2.4 单摆（培优考点练）物理人教版选择性必修第一册

**基本信息** 高中物理单摆同步练，以“题型培优-拓展综合-高考真题-新题追踪”四层递进设计，覆盖从基础概念到高考应用的知识巩固路径，强化物理观念与科学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |题型培优练|单摆回复力、周期基础概念|基础选择与计算，如回复力来源分析，强化运动和相互作用观念| |拓展综合练|综合应用与跨知识点结合|含斜面单摆、碰撞问题，体现模型建构与科学推理| |高考真题练|高考高频考点与题型|2024-2026年真题，注重科学论证与问题解决能力| |新题追踪练|新情境与探究性问题|双线摆、实验装置分析题，培养科学探究与质疑创新|

2.4 单摆 ————————————⏩目录⏪———————————— ✍题型培优练································································································01 题型01 单摆的回复力 题型02 单摆的周期 ✍拓展综合练································································································9 ✍高考真题练································································································12 ✍新题追踪练································································································15 ✍题型培优练 ✏题型01 单摆的回复力 1．(25-26高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·)关于简谐运动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置就是回复力为零的位置 B．物体到达平衡位置时，合力一定为零 C．单摆细线拉力与重力的合力提供回复力 D．单摆摆动到最低点时摆球合力为零 【答案】A 【详解】A．根据简谐运动平衡位置的定义，平衡位置就是回复力为零的位置，故A正确； B．物体到达平衡位置时合力不一定为零，例如单摆的平衡位置（最低点），合力需要提供圆周运动的向心力，不为零，故B错误； C．单摆的回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，细线拉力与重力的合力同时提供向心力和切向回复力，并非全部用来提供回复力，故C错误； D．单摆摆动到最低点时，摆球做圆周运动，向心力由拉力和重力的合力提供，满足，合力不为零，故D错误。 故选A。 2．(25-26高一下·重庆西南大学附属中学·)荡秋千是深受大家喜爱的活动。若将小孩和秋千视为一个单摆，其摆动可近似看作简谐运动。关于该振动过程，下列说法正确的是（    ） A．秋千摆动到最高点时，速度为零，处于平衡状态 B．秋千摆动的平衡位置是其运动轨迹的最低点 C．秋千除受重力、弹力外还受回复力 D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，回复力逐渐增大 【答案】B 【详解】A．秋千摆动到最高点时，速度为零，但受重力和绳子拉力作用，合力不为零（合力沿切线方向的分量提供回复力），加速度不为零，所以不处于平衡状态，故A错误； B．单摆的平衡位置是指回复力为零的位置，对于单摆，重力沿圆弧切线方向的分力提供回复力，在轨迹最低点，重力竖直向下，切线方向分力为零，即回复力为零，所以平衡位置是运动轨迹的最低点，故B正确； C．回复力是根据力的作用效果命名的，不是物体实际受到的力，秋千只受重力和弹力（绳子拉力），回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故C错误； D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，位移逐渐减小，根据简谐运动回复力公式F=−kx可知，回复力逐渐减小，故D错误。 故选B。 3．(25-26高三下·海南海口海南中学·)如图所示为小球在做单摆运动，平衡位置为点，、为最大位移处，、点关于点对称。小球运动到点时，小球受到重力和拉力，这两力的合力图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】小球受到拉力T，重力G作用，这两个力的合力为F，如图所示 把重力正交分解为、，沿半径方向的合力指向圆心，所以 所以合力F的方向如右图所示 故选A 。 4．(25-26高二下·福建泉州·期末)如图甲为一摆角小于的单摆，从摆球经过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙。不计空气阻力，取重力加速度大小为。则（     ） A．该单摆的摆长约为1.4m B．该单摆的振动方程为 C．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的动能逐渐减小 D．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的回复力逐渐减小 【答案】D 【详解】A．根据乙图可得，单摆做简谐运动的周期为 根据单摆简谐运动周期公式 可得，故A错误； B．根据乙图可得，单摆做简谐运动的振幅为 初相 圆频率 所以，该单摆的振动方程为，故B错误； C．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球从偏离平衡位置最远处回到平衡位置，速度逐渐增大，动能逐渐增大，故C错误； D．根据 从t=2.5s到t=3.0s的过程中，逐渐减小，摆球的回复力逐渐减小，故D正确。 故选D。 5．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 【答案】D 【详解】A．由题图可知时刻摆球在正向最大位移处，速度为零，回复力最大，合外力不为零，故A错误； B．时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故B错误； C．时刻摆球在负向最大位移处，速度为零，回复力最大，故C错误； D．时刻位移为零，说明摆球在平衡位置，摆球速度最大，悬线对它的拉力最大，故D正确。 故选D。 6．如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（θ<5°）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．摆长约为2m B．t=0.5s时摆球所受合外力为零 C．从t=1.5s至t=2.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，单摆周期 根据 可得摆长约为，故A错误； B．t=0.5s时摆球到达最高点，此时摆球加速度不为零，即所受合外力不为零，故B错误； C．从t=1.5s至t=2.0s的过程中，摆球从左侧最高点向平衡位置摆动，此时所受回复力逐渐减小，故C错误； D．摆球的位移x随时间t的变化规律为，故D正确。 故选D。 ✏题型02 单摆的周期 7．(25-26高二下·广东肇庆·期末)某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器软件并放置在O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度随时间变化曲线如图乙所示，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（     ） A．单摆的周期为 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．绳子的拉力就是小球做单摆运动的回复力 【答案】A 【详解】A．在一个周期内小球两次经过最低点，由图乙可知单摆的周期为，故A正确； B．根据单摆周期公式 可得重力加速度大小为，故B错误； C．由单摆周期公式 可知单摆的周期大小与单摆的振幅无关，即与小球的摆幅无关，故C错误； D．小球做单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，故D错误。 故选A。 8．(25-26高二·广东清远·)摆钟是最早能够精确计时的一种工具，至今仍在很多地方使用。把摆钟的钟摆简化成一个摆长为L的单摆，如图所示。摆球质量为m，不计细线质量和空气阻力，将摆球从最低点在竖直平面内向左缓慢拉开一个偏角θ（θ＜5°），静止释放。下列说法正确的是（     ） A．增大m会使该钟摆周期增大 B．增大L会使该钟摆周期减小 C．摆球在最低点时受力平衡 D．摆球在最低点时的回复力为零 【答案】D 【详解】A．单摆周期公式，周期只和摆长L、重力加速度g有关，与摆球质量m无关，故A错误； B．根据单摆周期公式，知增大L会使该钟摆周期增大，故B错误； C．最低点摆球做圆周运动，有向上向心加速度，合力向上，受力不平衡，故C 错误； D．单摆回复力：沿切线方向、使摆球回到平衡位置的分力，；平衡位置（最低点）：，，回复力。故D正确。 故选D。 9．(25-26高一下·湖北武汉四区·期末)如图甲所示，传感器固定在天花板上，将单摆一端固定在传感器上的O点。t=0时刻，将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于5°），其中B点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．单摆的周期为0.3πs B．单摆的摆长为0.9m C．根据所给数据不能求出摆球的质量 D．摆球所受合力提供摆球振动的回复力 【答案】B 【详解】A．由图乙可知，时小球处于A点，时，小球处于C点，时，小球第一次回到A点，则单摆的周期为，故A错误； B．根据单摆周期公式，可得单摆的摆长为，故B正确； C．设小球在最高点时，细线与竖直方向的夹角为，此时有 小球在最低点时，根据牛顿第二定律可得， 小球从最高点到最低点过程，根据动能定理可得 联立解得小球的质量为，故C错误； D．摆球所受重力沿切线方向的分力提供其回复力，故D错误。 故选B。 10．(25-26高一下·辽宁沈阳第二中学·)如图所示，一单摆在竖直平面内做小角度摆动，不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．质量越大，其振动周期越大 B．摆线越短，其振动周期越大 C．向平衡位置运动过程中，摆球回复力不断增大 D．向平衡位置运动过程中，摆球回复力不断减小 【答案】D 【详解】AB．单摆的周期公式为 单摆的周期与摆球的质量无关，摆线越短其单摆的周期越小，故AB错误； CD．单摆运动为简谐运动，其回复力的公式有 所以回复力的大小与其位移成正比，所以向平衡位置运动过程中，摆球的位移在减小，所以摆球的回复力大小不断减小，故C错误，D正确。 故选D。 11．(24-25高二下·河南南阳六校·)如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点，木板1、2的移动速度分别为、，忽略沙漏重心的变化，则（　　） A．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在P点开始计时 B．位置P处的沙层比Q处的沙层浅一些 C． D．沙漏摆动过程中的回复力由重力和拉力的合力提供 【答案】C 【详解】A．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在平衡位置Q点开始计时，故A错误； B．由题图可知，P点位于最大位移处，Q点位于平衡位置，沙漏摆动至P点左上方最近时速度最小，运动最慢，所以细沙在P处堆积的沙子较多，故B错误； C．木板做匀速运动，忽略沙漏重心的变化，振动周期T不变，则有 解得，故C正确； D．沙漏摆动时的回复力是由重力沿切线方向的分力提供的，沙漏速度不为零时，沿着绳子方向的合力不为零，所以不是由重力和拉力的合力提供，故D错误。 故选C。 12．(25-26高一下·安徽六安第一中学·期末)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 【答案】A 【详解】A．时，甲单摆摆球在平衡位置处，重力势能最小，乙单摆摆球在振动的正方向最大位移处，动能为零，故A正确； B．由题图知，甲、乙两单摆的周期分别为4s、8s，甲、乙两摆的周期之比为1∶2，故B错误； C．由单摆的周期公式可得，甲、乙两单摆的摆长之比，故C错误； D．摆球实际在做竖直面的圆周运动，在最低点时有向心加速度，加速度不为0，故D错误。 故选A。 13．某单摆做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式为，关于此单摆，下列说法正确的是（　　） A．振幅为8cm B．周期为1.25s C．摆长为1m D．t=0.2s时，速度为零 【答案】D 【详解】AB．单摆做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式可知，振幅为，角频率 所以周期为，故AB错误； C．根据单摆的周期公式，代入数据解得，故C错误； D．t=0.2s时，位移为，摆球处于正的最大位移处，此时速度为0，故D正确。 故选D。 14．(25-26高二下·安徽特色高中教研联谊会·期中)图甲所示的单摆在竖直面内做简谐振动，时刻，在A点由静止释放小球，小球在A、B间做往复振动，其振动图像如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径，重力加速度。 (1)写出小球做简谐运动的振动方程。 (2)求出摆线的长。 【答案】(1) (2)0.995m 【详解】（1）由图乙可知小球做简谐运动周期T为2s，振幅A为4cm，则小球做简谐运动的振动方程 （2）根据 代入题中数据，解得摆线长 15．(25-26高二下·北京海淀区·期末)单摆做小角度摆动过程中，用拉力传感器测量摆线的拉力，得到拉力随时间变化的图像，如图甲所示，拉力的最小值为，最大值为。已知当地重力加速度，不计空气阻力。 (1)由图甲确定单摆做简谐运动的周期。 (2)取，，求单摆的摆长。 (3)不断改变单摆的最大摆角（不大于）重复实验，拉力的最大值和最小值将随摆角变化。已知摆球质量，用已知的物理量推导出和的关系式，并在图乙中作出的关系图线。 【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设单摆从最高点释放向右运动，此时为拉力最小值，之后到达最低点，此时为拉力最大值，继续向右运动到达右侧最高点，此时拉力为最小值，之后向左运动到最低点，拉力到达最大值，最后回到左侧最高点，完成一个周期。 因此由图甲，单摆周期 （2）根据单摆周期公式 解得 （3）设摆球在最高点时摆线与竖直方向夹角为，此时有 摆球在最低点时，根据牛顿第二定律有 摆球从最高点运动到最低点的过程中，其机械能守恒，即 联立解得 由此画出的的图线如答图1所示。 ✍拓展综合练 1．(25-26高一下·湖北武汉武钢三中·)如图所示，单摆摆球的质量为，做简谐运动的周期为，摆球从左侧最大位移处（偏角由静止开始释放，不计空气阻力，摆球运动到最低点时的速度为 ，则下列说法正确的是（     ） A．摆球运动到时加速度等于零 B．摆球运动到时回复力不等于零，但合力为零 C．摆球从运动到的过程中细线对小球拉力的冲量等于零 D．摆球运动到最低点时绳对其拉力比重力大 【答案】D 【详解】A．摆球运动到最低点时，合力提供圆周运动的向心力，根据牛顿第二定律有 可知摆球合力不为零，加速度不为零，故A错误 B．单摆的回复力是重力沿轨迹切线方向的分力，摆球运动到最低点时，点切线方向重力的分力为零，因此回复力为零，故B错误； C．冲量是力对时间的累积效应，摆球从运动到的过程中，细线拉力始终存在，运动时间不为零，因此拉力的冲量一定不为零，故C错误。 D．根据单摆周期公式 变形得 摆球运动到最低点时，小球受重力和细线拉力作用，二者合力提供圆周运动的向心力，满足 代入的表达式整理得 故摆球运动到最低点时绳的拉力比重力大，故D正确。 故选D。 2．(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学·月考)如图所示，质量均为的两小球、用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．、两小球都是所受合外力充当向心力 B．小球的周期为 C．小球受到的绳子拉力为 D．小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 【答案】B 【详解】A．只有匀速圆周运动的合外力才全部充当向心力。小球a做竖直面内的变速摆动，合外力可分解为切向分量改变速度大小和法向分量提供向心力，不是合外力整体充当向心力，故A错误； B．对做匀速圆锥摆运动的，设绳子长为，受力分析： 竖直方向受力平衡 水平方向合力提供向心力 联立两式整理得，周期，故B正确； C．由上述对的受力分析，竖直方向，得受到绳子拉力，故C错误； D．小球运动到最高点时速度为，向心力为，沿绳子方向合力为，拉力等于重力沿绳子方向的分力：，故D错误。 故选B。 3．(25-26高二上·山东大联考·月考)简谐运动是最简单、最基本的振动。图甲是做简谐运动的某物体，全振动50次用了20s；图乙是研究单摆的回复力实验图，下列对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的频率为0.4Hz B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 C．图乙中做单摆运动的摆球的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中做单摆运动的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 【答案】D 【详解】A．题图甲是研究弹簧振子的运动实验图，依题意，可得振动周期 则频率，故A错误； B．弹簧振子在弹簧弹力作用下做简谐运动，简谐运动是变加速运动，故B错误； C．题图乙是研究单摆的回复力实验图，单摆的回复力是摆球重力沿圆弧切线方向的分力，故C错误； D．题图乙中单摆的摆球运动到O点时所受合力指向圆心，速度最大，回复力最小，故D正确。 故选D。 4．(25-26高一下·江西南昌第二中学·期末)如图，倾角的光滑斜面固定在地面上，现将一长度为的轻绳一端固定在 点，另一端系一小球（可视为质点），小球静止在斜面上的Ｏ点，现将小球拉开一很小角度后由静止释放运动到最低点时的速度为。已知小球质量，重力加速度，不计空气阻力，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中（　　） A．运动时间为 B．运动时间为 C．运动时间为 D．运动时间为 【答案】A 【详解】把重力加速度沿斜面向下和垂直斜面方向分解，沿斜面向下的分加速度为 摆球在斜面内做单摆运动，所以运动的周期为 则小球从最高点第一次运动到最低点的时间为 故选A。 5．如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求： (1)单摆的摆长l； (2)摆球的质量m； (3)摆线拉力的最小值。 【答案】(1) (2)0.1kg (3) 【详解】（1）在摆球摆动的一个周期内拉力做两次周期性变化，所以由乙图可知单摆周期为T=2s 根据单摆周期公式 可得 （2）当拉力最大时，即F=1.02N时摆球处在最低点，由牛顿第二定律 解得m=0.1kg （3）从最低点到最高点的过程中机械能守恒，可得 解得 在最高点摆线拉力最小，有 6．(25-26高二下·浙江七彩阳光·)如图，AB和CD为相同的半径为R的圆弧形轨道，其长度远小于半径R，中间平滑连接了长度为L的水平直轨道BC，轨道各处均光滑，在C点静止放上质量为3m的小球Q。现将一相同大小、质量为m的小球P从AB间的高为h的位置静止释放，不计碰撞时的能量损失，重力加速度记为g，求： (1)小球P从释放到与Q第一次发生碰撞的时间； (2)小球Q能到达的最大高度； (3)小球P与Q第二次发生碰撞的位置。 【答案】(1) (2) (3)两球在B点相遇 【详解】（1）圆弧轨道下滑过程可看成摆长为R的单摆做简谐运动，则   机械能守恒有 可知 水平轨道上做匀速直线运动   则 （2）由题可知，PQ之间发生弹性碰撞，设碰撞前P的速度为，碰撞后P的速度为，Q的速度为，以的方向为正方向。根据动量守恒   根据能量守恒   联立解得，   Q以速度上滑，根据机械能守恒 得 （3）由单摆周期与质量无关可知，P、Q两球分别在圆弧和运动的时间相等。 Q到B点： P到B点： 所以两球在B点相遇。 ✍高考真题练 1．（2026·河南·高考）将一单摆的摆球拉开一个小角度后释放，单摆摆动的振幅为，周期为。若将此摆移到月球上，拉开相同的角度，则摆球的振动图像可能正确的是（     ） A．B．C． D． 【答案】B 【详解】根据单摆周期公式可知，当移到月球上后，重力加速度减小，单摆的周期变大；摆长不变，拉开相同的角度，振幅不变。 故选B。 2．（2024·甘肃·高考）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同 【答案】C 【详解】由单摆的振动图像可知振动周期为，由单摆的周期公式得摆长为 x-t图像的斜率代表速度，故起始时刻速度为零，且A、C点的速度相同，A、B点的速度大小相同，方向不同。 综上所述，可知C正确，故选C。 3．（2024·浙江·高考）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 【答案】B 【详解】A．根据单摆的周期公式可知周期与摆角无关，故A错误； CD．同一根绳中，A端拉力等于B端拉力，平衡时对小球受力分析如图 可得 解得 故CD错误； B．根据几何知识可知摆长为 故周期为 故B正确。 故选B。 4．（2022·海南·高考）在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为（   ） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 【答案】C 【详解】由振动图像可知甲乙两个单摆周期之比为 T甲：T乙 = 0.8：1.2 = 2：3 根据单摆周期公式 可得 则甲、乙两个单摆的摆长之比为 L甲：L乙 = T甲2：T乙2 = 4：9 故选C。 ✍新题追踪练 1．(25-26高一下·上海格致中学·)关于单摆，下列说法正确的是（     ） A．摆球受到的回复力是它所受的合力 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力为0 C．摆球经过平衡位置时，速度为0 D．摆球在最高点时，回复力等于重力和摆线拉力的合力 【答案】D 【详解】 A．单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的分力，摆球的合力还包含指向圆心的向心力分量，因此回复力不是摆球所受的合力，故A错误； B．摆球经过平衡位置时速度最大，需要指向悬点的向心力，合力为摆线拉力与重力的差值，不为0，故B错误； C．摆球经过平衡位置时速度最大，最高点时速度为0，故C错误； D．摆球在最高点时速度为0，此时重力和摆线拉力的合力全部沿切线方向提供回复力，因此回复力等于二者的合力，故D正确。 故选D。 2．(25-26高二下·辽宁营口·调研)景区内有一口仿古吊钟（可视为单摆），吊钟简化图如图所示，摆长为，摆球的质量为m，工作人员轻推摆球，使其在竖直平面内摆动，最大摆角为。若忽略空气阻力，，重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．摆球从点到点的过程中，加速度增大，方向始终沿弧的切线方向 B．摆球摆动的频率为 C．摆球最大的回复力大小为 D．摆球从点开始摆动，到第二次经过平衡位置的过程中路程为0.75L 【答案】C 【详解】A．从点到点的过程中，摆球的切向加速度减小，向心加速度增大，合加速度方向不是沿弧线切线方向，故A错误； B．因为摆角为，可以看成单摆模型，则周期 频率为，故B错误； C．摆球经过点和点时回复力最大，最大值为，故C正确； D．摆球从点开始摆动，到第二次经过平衡位置的路径为，段弧长 整个路程，故D错误。 故选C。 3．(25-26高二·天津新华中学·)如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动（），不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球受圆弧面支持力在运动到低点处有最小值 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．增大半径R，小球运动的周期变小 D．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 【答案】D 【详解】A．由，可将小球的运动等效为摆长为的单摆运动，小球在最低点速度最大。根据牛顿第二定律，沿半径方向向心力满足 得支持力 小球受圆弧面支持力在运动到低点处有最大值，故A错误； B．速度是矢量，小球经过同一位置时，根据机械能守恒定律可知速度大小相同，但运动方向可能相反，因此速度不一定相同，故B错误； C．该运动的等效摆长 单摆周期公式为 增大时，周期变大，故C错误； D．小球在点时速度为0，向心力为0，即重力沿半径方向的分力与支持力平衡，此时重力与支持力的合力沿圆弧切线方向指向平衡位置，即为回复力，故D正确。 故选D。 4．(25-26高二下·浙江湖州·期末)如图甲所示，一个双线摆由两根上端固定在天花板上的等长细绳与悬挂在两细绳下端的小球组成，绳长均为40 cm，细绳与天花板夹角。如图乙所示，张紧的水平绳上有三个双线摆，分别悬挂三个小球A、B、C，其中A、C处于同一水平面。现让A球在垂直于两根细绳确定的平面摆动起来，带动B球和C球振动。下列说法正确的是（    ） A．图甲中双线摆的周期为 B．图甲中的角增大，周期变短 C．图乙中B球的振幅比C球大 D．图乙中适当减小A球细绳与水平方向夹角，可以增大B球的振幅 【答案】D 【详解】A．双线摆的等效摆长是小球到摆动轴（天花板两个悬点连线）的垂直距离，即，单摆周期公式，已知绳长，，取 解得，故A错误； B．增大时，增大；由可知，摆长增大，周期变大，故B错误； C．摆动后，、做受迫振动，驱动力频率等于的固有频率。由题干知、同一水平面，因此和的等效摆长相等，固有频率相等，所以发生共振，振幅大于，故C错误； D．位置高于，因此的等效摆长更小，固有频率更大，大于原有的固有频率。适当减小球细绳与水平方向的夹角，的等效摆长减小，的固有频率增大，逐渐接近的固有频率，的振幅会增大，故D正确。 故选D。 5．(25-26高二·江苏南京·期中)某兴趣小组研究单摆的位移随时间变化规律。如图甲所示，细线下悬挂一个注射器的针筒，针筒内装上墨汁。当针筒摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板。两次拖动木板的速度分别v1、v2，在板N1、N2形成的轨迹如图乙。T1、T2表示振动周期。则（    ） A．T1=2T2 B．T2=2T1 C．v2=2v1 D．v1=2v2 【答案】D 【详解】由题意可知，两次针筒摆动的周期是不变的，即T1=T2 且满足 即v1=2v2 故选D。 6．(25-26高二·浙江A9协作体·期中)如图所示，甲、乙单摆悬挂于相同高度天花板上，甲的摆长小于乙的摆长。现将它们拉开相同的摆角（小于5°）后，同时由静止释放，并在同一位移—时间（）坐标系中，分别用实、虚线描绘出甲、乙单摆的摆动图像，则可能正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AC．5°以内的单摆运动可以视为简谐运动。由于最开始甲乙都是拉开相同的摆角且甲的摆长小于乙，根据所以甲的振幅小于乙，故AC错误； BD．由单摆周期公式可以判断，甲的摆长短，所以甲的周期小，故B正确，D错误。 故选B。 7．(25-26高二下·河南南阳方城县第一高级中学·)如图所示，单摆摆长为l、摆球质量为m。将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿圆弧运动到某一位置P时，摆线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g。（已知θ角很小时，sinθ≈θ） (1)试证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动； (2)若P为最高点，求摆球运动过程中的最大速度。 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）设摆球的回复力为F回，摆球的位移为x，则 F回的方向与位移的方向相反，即 满足F回=-kx，故单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动。 （2）小球到达最低点时速度最大，由机械能守恒定律 解得 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 单摆 ————————————⏩目录⏪———————————— ✍题型培优练································································································01 题型01 单摆的回复力 题型02 单摆的周期 ✍拓展综合练································································································9 ✍高考真题练································································································12 ✍新题追踪练································································································15 ✍题型培优练 ✏题型01 单摆的回复力 1．(25-26高二下·云南昆明云南师范大学附属中学·)关于简谐运动和单摆，下列说法正确的是（　　） A．平衡位置就是回复力为零的位置 B．物体到达平衡位置时，合力一定为零 C．单摆细线拉力与重力的合力提供回复力 D．单摆摆动到最低点时摆球合力为零 2．(25-26高一下·重庆西南大学附属中学·)荡秋千是深受大家喜爱的活动。若将小孩和秋千视为一个单摆，其摆动可近似看作简谐运动。关于该振动过程，下列说法正确的是（    ） A．秋千摆动到最高点时，速度为零，处于平衡状态 B．秋千摆动的平衡位置是其运动轨迹的最低点 C．秋千除受重力、弹力外还受回复力 D．秋千从最高点向最低点运动的过程中，回复力逐渐增大 3．(25-26高三下·海南海口海南中学·)如图所示为小球在做单摆运动，平衡位置为点，、为最大位移处，、点关于点对称。小球运动到点时，小球受到重力和拉力，这两力的合力图示可能正确的是（　　） A． B． C． D． 4．(25-26高二下·福建泉州·期末)如图甲为一摆角小于的单摆，从摆球经过平衡位置开始计时，摆球相对平衡位置的位移x随时间t变化的图像如图乙。不计空气阻力，取重力加速度大小为。则（     ） A．该单摆的摆长约为1.4m B．该单摆的振动方程为 C．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的动能逐渐减小 D．从t=2.5s到t=3.0s的过程中，摆球的回复力逐渐减小 5．一单摆做小角度摆动，其振动图像如图所示，以下说法正确的是（　　） A．t1时刻摆球速度为零，摆球的合外力为零 B．t2时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最小 C．t3时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大 D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大 6．如图甲所示，一摆球在竖直平面内做小角度摆动（θ<5°）。某次摆球从左向右通过平衡位置开始计时，其振动图像如图乙所示。不计空气阻力，g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．摆长约为2m B．t=0.5s时摆球所受合外力为零 C．从t=1.5s至t=2.0s的过程中，摆球所受回复力逐渐增大 D．摆球的位移x随时间t的变化规律为 ✏题型02 单摆的周期 7．(25-26高二下·广东肇庆·期末)某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器软件并放置在O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度随时间变化曲线如图乙所示，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（     ） A．单摆的周期为 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．绳子的拉力就是小球做单摆运动的回复力 8．(25-26高二·广东清远·)摆钟是最早能够精确计时的一种工具，至今仍在很多地方使用。把摆钟的钟摆简化成一个摆长为L的单摆，如图所示。摆球质量为m，不计细线质量和空气阻力，将摆球从最低点在竖直平面内向左缓慢拉开一个偏角θ（θ＜5°），静止释放。下列说法正确的是（     ） A．增大m会使该钟摆周期增大 B．增大L会使该钟摆周期减小 C．摆球在最低点时受力平衡 D．摆球在最低点时的回复力为零 9．(25-26高一下·湖北武汉四区·期末)如图甲所示，传感器固定在天花板上，将单摆一端固定在传感器上的O点。t=0时刻，将摆球拉到A点由静止释放，让其在A、C之间来回摆动（摆角小于5°），其中B点为最低点。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的图像，忽略空气阻力，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（    ） A．单摆的周期为0.3πs B．单摆的摆长为0.9m C．根据所给数据不能求出摆球的质量 D．摆球所受合力提供摆球振动的回复力 10．(25-26高一下·辽宁沈阳第二中学·)如图所示，一单摆在竖直平面内做小角度摆动，不计空气阻力，对于这个单摆的振动过程，下列说法正确的是（     ） A．质量越大，其振动周期越大 B．摆线越短，其振动周期越大 C．向平衡位置运动过程中，摆球回复力不断增大 D．向平衡位置运动过程中，摆球回复力不断减小 11．(24-25高二下·河南南阳六校·)如图甲所示是演示简谐运动图像的装置，它由一根较长的细线和较小的沙漏组成。当沙漏摆动时，漏斗中的细沙均匀流出，同时匀速拉出沙漏正下方的木板，漏出的细沙在板上会形成一条曲线，这条曲线可以理解为沙漏摆动的振动图像。图乙是同一个沙漏分别在两块木板上形成的曲线（图中的虚线），已知P、Q分别是木板1上的两点，木板1、2的移动速度分别为、，忽略沙漏重心的变化，则（　　） A．若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在P点开始计时 B．位置P处的沙层比Q处的沙层浅一些 C． D．沙漏摆动过程中的回复力由重力和拉力的合力提供 12．(25-26高一下·安徽六安第一中学·期末)如图所示是甲、乙两个单摆做简谐运动的图像，则下列说法正确的是（　　） A．t=2s时，甲摆的重力势能最小，乙摆的动能为零 B．甲、乙两摆的周期之比为2∶1 C．甲、乙两摆的摆长之比为4∶1 D．t=4s时，甲、乙两摆球到达最低点且加速度都为零 13．某单摆做简谐运动的位移x随时间t变化的关系式为，关于此单摆，下列说法正确的是（　　） A．振幅为8cm B．周期为1.25s C．摆长为1m D．t=0.2s时，速度为零 14．(25-26高二下·安徽特色高中教研联谊会·期中)图甲所示的单摆在竖直面内做简谐振动，时刻，在A点由静止释放小球，小球在A、B间做往复振动，其振动图像如图乙所示，用游标卡尺测得小球的直径，重力加速度。 (1)写出小球做简谐运动的振动方程。 (2)求出摆线的长。 15．(25-26高二下·北京海淀区·期末)单摆做小角度摆动过程中，用拉力传感器测量摆线的拉力，得到拉力随时间变化的图像，如图甲所示，拉力的最小值为，最大值为。已知当地重力加速度，不计空气阻力。 (1)由图甲确定单摆做简谐运动的周期。 (2)取，，求单摆的摆长。 (3)不断改变单摆的最大摆角（不大于）重复实验，拉力的最大值和最小值将随摆角变化。已知摆球质量，用已知的物理量推导出和的关系式，并在图乙中作出的关系图线。 ✍拓展综合练 1．(25-26高一下·湖北武汉武钢三中·)如图所示，单摆摆球的质量为，做简谐运动的周期为，摆球从左侧最大位移处（偏角由静止开始释放，不计空气阻力，摆球运动到最低点时的速度为 ，则下列说法正确的是（     ） A．摆球运动到时加速度等于零 B．摆球运动到时回复力不等于零，但合力为零 C．摆球从运动到的过程中细线对小球拉力的冲量等于零 D．摆球运动到最低点时绳对其拉力比重力大 2．(25-26高一上·江苏扬州大学附属中学·月考)如图所示，质量均为的两小球、用不可伸长的等长轻质绳子悬挂起来，使小球在竖直平面内来回摆动，小球在水平面内做匀速圆周运动，连接小球的绳子与竖直方向的夹角和小球摆动时绳子偏离竖直方向的最大夹角都为，重力加速度为，则下列说法正确的是（　　） A．、两小球都是所受合外力充当向心力 B．小球的周期为 C．小球受到的绳子拉力为 D．小球运动到最高点时受到的绳子拉力为 3．(25-26高二上·山东大联考·月考)简谐运动是最简单、最基本的振动。图甲是做简谐运动的某物体，全振动50次用了20s；图乙是研究单摆的回复力实验图，下列对应的说法正确的是（　　） A．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子的频率为0.4Hz B．图甲是研究弹簧振子的运动实验图，弹簧振子在弹簧弹力作用下做匀变速直线运动 C．图乙中做单摆运动的摆球的回复力是摆球重力和细线拉力的合力 D．图乙中做单摆运动的摆球运动到O点时速度最大，回复力最小 4．(25-26高一下·江西南昌第二中学·期末)如图，倾角的光滑斜面固定在地面上，现将一长度为的轻绳一端固定在 点，另一端系一小球（可视为质点），小球静止在斜面上的Ｏ点，现将小球拉开一很小角度后由静止释放运动到最低点时的速度为。已知小球质量，重力加速度，不计空气阻力，则小球从最高点第一次运动到最低点的过程中（　　） A．运动时间为 B．运动时间为 C．运动时间为 D．运动时间为 5．如图甲所示，摆球在竖直平面内做简谐运动，通过力传感器测量摆线拉力F，F的大小随时间t变化规律如图乙所示，摆球经过最低点时的速度大小，忽略空气阻力，取g＝10 m/s2，π2≈g，求： (1)单摆的摆长l； (2)摆球的质量m； (3)摆线拉力的最小值。 6．(25-26高二下·浙江七彩阳光·)如图，AB和CD为相同的半径为R的圆弧形轨道，其长度远小于半径R，中间平滑连接了长度为L的水平直轨道BC，轨道各处均光滑，在C点静止放上质量为3m的小球Q。现将一相同大小、质量为m的小球P从AB间的高为h的位置静止释放，不计碰撞时的能量损失，重力加速度记为g，求： (1)小球P从释放到与Q第一次发生碰撞的时间； (2)小球Q能到达的最大高度； (3)小球P与Q第二次发生碰撞的位置。 ✍高考真题练 1．（2026·河南·高考）将一单摆的摆球拉开一个小角度后释放，单摆摆动的振幅为，周期为。若将此摆移到月球上，拉开相同的角度，则摆球的振动图像可能正确的是（     ） A．B．C． D． 2．（2024·甘肃·高考）如图为某单摆的振动图像，重力加速度g取，下列说法正确的是（　　） A．摆长为1.6m，起始时刻速度最大 B．摆长为2.5m，起始时刻速度为零 C．摆长为1.6m，A、C点的速度相同 D．摆长为2.5m，A、B点的速度相同 3．（2024·浙江·高考）如图所示，不可伸长的光滑细线穿过质量为0.1kg的小铁球，两端A、B悬挂在倾角为 的固定斜杆上，间距为1.5m。小球平衡时，A端细线与杆垂直；当小球受到垂直纸面方向的扰动做微小摆动时，等效于悬挂点位于小球重垂线与AB交点的单摆，重力加速度，则（　　） A．摆角变小，周期变大 B．小球摆动周期约为2s C．小球平衡时，A端拉力为N D．小球平衡时，A端拉力小于B端拉力 4．（2022·海南·高考）在同一地方，甲、乙两个单摆做振幅不同的简谐运动，其振动图像如图所示，可知甲、乙两个单摆的摆长之比为（   ） A．2：3 B．3：2 C．4：9 D．9：4 ✍新题追踪练 1．(25-26高一下·上海格致中学·)关于单摆，下列说法正确的是（     ） A．摆球受到的回复力是它所受的合力 B．摆球经过平衡位置时，所受的合力为0 C．摆球经过平衡位置时，速度为0 D．摆球在最高点时，回复力等于重力和摆线拉力的合力 2．(25-26高二下·辽宁营口·调研)景区内有一口仿古吊钟（可视为单摆），吊钟简化图如图所示，摆长为，摆球的质量为m，工作人员轻推摆球，使其在竖直平面内摆动，最大摆角为。若忽略空气阻力，，重力加速度为，下列说法正确的是（   ） A．摆球从点到点的过程中，加速度增大，方向始终沿弧的切线方向 B．摆球摆动的频率为 C．摆球最大的回复力大小为 D．摆球从点开始摆动，到第二次经过平衡位置的过程中路程为0.75L 3．(25-26高二·天津新华中学·)如图所示，可视为质点的小球在半径为R的光滑圆弧面上A、B之间来回运动（），不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．小球受圆弧面支持力在运动到低点处有最小值 B．小球经过同一位置速度一定相同 C．增大半径R，小球运动的周期变小 D．小球在A点的回复力等于重力与支持力的合力 4．(25-26高二下·浙江湖州·期末)如图甲所示，一个双线摆由两根上端固定在天花板上的等长细绳与悬挂在两细绳下端的小球组成，绳长均为40 cm，细绳与天花板夹角。如图乙所示，张紧的水平绳上有三个双线摆，分别悬挂三个小球A、B、C，其中A、C处于同一水平面。现让A球在垂直于两根细绳确定的平面摆动起来，带动B球和C球振动。下列说法正确的是（    ） A．图甲中双线摆的周期为 B．图甲中的角增大，周期变短 C．图乙中B球的振幅比C球大 D．图乙中适当减小A球细绳与水平方向夹角，可以增大B球的振幅 5．(25-26高二·江苏南京·期中)某兴趣小组研究单摆的位移随时间变化规律。如图甲所示，细线下悬挂一个注射器的针筒，针筒内装上墨汁。当针筒摆动时，沿着垂直于摆动的方向匀速拖动木板。两次拖动木板的速度分别v1、v2，在板N1、N2形成的轨迹如图乙。T1、T2表示振动周期。则（    ） A．T1=2T2 B．T2=2T1 C．v2=2v1 D．v1=2v2 6．(25-26高二·浙江A9协作体·期中)如图所示，甲、乙单摆悬挂于相同高度天花板上，甲的摆长小于乙的摆长。现将它们拉开相同的摆角（小于5°）后，同时由静止释放，并在同一位移—时间（）坐标系中，分别用实、虚线描绘出甲、乙单摆的摆动图像，则可能正确的是（　　） A． B． C． D． 7．(25-26高二下·河南南阳方城县第一高级中学·)如图所示，单摆摆长为l、摆球质量为m。将摆球拉离平衡位置O后释放，摆球沿圆弧做往复运动。当摆球沿圆弧运动到某一位置P时，摆线与竖直方向的夹角为θ，重力加速度为g。（已知θ角很小时，sinθ≈θ） (1)试证明单摆在摆角很小的情况下做简谐运动； (2)若P为最高点，求摆球运动过程中的最大速度。 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.4 单摆 ————————————⏩目录⏪———————————— ✍题型培优练································································································01 题型01 单摆的回复力 题型02 单摆的周期 ✍拓展综合练································································································9 ✍高考真题练································································································12 ✍新题追踪练································································································15 ✍题型培优练 ✏题型01 单摆的回复力 1．【答案】A 2．【答案】B 3．【答案】A 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】D ✏题型02 单摆的周期 7．【答案】A 8．【答案】D 9．【答案】B 10．【答案】D 11．【答案】C 12．【答案】A 13．【答案】D 14．【答案】(1) (2)0.995m 【详解】（1）由图乙可知小球做简谐运动周期T为2s，振幅A为4cm，则小球做简谐运动的振动方程 （2）根据 代入题中数据，解得摆线长 15．【答案】(1) (2) (3)， 【详解】（1）设单摆从最高点释放向右运动，此时为拉力最小值，之后到达最低点，此时为拉力最大值，继续向右运动到达右侧最高点，此时拉力为最小值，之后向左运动到最低点，拉力到达最大值，最后回到左侧最高点，完成一个周期。 因此由图甲，单摆周期 （2）根据单摆周期公式 解得 （3）设摆球在最高点时摆线与竖直方向夹角为，此时有 摆球在最低点时，根据牛顿第二定律有 摆球从最高点运动到最低点的过程中，其机械能守恒，即 联立解得 由此画出的的图线如答图1所示。 ✍拓展综合练 1．【答案】D 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】(1) (2)0.1kg (3) 【详解】（1）在摆球摆动的一个周期内拉力做两次周期性变化，所以由乙图可知单摆周期为T=2s 根据单摆周期公式 可得 （2）当拉力最大时，即F=1.02N时摆球处在最低点，由牛顿第二定律 解得m=0.1kg （3）从最低点到最高点的过程中机械能守恒，可得 解得 在最高点摆线拉力最小，有 6．【答案】(1) (2) (3)两球在B点相遇 【详解】（1）圆弧轨道下滑过程可看成摆长为R的单摆做简谐运动，则   机械能守恒有 可知 水平轨道上做匀速直线运动   则 （2）由题可知，PQ之间发生弹性碰撞，设碰撞前P的速度为，碰撞后P的速度为，Q的速度为，以的方向为正方向。根据动量守恒   根据能量守恒   联立解得，   Q以速度上滑，根据机械能守恒 得 （3）由单摆周期与质量无关可知，P、Q两球分别在圆弧和运动的时间相等。 Q到B点： P到B点： 所以两球在B点相遇。 ✍高考真题练 1．【答案】B 2．【答案】C 3．【答案】B 4．【答案】C ✍新题追踪练 1．【答案】D 2．【答案】C 3．【答案】D 4．【答案】D 5．【答案】D 6．【答案】B 7．【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）设摆球的回复力为F回，摆球的位移为x，则 F回的方向与位移的方向相反，即 满足F回=-kx，故单摆在摆角很小的情况下的运动为简谐运动。 （2）小球到达最低点时速度最大，由机械能守恒定律 解得 4 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $