3.1.1函数的概念教学设计-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学教学设计聚焦函数的集合定义、三要素、区间表示及同一函数判断等核心知识点，以校园智能分类系统数据为导入情境，通过分析时间与分类量的对应关系，回顾初中“变量说”，引导学生过渡到高中“集合对应说”，搭建概念升级的认知支架。 此设计以STEM教育理念为指导，采用PBL项目式学习，围绕校园分类系统主线融合跨学科元素。通过数学抽象实现概念从直观到理性的提升，借助数学建模将数据关系转化为函数模型，结合逻辑推理进行同一函数判断，利用GeoGebra工具辅助教学，小组合作完成数据报告。既帮助学生建立数学与现实的联系，培养建模能力，也为教师提供结构化的教学流程与多元评价方案。

《函数的概念》教学设计 3.1.1 函数的概念 人教A版必修第一册 第三章 函数的概念与性质 2026–2027学年高一上学期 数学 设计理念：本节课延续校园智能分类系统项目主线，进入“数据处理与函数建模”阶段。以分类系统中的数据关系分析为驱动问题，结合STEM教育理念，引导学生在理解函数概念的过程中，建立用数学语言描述变量关系的意识，培养抽象思维与建模能力。 一、教学基本信息 课程名称 3.1.1 函数的概念 教材版本 人教A版普通高中数学必修第一册 授课年级 高一年级 课时安排 2课时（45分钟/课时） 授课类型 新授课 授课对象 高一年级学生 核心素养 数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象 跨学科融合 科学（S）、技术（T）、工程（E）、数学（M） 二、教材与学情分析 1. 教材地位与作用 本节是人教A版必修第一册第三章“函数的概念与性质”的开篇课，在高中数学中具有极其重要的地位。函数是高中数学的核心概念，是学习微积分的基础，也是理解现实世界变量依存关系的重要工具。本节将初中的函数概念从“变量说”提升为“集合对应说”，使学生对函数的认识从直观感性上升到抽象理性。 本节课内容包括：函数的集合定义、定义域、值域、对应法则、函数三要素、区间概念以及同一函数的判断。这些内容是后续学习函数单调性、奇偶性、周期性等性质的基础，也是理解指数函数、对数函数等复杂函数的前提。 2. 学情分析 认知基础 学习难点 1. 初中已学过函数的基本概念，对“变量说”有一定认识 2. 熟悉一次函数、反比例函数、二次函数等常见函数 3. 具备集合的基本概念 4. 具有一定的数据分析能力（校园分类项目基础） 1. 从“变量说”到“集合对应说”的概念过渡较难 2. 函数定义域、值域的抽象理解 3. 区间的概念与表示方法较多 4. 判断同一函数时容易忽视定义域的不同 5. 将抽象概念与实际建模联系起来 三、教学目标 1. 核心素养目标 核心素养 具体表现 达成水平 数学抽象 理解函数的集合定义，掌握定义域、值域、对应法则三要素；能用集合语言表述变量间的依赖关系 理解层次 逻辑推理 通过同一函数的判断练习，培养演绎推理能力；能从定义域和对应法则两个方面进行逻辑分析 掌握层次 数学建模 能识别校园分类系统中的变量关系，并尝试用函数模型描述这些关系 初步应用 直观想象 能绘制简单函数的图像，借助图像理解函数的单调性、定义域等特性 理解层次 2. STEM跨学科目标 S（科学）：能从校园分类系统的数据中发现变量间的关系，理解现实世界中数据关联性的客观存在。 T（技术）：能利用数学软件（如GeoGebra）绘制函数图像，辅助分析函数关系。 E（工程）：能将校园分类系统中的数据关系转化为数学函数模型，体会工程建模的过程。 M（数学）：掌握函数的集合定义、三要素、区间表示，能判断同一函数，具备抽象概括能力。 3. 情感态度目标 通过校园分类系统项目，感受数学与现实生活的紧密联系，激发学习数学的兴趣；培养严谨的数学思维习惯和团队协作精神。 四、教学重难点 教学重点 教学难点 1. 函数的集合定义（定义域、值域、对应法则） 2. 函数的三要素及其相互关系 3. 区间的概念与表示方法 1. 从初中“变量说”到“集合对应说”的认知升级 2. 判断同一函数（定义域与对应法则的综合分析） 3. 抽象函数概念与实际问题建模的衔接 突破策略 策略一：以校园分类系统为真实情境，将抽象的函数概念具体化。例如，分析“每天不同时段的垃圾分类量”中时间与分类量的对应关系，引导学生理解定义域、值域和对应法则的实际意义。 策略二：利用对比教学法，将初中“变量说”与高中“集合对应说”对比展示，帮助学生理解概念的进化与拓展。通过多个实例迭代认识，缓解认知升级的难度。 策略三：通过图像直观展示和反例辨析，帮助学生突破判断同一函数的难点，强调定义域和对应法则必须同时相同才是同一函数。 五、教学设计理念与方法 1. STEM教育融合理念 本节课以“校园智能分类系统——数据关系建模”为项目主线，将数学（M）的函数概念与科学（S）的数据分析、技术（T）的软件工具、工程（E）的建模思想有机融合。学生在解决真实问题的过程中建构数学知识，实现从“学数学”到“用数学”的转变。 2. PBL项目式学习路径 阶段 时间安排 核心任务 对应知识点 问题提出 5分钟 回顾初中函数概念，提出校园分类系统数据关系分析问题 初中函数回顾、变量关系 概念建构 20分钟 引入函数的集合定义，理解三要素与区间概念 集合定义、定义域、值域、对应法则、区间 模型建立 10分钟 将概念应用于分类系统数据关系建模 同一函数判断、建模应用 实例验证 5分钟 通过练习巩固概念，校园分类项目小组沟通 区间表示、同一函数判断 总结反思 5分钟 归纳知识体系，布置项目小组任务 知识整合、项目规划 3. 教学方法 情境创设法：以校园分类系统的真实数据为情境，激发学生学习兴趣和探究欲望。 问题驱动法：通过层层递进的问题链，引导学生从已知向未知探索，从初中概念向高中概念过渡。 小组合作学习法：项目任务以小组为单位完成，培养学生的团队协作和沟通表达能力。 对比教学法：通过初中与高中概念的对比、同一函数与不同函数的图像对比，加深理解。 六、教学过程设计 第一课时：函数概念的建构 环节一：情境导入（5分钟） 时间 教师活动 学生活动 设计意图 5分钟 1. 回顾初中函数概念：提问“什么是函数？” 2. 展示校园分类系统数据表：每天不同时段的垃圾分类量 3. 提出问题：“时间与分类量之间是否存在函数关系？如何用数学语言精确描述？” 1. 回忆初中学过的函数定义 2. 观察数据表，尝试发现规律 3. 思考时间与分类量的对应关系 通过真实情境引入，激发学生兴趣，为概念升级做铺垫 环节二：概念建构——函数的集合定义（20分钟） 教师活动： 1. 分析初中函数定义的局限性：初中的函数定义以“变量”为基础，但对“变量”本身的定义并不严格。高中需要更严谨的数学语言。 2. 引入函数的集合定义： 定义：设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使A中的每个元素x，在B中都有唯一确定的元素y与它对应，那么称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。 3. 详细讲解函数的三要素： ① 定义域A：自变量x的取值范围，是一个非空数集。它确定了函数的有效范围。 ② 对应法则f：自变量x与因变量y之间的对应关系，是函数的核心。它可以是解析式、列表、图像等多种形式。 ③ 值域：因变量y的取值范围，即集合B中与A的元素对应的值所组成的集合，记作f(A)。 学生活动： 1. 尝试用集合语言重新描述初中学过的一次函数y=2x 2. 思考校园分类系统中的变量对应关系如何用函数语言描述 3. 小组讨论并分享各自的理解 环节三：巩固练习——区间与函数图像（15分钟） 教师活动： 1. 讲解区间的概念：开区间(a,b)、闭区间[a,b]、半开半闭区间[a,b)和(a,b]，以及无穷区间 2. 绘制常见函数图像示例，帮助学生建立直观认识 图1：y=2x、y=x²、y=1/x的图像示例 图2：开区间、闭区间、半开半闭区间的数轴表示 学生活动： 1. 完成课堂练习：用区间表示不同函数的定义域 2. 观察函数图像，思考图像与定义域、值域的关系 3. 小组互评练习结果，教师讲解典型错误 环节四：课堂小结与布置作业（5分钟） 时间 教师活动 学生活动 设计意图 5分钟 1. 引导学生归纳本课时要点：函数的集合定义、三要素、区间 2. 布置课后作业：课本练习及校园分类系统数据收集 3. 预告下节课内容：同一函数的判断 1. 学生总结归纳，填写知识梳理表 2. 记录作业要求 3. 小组初步讨论数据收集方案 强化知识整合，为第二课时做准备 第二课时：同一函数判断与建模应用 环节一：复习导入（5分钟） 时间 教师活动 学生活动 设计意图 5分钟 1. 提问回顾：函数的三要素是什么？ 2. 展示学生收集的校园分类数据 3. 提出问题：“如何判断两个函数是否相同？” 1. 回答函数三要素 2. 分享数据收集结果 3. 思考判断标准 回顾已知，引入新问题 环节二：同一函数的判断（15分钟） 教师活动： 1. 讲解同一函数的判断标准： 当且仅当两个函数的定义域和对应法则都相同时，这两个函数才是同一个函数。即定义域相同且对应法则一致。 2. 典型例题分析： 例1：f(x) = x 与 g(x) = (√x)² 是否为同一函数？ 解析：f(x)=x的定义域为R，而g(x)=(√x)²=x的定义域为[0,+∞)。定义域不同，因此不是同一函数。 例2：f(x) = x 与 g(x) = |x| 是否为同一函数？ 解析：定义域都为R，但对应法则不同（例如f(-1)=-1，而g(-1)=1），因此不是同一函数。 图3：同一函数判断的图像对比 学生活动： 1. 尝试独立判断练习题，小组讨论后汇报 2. 通过图像直观验证判断结果 3. 总结判断步骤：先比较定义域，再比较对应法则 环节三：项目建模应用（20分钟） 教师活动： 1. 引导学生分析校园分类系统中的变量关系 2. 展示建模案例： 建模案例：假设校园分类系统记录显示，每天的垃圾总量（kg）与当日在校学生人数（人）之间存在线性关系：y = 0.5x + 2。其中定义域为[0, 5000]（在校学生数范围），值域为[2, 2502]。 3. 布置小组任务：识别至少3组变量关系，并用函数语言描述 学生活动： 1. 小组合作，分析校园分类系统数据，识别变量关系 2. 尝试用函数三要素描述每组关系 3. 小组汇报建模结果，其他小组评议 环节四：总结反思与项目布置（5分钟） 时间 教师活动 学生活动 设计意图 5分钟 1. 引导学生归纳两节课的完整知识体系 2. 布置项目任务：撰写数据关系分析报告 3. 说明报告要求和评价标准 1. 学生归纳总结，完善知识梳理表 2. 记录项目任务要求 3. 小组初步规划报告框架 整合知识，延伸学习到课后项目 七、STEM项目式学习任务 项目主题 校园智能分类系统——数据关系建模阶段 项目背景 校园智能分类系统是本学期STEM项目的主线。在前期的“数据收集与整理”阶段，同学们已经收集了校园垃圾分类的相关数据。现在进入“数据关系建模”阶段，需要用数学函数的语言来描述这些数据之间的关系。 项目目标 1. 能识别校园分类系统中的至少3组变量关系 2. 能用函数的三要素描述这些关系 3. 建立至少1个简单的分类系统函数模型 4. 撰写完整的数据关系分析报告 项目任务 任务一：识别分类系统中的变量关系 根据已收集的校园垃圾分类数据，找出其中存在的变量对。例如：时间与分类量、在校人数与垃圾总量、分类准确率与投放频次等。 任务二：用函数定义描述数据对应关系 对每组变量关系，用函数的三要素（定义域、对应法则、值域）进行描述。注意定义域的实际意义（例如人数不能为负）。 任务三：建立简单的分类系统函数模型 选择1组变量关系，尝试建立一个简单的函数模型（如线性函数），并说明其合理性。 任务四：撰写数据关系分析报告 将以上任务的结果整理成一份完整的分析报告，包括数据来源、变量分析、函数描述、模型建立和结论。 项目评价量规 评价指标 优秀（A） 良好（B） 待提高（C） 变量识别 能准确识别系统中所有变量并说明关系 能识别主要变量，关系说明基本清晰 能识别部分变量，关系说明不够完整 函数描述 能用集合语言精确描述函数关系，包含定义域、值域、对应法则 能描述函数关系，三要素描述基本完整 函数描述有缺漏，三要素描述不完整 模型建立 建模合理、有创新，能验证模型的合理性 建模基本合理，有简单验证 建模不够合理，缺乏验证 报告撰写 报告结构完整、逻辑清晰、语言规范 报告基本完整，结构较清晰 报告缺乏结构或逻辑不清 八、教学评价设计 评价原则：过程性评价与结果性评价相结合，量化评价与质性评价相补充，关注学生的个体差异和成长变化。 评价维度 权重 评价内容 课堂表现 35% • 课堂参与度（10%）：发言次数、小组讨论贡献 • 课堂练习（15%）：阶段性练习正确率 • 概念理解（10%）：定义口头表述、举例能力 项目任务 45% • 项目报告（20%）：数据关系分析报告质量 • 模型建立（15%）：函数建模合理性、创新性 • 小组协作（10%）：团队合作、分工合理 课后作业 20% • 基础辅导（10%）：课本习题、补充练习 • 拓展探究（10%）：建模思考题、阅读材料 九、板书设计 1. 主板书 3.1.1 函数的概念 一、函数的集合定义 设A、B是非空数集，f：A→B ➤条件：A中每个x≥B中唯一y 二、函数的三要素 ① 定义域（A） ② 对应法则（f） ③ 值域（f(A)） 三、同一函数的判断 → 定义域相同 + 对应法则一致 2. 副板书 区间表示：(a,b) [a,b] [a,b) (a,b] (-∞,+∞) 典型例题： y=x ∔ y=(√x)² 定义域不同→不同 y=x ∔ y=|x| 对应法则不同→不同 十、教学反思与改进 1. 预设反思点 1. 学生从“变量说”到“集合对应说”的过渡是否顺畅？哪些环节需要调整节奏？ 2. 校园分类系统项目是否有效促进了学生对函数概念的理解？ 3. 同一函数判断的教学是否充分？是否需要增加更多反例？ 4. 课堂时间分配是否合理？小组活动是否充分？ 2. 差异化教学策略 基础层 发展层 提升层 • 掌握函数基本概念 • 能识别定义域、值域、对应法则 • 完成基础层次练习 • 参与项目数据收集 • 理解函数三要素的相互关系 • 能判断同一函数 • 完成发展层次练习 • 参与项目建模分析 • 深入理解函数概念的抽象过程 • 能对复杂函数进行同一性判断 • 独立完成项目报告 • 对模型进行优化和拓展 3. 教学资源支持 1. 教材：人教A版普通高中数学必修第一册第三章 2. 工具：GeoGebra数学软件（用于绘制函数图像、动态演示） 3. 项目材料：校园分类系统数据表、分析报告模板 4. 拓展资源：函数概念发展史阅读材料（引入欧拉、笔尔等数学家的贡献） 4. 后续延伸 1. 下一节课将学习“函数的表示方法”，可延续校园分类项目，用不同方法表示同一函数关系 2. 项目报告可作为单元学习成果展示，融入校园科技节活动 3. 可衔接信息技术课程，用Python实现简单的数据关系分析程序 — 1 — 学科网（北京）股份有限公司 $