第二章 一元二次函数、方程和不等式（暑假预习举一反三单元自测·基础篇）高一数学人教A版必修第一册

**基本信息** 第二章一元二次函数、方程和不等式单元自测基础卷，19题覆盖选择（11题58分）、填空（3题15分）、解答（5题77分），立足基础，覆盖不等式解法、充分条件、基本不等式等核心知识，通过分层设问与实际情境题（如教室采光问题），培养数学思维与应用意识，适配高一暑假基础巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|不等式解集、充分必要条件、取值范围|基础概念辨析，如第2题考查充要条件判断| |多选|3/18|不等式性质、解集与参数关系|多选项分层，如第11题结合解集判断参数及不等式| |填空|3/15|解不等式、代数式比较、最值|简洁考查运算，如第14题正实数条件下最值| |解答|5/77|解不等式（含参数）、比较大小、实际应用（采光问题）|综合应用，如18题以窗户地板面积为情境，19题含参数不等式求解，体现数学建模与推理|

第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测·基础篇） 【人教A版】 考试时间：120分钟；满分：150分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共19题，单选8题，多选3题，填空3题，解答5题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性 较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 2．（5分）（25-26高一上·河北唐山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（5分）（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（5分）（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 5．（5分）（25-26高一上·安徽宿州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 6．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．（5分）（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 8．（5分）（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 10．（6分）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 11．（6分）（25-26高一上·全国·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江苏·期中）不等式 的解集为__________. 13．（5分）（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为_________． 14．（5分）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）解不等式； （2）若，解不等式． 16．（15分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 17．（15分）（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 18．（17分）（25-26高一上·广东·期中）某教室的窗户面积必须小于地板面积，且窗户面积与地板面积的比值不小于. (1)若窗户与地板面积之和为，则窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积与地板面积，教室的采光效果是否改善？说明理由. 19．（17分）（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 一元二次函数、方程和不等式（单元自测·基础篇） 参考答案与试题解析 第I卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）（25-26高一上·安徽合肥·期末）不等式的解集为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【解题思路】直接利用一元二次不等式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 由一元二次不等式解得，所以解集为. 故选：A. 2．（5分）（25-26高一上·河北唐山·期末）“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】利用充分条件、必要条件的定义，结合不等式性质判断即得. 【解答过程】由，得，则，； 反之，，取，则有，即不成立， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3．（5分）（25-26高一上·广东清远·期中）已知，， 则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用不等式的性质求解. 【解答过程】，，，. 故选：C. 4．（5分）（25-26高一上·广东茂名·期末）已知，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D．3 【答案】D 【解题思路】配凑后直接利用基本不等式化简求解即可． 【解答过程】∵，∴， ∴， 当且仅当时等号成立，此时，故的最小值为3. 故选：D. 5．（5分）（25-26高一上·安徽宿州·期末）已知关于的不等式的解集为，则的值（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】根据一元二次不等式解集性质进行求解即可. 【解答过程】因为关于的不等式的解集为， 所以有. 故选：D. 6．（5分）（25-26高一上·陕西咸阳·期中）下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解题思路】对于A选项，当时，即可判断；对于B选项，通过不等式的性质判断即可； 对于C选项，通过特殊值法判断即可；对于D选项，通过作差法判断即可. 【解答过程】对于A选项，当时，，故A错误； 对于B选项，因为，所以，故B错误； 对于C选项，当，时，，故C错误； 对于D选项，，因为，所以，所以，故D正确. 故选：D. 7．（5分）（25-26高一上·江西新余·期末）若，，且，则的最小值为（    ） A． B．8 C．9 D．18 【答案】A 【解题思路】把变成，再根据均值不等式即可求出. 【解答过程】因为，所以， 又，， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 故选：A. 8．（5分）（25-26高一·全国·寒假作业）已知关于的一元二次不等式的解集为，则不等式的解集为（    ） A． B．或. C． D．或. 【答案】D 【解题思路】根据题意，利用韦达定理，得到的关系，代入不等式，转化为不含参的一元二次不等式，结合一元二次不等式的解法，即可求解． 【解答过程】由一元二次不等式的解集为， 可得，解得， 则不等式可转化为，即， 因为，则，不等式即为，解得或， 所以不等式的解集为或. 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）（25-26高一上·山东菏泽·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】利用不等式的基本性质可判断A选项；利用作差法可判断BD选项；利用特殊值法可判断C选项. 【解答过程】因为， 对于A选项，由不等式的基本性质可得，A对； 对于B选项，，所以，B对； 对于C选项，当时，，C错； 对于D选项，， 所以，D对. 故选：ABD. 10．（6分）（25-26高一上·四川眉山·期中）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【解答过程】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD. 11．（6分）（25-26高一上·全国·期中）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（    ） A． B．的解集为 C． D．的解集为 【答案】BD 【解题思路】根据已知一元二次不等式的解集，可得，，，再给一元二次不等式的求解逐项判断即得. 【解答过程】关于的不等式的解集为或， 故，且，整理得到，， 对选项A： ，错误； 对选项B：，即，解得，正确； 对选项C：，错误； 对选项D：，即，即， 解得，正确． 故选：BD. 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）（25-26高一上·江苏·期中）不等式 的解集为__________. 【答案】 【解题思路】把分式不等式化为整式不等式再求解． 【解答过程】   ，解得， 故答案为：． 13．（5分）（25-26高一上·甘肃陇南·阶段检测）设，，，，则、的大小关系为_________． 【答案】 【解题思路】利用作差法可得出、的大小关系. 【解答过程】因为，，所以 ， 当且仅当时，等号成立，故. 故答案为：. 14．（5分）（25-26高一上·黑龙江大庆·期末）已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】 【解题思路】由已知等式变形可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值. 【解答过程】因为正实数、满足，等式两边同时除以可得， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）（25-26高一上·云南曲靖·阶段检测）（1）解不等式； （2）若，解不等式． 【答案】（1）； （2） 【解题思路】（1）整理可得，进而解不等式即可； （2）整理可得，判断两根大小解不等式即可. 【解答过程】（1）因为，解得， 所以不等式的解集为； （2）因为， 若，令，解得或，且， 由解得或， 所以不等式的解集为. 16．（15分）（25-26高一上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）（1）设，，比较，的大小； （2）已知，，求代数式和的取值范围. 【答案】（1）； （2）， 【解题思路】（1）利用作差法判断即可； （2）根据不等式的性质计算可得； 【解答过程】（1）因为，， 所以， 所以； （2）因为，， 所以； 又，，所以， 所以. 17．（15分）（25-26高一上·贵州毕节·阶段检测）已知． (1)求的最大值； (2)求的最小值． 【答案】(1)9. (2). 【解题思路】（1）根据基本不等式求积的最大值即可； （2）根据基本不等式中“1”的代换计算即可求解. 【解答过程】（1）因为，所以， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为9. （2）因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. 18．（17分）（25-26高一上·广东·期中）某教室的窗户面积必须小于地板面积，且窗户面积与地板面积的比值不小于. (1)若窗户与地板面积之和为，则窗户面积至少为多少平方米？ (2)若同时增加相同的窗户面积与地板面积，教室的采光效果是否改善？说明理由. 【答案】(1)20平方米 (2)教室的采光效果变好了，理由见解析 【解题思路】（1）设教室窗户面积与地板面积分别为，，则，化简得即得解； （2）设和分别表示教室原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积，再比较他们的大小即得解． 【解答过程】（1）设教室窗户面积与地板面积分别为，， 则， 所以，所以，所以， 所以这所教室的窗户面积至少为20平方米； （2）设和分别表示教室原来窗户面积和地板面积，表示窗户和地板所增加的面积（面积单位都相同）， 由题意得：，，则， 因为，，所以.又因为，所以， 因此，即， 所以窗户和地板同时增加相等的面积，教室的采光效果变好了． 19．（17分）（25-26高一上·天津东丽·阶段检测）已知关于x的不等式的解集为. (1)求实数a，b的值； (2)若，求关于x的不等式的解集. 【答案】(1) (2)答案见详解 【解题思路】（1）根据一元二次不等式的解集与其对应的方程的根之间的关系，结合韦达定理计算即可求解； （2）原不等式可变形为，分类讨论：、、、，解出对应不等式的解集即可. 【解答过程】（1）由题意知，，即. 因为不等式的解集为， 所以是方程的两个实根， 有，解得, 此时不等式为，符合题意， 所以； （2）由（1）知，， 则不等式可变形为， 若，则，解得， 此时原不等式的解集为； 若，则方程的解为或， 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为； 当 即时，原不等式的解集为. 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $