1.4 充分条件与必要条件练习题同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 本练习通过基础判断、综合应用到证明推理的三层设计，实现充分条件与必要条件从单一概念到跨知识综合的巩固路径，适配课时教学目标。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-6题）|充分、必要、充要条件直接判断|选择题为主，强化概念辨析，培养抽象能力| |中档层（7-9题）|结合集合、方程根、一次函数的条件关系|填空题形式，提升知识综合应用，发展推理意识| |提高层（10-12题）|充要条件证明与判断（三角形、二次方程）|解答题形式，深化逻辑推理，体现模型观念|

1.4 充分条件与必要条件练习题 1. 设 ， 则“”是“”的（　　） A . 充分不必要条件 B . 必要不充分条件 C . 充要条件 D . 既不充分也不必要条件 2. 已知a，b为实数，则“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的(　　) A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件 C．充要条件                       D．既不充分又不必要条件 3. 若“x2＝4”是“x＝m”的必要条件，则m的一个值可以是(　　) A．0      B．2 C．4      D．16 4. 已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的(　　) A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件 C．充要条件                        D．既不充分又不必要条件 5. “x为无理数”是“x2为无理数”的(　　) A．充分不必要条件                 B．必要不充分条件 C．充要条件                       D．既不充分又不必要条件 6. 设x∈R，则“1<x<2”是“1<x<3”的(　　) A．必要不充分条件　　           　B．充分不必要条件 C．充要条件                       D．既不充分又不必要条件 7.  对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈A∪B的________条件． 8. 设n∈N*，一元二次方程x2－4x＋n＝0有整数根的充要条件是n＝________. 9. “k＞4，b＜5”是“一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴”的________条件． 10. 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中p是q的充分条件？哪些命题中p是q的必要条件？ (1)若x>2，则|x|>1； (2)若x<3，则x2<4； (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等； (4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生． 11. 设a，b，c为△ABC的三边，求证：方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 12. 已知a，b，c∈R，a≠0.判断“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的什么条件？并说明理由． 1.4 充分条件与必要条件练习题参考答案 1. A 2. A　 解析：“a＋b>4”⇒“a，b中至少有一个大于2”，反之不成立．∴“a＋b>4”是“a，b中至少有一个大于2”的充分不必要条件．故选A. 3. B　 解析：由“x＝2”能得出“x2＝4”，选项B正确． 4. A　 解析：因为A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，则A＝{1,3}，所以A⊆B，所以a＝3⇒A⊆B；若A⊆B，则a＝2或a＝3，所以A⊆B⇒/ a＝3，所以“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件． 5. B　 解析：当x2为无理数时，x为无理数；当x为无理数时，x2不一定为无理数． 6. B　 解析：∵“1<x<2”⇒“1<x<3”，反之不成立． ∴“1<x<2”是“1<x<3”的充分不必要条件．故选B. 7. 充要   解析：由x∈B，显然可得x∈A∪B；反之，由A⊆B，则A∪B＝B，所以由x∈A∪B可得x∈B，故x∈B是x∈A∪B的充要条件． 8. 3或4  解析：由于方程的解都是正整数，由判别式Δ＝16－4n≥0得“1≤n≤4”，逐个分析，当n＝1,2时，方程没有整数解；而当n＝3时，方程有正整数解1,3；当n＝4时，方程有正整数解2. 9. 充要 解析：当k＞4，b＜5时，函数y＝(k－4)x＋b－5的图象如图所示． 由一次函数y＝(k－4)x＋b－5的图象交y轴于负半轴，交x轴于正半轴时，即x＝0，y＝b－5＜0，∴b＜5.当y＝0时，x＝＞0，∵b＜5，∴k＞4.故填“充要”． 10. 解： (1)若x>2，则|x|>1成立，反之当x＝－2时，满足|x|>1但x>2不成立，即中p是q的充分条件． (2)若x<3，则x2<4不一定成立，反之若x2<4，则－2<x<2，则x<3成立，即p是q的必要条件． (3)若两个三角形的周长相等，则这两个三角形的面积相等不成立，反之也不成立，即p是q的既不充分又不必要条件． (4)若一个学生的学习成绩好，则这个学生一定是三好学生不成立，反之成立，即p是q的必要条件． 11. 证明： 必要性：设方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根x0，则x02＋2ax0＋b2＝0，x02＋2cx0－b2＝0. 两式相减，得x0＝，将此式代入x02＋2ax0＋b2＝0， 可得b2＋c2＝a2，故∠A＝90°. 充分性：∵∠A＝90°， ∴b2＝a2－c2.① 将①代入方程x2＋2ax＋b2＝0， 可得x2＋2ax＋a2－c2＝0，即(x＋a－c)(x＋a＋c)＝0. 将①代入方程x2＋2cx－b2＝0， 可得x2＋2cx＋c2－a2＝0， 即(x＋c－a)(x＋c＋a)＝0. 故两方程有公共根x＝－(a＋c)． ∴方程x2＋2ax＋b2＝0与x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要条件是∠A＝90°. 12. 解： “a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件． 理由如下： 当a，b，c∈R，a≠0时， 若“a－b＋c＝0”，则－1满足二次方程ax2＋bx＋c＝0，即“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”， 故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充分条件， 若“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”，则“a－b＋c＝0”， 故“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的必要条件， 综上所述，“a－b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为－1”的充要条件． 1.4 充分条件与必要条件练习题 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $