度】0.65【知识点】根据特称(存在性)命题的真假求参数、一元二次方程根的分布问题 【分析】根据存在性命题为真，知一元二次方程有解，列出不等式即可得解. 【详解】因为，关于的一元二次方程有实数根， 所以，解得，故答案为： 14.(24-25高一下·四川泸州·期末)若，，且，则的最小值是 . 【答案】【难度】0.4【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】由变形为，化应用基本不等式可求最小值． 【详解】因为满足，所以，即， 即，所以， 所以， 所以当且仅当，即，时取“”， 所以的最小值为，故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(13分)(25-26高一上·湖北武汉·阶段练习)求下列关于x的不等式或不等式组的解集. (1)(2) 【答案】(1);(2)【难度】0.85【知识点】平方法解绝对值不等式、分式不等式 【分析】(1)将分式不等式转化为一元二次不等式求解； (2)将含一个绝对值的不等式平方后转化为一元二次不等式求解，再取两个不等式的解集的交集即可. 【详解】(1)不等式等价于，………………3分 得， ………………5分 故不等式的解集为； ………………6分 (2)不等式等价于， ………………10分 即，得， ………………11分 得， ………………12分 则不等式组的解集为. ………………13分 16．(15分) (24-25高一上·江苏南通·期末)设集合． (1)若，求；(2)若“”是“”的充分条件，求实数a的取值范围． 【答案】(1)或;(2)或【难度】0.85 【知识点】并集的概念及运算、根据集合的包含关系求参数、充分条件、解不含参数的一元二次不等式 【分析】(1)求解二次不等式，得到集合，根据集合并集运算法则计算即可； (2)由题可知，列出不等式进行计算即可． 【详解】(1)当时，或；………………3分 ∵， ………………6分 ∴或； ………………7分 (2)∵“”是“”的充分条件，∴， ………………9分 ∵，即， ∴或，∴或， ………………11分 而， ………………12分 要使得，需有或，∴或． ………………15分 17．(15分)(23-24高一上·上海·阶段练习)仔细阅读以下材料： 【已知a，，，求的最小值. 解：，当且仅当，即，时取得等号， 则的最小值为. 另解：，当且仅当，即，时取得等号， 则的最小值为.】；参考上述解法，求解下列问题. (1)已知a、b、，，求的最小值；(2)已知，求的最小值； (3)已知a、，，求的最小值. 【答案】(1)9；(2)18；(3).【难度】0.65【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】(1)(2)(3)应用“1”的代换整理目标代数式，再应用基本不等式求最小值，注意取值条件. 【详解】(1)由，， 则 ， ………………4分 当且仅当时等号成立，故最小值为9； ………………5分 (2)由，则 ， ………………8分 当且仅当，即时等号成立， 故最小值为18； ………………10分 (3)由，，则，即， 所以，显然， 所以 ， ………………13分 当且仅当，即，则时等号成立， 所以最小值为. ………………15分 18．(17分)(24-25高一上·上海·阶段练习)四个正数，如果，那么称是的“下位序列”. (1)对于，试问是否为的“下位序列”，请说明理由； (2)设均为正数，且是的“下位序列”，试判断：，之间的大小关系，并说明理由； (3)已知正整数满足条件：对集合内的每个元素，总存在正整数，使得是的“下位序列”，且是的“下位序列”，求的最小值. 【答案】(1)不是，理由见解析;(2)，理由见解析;(3)4045【难度】0.4 【知识点】集合新定义、作差法比较代数式的大小 【分析】(1)根据新定义，代入计算判断即可；(2)根据新定义得到，再利用不等式的性质利用作差法判断即可；(3)由题意得到，，进而得到，从而求出最小值. 【详解】(1)由于，不满足"下位序列"的概念，所以不是“下位序列”.………………5分 (2)均为正数，由是的“下位序列”，得，即，………………7分 则，即， ，即， ………………10分 所以. ………………11分 (3)由是的“下位序列”，得， 即，则， ………………13分 由是的“下位序列”，得， 即，则， 所以， ………………15分 则，又对集合内的每个均成立， 则，所以正整数的最小值为4045. ………………17分 【点睛】关键点点睛：本题考查新定义“下位序列”，解题时要充分利用这个定义构造不等关系，结合不等式的性质求解. 19．(17分)(23-24高一上·黑龙江哈尔滨·阶段练习)已知二次函数() (1)若，，对，恒成立，求实数a的取值范围． (2)若，的解集为A，的解集为B，且，求实数b的取值范围． 【答案】(1);(2);【难度】0.15【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、基本不等式求和的最小值、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】(1)根据题意易得，再分离参数，结合基本不等式即可得解； (2)令，根据题意可得得解集为的子集，则有时方程的一个解，从而可求出，再根据和即可得出答案. 【详解】(1)由，，得，则， 则， ………………2分 因为对，恒成立，即对，恒成立， 即对，恒成立， 因为，所以，所以， ………………4分 因为， 当且仅当，即时取等号， ………………6分 所以，所以 即实数a的取值范围为； ………………8分 (2)若，则， ………………9分 令，因为的解集为A，的解集为B，且， 所以的解集为的子集， ………………10分 所以时方程的一个解，所以， ………………11分 故，， ………………12分 由，得，即， ………………13分 因为，所以恒成立，即恒成立， 则，解得， ………………14分 由，得不等式有解， 则，解得或， ………………16分 综上所述，实数b的取值范围为． ………………17分 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒(能)成立，可根据以下原则进行求解： (1)，；(2)，； (3)，；(4)，. 第 1 页 共 11 页 学科网（北京）股份有限公司 $