2.4 单摆模型的应用 重难点突破专项练-2025-2026学年高二上学期物理人教版选择性必修第一册

2.4 单摆模型的应用 【素养目标】 1.知道什么是单摆模型，知道单摆做简谐运动的条件； 2.知道单摆周期公式，并能利用单摆周期公式解释物理现象和解决实际问题。 【知识梳理】 1.将一根不能伸长的细线上端固定，在其下端拴一个小球，线的质量和球的大小可忽略不计，这种装置被称为单摆。 2.单摆做简谐运动的条件：小角度摆动(在单摆实验中，摆角可以控制在15°以内，由于角度而引起的相对误差在0.5%以内)；空气阻力不计。 3.单摆做简谐运动的周期公式： T仅取决于摆长l和重力加速度g，与振幅和摆球的质量都没有关系. 一、单选题 1．某同学在探究单摆运动中，图a是用力传感器对单摆运动过程进行测量的装置图，图b是与力传感器连接的计算机屏幕所显示的F-t图像，根据图b的信息可得（　　） A．摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力充当单摆的回复力 B．从t=0时刻开始摆球第一次摆到最低点的时刻为0.5s C．用米尺量得细线长度l，即摆长为l D．由图可计算出单摆的长度为1.0m 2．荡秋千是小孩最喜欢的娱乐项目之一，可简化为如图甲所示。图甲中点为单摆的固定悬点，现将摆球（可视为质点）拉至点，此时细线处于张紧状态。由静止释放摆球，则摆球将在竖直平面内的、之间来回摆动，其中点为最低位置，，小于5°且大小未知，同时由连接到计算机的力传感器得到了摆线对摆球的拉力大小随时间变化的曲线，如图乙所示（图中所标字母，重力加速度均为已知量）。不计空气阻力。根据题中（包括图中）所给的信息，下列说法正确的是（　　） A．该单摆的周期为 B．无法求出摆球振动的摆长 C．可以求得由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为 D．在小于5°的情况下，越大周期越大 3．有一摆长为L的单摆，其悬点正下方某处有一小钉，摆球经过平衡位置向左摆动时，摆线的上部被小钉挡住，使摆长发生变化。现使摆球做小幅度摆动，摆球从右边最高点M运动到左边最高点N的频闪照片如图所示（悬点与小钉未被摄入）。P为摆动中的最低点，已知每相邻两次闪光的时间间隔相等，由此可知，小钉与悬点间的距离为（　　） A． B． C． D．无法确定 4．如图所示，几个摆长相同的单摆，它们在不同条件下的周期分别为、、、，关于周期大小关系的判断，正确的是（　　） A． B． C． D． 5．某同学因疫情居家学习期间，偶然发现一根不可伸长的细线垂到窗沿，他想利用单摆原理粗测细线的总长度。先将线的下端系上一个小球，当小球静止时，细线恰好与窗户上沿接触且保持竖直，球在最低点B时，球心到窗上沿的距离为1m。他打开窗户，让小球在垂直于墙的竖直平面内作小角度摆动，如图所示。从小球第1次通过图中的B点开始计时，到第21次通过B点共用时24s，，。由以上数据可计算细线的长度约为（　　） A．1.4m B．2.0m C．2.8m D．4.0m 6．如图所示，是甲、乙两个单摆的振动图像，可得甲、乙的摆长之比为（　　） A． B． C． D． 7．如图甲所示，O是单摆的平衡位置，是摆球所能达到的最远位置，以向右摆动为正方向，此单摆的振动图象如图乙所示，则（　　） A．单摆的振幅是 B．单摆的摆长约为 C．摆球经过O点时，速度最大，加速度为零 D．P点时刻摆球正在间向正方向摆动 8．图1、2分别是甲、乙两个单摆在同一位置处做简谐运动的图像，则下列说法中正确的是（　　）    A．甲、乙两单摆的振幅之比为4∶1 B．t=2 s时，甲单摆的重力势能最大，乙单摆的动能最小 C．甲、乙两单摆的摆长之比为4∶1 D．甲、乙两单摆的摆球在最低点时，向心加速度大小一定不相等 9．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的，则单摆振动的（　　） A．频率不变，振幅不变 B．频率不变，振幅变小 C．频率改变，振幅不变 D．频率改变，振幅变小 10．摆钟利用了单摆的周期性计时，摆钟内部擒纵机构是摆钟的灵魂，是人类智慧的结晶。擒纵机构的内部结构如图所示，其工作原理为金属球小角度摆动过程中带动擒纵叉周期性锁定与释放擒纵轮齿，同时擒纵叉与擒纵轮齿碰撞将部分能量传递给擒纵机构，使金属球做等幅振动，实现精准计时，摆钟在北京走时准确。下列说法正确的是（　　） A．摆钟在月球表面无法计时 B．将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快 C．气温升高使摆杆略微伸长，摆钟走时将变快 D．将摆钟从北京带到海南，为使摆钟走时准确，需要将微调螺母向下调节 11．惠更斯利用摆的等时性原理制成了第一座摆钟．如图甲所示为日常生活中我们能见到的一种摆钟，图乙所示为摆的结构示意图，圆盘固定在摆杆上，螺母可以沿摆杆上下移动．在甲地走时准确的摆钟移到乙地未做其他调整时摆动加快了，下列说法正确的是（　　） A．甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动 B．甲地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动 C．乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向下移动 D．乙地的重力加速度较大，若要调准可将螺母适当向上移动 12．某同学利用图甲所示装置来测量重力加速度。打开手机的磁传感器并放置于O点正下方，将磁性小球从平衡位置拉开一个小角度由静止释放，手机软件记录的磁感应强度变化曲线如图乙，已知单摆摆长为l，忽略实验环境对磁性小球的影响，则（　　） A．单摆的周期为t0 B．测量出的重力加速度 C．小球的摆幅越小，周期越小 D．小球经过最高点时，绳的拉力最大 13．如图所示，为演示简谐振动的沙摆，已知摆长为l，沙筒的质量为m，沙子的质量为M，M>m，在沙子逐渐漏完的过程中，摆的周期（　　） A．不变 B．先变大后变小 C．先变小后变大 D．逐渐变大 14．某研究性学习小组以秋千的摆动规律为研究课题。如图甲所示为研究所用的“模拟秋千”，秋千上固定了一只玩具兔。实验中测量了拴秋千的四根绳子长度的平均值l，并利用手机传感器记录了秋千摆动频率f。改变绳长，测出多组f随l变化的数据，并描点绘图得如图乙所示的f-l图像。该研究小组通过分析图乙中的信息（　　） A．可得出f与秋千摆角无关 B．可得出f与摆和玩具兔的总质量无关 C．可得出摆动过程中最大速度与秋千摆角有关 D．可尝试进一步绘制f与图像以探究f与l的定量关系 15．一架摆长为的摆钟在广州走时准确，移到北京后发现每小时快了秒，若通过调节摆长使其准确，则调整后的摆长为（　　） A． B． C． D． 16．如图所示，在倾角为α的斜面顶端固定一摆长为L的单摆，单摆在斜面上做小角度摆动，摆球经过平衡位置时的速度为v，重力加速度大小为g，则以下判断正确的是（　　） A．单摆在斜面上摆动的周期为 B．摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为 C．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将增大 D．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，则单摆的振动周期将减小 17．如图所示，半径R的光滑圆弧轨道ab的a点固定有一竖直挡板，一质量为m的小物块P（可视为质点）从轨道上的c点由静止释放，到达最低点a时与挡板发生弹性碰撞，碰撞时间极短，可忽略不计。已知，重力加速度为g。则小物块P从开始释放到第一次回到c点经历的时间约为（    ） A． B． C． D． 18．设行星和是两个均匀球体，与的质量之比，半径之比，行星的卫星沿圆轨道运行的周期为，行星的卫星沿圆轨道运行的周期为，两卫星的圆轨道都非常接近各自的行星表面，则它们运行的周期之比等于（    ） A． B． C． D． 二、多选题 19．如图甲所示的挖掘机的顶部垂下一个大铁球并让它小角度的摆动，即可以用来拆卸混凝土建筑。此装置可视为单摆模型，它对应的振动图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　） A．单摆振动的周期是6s B．t=2s时，摆球的速度最大 C．球摆开的角度增大，周期增大 D．该单摆的摆长约为16m 20．如图甲所示，一根轻杆、一根轻质细线和可以自由转动的细悬挂轴OO'组成一个“杆线摆”，杆线摆可以绕着悬挂轴OO'来回摆动，OO'与竖直方向夹角θ=30°，轻杆与悬挂轴OO'垂直，细线与轻杆的夹角也为θ=30°。摆球的运动轨迹被约束在一个倾斜的平面内，倾斜平面与水平面的夹角也为θ=30°，该杆线摆做简谐运动的x-t图像如图乙所示，P是图像上对应t0时刻的某点，取π²≈10，取重力加速度g=10m/s²。则（　　） A． t0时刻摆球的速度方向沿图像上P点的切线方向 B．该杆线摆的细线长约为 C．该杆线摆做简谐运动的振幅是8cm D．摆球在10s内通过平衡位置10次 三、实验题 21．某实验小组在做“用单摆测量重力加速度”的实验时，用一个装满细沙的质量均匀分布的塑料球代替摆球做了一个如图甲所示的单摆： (1)用刻度尺测量ON间细线的长度l，用游标卡尺测量塑料球的直径为d，则该单摆的摆长L=_________（用l和d表示）； (2)将塑料球拉开一个大约 =5°的角度释放，某同学发现实验过程中出现了漏沙现象。在刚开始漏沙的一段较短时间内漏了少量的沙子，则在这段时间该单摆的周期逐渐___________（填“变大”“变小”或“不变”）； (3)该同学发现后，及时补上漏洞并重新进行实验。多次改变线长，测出几组线长l和对应周期T的数据，作出图像，如图乙所示，可利用图像上的A、B两点的坐标计算出重力加速度g=___________（用A、B两点的坐标字母表示）；不考虑偶然误差，这样计算出的重力加速度___________（填“大于”“小于”或“等于”）其真实值。 四、解答题 22．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，将力传感器接在摆球与O点之间。现将摆球拉到A点，释放摆球，摆球将在竖直面内的A、C之间来回摆动，其中B点为运动中的最低位置。图乙表示细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，图中为摆球从A点开始运动的时刻，g取。 （1）求单摆的振动周期和摆长。 （2）若已知摆球的质量为，求小球运动过程中的最大速度。 试卷第8页，共8页 试卷第7页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 《2.4 单摆模型的应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C C D B A B D B B 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 C B B D C D B A BD BD 1．B 【详解】A．单摆运动的回复力是摆球重力在垂直摆线方向上的分力，而摆球所受重力和摆线对摆球拉力的合力在径向上提供向心力，故A错误； B．当小球运动到最低点时，绳的拉力达到最大，力传感器的示数最大，所以从0时刻开始，摆球第一次到最低点的时间为，故B正确； C．摆长为细线的长度与小球半径之和，故C错误； D．根据单摆的周期公式，由图可知 解得 故D错误。 故选B。 2．C 【详解】A．小球运动到最低点时，绳子的拉力最大，在一个周期内两次经过最低点，由乙图可知单摆的周期T=t2，故A错误； B．由单摆的周期公式 可得 摆球振动的摆长 故摆长可以求出，故B错误； C．由A运动到所用的时间（不考虑重复周期）为周期的一半 故C正确； D．在小于5°的情况下，周期不变，故D错误。 故选C。 3．C 【详解】设每相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆长为L时单摆摆动的周期为 摆长为'时单摆摆动的周期为 所以 T1∶T2=2∶1 又因为 故可得 所以小钉与悬点间的距离为 故选C。 4．D 【详解】根据周期公式 可知单摆的周期与振幅和摆球质量无关，与摆长和重力加速度有关。题图1中沿斜面的加速度为 所以周期 题图2中摆球所受的库仑力始终沿摆线方向，回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，故摆球的等效重力加速度为 所以周期 题图3中的周期 题图4中的等效重力加速度为 所以周期 故，故ABC错误，D正确。 故选D。 5．B 【详解】设细线的长度为L，球心到窗上沿的距离为d，由题意可知，该单摆振动周期为 由单摆的周期公式可得 带入数据解得 故选B。 6．A 【详解】由振动图像可知，甲的周期 乙的周期 根据单摆周期公式 解得 因此甲乙摆长之比 1：4。 故选 A。 7．B 【详解】A．由振动图像可知，单摆的振幅是，选项A错误； B．单摆的周期为2s，根据 可得摆长 选项B正确； C．摆球经过O点时，速度最大，但是有向心加速度，即加速度不为零，选项C错误； D．P点时刻摆球正在间向负方向摆动，选项D错误。 故选B。 8．D 【详解】A．甲、乙两单摆的振幅分别为4cm和2cm，则振幅之比为2∶1，选项A错误； B．t=2 s时，甲单摆在最低点，则重力势能最小，乙单摆在最高点，则动能最小，选项B错误； C．甲、乙两单摆的周期之比为1:2，根据 可知，摆长之比为1∶4，选项C错误； D．设摆球摆动的最大偏角为θ，由 mgl（1-cosθ）=mv2 及 可得，摆球在最低点时向心加速度 因两摆球的最大偏角θ满足 所以 a甲＞a乙 故D正确。 故选D。 9．B 【详解】单摆周期公式为，则单摆的频率为 单摆摆长L与单摆所处位置的g不变，摆球质量增加为原来的4倍，单摆频率f不变，单摆运动过程只有重力做功，机械能守恒，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的，由机械能守恒定律可知，摆球到达的最大高度变小，单摆的振幅变小。 故选B。 10．B 【详解】A．月球表面的重力加速度不为零，则摆钟在月球表面仍然可以工作，选项A错误； B．北极的重力加速度比北京的重力加速度大，根据知振动周期变小，将摆钟从北京带到北极，摆钟走时将变快，选项B正确； C．气温升高使摆杆略微伸长，摆钟周期变大，可知摆钟走时将变慢，选项C错误； D．海南的重力加速度比北京的重力加速度小，将摆钟从北京带到海南，摆钟周期变大，走时将变慢，需要缩短摆长，即将微调螺母向上调节，选项D错误。 故选B。 11．C 【详解】由甲地到乙地摆动加快则说明周期变小，因T＝2π，则重力加速度变大，要使周期不变小，则应增加摆长，即将螺母适当向下移动． ABD.由上分析可知，ABD错误； C.由上分析可知，C正确． 12．B 【详解】A．在一个周期内小球两次经过最低点，由图乙可知单摆的周期为，故A错误。 B．根据 可得重力加速度大小为，故B正确。 C．由可知单摆的周期大小与单摆的振幅无关，即与小球拉起的幅度无关，故C错误。 D．小球经过最高点时，速度为零，合力方向指向摆动弧线的切线方向，大小为重力在该方向的分力，拉力为重力沿绳子方向的分力，此时拉力最小，故D错误。 故选: B。 13．B 【详解】由题，漏斗的质量为m，细沙的质量为M 当细沙逐渐下漏的过程中，沙漏的重心先下降后升高，则该沙摆的摆长先增大后减小，由单摆的周期公式 可知，该摆的周期先增大后减小，故B正确，ACD错误。 故选B。 14．D 【详解】A．通过分析图乙中的信息，没有f与秋千摆角的信息，则不可以得出f与秋千摆角无关，故A错误； B．通过分析图乙中的信息，没有f与摆和玩具兔的总质量的信息，则不可以得出f与摆和玩具兔的总质量无关，故B错误； C．通过分析图乙中的信息，没有最大速度与秋千摆角的信息，则不可以得出摆动过程中最大速度与秋千摆角有关，故C错误； D．通过分析图乙中的信息，秋千摆动频率与绳子长度的平均值可能存在反比关系，则可以尝试进一步绘制、、图像，以探究f与l的定量关系，故D正确。 故选D。 15．C 【详解】设摆钟在广州对应周期为，移到北京后每小时快秒，则摆钟在北京的周期为 设北京的重力加速度为g，则调整前有 调整后为 解得 故选C。 16．D 【详解】A．单摆在平衡位置时，等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 故A错误； B．回复力大小与摆球偏离平衡位置位移大小成正比，故摆球经过平衡位置时受到的回复力大小为0，故B错误； CD．若小球带正电，并加一沿斜面向下的匀强电场，摆球在平衡位置时，受力分析如图所示 等效重力加速度为 所以单摆在斜面上摆动的周期 故C错误，D正确。 故选D。 17．B 【详解】由于，则小物块P的运动可视为单摆模型，根据单摆周期公式可得 小物块P从c点由静止释放，运动到最低点时发生弹性碰撞，返回时，小物块的速度大小不变，运动周期不变，故小物块P从开始释放到第一次回到c点经历的时间为半个周期，则有 故选B。 18．A 【详解】卫星做圆周运动时，万有引力提供圆周运动的向心力，则有： 解得： 两卫星运行周期之比为： 故应选A． 点睛：根据万有引力提供向心力列出方程，得到周期之比和半径以及质量之间的关系，代入数据可得结论． 19．BD 【详解】A．由图乙可知，单摆振动的周期为8s，A错误； B．t=2s时，摆球位于平衡位置，速度最大，B正确； C．根据单摆周期公式 T=2π 可知周期与摆球拉开的角度无关（小角度下），C错误； D．把T=8s代入周期公式可得，摆长约为 l≈16m D正确。 故选BD。 20．BD 【详解】A．简谐运动的图像反映的是摆球位移随时间的变化规律，不是摆球的运动轨迹，所以在t0时刻摆球的速度方向不沿图像上P点的切线，根据图像可知此时摆球向平衡位置运动，故A错误； B．由图像可知，周期为2s，结合 解得细线长，故B正确； C．由图可知该杆线摆做简谐运动的振幅是4cm，故C错误； D．摆球在一个周期内通过平衡位置2次，10s内包含5个周期，因此通过平衡位置10次，故D正确。 故选BD。 21．(1) (2)变大 (3) 等于 【详解】（1）单摆的摆长 （2）因为出现漏沙现象，所以在一段较短时间内，摆球重心下降，导致摆长增加，由单摆周期公式可知，单摆周期变大。 （3）[1]根据单摆周期、可知 图像的斜率 解得重力加速度 [2]又因采用图像斜率求重力加速度，因此可以消除因漏沙而造成的摆长测量误差，求得的重力加速度等于真实值。 22．（1），；（2） 【详解】（1）小球在一个周期内两次经过最低点，根据该规律可知该单摆的振动周期为 由单摆的周期公式 解得 （2）设摆球与竖直方向的夹角为，则小球在最高点时有 小球在最低点时有 ， 从最高点到最低点由机械能守恒定律有 解得 答案第6页，共7页 答案第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $